南京师范近十二年数学分析考研题

南京师范大学2000年数学分析考研试题

一．求下列极限（5分×4）

1．n n

n x +∞→1lim ； 2．l n n n n n ?++∞→lim

3．∫?+→xdx t

x t t cos )1(1lim 0 4．x n x x cos 11

0sin lim ?→??????

二．若在上连续，)(x f ),[+∞a A x f x =+∞

→)(lim （有限数），证明：在上一致连续（8分）

)(x f ),[+∞a 三．证明：1.若在上连续且严格单调减，则对，有；

)(x f dx )1,0[10<k x f k dx x f 01

)()(2．若，则1>x 33)

1()1(8ln 3+?>x x x （6分×2） 四．讨论∫1

0)2(tan

ln dx x x x p

π的收敛性（10分） 五．设∑∞=+=12211)(n x

n x f 1．求的定义域D ，

)(x f 2．证明： ∑∞

=+12211n x n 在D 上非一致收敛， 3．证明在D 上连续，

)(x f 4．证明在D 上无界。

)(x f

六．讨论二元函数??

???=+≠++=0,00,),(2222442

y x y x y x xy y x f 在2R 上的连续性，可导性及可微性。

（12分）

七．计算曲线积分∫++?L

dy x y x y x y dx x y x y )cos (sin )cos 1(22，其中L 是沿2223(4π

π?

=x y 从)1,1(πA 到)1,2(πB （12分） 八．设偶函数在上具有二阶连续的导函数，证明：1.)(x f ]1,1[?0)0(=′f ；

2．∑∞

=?1)]0()1([n f n f 绝对收敛。（10分） 九．设函数在上二阶导函数连续，且)(x f ),(+∞?∞0)0(=f 令?????=≠=0

,0,)()(x a x x x f x g

1．确定a 的值，使在上连续；

)(x g ),(+∞?∞2．对上述的a ，证明在)(x g ),(+∞?∞上具有连续的一阶导数。（10分）

南京师范大学2001年数学分析考研试题

一．（10分）

1．用N ?ε语言叙述概念：不收敛于a ；

}{n a 2．证明：若的任一子列都存在且收敛于a ，则，收敛于a 。

}{n a }{k n a }{n a 二．（15分）

求下列极限：

1．1

...21lim +∞→+++k k

k k n n n （k 为自然数） 2．2021)(arctan lim 2

x du u x x +∫∞→

3．2233)0,0(),()sin(lim y

x y x y x ++→ 三．（10分）

设在上可积，且，证明在内有唯一零点。

)(x f ],[b a 0)(>≥c x f ∫∫?=

x a b

x

dt t f dt t f x F )()()(),(b a 四（10分） 设在上二阶可导，且满足i ）)(x f ],[b a 0)()()(=?′+′′x kf x f x f （k>0，为常数 ii)

0)()(==b f a f 则在上],[b a 0)(≡x f

五．（10分） 设2

1(,)11()(≥+

=+ααx x x f ，证明在)(x f ),0(+∞内单调递减。 六．（12分）

设，0≠n a 0lim ≠=∞→l a n n 1） 试证明∑+∞=+?11n n n a a 与∑+∞=+?11

11n n n a a 同敛散； 2） L=1，讨论

∑∞=11n a n n 的收敛性（给出证明）

七．（12分）

设

∑∞=?=1)(n nx ne

x S 1） 证明：)(x S 在),0(+∞上连续，

2） 计算∫

3

ln 2ln )(dt t S 八．（12分）

),(y x z z =满足：0,(=++

x z y y z x F ，其中，均可微，求),(y x z ),(v u F y z y x z x z ?????? 九．（11分） 求∫++++?c

dy y x y x dx y x y x 2222，其中光滑分段曲线c 有界单连通区域D 的边界取正向，原点为D 的内点。

南京师范大学2002年数学分析考研试题

一．（8分）

证明：不收敛的有界数列至少有两个收敛于不同极限的子列。

二．（15分）

求极限：

1．]11[(lim e x

x x x ?++∞→ 2．2

)!(lim n n n

n ∞→ 3．设，01>=a x ,...2,1,2)1(21=++=

+n x x x n

n n 证明收敛，并求。 }{n x n n x ∞→lim 三．（12分） 设?????=≠=0

,00,sin 1)(x x x x x f π证明：1）的值域为)(x f ),(+∞?∞=D

2）。在上一致连续 )(x f ),1[+∞ 3）。在上非一致连续。

)(x f )1,0(四．（9分）

设在上可导，在在上递减，)(x f ],0[c )(x f ′],0[c c b a b a f ≤+<≤<=0,0)0(，证明：

)(b f f +)(a f ≤)(b a +五．（8分） 已知∫=+?→x x dt t a t x bx 0

2

013sin 1lim ，求a,b 。 六．（10分）

讨论下列级数的敛散性：

1）。∑???n p b n 1

1

)1(

2）。∑∫∞=+1)1(2sin n n n dx x

x ππ 七．（8分） 讨论函数∑∞

=?=12)sgn()(n n n x x f 的连续性

八．（10分） 证反常积分dx x x I ∫+∞

=2cos π

收敛，且0

九．（10分）

设在闭矩形上连续，函数列),(y x f ],[],[d c b a ×)}({t n ?，)}({t n φ在],[βα上一致收敛，且b ≤)t a n ≤(?，d t c n ≤≤)(φ，（n ＝1，2，…）证明：函数列))(),(t t t n n ()f (F n φ?=在

],[βα上一致收敛。

十．（10分）

设在的某领域内连续可微，且)(t f 0=t 0)0(=f ，证明：

∫∫∫

≤++→′=++2222)0()(1

lim 2224

0t z y x t f dxdydz z y x f t π

南京师范大学2003年数学分析考研试题

一．指出下列说法是否正确，并简要给出证明或举出反例（5分×5）

1． 设数列}{n x 满足+∞=则}min{n x 必存在； ∞

→n n x lim 2． 设)(x f 在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则必存在),(b a ∈ξ，使0)(=′ξf ；

3． 设),(y x f 在点),(00y x 处偏导数y x f f ,均存在，但不连续，则),(y x f 在处必不可微。

P )

,(00y x 4． 设....2,1均是可测集X 上几乎处处可测函数，若,=n f n 0]0[lim =>?∞

→f f mX n n 则必有n f 依测度收敛于f 。

5． 设∞

∫gdx f (x g x f <∫

X fdx 二．求下列极限（5分×3）

1．n n n

n n ln 1tan lim ?∞→ 2．x x x x 2sin 1

0sin 1tan 1lim ??

????++→ 3．∫∫→x x x dt

t f x dt t f 0

200)()(lim 2

，其中连续可微，)(x f 0)0(,0)0(≠′=f f

三．设在有限开区间上一致连续，则在上有界。（10分）

)(x f ),(b a )(x f ),(b a 四．设在)(x f ),[+∞a 上有二阶导数，且0)(,0)(<′>a f a f 及则存在0)(≤′′x f )+∞,(∈a ξ，使0)(=ξf 且，ξ为唯一零点。（10分） 五．证明121

(31)

21

1212?<++++

=+?=1)1()(n n x n x x f 在，,...,...2,1n x ???≠时可微（15分） 七．在曲面1:

=++z y x S 上求曲面的切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积最大。

（15分）

八．计算第二型曲面积分其中S 是曲线绕x 轴旋转而成的旋转曲面的外侧。

∫∫?+?=S

xzdzdy xydzdx dydz x I 48)1(22)0(a y e x y ≤≤=九．应用Lebesgne 控制收敛定理证明：

e dx n x nx

e n x n 11sin 1lim ]1,0[22?=+?∫?∞→α （15分） 十．设在可侧集X 上，依测度收敛于，且n

f f

g f n ≤，a,e 于X ，试证：，a,e 于X （15分）

)()(x g x f ≤

南京师范大学2004年数学分析考研试题

一、（每小题7分，共28分）计算或证明下列极限：

1

．21lim n n →∞+++L ； 2．2222

lim x t x x xe e +∞?→+∞∫dt ； 3．证明：若函数()f x 在上严格增加，[,]a b (,)(1,2,)n x a b n ∈=L 且

lim ()n n ()f x →∞

f a =，则lim n n x a →∞=； 4．讨论二元函数22222(,)()x y f x y x y x y =+?在点(0处的重极限与累次极限.

,0)二、（16分）设

()f x 在(,内连续，且满足：)a b ()()0x

a f x f t dt =∫ ((,))x a

b ∈，证明()0f x ≡.

三、（15分）设函数

()f x 在[0上单调减少，对任何正整数，试证明下列不等式,1]n 1

01n k f =1(0)(1)()(f f x dx n n n

)k f ??≤∑∫，并说明该不等式的几何意义. 四、（15分）设()f x 在上可微，且[0,1](0)0f =，若存在01M <≤，使得

())(x M x ′≤)f ([0,1]x ∈，证明：在[0上,1]()0f x ≡.

f 五、（16分）设{}n a 为数列，令

10011()21122n n x x n

f x a x n

x x n n ?=≤≤???==???1n ≤<

或线性0或≤ 问：（1）{}()n f x 在[0上是否处处收敛？

,1] （2）为使

{}()n f a 在[0上一致收敛，当且仅当,1]{}n a 满足什么条件？

（3）为使11

0lim ()lim ()n n n n f x dx f x dx →∞→∞=∫∫，当且仅当{}n a 满足什么条件？ 六、（15分）证明级数221

(1)n

n x n x n ∞=+?+∑的和函数在(,)?∞+∞上的连续性. 七、（15分）设是由方程()u x (,),(,,)0,(,)0u f x y g x y z h x z ===所确定，且

0,0≠h g z y ??≠??．试求du dx

． 八、（15分）设[表示a 的最大整数部分，计算

]

a 23x y ≤<∫∫．

九、（15分）设二元函数(,)f x y 为[,][,)

a b c ×+∞()I x 上的连续非负函数，在上连续，证明在[,上一致收敛．

()(,)c I x f x y d +∞

=∫y [,]a b ]a b

一、判断正确与否，说明理由。（5分*3=15分）

1、收敛，，则∑n u )(,1∞→→n v n ∑n n v u 收敛。

2、若收敛，收敛，则dx x f a ∫+∞

)(dx x f a ∫+∞′)(0)(lim =+∞

→x f x 。 3、在f(x)在[a,b]上具有界值性（即f(x)可取得f(a)和f(b)之间的一切实数）的单调函数必一致连续。

二、计算下列各题：（7分*7=49分）

1、213

03sin sin lim x x x

x → 2、)0(cos )!2(lim !\>∞+→a a n

n n n 3、x x x x x x 1223232lim 0????????++→

4、dx x x ∫?1002

)1( 5、求y

x y x y x f ++=233),(在（0，0）处的重极限和累次极限。 6、忘了

7、x

y y x arctan ln 22=+，求y ′和y ′′。 三、（10分）f(x)在单调递减，f(x)>0，证明

和敛散性

相同。 ),[+∞a dx x f a ∫+∞)(dx x x f a ∫+∞2cos )(四、（15分）已知k

nx

n n xe x f ?=)(，当k 为何值时，函数列在上（1）收敛，（2）一致收敛，（3）积分与极限可交换，即。 )}({x f n dx )00∫∫+∞

=),0[+∞x f n )(lim ∞→dx x f n n n (lim +∞∞→五、（15分）考察∑+++)

1(2sin )1(2)12(cos n n x n n x n 在（1）[l l ,?]和（2）上的一致收敛性。

),(+∞?∞六、（15分）（忘了）

七、（16分）交换积分顺序,先对x 再对y,最后对z 积分:dz z y x f dy dx J x x y x ∫∫∫????+=

111112222),,(. 八、（15分）证明∫+∞

+∞0,[sin a dy y

xy 在）上一致收敛，而在),0(+∞上不一致收敛。

一、判断下列命题是否正确，给出理由：（5分*2=10分）

1．若()f x 在区间I 上有原函数且单调，则()f x 在I 上连续。

2．若非正常积分收敛，则必存在。 ∫+∞

a dx x f )()(lim x f x +∞

→二、（15分）求极限：(1) 22

)2cos cos (lim 0

x x x x → (2) 2)!(lim ?∞→n n n (3)

)ln()(lim 22)0,0(),(y x y x y x ++→三、（15分）设函数()f x 在[0上连续且大于零，证明:,1]∫∫+=2201)

(1)()(x x dt t f dt t f x F 在(0, 2)内有且只有一根.

四、（15分）计算 L+为A(1,0,0)到B(1,0,2)的任

意一条曲线.

,)()()(2

22dz xy z dy xz y dx yz x L ?+?+?∫+五、（15分）若()f x 在[a,b]上无界,证明:),(0b a x ∈?,对的任何邻域,使0x ()f x 都无界.

六、（15分）用可积条件证明函数?????=≠?=0

,00[)(11x x x f x x 在[0上可积. ,1]七、（15分）()f x 是偶函数,二阶导数在x=0的某δ邻域(δδ+?,)(δ>0)内连续,且

,证明:2)0(==f )0(,1′′f )1)((1

?∑n f 绝对收敛.

八、（15分）(1)证明∑+?n n x x )

1()1(22

在[-1,1]上一致收敛. (2) 证明∑+n

x x )1(22

在[-1,1]上不一致收敛. 九、（15分）若()f x 在[0,1]上连续,证明:)0(2)(lim 10220f dt x

t t xf x π=+∫+→.

2007年硕士研究生招生入学初试试卷

南京师范大学 数学分析

一(每小题10分,共30分)计算下列极限: 1.x t dt x x x ∫×+∞→2ln ln lim ; 2.y x y x y x ++→→220

0lim ; 3.设1x )1,0(∈,),2,1(),1(1 =?=+n x x x n n n ,证明{n nx }收敛并求极限.

二(20分) 1)设函数f 在点0x 的某领域U(0x )内有n+1阶的连续导数.证

明对任意的∈x U(0x )有

；且其中10,)()1))(()((!

1)(),()(!)())(()()(10000)1(00000≤≤???+=+?++?′+=++θθθn n n n n n n x x x x x x f n x R x R x x n x f x x x f x f x f 2)求)1)(1ln(2≤+x x 的麦克劳林级数展开,并加以证明. 三(20分)设)(x f 为),0(+∞内的连续函数,,0)(,)(lim lim 0=+∞=+∞

→→+

x f x f x x 试

证: 1)x

x f 1

sin )(在)0)(,[>+∞a a 内一致连续; 2) x

x f 1sin )(在),0(+∞内一致连续. 四(15分)利用Stokes 公式计算∫?+?++L dz x y dy z x dx z y )()()2(,其中L 为

平面x+y+z=1与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向. 五(10分)试研究方程ax=lnx (a>0)实根的个数。

六(10分)设函数F(u,v)有连续的二阶偏导数,求证由方程),(0

000z z y y z z x x F ????=0所确定的隐函数z=z(x,y)满足下列两个方程: 000)()(z z y z y y x z x x ?=???+???; .)(222222y x z y

z x z ???=?????

七(15分)证明数项级数n n n n cos )

1211(1

∑∞=+++ 收敛. 八(15分)证明n n n x x f ∑∞=+=1

)`1()(在(-1,1)内收敛. 九(15分)设f 是区间),0[+∞上的连续函数，含参量非正常积分dx x f x )(0∫+∞α

当)(,b a b a <=α时收敛，证明dx x f x )(0

∫+∞

α在],[b a 上关于α一致收敛.

南京师范大学2009年硕士研究生招生入学考试

数学分析初试试卷

一、(每小题8分，共16分)判断下列命题是否正确？并简要说明理由。

1、牛顿—莱布尼兹公式可叙述为：若()f x 在区间[上连续，且存在原函数，则],a b ()F x ()f x 在区间[],a b 上可积，且()()()b

a f x dx F

b F a =?∫。现将条件减弱为：()f x 在区间[],a b 上连续，

但仅在(内为()F x ),a b ()f x 的原函数，则原结论仍然成立。

2、设()a f x dx +∞∫收敛，且()f x 在[),a +∞连续恒正，则。 lim ()0x f x →+∞=

二、(每小题8分，共24分)计算下列各题：

1、讨论极限20lim cos()a a

a x

b x dx a ?→?∫的存在性； 2、11tan lim 11tan n n n e e n n

→∞??； 3、设()()b a F x f y x y dy =?∫，其中，a b ＜()f x 连续，求。

()F x ′′

三、(15分)设。我们知道，当0a ＞αβ，为有理数时，有a a a αβα+?=β。试证明当,αβ为无理数时，上述等式也成立。

四、(15分)已知b a 。证明：存在＞＞0(1,1)ξ∈?，使得2cos 2x b a

e x dx x a

ξ?=∫。

五、(15分)设{}()n f x 是定义在实数集E 上的函数列，()f x 在E 上有定义。

1、请写出{}()n f x 在E 上不一致收敛于()f x 的正面定义；

2、若{}()n f x 在E 上不一致收敛于

()f x ，0x 是E 的聚点，且0lim ()n n x x f x A →= ，则(1,2,n =L ){}n A 收敛，且00lim lim ()lim lim ()n n x x n n x x f x f →→∞→∞→x =。

六、(15分)设()f x 区间[上有连续的导函数，。证明：

],a b ()0f a =2()()(())2b b a a

b a f x f x dx f x dx ?′′≤∫

∫

七、(20分)设

()0f x ≠=?

当(x,y)(0,0)时， 当(x,y)=(0,0)时 问：1、(,)f x y 在点是否连续？

(0,0) 2、(,)f x y 在点是否可微？请证明你的结论。 (0,0)

八、(15分)计算：22()s

yzdydz x z ydzdx xydxdy +++∫∫，其中为曲面

S 242y x z ?=+上的部分并取正侧。

0y ≥

九、(15分)设{}()n u x 是[上的正值递减（即对固定的],a b [],x a b ∈，，）且收敛于零的函数列，而对每个固定的n ，均是[1()()n n u x u x +≤1,2,n =L ()n u x ],a b 上的递增函数。证明级数在[11(1)()n n n u x ∞

?=?∑],a b 上一致

收敛。

南 京 师 范 大 学

2011年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷A 考试科目： 614数学分析 适用专业： 应用数学 满分150分 考试时间： 2011年1月16日上午8：30——11：30 注意事项：所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效； 请认真阅读答题纸上的注意事项，试题随答卷一起装入试题袋中交回。

一、 计算题 （共 5 题，每题 8 分，共计 40 分）

（1） 求第二型曲面积分∫∫++S

dxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面12，方向取外侧。

22=++z y x （2） 设函数)(x f 具有二阶连续导数，且,4)0('',0)(lim 0==→f x

x f x 求x

x x x f 10)(1lim ????

?+→。 （3） 设),,(x y x y x f w ?+=，其中f 有二阶连续偏导数，求y x w ???2。 （4） 在区间)2,0(π内将函数2)(x x f ?=

π展开成傅里叶级数。 （5） 求函数2

31)(2+?=x x x f 的n 阶导数。

二、（共 1题，共计12 分）

设函数在区间上可导，且)(x f ]1,0[)0(2)1(f f =，求证：存在)1,0(∈ξ，使得

)()(')1(ξξξf f =+。

三、（共 1 题，共计12 分）

设函数在内二次可导，)(x f ),(∞+?∞1)(lim 0=→x

x f x ，且，则 0)(">x f ),(,)(∞+?∞∈?≥x x x f 。