江苏省盱眙县新马中学2012-2013学年高一下学期期初检测数学试题

新马中学2012-2013学年高一下学期期初检测数学试题

一、填空题

1．已知ABC ?中，3

sin ,2,3===B AC AB ；则符合条件的三角形有个。 2．6

)212(x

x +

的展开式中的常数项是（用数学除答） 3．数列{}n a 中，已知+

+∈+++==N n a a a a a n n ),(2

1,22111 ，则{}n a 的前n 项和

n S =______________

4．按如图所示的程序框图运算，若输出k 的值为2，则输入x 的取值范围是；

5．已知椭圆22

x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+|2PF |的取值范围为_______，直线

0012

x x

y y +=与椭圆C 的公共点个数_____。 7．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为

22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 8．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,73tan =C ,

15=

?ABC S , 9=+b a ,则=c ___________

开始 0k = 32x x =-

1k k =+ 结束

输入x

是否

输出x , k 244?x >

9．已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值是。

10．已知函数22,1()1log ,12x x f x x x -?≤?

=?+>??，则满足()1f x ≥的x 的取值范围为。

11．已知双曲线C ：15

2=-y x 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于两点,A B ，若5=AB ，则满足条件的l 的条数为。

12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

。

13．有下列叙述

①集合(2,21)(4,5),[2,3]A m m B m =+-?=∈则 ②两向量平行，那么两向量的方向一定相同或者相反

③若不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是32, 2?

?-???

④对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕如下：

当m ，n 奇偶性相同时， m ⊕n =+m n ；当m ，n 奇偶性不同时，m ⊕n =mn ，在此定

义下，集合++{(,)|=12,,}15M a b a b a N b N =⊕∈∈中元素的个数是个. 上述说法正确的是____________

14．如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α?.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .

15．下列结论：

①已知命题p ：1tan ,=∈?x R x ；命题q ：.01,2>+-∈?x x R x 则命题“q p ?∧”是假命题； ②函数1

x x y 的最小值为21且它的图像关于y 轴对称； ③“a b >”是“22a b

>”的充分不必要条件；

④在ABC ?中，若sin cos sin A B C =，则ABC ?中是直角三角形。

⑤若4tan 2,sin 25

θθ==

则；其中正确命题的序号为。（把你认为正确的命题序号填在横线处）

二、解答题

16．设抛物线2

4(0)y px p =>的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作直线l 交抛物线于

A B ，两点．若直线l 的斜率依次取2n p p p ，，，时，线段AB 的垂直平分线与对称轴的交

点依次为12n N N N ，，

，，当01p <<时，求12231

111

n n S N N N N N N +=++++ 的值．

17．一木块如图所示，点P 在平面VAC 内，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和

AC ，应该怎样画线？

B A C

18．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C ⊥底面ABC ,11

2AA AC AC ===, AB BC =,且,AB BC O ⊥为AC 中点.

(I)证明:1

AO ⊥平面ABC ; (II)求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值;

(III)在1BC 上是否存在一点E ,使得//OE 平面1A AB ,若不存在,说明理由;若存在,确定点E 的位置.

19．如图，已知曲线31:(0)C y x x =≥与曲线32:23(0)C y x x x =-+≥交于点,O A .直线

(01)x t t =<<与曲线12,C C 分别相交于点,B D .

（Ⅰ）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系()S f t =；（Ⅱ）讨论()f t 的单调性，并求()f t 的最大值.

19题图

20．画出函数π()2sin 24f x x ?

?=- ??

?在一个周期内的图像．

21．已知函数()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+(其中0a >) ,点

1,1(()),A x f x 22(,()),B x f x 33(,())C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点,且2132x x x =+.

(1)证明: 函数()f x 在R 上是减函数；

(2)求证：⊿ABC 是钝角三角形;

(3)试问,⊿ABC 能否是等腰三角形?若能,求⊿ABC 面积的最大值;若不能,请说明理由．

参考答案

一、填空题 1．2 2．20

3．1

3(2-?n

4．(28,82] 5．)22,2[ 6．

312

7．①⑤ 8．6 9．

10．(,0][2,)-∞+∞ 11．3 12．3 13．3,4

14．

15．①④⑤

16．3

32222

2(1)

12(1)p p p S p p -==

-- 解：当斜率n

n k p =时，2210n n

N p p ????

- ?

?????

，．因为1

1n n n n N N x x ++=-222221

222(1)

11(01)n n n p p p p p p p ++????-=+-+=<< ? ?????

，所以()2131

222112(1)2(1)

n n n n p p p N N p p +-+==-- ，所以11n n N N +??????是以32

2(1)p p -为首项，以2p 为公比的等比数列，且201p <<，故3

32222

2(1)

12(1)

p p p S p p -==--．

17．过平面VAC 内一点P 作直线DE AC //，交VA 于D ，交VC 于E ；过平面VBA 内一点D 作直线DF VB //，交AB 于F ，则DE ，DF 所确定的截面为所求．

18．(I)证明见解析 (II) 21sin 7

θ=

(III) 存在这样的点E,E 为1BC 的中点解：

（1）因为侧面11AAC C ⊥底面ABC ,所以只需证明1

AO AC ⊥即可. （2）可以以O 为原点，ＯＮ，ＯＣ，ＯＡ１所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，然后

用向量的方法求解线面角的问题.

（3）在（2）的基础上也可以用向量来求点E 位置.也可以取BC 的中点M ，连接OM ，取BC 1的中点E ，连接ME ，则OM//AB ，ME//BB 1//AA 1，所以平面OMB//平面AA 1B ，所以OE//平面1A AB .从而确定E 为BC 1的中点.

(Ⅰ)证明:因为11A A AC =,且O 为AC 的中点, 所以1

AO AC ⊥ 又由题意可知,平面11AA C C ⊥平面ABC ,交线为AC ,且1A O ?平面11AA C C , 所以1A O ⊥平面ABC

(Ⅱ)如图,以O 为原点,1,,OB OC OA 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.

由题意可知,11

2,A A AC AC ===又,AB BC AB BC =⊥1

,1,2

OB AC ∴== 所以得:11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,3),(0,1,0),(0,2,3),(1,0,0)O A A C C B -

则有:1

1(0,1,3),(0,1,3),(1,1,0).AC AA AB =-== 设平面1AA B 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则有

A B

C O A

B 1

C x

103000

AA y z x y AB ???=+=??

???

+=??=??? n n ,令1y =,得31,3x z =-=- 所以3

(1,1,)3=--

n 11121

cos ,7|||

A C A C A C ?<>=

n n |n 因为直线1A C 与平面1A AB 所成角θ和向量n 与1A C

所成锐角互余,所以21

sin 7

θ=

(Ⅲ)设0001(,,),,E x y z BE BC λ==

即000(1,,)(1,2,3)x y z λ-=-,得000123x y z λλλ

?=-?

=??

所以(1,2,3),E λλλ=-得(1,2,3),OE λλλ=-

令//OE 平面1A AB ,得=0OE ?

n ,

即120,λλλ-++-=得1

λ=

即存在这样的点E,E 为1BC 的中点

19．解：（Ⅰ）由题意得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）. …………（2分）（一个坐标给1分） f(t)=S △ABD +S △OBD =21|BD|·|1-0|=21|BD|=2

1(-3t 3

+3t)，即f(t)=-

3(t 3

-t)，(0

.…………（8分）

令f ＇(t)=0 解得t=

.…………（10分）当0

33时，f ＇(t)>0，从而f(t)在区间（0，3

3）上是增函数；当

3，1）上是减函数. …………（12分）所以当t=

33时，f(t)有最大值为f(33)=3

.…………（14分）

20．解：

三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线）．五个特殊点的选取．（1）列表如下：

x π

2π π

32π 2π x

38π 58

π 78

π 98

π ()f x

－2

（2）描点、连线（如图3－3－2）

五点法作图的技巧：

函数sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为4

T ，于是五点横坐标依次为12132,,,44

T T

x x x x x ?ω=-

=+=+ ，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得1x 的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像．

21．(1)见解析(2) 见解析(3) ⊿ABC 不可能为等腰三角形

【错解分析】函数历来是高中数学最重要的内容，不仅适合单独命题，而且可以综合运用于其它内容．函数是中学数学的最重要内容，它既是工具，又是方法和思想【正解】

(Ⅰ)()ln(1)(1),x f x a e a x =+-+

(1)()(1)011x x

x x

ae a e f x a e e

-+-'∴=-+=<++恒成立, 所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数.

(Ⅱ) 证明:据题意1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 且x 1f (x 2)>f (x 3), x 2=

1x x + 12123232(,()()),(,()()BA x x f x f x BC x x f x f x ∴=--=--

图3-3-2

12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ∴?=--+--

123212320,0,()()0,()()0x x x x f x f x f x f x -<->->-<

0,(,)2

BA BC B π

π∴?<∴∠∈ 即⊿ABC 是钝角三角形

(Ⅲ)假设⊿ABC 为等腰三角形，则只能是BA BC =

即()()()()()()2

12123232x x f x f x x x f x f x -+-=-+-????????

()()()()2132

21232x x x x f x f x f x f x -=-∴-=-????????

即2132()()()f x f x f x =+

3212132ln(1)2(1)[ln(1)(1)(1)()x x x a e a x a e e a x x ?+-+=++-++ 321222ln(1)2(1)[ln(1)(1)2(1)x x x a e a x a e e a x ?+-+=++-+ 3212ln(1)ln(1)(1)

x x x e e e ?+=++31332122122(1)(1)(1)2x x x x x x x x x e e e e e e e e +?+=++?+=++

3212x x x e e e ?=+ ①而事实上, 3131222x x x x x e e e e ++≥= ②

由于31x

e e <,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾. 所以⊿ABC 不可能为等腰三角形