中考数学压轴题专题复习—圆的综合的综合

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．

发现：

（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；

（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．

拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．

（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；

（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在NP上．

（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．

【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【解析】

【分析】

发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．

（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性

质可得OD=A'H=1

2

A'N=

1

2

MN=2可判定A′C与半圆相切；

（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则

可知NO′=1

2

MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；

（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【详解】

发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,

∵⊙O的半径为2，AB=23，

∴OH=22

OB HB

-=22

2(3)1

-=

在△BOH中，OH=1，BO=2

∴∠ABO=30°

∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

∴∠OBA′=∠ABO=30°

∴∠ABA′=60°

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．

∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．

∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．

∴∠A′BP=∠ABP=60°．

∴∠OBP=30°．∴OG=1

2

OB=1．∴3．

∵OG⊥BP，∴3．

∴3．∴折痕的长为3

拓展：（1）相切．

分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，

∵A'C∥MN

∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O

∵α=15°∴∠A'NH=30

∴OD=A'H=1

2A'N=

1

2

MN=2

∴A'C与半圆

（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，

∴α=45

当O′在PB上时，连接MO′，则可知NO′=1

2 MN，

∴∠O′MN=0°

∴∠MNO′=60°，

∴α=30°，

故答案为：45°；30°．

（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，

由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，

∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；

当α增大到45°时N A′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．

当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，

∴α＜90°，

∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．

综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

【点睛】

本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．

2．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．

（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；

（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．

①若AD为直径，且sinA=4

5

，求BC的长；

②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；

（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．

【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②753

或

75

4

；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；

（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；

②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；

（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．

【详解】

（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．

∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；

（2）①连接BD．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=4

5

，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．

由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；

②若∠ADC=60°时．

∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．

Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．

∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=1

2

∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O 的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）

∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．

∵BC =CD ，∴AB =BC =CD ，∴△OAB ，△BOC ，△COD 是全等的等边三角形，∴S 四边形

ABCD =3S △AOB =3×

34×52=7534

． Ⅱ、当∠BAD =30°时，如图4，连接OA ，OB ，OC ，OD ． ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠BCD =180°﹣∠BAD =150°． ∵BC =CD ，∴∠BOC =∠COD ，∴∠BCO =∠DCO =1

2

∠BCD =75°，∴∠BOC =∠DOC =30°，∴∠OBA =45°，∴∠AOB =90°． 连接AC ，∴∠DAC =

1

2

∠BAD =15°． ∵∠ADO =∠OAB ﹣∠BAD =15°，∴∠DAC =∠ADO ，∴OD ∥AC ，∴S △OAD =S △OCD ． 过点C 作CH ⊥OB 于H ． 在Rt △OCH 中，CH =12OC =5

2

，∴S 四边形ABCD =S △COD +S △BOC +S △AOB ﹣S △AOD =S △BOC +S △AOB =1522?×5+12×5×5=754

． 故答案为：

7534

或754；

（3）延长DC ，AB 交于点E ．

∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCE =∠A =

1

2

∠ABC ． ∵∠ABC =∠BCE +∠A ，∴∠E =∠BCE =∠A ，∴BE =BC =b ，DE =DA =b ，∴CE =d ﹣c ． ∵∠BCE =∠A ，∠E =∠E ，∴△EBC ∽△EDA ，∴CE BC AE AD =，∴d c b

a b d

-=+，∴d 2﹣b 2=ab +cd ．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．

3．如图，AB 为

O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠．

()1DE 是O 的切线吗？请说明理由； ()2求证：2AC CD BE =?．

【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】 【分析】

（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；

（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题. 【详解】

()1解：结论：DE 是

O 的切线．

理由：连接OD ．

CDB ADE ∠=∠， ADC EDB ∴∠=∠， //CD AB ，

CDA DAB ∴∠=∠， OA OD =，

OAD ODA ∴∠=∠， ADO EDB ∴∠=∠， AB 是直径，

90ADB ∴∠=，

90ADB ODE ∴∠=∠=，

DE OD ∴⊥，

∴是O的切线．

DE

()2//

CD AB，

∠=∠，

ADC DAB

∴∠=∠，CDB DBE

∴=，

AC BD

∴=，

AC BD

∠=∠，EDB DAB

DCB DAB

∠=∠，

∴∠=∠，

EDB DCB

∴∽DBE，

CDB

CD DB

∴=，

BD BE

2

∴=?，

BD CD BE

2

∴=?．

AC CD BE

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

4．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.

(1)设AB的长为a，PB的长为b(b

(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.

【解析】

试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．

（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．

试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB，

S 阴影=S 扇形BAC -S 扇形BPP′=（a 2-b 2）；

（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB ≌△CP′B ，

∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，

∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P 2=PB 2+P'B 2=32； 又∵∠BP′C=∠BPA=135°，

∴∠PP′C=∠BP′C -∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C 是直角三角形． PC=

=6．

考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．

5．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．

（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；

（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）π2

【解析】

试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且1

32

OF AD =

=，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3．

在Rt △CDG 中，CD =AD =6，sin ∠ADC =

CG CD =1

2

，∴∠CDA =30°，∴∠ADE =15°． 连接OE ，则∠AOE =2×∠ADE =30°，∴3031802

AE ππ

??=

=．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

6．如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC,垂足为H ，连接OB ． (1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;

(2)如图2,在弧AC 上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB 取点G ，使AG ∥OB ，若∠BAC=600， 求证:GF=GD;

(3)如图3,在(2)的条件下,AF 、BC 的延长线相交于点E,若AF ：FE=1:9，求sin ∠ADG 的值。

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）11

14

. 【解析】

试题分析：（1）延长BO 交⊙O 于点Q ，连接AQ ．由圆周角定理可得：∠AQB =∠ACB ，再由等角的余角相等即可得出结论； （2）证明△DFG 是等边三角形即可；

（3）延长GA ，作FQ ⊥AG ，垂足为Q ，作ON ⊥AD ，垂足为N ，作OM ⊥BC ，垂足为M ，延长AO 交⊙O 于点R ，连接GR ．作DP ⊥AG ，DK ⊥AE ，垂足为P 、K ．设AF =k ，则FE =9k ，AE =10k ．在△AHE 中， AH =5k ．设NH =x ，则AN =5k -x ， AD =10k -2x ．在△AQF 中， AF =k ，AQ =

2k ，FQ 3

．由(2)知：△GDF 是等边三角形，得到GD =GF =DF ，进而得到AG =9k -2x ．

OM =NH =x ，BC =23， GF =BC =23．在△GQF 中，GQ =AG +AQ =

192k -2x ，QF 3

，

GF =23x ，由勾股定理解出74x k

，得到AG =9k -2x =11

2

k ，AR =2OB =4OM =4x =7k ．在△GAR 中，由sin ∠ADG =sin ∠R 即可得出结论．

试题解析：解：（1）证明：如图1，延长BO 交⊙O 于点Q ，连接AQ ． ∵BQ 是⊙O 直径，∴∠QAB =900．∵AD ⊥BC ，∴∠AHC =900． ∵弧AB =弧AB ，∴∠AQB =∠ACB ．

∵∠AQB +∠ABO =900，∠ACB +∠CAD =900 ∴∠ABO =∠CAD

（2）证明：如图2，连接DF ．

∵AG ∥OB ，∴∠ABO =∠BAG ．∵∠ABO =∠CAD ，∴∠CAD =∠BAG ． ∵∠BAC =600，∴∠BAD +∠CAD =∠BAD +∠BAG =600，即

∠GAD =∠BAC =60°．∵∠BAD =∠CAF ．∴∠CAF +∠CAD =600，∴∠GAD =∠DAF =600，∴∠DGF =∠DAF =60°．

∵弧GD =弧GD ，∴∠GAD =∠GFD =600，∴∠GFD =∠DGF =600，∴△DFG 是等边三角形，∴GD =GF ． （3）如图3，

延长GA ，作FQ ⊥AG ，垂足为Q ，作ON ⊥AD ，垂足为N ，作OM ⊥BC ，垂足为M ，延长AO 交⊙O 于点R ，连接GR ．作DP ⊥AG ，DK ⊥AE ，垂足为P 、K ．

∵AF ：FE =1：9，∴设AF =k ，则FE =9k ，AE =10k ．在△AHE 中，∠E =300，∴AH =5k ． 设NH =x ，则AN =5k -x ．∵ON ⊥AD ，∴AD =2AN =10k -2x 又在△AQF 中，∵∠GAF =1200，∴∠QAF =600，AF =k ，∴AQ =2k ，FQ =

3

2

k ． 由(2)知：△GDF 是等边三角形，∴GD =GF =DF ，

∵∠GAD =∠DAF =600，∴DP =DK ，∴△GPD ≌△FKD ，△APD ≌△AKD ∴FK =GP ，AP =AK ，∠ADK =300，∴AD =2AK =AP +AK =AF +AG ∴AG =10k -2x -k =9k -2x ．

∵作OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，∴OM =NH =x ．∵∠BOD =

1

2

∠BOC =∠BAC =600

∴BC =2BM =23x ．∵∠BOC =∠GOF ，∴GF =BC =23x 在△GQF 中，GQ =AG +AQ =192k -2x ，QF =3

2

k ，GF =23x ∵222GQ FQ GF +=

∴()

2

2

21932232k x k x ??

??-+= ? ? ?????

， ()12713

42

x k x k =

=-，舍去． ∴AG =9k -2x =11

2

k ，AR =2OB =4OM =4x =7k ， 在△GAR 中，∠RGA =900，

∴sin ∠ADG =sin ∠R =

AG AR =11

14

．

点睛：本题是圆的综合题．熟练掌握圆的基本性质和常用的辅助线做法是解答本题的关键．

7．解决问题：

() 1如图①，半径为4的O 外有一点P ，且7PO =，点A 在O 上，则PA 的最大值和

最小值分别是______和______．

()2如图②，扇形AOB 的半径为4，45AOB ∠=，P 为弧AB 上一点，分别在OA 边找

点E ，在OB 边上找一点F ，使得PEF 周长的最小，请在图②中确定点E 、F 的位置并直接写出PEF 周长的最小值； 拓展应用

()3如图③，正方形ABCD 的边长为2E 是CD 上一点(不与D 、C 重合)，

CF BE ⊥于F ，P 在BE 上，且PF CF =，M 、N 分别是AB 、AC 上动点，求PMN 周长的最小值．

【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF 周长最小值为423）41042． 【解析】 【分析】

()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直

线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；

()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与

OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求，此时PEF 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；

()3类似()2题作对称点，

PMN 周长最小12PP =，然后由三角形相似和勾股定理求解．

【详解】 解：()1如图①，

圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在

过圆心的直线OP 上，

此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．

PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，

PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=， 故答案为11和3；

()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点

1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、

F 即为所求．

连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，

由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==，

12454590POP ∠=+=，

12POP ∴为等腰直角三角形，

121242PP OP ∴==

PEF 周长121242PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF 周长最小．

故答案为2；

()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ，

连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③ 由对称知识可知，1

PM PM =，2PN P N =，PMN 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，

此时，PMN 周长最小12PP =．

由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12AP AP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC ∠∠∠∠∠+=+==

12454590P AP ∠=+=，

12P AP ∴为等腰直角三角形，

PMN ∴周长最小值12PP =，当AP 最短时，周长最小． 连接DF ．

CF BE ⊥，且PF CF =，

45

PCF ∠∴=，PC

CF

=45ACD ∠=，

PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，

又AC

CD

=， ∴在APC 与DFC 中，AC PC

CD CF

=，PCA FCD ∠∠=

C AP ∴∽DFC ，

AP AC DF CD

∴== ∴

AP =

90BFC ∠=，取AB 中点O ．

∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短．

DF DO FO OC =-===

AP ∴最小值为AP =

∴此时，PMN 周长最小值

12PP =

===．

【点睛】

本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD⊥CB，垂足为点D，延长DO 交⊙O于点E，过点E作PE⊥AB，垂足为点P，作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF，

（1）求证：OD＝OP；（2）求证：FE是⊙O的切线．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（2）证明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）连接AE，BE，证出△APE≌△AFE即可得出结论．

试题解析：（1）∵∠EPO=∠BDO=90°∠EOP=∠BOD

OE=OB

∴△OPE≌△ODB

∴OD="OP"

（2）连接EA，EB

∴∠1=∠EBC

∵AB是直径

∴∠AEB=∠C=90°

∴∠2+∠3=90°

∵∠3=∠DEB

∵∠BDE=90°

∴∠EBC+∠DEB=90°

∴∠2=∠EBC=∠1

∵∠C=90°∠BDE=90°

∴CF∥OE

∴∠ODP=∠AFP

∵OD=OP

∴∠ODP=∠OPD

∵∠OPD=∠APF

∴∠AFP=∠APF

∴AF=AP 又AE=AE

∴△APE≌△AFE

∴∠AFE=∠APE=90°

∴∠FED=90°

∴FE是⊙O的切线

考点：切线的判定．

9．已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连结CB．

[感知]如图①，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE，可证△BCD≌△ECA，从而得出EC＝BC，∠ECB＝90°，进而得出∠ABC＝度；[探究]如图②，当点A、B在CD异侧时，[感知]得出的∠ABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出∠ABC的大小．

[应用]在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的长．【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为+1或﹣1．

【解析】

【分析】

[感知]证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；

[探究]结论不变，证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；

[应用]分两种情形分别求解即可解决问题．

【详解】

解：【感知】，如图①中，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD＝∠DBA＝90°．

∴∠CDB+∠CAB＝180°，

∵∠CAB+∠CAE＝180°

∴∠D＝∠CAE，∵CD＝AC，AE＝BD，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD＝90°，

∴∠ECD+∠DCB＝90°，

即∠ECB＝90°，

∴∠ABC＝45°．

故答案为45

【探究】

不改变．理由如下：

如图，如图②中，在射线AN上截取AE＝BD，连接CE，设MN与CD交于点O．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD＝∠DBA＝90°，

∵∠AOC＝∠DOB，

∴∠D＝∠EAC，CD＝AC，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD＝90°，

∴∠ECD+∠DCB＝90°，

即∠ECB＝90°，

∴∠ABC＝45°．

【拓展】

如图①﹣1中，连接AD．

∴∠ACD+∠ABD＝180°，

∴A，C，D，B四点共圆，

∴∠DAB＝∠DCB＝30°，

∴AB＝BD＝，

∴EB ＝AE+AB＝+，

∵△ECB是等腰直角三角形，

如图②中，同法可得BC＝﹣1．

综上所述，BC的长为+1或﹣1．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

10．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．

（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；

（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=1

2

AB，连接DE．

①求证：DE是⊙O的切线；

②求PC的长．

【答案】（1）26；（2）①证明见解析；②33﹣3．

【解析】

试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；

（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；

②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．

试题解析：（1）如图2，连接OD，

∵OP⊥PD，PD∥AB，

∴∠POB=90°，

∵⊙O的直径AB=12，

∴OB=OD=6，

在Rt△POB中，∠ABC=30°，

∴OP=OB?tan30°=6×=2，

在Rt△POD中，

PD===；

（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，

∵，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴∠ABD=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴OD⊥FB，

∵BE=AB，

∴OB=BE，

∴BF∥ED，

∴∠ODE=∠OFB=90°，

∴DE是⊙O的切线；

②由①知，OD⊥BC，

∴CF=FB=OB?cos30°=6×=3，

在Rt△POD中，OF=DF，

∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），

∴CP=CF﹣PF=3﹣3．

考点：圆的综合题