中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题附答案

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ??≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ?为等边三角形，而得出

60BOE ∠=?，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=?， 又∵OC BE ，

∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ，

∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ??≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=?， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；

（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，

∴OBE ?为等边三角形， ∴60BOE ∠=?，

而OE CD ⊥， ∴30D ∠=?． 故答案为30． 【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

2．如图，在△ABP 中,C 是BP 边上一点,∠PAC =∠PBA ,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,且交BP 于点E.

（1）求证：PA 是⊙O 的切线；

（2）过点C 作CF ⊥AD ，垂足为点F ，延长CF 交AB 于点G ，若AG?AB=12，求AC 的长． 【答案】（1）证明见解析（2）23 【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA 得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；

（2）首先得出△CAG ∽△BAC ，进而得出AC 2=AG·AB ，求出AC 即可. 试题解析：（1）连接CD ,如图, ∵AD 是⊙O 的直径, ∴∠ACD =90°, ∴∠CAD +∠D =90°，

∵∠PAC =∠PBA ，∠D =∠PBA ， ∴∠CAD +∠PAC =90°， 即∠PAD =90°， ∴PA ⊥AD ， ∴PA 是⊙O 的切线；

（2）∵CF ⊥AD ，

∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，

∴∠ACF=∠D，

∴∠ACF=∠B，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC2=AG?AB=12，

∴AC=23．

3．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．

（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？

【答案】（1）52

2

；（2）52；（3）

2042

3

-

【解析】

分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；

（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果；

（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．

详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，

如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F，

设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥A′C′，OD ⊥直线l ， 由切线长定理可知C′E=C′D ， 设C′D=x ，则C′E=x ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴

2x+x=1，则x=2-1，

∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2， ∴点C 运动的时间为52

-； 则经过

52

-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，

A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ， ∵CC′=2t ，DD′=t ，

∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ， 由（1）得：2-1， 解得：2，

答：经过2秒△ABC 的边与圆第一次相切；

（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ， 由（1）得：4-1.5t=2-1， 解得：t=

1022

3

-， ∴点B 运动的距离为2×

10223-=2042

3

-．

点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．

4．如图1

O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ．

()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；

()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12

BE AB =，连接DE ．

①求证：DE 是O 的切线；

②求PC 的长．

【答案】（1）262）333①见解析，②． 【解析】

分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长；

()2①首先得出

OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即

可；

②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案．

详解：()1如图2，连接OD ，

//OP PD PD AB ⊥，，

90POB ∴∠=，

O 的直径12AB =，

6OB OD ∴==，

在Rt POB 中，30ABC ∠=，

3

tan30623OP OB ∴=?=?

=， 在Rt POD 中，

22226(23)26PD OD OP =-=-=；

()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，

DC AC =，

30DBC ABC ∴∠=∠=， 60ABD ∴∠=，

OB OD =，

OBD ∴是等边三角形， OD FB ∴⊥，

1

2

BE AB =，

OB BE ∴=， //BF ED ∴，

90ODE OFB ∴∠=∠=，

DE ∴是O 的切线；

②由①知，OD BC ⊥， 3

cos306332

CF FB OB ∴==?=?

=， 在Rt POD 中，OF DF =，

1

3(2

PF DO ∴=

=直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=-．

点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出

OBD 是等边三角形是解题关键．

5．如图，Rt ABC ?内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与

BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .

(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明; (2)求证:AE BF =;

(3)若3(22)OG DE =-，求⊙O 的面积.

【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π 【解析】

试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可； （2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解． 试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：

如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．

（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．

（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =1

2

AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ?CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，

∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴

BD DE

AD DB

=，即BD 2=AD ?DE ，∴22622BD AD DE OG DE =?=?=-（）

．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：

222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得

22222422x -=-（）（），∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x =

=?=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π?（6）2=6π．

点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．

6．如图，AB 为

O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作

CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .

（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=?. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是

O 的切线.

②当6BD =，3

tan 4

F =

时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203

CF =. 【解析】 【分析】

（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD⊥BD，由CE⊥DB证得AD∥CF，根据平行线的性质即可证得结论；

（2）①连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知

∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；

②由CF∥AD，证出∠BAD=∠F，得出tan∠BAD=tan∠F=BD

AD

=

3

4

，求出AD=

4

3

BD=8，利

用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC

CF

=

3

4

，即可求出CF．

【详解】

解：（1）AB是O的直径，且D为O上一点，90

ADB

∴∠=?，

CE DB

⊥，

90

DEC

∴∠=?，

//

CF AD

∴，

180

DAC ACF

∴∠+∠=?.

（2）①如图，连接OC.

OA OC

=，12

∴∠=∠.

312

∠=∠+∠，

321

∴∠=∠.

42BDC

∠=∠，1

BDC

∠=∠，

421

∴∠=∠，

43

∴∠=∠，

//

OC DB

∴.

CE DB

⊥，

OC CF

∴⊥.

又OC为O的半径，

CF

∴为O的切线.

②由（1）知//

CF AD，

BAD F

∴∠=∠，

3tan tan 4

BAD F ∴∠==， 3

4

BD AD ∴

=. 6BD =

4

83

AD BD ∴==，

226810AB ∴=+=，5OB OC ==.

OC CF ⊥， 90OCF ∴∠=?，

3

tan 4OC F CF ∴==，

解得203

CF =. 【点睛】

本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．

7．如图，四边形为菱形，且，以

为直径作

，与

交于点．请

仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)

(1)在如图中，过点作边上的高． (2)在如图中，过点作

的切线

，与

交于点．

【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析. 【解析】 【分析】

（1）连接AC 交圆于一点F ，连接PF 交AB 于点E,连接CE 即为所求． （2）连接OF 交BC 于Q ，连接PQ 即为所求． 【详解】

(1)如图1所示．(答案不唯一)

(2)如图2所示．(答案不唯一)

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

【答案】（1）证明见解析；

（2）4．

【解析】

试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．

（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．

（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴△FOD ∽△FAE ， ∴， ∴

，

整理得R 2﹣R ﹣12=0， ∴R=4或（﹣3舍弃）． ∴⊙O 的半径为4．

考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．

9．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3

cos 5

C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的

P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .

()1当P 与边BC 相切时，求P 的半径；

()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，

并直接写出x 的取值范围；

()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的

Q 与P 相交于AC 边上的点G 时，求相交

所得的公共弦的长.

【答案】（1）409；（2）)2

5880

010x x x y x -+=<<；（3）105-

【解析】 【分析】

（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=

3

5

，则

sinC=

4

5

，sinC=

HP

CP

=

R

10R

-

=

4

5

，即可求解；

（2）PD∥BE，则

EB

PD

＝

BF

PF

，即：2

2

4880

5

x x x y

x y

--+-

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC=

3

5

，则sinC=

3

5

，

sinC=

HP

CP

=

R

10R

-

=

4

5

，解得：R=

40

9

；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=

3

5

，

设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，

则BH=ACsinC=8，

同理可得：

CH=6，HA=4，5tan∠()2

2

84

x

+-2880

x x

-+

25

，则5

25

，

如下图所示，

PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β， tanβ=2，则cosβ=

5，sinβ=

5， EB=BDcosβ=（45-25

x ）×5=4-25x ，

∴PD ∥BE ，

∴EB PD ＝BF

PF

，即：22

48805x x x y x

--+-=，

整理得：y=()2

5x x 8x 80

0x 103x 20

-+<<+；

（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，

两个圆交于点G ，则PG=PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ，GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 时弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ， ∵AG 是圆P 的直径， ∴∠GDA=90°， ∴EP ∥BD ，

由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形， ∴AG=EP=BD ，

∴5

设圆的半径为r，在△ADG中，

AD=2rcosβ=

5，DG=

5

，AG=2r，

5+2r=45，解得：2r=

51

，

则：DG=

5

=10-25，

相交所得的公共弦的长为10-25．

【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，

（1）求弦AD的长；

（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？

（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）23

（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形

（3）不变，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；

（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后

根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1

2

3ON=

3

3

DN=1；

当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，

又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°

，根据等腰直角三角形的性质得到； （3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到

DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值． 【详解】

解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝ ∴AD ＝

1

2

BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ， 当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰， ∴OE ⊥DM ， 又∵AD ＝AC ，

∴△ADC 为等边三角形， ∴∠CAD ＝60°， ∴∠DAO ＝30°， ∴∠DON ＝60°，

在Rt △ADN 中，DN ＝1

2

AD ，

在Rt △ODN 中，ON ＝

3

DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形； 当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ， ∵AD ＝∠DAE ＝30°，

∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，

∴△ODE 为等边三角形， ∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1， ∵∠M ＝∠DAE ＝30°， 而MD ＝ME ， ∴∠MDE ＝75°，

∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°， ∴∠DNO ＝45°，

∴△NDH 为等腰直角三角形， ∴NH

＝DH ∴ON ﹣1；

综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；

（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：

连AP、AQ，如图2，

∵∠C＝∠CAD＝60°，

而DP⊥AB，

∴AC∥DP，

∴∠PDB＝∠C＝60°，

又∵∠PAQ＝∠PDB，

∴∠PAQ＝60°，

∴∠CAQ＝∠PAD，

∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，

∴△AQC≌△APD，

∴DP＝CQ，

∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．

【点睛】

本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．