相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新

相似三角形添加辅助线的方法举例

例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2

＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE

（1）如果AB CE ⊥

，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；

（2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求

的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，

AD AF 31=

，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．

例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．

例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB =

．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案

例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2

＝2CD ·AC ．

分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证

CD BC =

2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．

证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ，

∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ，又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴

BC AC CE BC =， ∴BC

CD BC =2 ∴BC 2

＝2CD ·AC ．

证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°，又∵BD ⊥AC ．

∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，

B C

∴∠E=∠DBC ， ∴△EBC ∽△BDC ∴

BC CE CD BC =即BC

CD BC 2=

∴BC 2

＝2CD ·AC ．证法三（构造BC 21）：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 2

．又∵AB=AC ，

∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．

∴BC AC CD CE =即BC

AC CD BC

=21

． ∴BC 2

＝2CD ·AC ．证法四（构造

BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 2

． ∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ， ∴∠EDC=∠C

又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ． ∴

EC AC CD BC =J 即BC AC CD BC 2

． ∴BC 2

＝2CD ·AC ．

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．

例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥

，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；

（2）设BCE ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AE

的值（1）设k AE =，则k BE 3= 解法1

如图，延长BA 、CD 交于点F

BC AD //，AD BC 3=， ∴AF BF 3= ∴k AF 2=，E 为BF 的中点又BF CE ⊥ CF BC =，又BF CF = ∴B C F ?为等边三角形故?=∠60B

解法2

如图

作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE ⊥，得平行四边形ABFD 同解法1可证得CDF ?为等边三角形故?=∠=∠601B 解法3

如图

作EC AF //交CD 于G ，交BC 的延长线于F 作AB GI //，分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE ⊥，得矩形AEHG

CE AF // ∴

3==AE

CF BC ，又AD BC 3= ∴AD CF =，故G 为CD 、AF 的中点

以下同解法1可得CGI ?是等边三角形故?=∠=∠601B 解法4

如图，

作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且AB FG ⊥

读者可自行证得ABF ?是等边三角形，故?=∠60B 解法5 如图

延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD

可证得A 为FD 的中点，则k AH 2=，故?=∠601

得ABG ?为等边三角形，故?=∠60B

解法6

如图（补形法），

读者可自行证明CDF ?是等边三角形，得?=∠=∠60F

（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设S S BCE 3=?，则S S AECD 2=四边形解法1（补形法）如图

补成平行四边形ABCF ，连结AC ，则AD DF 2= 设x S ACD =?，则x S S ACE -=?2，x S CDF 2=? 由ACF ABC S S ??=得， x x x s s 223+=-+，∴s x 4

解法2

（补形法）如图，延长BA 、CD 交于点F ，

=??ABC FAD S S ∴s S FAD 85=

?，s s s S FEC 8

285=+=?，又s S EBC 3=? 设m 8=BE ，则m 7=EF ，m 15=BF ，m 5=AF

∴m 2=AE ，∴4==AE BE

解法3（补形法）如图

连结AC ，作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC

则FAD ?∽ABC ?，故AF AB 3=（1）

ACF ACD S S ??=，FEC AECD S S ?=四边形

故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==（2）由（1）、（2）两式得AE BE 4= 即

4=AE

解法4（割补法）如图连结

A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则AD

CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=，∴s S S ABCD ABG 5==?梯形

∴

53h BG h BC S S ABG

EBC ????==

??，又43=BG BC ∴

5421=h h ，∴54=AB BE ，故4=AE

BE 说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.

例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31

，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．

解法1：延长FE 交CB 的延长线于H ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴

BC AD //，∴ ∠H=∠AFE ，∠DAB=∠HBE

又AE=EB ，∴ △AEF ≌△BEH ，即AF=BH ，

∵

AD AF 31=

，∴ BC AF 31=，即CH AF 41

=．

∵ AD ∥CH ，∠AGF=∠CGH ，∠AFG=∠BHE ，∴ △AFG ∽△CGH ．∴ AG ：GC=AF ：CH ， ∴ AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5．

解法2：如图4—2，延长EF 与CD 的延长线交于M ，由平行四边形ABCD 可知，

DC AB //，即AB ∥MC ，

∴ AF ：FD=AE ：MD ，AG ：GC=AE ：MC ． ∵ AD AF 31

，∴ AF ：FD=1：2，

∴ AE ：MD=1：2．

∵

DC AB AE 21

21==

．∴ AE ：MC=1：4，即AG ：GC=1：4，

∴ AG ：AC=1：5

例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 解析：取CF 的中点G ，连接BG ．∵ B 为AC 的中点， ∴ BG ：AF=1：2，且BG ∥AF ，又E 为BD 的中点， ∴ F 为DG 的中点． ∴ EF ：BG=1：2．

故EF ：AF=1：4，∴ AF ：AE=4：3．

例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．解法1：过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ， ∵ O 是AC 中点，OM ∥CB ，

∴ M 是AB 的中点，即

a MB 21

，

∴ OM 是△ABC 的中位线，

b BC OM 2121==

，

且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．

∴ △BEF ∽△MOE ，∴EM BE

BF =

，即c

b BF +=

221，∴

c a bc BF 2+=. 解法2：如图4-8，延长EO 与AD 交于点G ，则可得△AOG ≌△COF ，

∴ AG=FC=b-BF ，∵ BF ∥AG ，∴AE BE AG BF =．即c a c

BF b BF +=

-， ∵ c a c b

BF 2+= ∴ c a bc

BF 2+=. 解法3：延长EO 与CD 的延长线相交于N ，则△BEF 与△CNF 的对应边成比例，即

CN BE

CF BF =．解得

c a bc

BF 2+=

例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：

CD BD

AC AB =．分析 1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．

证法1：如图4—9，过C 点作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ．

在△BCE 中，∵ DA ∥CE ，∴ AE BA

BD =

① 又∵ CE ∥AD ，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ， ∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，

∴ AC=AE ．代入②式得

AC AB

DC BD =．分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2：如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3． ∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3．于是EA=ED ．

又∵DC BD EA BE =，∴ EA BE ED BE AC AB ==，∴

CD BD

AC AB =. 分析3 欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．

证法3：如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ． ∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E ，AB=BE ．

又∵AC BE DC

BD =，∴ CD BD

AC AB =

. 分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D 分别作AB 、AC 的平行线，构造相似三角形求证．证法4 如图4—12，过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．易证四边形AEDF 是菱形．则 DE=DF ．

由△BDE ∽△DFC ，得

DE BE

DF BE DC BD ==．又∵ AC AB DE

BE =，∴ DC BD

AC AB =

相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新

相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2 ＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2 ＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ，又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ．证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°，又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C

〖数学专题〗北师大版九年级数学上专题(十一)含答案：相似三角形中的辅助线作法归类

思维特训(十一)相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进行有关的计算找到等量关系．作辅助线的方法主要有以下几种： (1)作平行线构造“A”型或“X”型相似；(2)作平行线转换线段比；(3)作垂直证明相似．图11－S－1 类型一作平行线构造“A”型或“X”型相似 1．如图11－S－2，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB 延长线上一点，OE交BC于点F，若AB＝a，BC＝b，BE＝c，求BF的长．图11－S－2 2．如图11－S－3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD 于点E，交AB于点F. 求证：AE DE＝ 2AF BF.

图11－S －3 3．在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11－S －4，在△ABC 中，D 是BA 延长线上一动点，点F 在BC 上，且CF BF ＝1 2 ，连接DF 交AC 于点E . (1)如图①，当E 恰为DF 的中点时，请求出AD AB 的值； (2)如图②，当DE EF ＝a (a ＞0)时，请求出AD AB 的值(用含a 的代数式表示)．思考片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F 作FG ∥AB 交AC 于点G ，构造相似三角形解决问题；乙：过点F 作FG ∥AC 交AB 于点G ，构造相似三角形解决问题；丙：过点D 作DG ∥BC 交CA 的延长线于点G ，构造相似三角形解决问题．老师说：“这三位同学的想法都可以”．请参考上面某一种想法，完成第(1)问的求解过程，并直接写出第(2)问中AD AB 的值．图11－S －4

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AE BE 的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交 B C D

AC 于G ．求AG ：AC 的值．例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证： CD BD AC AB ．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1：已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ，创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ，又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． D E B C D

专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题

《全等三角形》辅助线做法总结图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、截长补短法（和，差，倍，分）截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换）补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换）例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD．二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。三、延长已知边构造三角形例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O

四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等）例如：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180。五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等）例如：1如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。（三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半） 2，已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。 3，如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆：遇到两组线段相等，可试着连接垂直平分线上的点）例如：在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC,D 为△ABC 外一点，且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长线于E,求证：DE=AE+BC 。七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”） A D B C C A E B D

全等三角形中常见辅助线的添加方法

全等三角形中常见辅助线的添加方法举例一．有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4，求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图

四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。求证：AB －AC ＞PB －PC 。五、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。八、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB

全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 ∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，

全等三角形辅助线经典做法习题 (1)

全等三角形证明方法中辅助线做法一、截长补短通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.

3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明. 4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由. 5.(德州中考)问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2 1 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5=

例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：（证明：过点C作CG//FD交AB于G）例3：如图，△ABC中，AB

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习：已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想）例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB

初中数学全等三角形辅助线技巧

例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

相似三角形添加辅助线得方法举例例１:已知:如图,△ABC中,AＢ＝AC,BD⊥AC于D. 求证: BＣ2＝2CD·AC、例2.已知梯形中,,,就是腰上得一点,连结 (1)如果,,,求得度数; (２)设与四边形得面积分别为与,且,试求得值例3。如图４-1,已知平行四边ABCD中,E就是AB得中点,,连E、Ｆ交AC于G.求ＡＧ:ＡC得值. 例4、如图4—5,B为AC得中点,E为BD得中点,则AＦ:AE=_＿＿___＿____。例5、如图４—7,已知平行四边形ＡＢＣD中,对角线ＡC、ＢＤ交于O点,E为AB延长线上一点,OE交BＣ于F,若AＢ=a,ＢＣ=b,ＢE＝c,求BF得长. 例6、已知在△ＡBC中,ＡＤ就是∠BAC得平分线、求证:.

相似三角形添加辅助线得方法举例答案例１: 已知:如图,△A ＢC 中,A Ｂ=AC,BD ⊥AC 于D. 求证: B Ｃ2＝２ＣD ·AC. 分析:欲证ＢC 2＝２ＣD ·ＡC,只需证.但因为结论中有“２”,无法直接找到它们所在得相似三角形,因此需要结合图形特点及结论形式,通过添加辅助线,对其中某一线段进行倍、分变形,构造出单一线段后,再证明三角形相似.由“2”所放得位置不同,证法也不同、证法一(构造2C Ｄ):如图,在ＡＣ截取ＤE ＝D Ｃ, ∵BD ⊥AC 于D, ∴B Ｄ就是线段ＣE 得垂直平分线, ∴ＢC ＝ＢE,∴∠C ＝∠B ＥC, 又∵ ＡB ＝AC, ∴∠C ＝∠A ＢC. ∴ △BCE ∽△ACB. ∴, ∴ ∴BC ２＝2C Ｄ·A Ｃ. 证法二(构造2AC):如图,在ＣＡ得延长线上截取AE=AC,连结BE, ∵ AB=ＡC, ∴ AB=ＡC=AE. ∴∠E ＢＣ=９0°, 又∵BD ⊥ＡC 。 ∴∠EBC=∠BD Ｃ=∠EDB=90°, ∴∠E=∠DBC, ∴△EB Ｃ∽△BDC ∴即 ∴B Ｃ２ =2CD ·AC 。证法三(构造) :如图,取ＢC 得中点Ｅ,连结A Ｅ,则EC=、又∵AB=AC, ∴AE ⊥BC,∠AC Ｅ=∠C ∴∠AEC=∠BD Ｃ＝90° ∴△ACE ∽△BCD 、 ∴即. ∴ＢC ２＝2CD ·A Ｃ、证法四(构造):如图,取B Ｃ中点Ｅ,连结ＤE,则CE= . ∵BD ⊥AC,∴ＢE=ＥC=EB, ∴∠EDC ＝∠C 又∵A Ｂ=AC,∴∠ABC=∠C, ∴△ＡBC ∽△ED Ｃ、 ∴J 即。 ∴BC 2=2ＣＤ·AC. 说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔. 例2。已知梯形中,,,就是腰上得一点,连结 (1)如果,,,求得度数; (２)设与四边形得面积分别为与,且,试求得值 (1)设,则 E

全等三角形经典辅助线做法汇总

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。 1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3. 角平分线在三种添辅助线 4. 垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

A E D F C B A 全等三角形问题中常见的辅助线的作法全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 “对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形． 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. E D C B A 1、以ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=?连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短 D C B

全等三角形_辅助线做法讲义

全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一——倍长中线【夯实基础】例：ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC 方法1：作D E ⊥AB 于E ，作D F ⊥AC 于F ，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中方式1：延长AD 到E ， AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD 【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 C D A B D A B C E D A B C F E D C B A N D C B A M F E D A B C F E C A B D

例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC 2、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 3、已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD 第 1 题图 A B F D E C E D A B C F E A B C D 第 14 题图 D F C B E A D A B M T E

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲相似三角形中的辅助线及动点在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：、作平行线例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB

例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。例6?如图，https://www.360docs.net/doc/079742866.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF

四、作中线例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C

相似三角形中的辅助线归纳总结

相似三角形中的辅助线在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，?ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证： BF CF BD CE = B D A C F E 证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G F ∴ = AD AG AE AC 又 AD AE =，∴=AG AC ∴=DG CE GC DF //，∴= BD DG BF CF ∴= BD CE BF CF 小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例2. 如图，△ABC 中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EF AB AC EF DF ?=?=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。 ∴ =?=?EM AB EC AC EM AC AB EC 即， ∴= AB AC EM EC 同理可得??EMF DBF ~ ∴ =EF DF EM BD ，又， BD EC EM EC EM BD =∴= （为中间比），EM BD ∴=AB AC EF DF ， ∴?=?AB DF AC EF 方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N

八年级上教案全等三角形辅助线作法》

全等三角形常用辅助线作法一、倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 1、基本模型：（1） D A B C △ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE E D A B C 方式2：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接BE F E D C B A

E D F C B A D C B A 方式3：延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CD N D C B A M 经典例题例1、（核心母题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. E D C B A

变式练习 1、如图，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB=∠ABC ，求证：CD=2CE 。 2、已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 。 3、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 。 4、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠。 F E C A B D F E D A B C 第 1 题图 A B F D E C

中考相似三角形之常用辅助线

中考相似三角形之常用辅助线 Revised on November 25, 2020

相似三角形添加辅助线的方法举例(有规范标准答案).docx

.\ 相似三角形添加辅助线的方法举例例1：已知：如图，△ ABC 中， AB＝ AC， BD⊥ AC 于 D．求证： BC2＝ 2CD· AC． A D B C 例 2．已知梯形ABCD 中， AD // BC ， BC 3AD ， E 是腰 AB 上的一点，连结CE （ 1）如果CE AB ， AB CD ， BE 3AE ，求 B 的度数；（ 2）设BCE 和四边形 AECD 的面积分别为S1和 S2，且 2S13S2，试求BE 的值AE 例 3．如图 4-1，已知平行四边 AF 1 AD ABCD中， E 是 AB 的中点，3，连E、F交AC于G．求AG：AC 的值．

.\例4、如图 4—5， B 为 AC 的中点， E 为 BD 的中点，则 AF：AE=___________. 例 5、如图 4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC、 BD 交于 O 点， E 为 AB 延长线上一点，OE 交 BC 于F，若 AB=a， BC=b， BE=c，求 BF 的长． AB BD 例 6、已知在△ ABC 中， AD 是∠ BAC的平分线．求证：AC CD ．

相似三角形添加辅助线的方法举例答案例 1：已知：如图，△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC 于 D ．求证： BC 2＝ 2CD · AC ．分析：欲证 BC 2 ＝ 2CD ·AC ，只需证 BC AC ．但因为结论中有“ 2”，无法 2CD BC 直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由 “ 2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造 2CD ）：如图，在 AC 截取 DE ＝ DC ， ∵ BD ⊥ AC 于 D ， ∴ BD 是线段 CE 的垂直平分线， ∴ BC=BE ，∴∠ C=∠ BEC ，又∵ AB ＝ AC ， ∴∠ C=∠ ABC ． ∴ △BCE ∽△ ACB ． ∴ BC AC ， ∴ BC AC B CE BC 2CD BC ∴ BC 2＝ 2CD · AC ．证法二（构造 2AC ）：如图，在 CA 的延长线上截取 AE ＝ AC ，连结 BE ， ∵ AB ＝ AC ， ∴ AB ＝ AC=AE ． ∴∠ EBC=90°，又∵ BD ⊥ AC ． ∴∠ EBC=∠ BDC=∠ EDB=90°， ∴∠ E=∠ DBC ， ∴△ EBC ∽△ BDC ∴ BC CE 即 BC 2 AC CD BC CD BC ∴ BC 2＝ 2CD · AC ． 1 BC ）：如图，取 1 BC ．证法三（构造 BC 的中点 E ，连结 AE ，则 EC= 2 2 又∵ AB=AC ， ∴ AE ⊥BC ，∠ ACE=∠ C ∴∠ AEC=∠ BDC=90° ∴△ ACE ∽△ BCD ． .\ A D B C A E D C E A D B C A ∴ CE 1 BC AC ． D AC 即 2 B E C CD BC CD BC ∴ BC 2＝2CD · AC ． A 证法四（构造 1 1 BC ． BC ）：如图，取 BC 中点 E ，连结 DE ，则 CE= 2 2 ∵ BD ⊥ AC ，∴ BE=EC=EB ， ∴∠ EDC=∠ C 又∵ AB=AC ，∴∠ ABC=∠ C ， ∴△ ABC ∽△ EDC ． D B E C