添加一条直线 两个三角形正确答案
添加一条直线两个三角形正确答案
答案：
三角形添加辅助线技巧(带答案)
三角形添加辅助线技巧 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线 （一）作平行线 作平行线,构造全等三角形 1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延长线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF. 由D点作BC的平行线交AC于G 因为DG∥BC，所以三角形ADG为等腰三角形，则：AD=AG 因为AB=AC，所以：BD=(AB-AD)=(AC-AG)=CG。 那么C为三角形DEG的边EG上的中点，DG∥BC 根据中位线定理，则有：F为ED的中点，即：DF=EF。得证 （二）作垂线 遇角平分线,在平分线上找点作角两边的垂线,利用角平分线的性质,通过三角形全等求解 2、如图，已知OP平分∠AOB，C，D分别在OA、OB上，若∠PCO+∠PDO=180°， 求证：PC=PD. O A B C P D 证明：过P做PE垂直于OA于E,过P做PF垂直于OB为F 3、已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：CD⊥AC. F B C A D E
2 1D A C B 证明：过D 作DM ⊥AB ，垂足为M, 因为AD=BD,所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC,所以AC=AM, 因为AD 平分∠BAC ，所以∠1=∠2， 在△ADC 和△ADM 中,AC=AM,∠2=∠1,AD 为公共边， 所以△ADC ≌△ADM,所以∠ACD=∠ADM=90,即:CD ⊥AC (三)倍长中线, 构造中位线 相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解 4、已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF. F D A B C E 延长AD 交BM 于M 点 因为D 为BC 的中点,所以ABMC 为平行四边形 所以BM=AC,因为BE=AC 所以BE=BM,所以角BEM=角BME 因为BM//AC,所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角),所以AF=EF 5、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.
专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题
《全等三角形》辅助线做法总结 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 一、截长补短法（和，差，倍，分） 截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换） 补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换） 例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD． 二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 三、延长已知边构造三角形 例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O
四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等） 例如：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180。 五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等） 例如：1如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。（三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半） 2，已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。 3，如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆 ：遇到两组线段相等， 可试着连接垂直平分线上的点） 例如：在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC,D 为△ABC 外一点，且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E,求证：DE=AE+BC 。 七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”） A D B C C A E B D
三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ， 则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等 创造了条件。 如图1-2，AB2AC2AC3 CAC 。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>A D ，CE ⊥AB ， AE=21 （AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180。 4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC B 图2-3 C
上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。 已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90,CD ⊥AB ，垂 足为 D ，A E 平分∠CAB 交CD 于 F ，过F 作FH 21 证：BD=2CE 。 分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线， 可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。 例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、 外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 连结FC 并延长交AE 于M 。 求证：AM=ME 。 分析：由AD 、AE 是∠BAC ⊥AF ，从而有BF 21212121已知，如图，∠C=2BC 。求证：△ABC 是直角三角形。 2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，证：DC ⊥AC 3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，二、 由线段和差想到的辅助线 口诀： 线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。 1 2 A C D B C A B A B D 1 2 图3-2 B C
全等三角形中常用辅助线(经典)
三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标： 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点： 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
全等三角形中常见辅助线的添加方法
全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图
四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N
相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新
相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C
全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考． 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 ∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。 又∵AD∥BC，
第四讲------三角形中辅助线的常见的添加方法
第四讲-------常用的辅助线的方法 知识点一： 三角形问题添加辅助线方法 1）、方法1：三角形中线--------------中线加倍。 含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结 论恰当的转移，很容易地解决了问题。 2）、方法2：含有平分线------------构造全等三角形。 常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等 三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 3）、 方法3：证明两线段相等，可通过 构成全等三角形； 利用关于平分线段的一些定理； 转化到同一三角形中，证明角相等； 4）、 方法4：证明一条线段与另一条线段之和等于第三条线段-----------常 采用截长法或补短法。 截长法是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而 另一部分等于第二条线段。 三角形中作辅助线的常用方法举例 一．倍长中线 1：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F 2 5 图
二、截长补短法作辅助线。 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。 三、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 练习 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。 A D C B E 12 A B C D E 1 7 图O
全等三角形辅助线专题
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 八年级数学上册辅助线专题 教学目标：掌握各种类型的全等三角形的证明方法 教学重点：构造全等三角形 教学难点： 如何巧妙作辅助线 知识点： （一）截长补短型 （二）中点线段倍长问题 （三）蝴蝶形图案解决定值问题 （四）角平分线与轴对称 （五）等腰直角三角形，等边三角形 （六）双重直图案与全等三角形 典型例题讲练 重点例题： 一、截长补短型 如图,R T △CDA ≌RT △CDB, ①、若∠ACD=30°，∠MDN=60°,当∠MDN 绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿ ②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM 、MN 、BN 三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿ ③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD 与∠MDN 满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。 B A C D M N ① B D A C M N ② A B C D M N ③
二、中点线段倍长问题 如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。当AE=AF 时，求证BE=CF 。 三、蝴蝶形图案解决定值问题 1、如图，在R t △ACB 中，∠ACB=90°,CA=CB,D 是斜边AB 的中点，E 是DA 上一点，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，交CD 于点F 。 （1） 求证：DE=DF.（2）若E 是线段BA 的延长线上一点，其它条件不 变，DE=DF 成立吗？画图说明。 2在△ABC 中，AB=AC,AD 和CE 是高，它们所在的直线相交于H 。 (1)如图1,若∠BAC=45°，求证：AH=2BD. (2)如图2，若∠BAC=135°，（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。 3，如图，等腰直角三角形ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D.求证BE=2CD. A B C D E F A B C D E F H A B C D E H B A C
全等三角形辅助线经典做法习题 (1)
全等三角形证明方法中辅助线做法 一、截长补短 通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.
3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明. 4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由. 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2 1 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.
全等三角形辅助线画法
五种辅助线助你证全等 在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，可以帮助你更好的学习。 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 二、中线倍长 三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路． 例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）． 分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．
解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x． ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD ∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB ∴BE=AC=5 ∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE 即7-5＜2x＜7+5∴1＜x＜6
初中数学全等三角形辅助线技巧
例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。 解答过程：
2020中考数学二轮复习几何专题突破 三角形中常见辅助线的添加技巧(原卷版)
2020 中考数学几何专题突破 模块二：三角形中常见辅助线添加技巧 例1. （2019· 吉林中考真题）性质探究 如图①，在等腰三角形ABC 中，0120ACB ∠=， 则底边AB 与腰AC 的长度之比为________． 理解运用 ⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为843+________； ⑵如图②，在四边形EFGH 中，EF EG EH ==． ①求证：EFG EHG FGH ∠+∠=∠； ②在边,FG GH 上分别取中点,M N ，连接MN ．若0120FGH ∠=，10EF =,直接写出线段MN 的长． 类比拓展 顶角为2σ的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含σ的式子表示）． 1. 与角平分线有关的辅助线 （1） 可向两边作垂线。 （2）可作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形
【变式训练】 1．（2019·陕西中考真题）如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E 。若DE=1，则BC 的长为（ ） A ．2+2 B ．23+ C ．32+ D ．3 2. （2018?德州）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC=5，OM=4，则点C 到射线OA 的距离为 ． 3. （2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC=1，则OF= ．
例1．（2019·山东中考真题）如图，在ABC ?中，120 ACB ∠=?，4 BC=，D为AB的 中点，DC BC ⊥，则ABC ?的面积是_____． 【变式训练】 1．（2019·湖北黄石中考真题）如图，在ABC △中，50 B ∠=?，CD AB ⊥于点D，BCD ∠ 和BDC ∠的角平分线相较于点E，F为边AC的中点，CD CF =，则ACD CED ∠+∠= （） A．125°B．145°C．175°D．190° 2. 与线段长度相关的辅助线 （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2020 年中考数学几何辅助线添加技巧几种辅助线添加技巧
中考数学几何辅助线添加技巧 当然添加辅助线的方法很多，不可能全都枚举全，但文中所列举的方法确实是最常用的方法，值得推荐： 辅助线对于同学们来说都不陌生，解几何题的时候经常用到。当题目给出的条件不够时，我们通过添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这便是辅助线的作用。一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解。所以我们要学会巧妙的添加辅助线。 一、添辅助线有二种情况： 1.按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线（还可以利用等腰三角形顶角的外角是底角的两倍添加辅助线）。 2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： (1)平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线。 (2)等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）。 (3)等腰三角形中的重要线段（即三线合一线，往往是加高用中点）是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形（这个图形很重要！）中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带
全等三角形辅助线技巧
注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后， 还要注意一些较难的一些证明问题， 只要构造合适 的 全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了?下面举例说明几 种常见的构造方法，供同学们参考. 1 ?截长补短法 例1.如图（1）已知：正方形 ABCD 中, 求证：AB+BE=AC 由已知△ AEF ^A AEC, ???/ F=Z ACE=45）, ??? BF=BE ?- AB+BE=AB+BF=AF=AC 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB,由已知 △ ABE BA AGE, ? EG=BE, / AGE=Z ABE,： / ACE=45o, ? CG=EG, ? AB+BE=AG+CG=AC 2 .平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt △,有时可作出斜边的中线. 例 2. △ ABC 中，/ BAC=60 , / C=40° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P , BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q , 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（1），过 O 作 OD// BC 交 AB 于 D , ?/ ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80°，又???/ AQO=/ C+/ QBC=80°, ???/ ADO=/ AQO ，又I/ DAO=/ QAO , OA=AO, ? △ ADO BA AQO ,「. OD=OQ , AD=AQ ，又T OD / BP, ? / PBO=/ DOB ，又 T/ PBO=/ DBO, ?/ DBO=/ DOB , ? BD=OD,「. AB+BP=AD+DB+BP 解法（一） （补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC F
全等三角形常用辅助线做法
全等三角形常用辅助线做 法 This manuscript was revised on November 28, 2020
五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考． 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC， CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。 求证：CD=AD+BC。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 ∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。 又∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4。 在△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE（ASA）， ∴DF=DA，
全等三角形经典辅助线做法汇总
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答 案） 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之 间的相等 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。 1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题 2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3. 角平分线在三种添辅助线 4. 垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从 角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形， 或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
三角形中做辅助线的技巧
三角形中做辅助线的技巧口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。 例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证：∠ADC+∠B=180? 例2． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BA C 的平分线也经过点P 。 练习： 1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15?，PC//OA ，PD ⊥OA ， 如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。 3.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90?,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作F H//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。 （三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。 例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH= 2 1 （AB-AC ） 分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。 图2-3 B 图2-6 E C D B
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法
A E D F C B A 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 “对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模 式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利 用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延 长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一 对全等三角形。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A 1、以ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=?连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是， 线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 D C B
三角形添加辅助线技巧
第四讲·三角形添加辅助线技巧 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 （一）作平行线 作平行线,构造全等三角形 1、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 边上，E 在AC 边的延长线上，DE 交BC 于点F ，BD=CE ，求证：DF=EF. 2、如图，已知OP 平分∠AOB ，C ，D 分别在OA 、OB 上，若∠PCO+∠PDO=180°， 求证：PC=PD. 证明：过P 做PE 垂直于OA 于E,过P 做PF 垂直于OB 为 F O 3、已知：如图，在△ABC 中，AB=2AC ，∠1=∠2，AD=BD ，求证：CD ⊥AC. D C B 证明：过D 作DM ⊥AB ，垂足为M, 因为AD=BD, 所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC, 所以AC=AM, 因为AD 平分∠BAC ， 所以∠1=∠2，
在△ADC 和△ADM 中, AC=AM, ∠2=∠1, AD 为公共边， 所以△ADC ≌△ADM, 所以∠ACD=∠ADM=90, 即:CD ⊥AC (三)倍长中线, 构造中位线 相等线段的倍长也等,借助中点作平行线,构造中位线,利用中位线的性质求解 4、已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF. B C 延长AD 交BM 于M 点 因为D 为BC 的中点 所以ABMC 为平行四边形 所以BM=AC 因为BE=AC 所以BE=BM 所以角BEM=角BME 因为 BM//AC 所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角) 所以AF=EF 5、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. C A