《用图像表示的变量间关系》word教案 (公开课获奖)2022北师版

用图象表示的变量间关系

一、课标分析

课程标准：

1.探究简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量和变量的意义；

2.结合实例，了解变量的之间关系的三种表示法，能举出简单的实例；

3.能结合图象对简单实际问题中变量关系进行分析。

二、重点、难点

教材分析：本节课的教学内容是让学生通过图象直观地表示变量之间的关系，让学生更加深刻的体会自变量，因变量和图象之间的关系，能够从图象中准确的获取所需要的信息。在教学中引导学生在学习过程中探究三种表示函数的方法它们之间的联系和区别，培养学生的识图能力及根据图像预测能力，语言表达能力，合作交流以及动手操作能力。同时为后期学习函数图像奠定了基础。

课标与教材的关系：在新课标的引领下，我们的教材已注重从书本走向生活；从以教师为主走向以学生为主；从注重知识走向注重活动。在教学中寻找新的视角和切入点，教材不是学生的全部世界，生活与世界是学生的教材。

通过以上分析我认为本节课的重难点是：结合具体情境理解图象上的点所表示的意义；能从图像中获取变量之间关系的信息，感受几何直观的作用，并能用语言进行描述。

过程与方法分析：为了突出重点突破难点，我采用“引导探究式”的教学方法，本节课学生遵循“回顾——抽象——探究——巩固——反思”这样一条学习线索。课堂中注重发挥学生的主观能动性，引导学生从回顾入手，通过抽象生成新知，通过探究发现规律，通过巩固深化新知,通过反思将学习过程升华为数学素养和思维能力。

三、学情分析

【生活经验】学生在七年级上学期已经学习了折线统计图，了解折线统计图的特征，并能准确地绘制折线统计图，会利用折线统计图解决实际问题。在这个基础上，可以利用图象深刻体会变量之间关系。

【知识储备】学生通过前两节课的学习已经清楚变量的含义，并学会用列表和关系式表示变量之间的关系，会利用表格和关系式解决一些实际问题。

【学生发展区】学生虽然对折线统计图有了一定的认识，但是对图象表示变量之间的关系认识还不够系统，也不十分清楚横轴与纵轴之间的内在联系，不能清晰的分析出三种表示方法的优

点和不足。这些都将是我们这节课帮助学生获取的。

预测本班级学生可能达到的程度：

估计有90%的学生能够解决图象中的基本问题；80%的学生能够初步理解图象上的点的具体意义。 策略：①自主学习、视频激趣；②合作探究、教师利用课件讲解突出突破难点。 四、教学目标

知识技能类目标：

1. 经历从图像中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系。

2. 结合具体情境理解图像上的点所表示的意义。

3. 能从图像中获取变量之间关系的信息，感受几何直观的作用，并能用语言进行描述。 过程方法类目标：

通过学生自主复习、合作探究、教师讲解的科学方法，感受自变量与因变量的对应思想，同时体会几何直观的作用。

通过小组汇报，培养学生整理、分析问题的能力，以及帮助学生养成合作、互助的习惯。 情感态度类目标：

通过了解人的体温的变化、艾宾浩斯遗忘曲线让除了让学生感受到数学来源于生活，服务与生活，还能让学生体会及时复习的重要性，提高学习效率。

思维目标：

通过“交流与分享”这个活动培养学生的发散思维，通过“探究活动”培养学生的验证思维。让学生通过充分的思考、交流与表达不断的增强学生的思考力、判断力和辨识力，让学生的思维水平在原有的基础上得到发展。这也是我们稼轩学校个性化思维教学所大力倡导的。

四维目标是一个有机整体，目的都是为了提高学生的数学素养。 五、教学过程 一、构建动场：

1．给定自变量x 与因变量的y 的关系式2

248y x x =-+，填表：

2．假设圆柱的高是5厘米，当圆柱的底面半径由小到大变化时； （1）圆柱的体积如何变化？在这个变化中，自变量、因变量是什么？ （2）如果圆柱底面半径为r(厘米)，圆柱的体积v 可以表示为 . （3）当r 由1厘米变化到10厘米时，v 由 变化到 .

3.观看视频

【设计意图】1、2题为了复习前两节课的内容帮助学生整理回忆前面的知识，充分调动学生已有的知识经验，让学生有一个经验的介入，翻转课堂，把文本学习转变为介入式学习。观看视频一是为了调动学生的兴趣；二是让学生感受数学来源于生活，服务于生活。

二、自主学习

某地某天的温度变化情况如下图示，观察下图回答下列问题：

（1）上午9时的温度是多少？12时呢？

（2）这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？

（3）这一天的温差是多少？从最低到最高温度经过了多少时间？

（4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？

（5）图中的A点表示的是什么？B点呢？

（6）你能预测次日凌晨1时的温度吗？

请说说理由。

（观看微课）

上图表示了温度随时间的变化而变化的情况，它是温度与时间之间关系的图像。图像是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是。

在用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为）上的点表示，用竖直方向的数轴（称为）上的点表示。

【设计意图】引例的目的让学生去体会温度和时间两个变量的关系，通过一系列的问题去体会用图象表示变量之间的关系。丰富学生的课外知识，激发学生学习的兴趣，为本节课的讲解做好进一步的铺垫。并通过利用先进的多媒体手段录制微课，改变以往让学生单调的看课本得出结论的手段，再一次调动学生的积极性，从而引发学生学习的欲望。

三、合作探究

例题：骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。

(1) 一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？

(2) 从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？

(3) 在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？

(4) 你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？其他时刻呢？

(5) A点表示的是什么？还有几时的温度与A点所表示的温度相同？

(6) 你还知道哪些关于骆驼的趣事？与同伴进行交流。

【设计意图】1．通过温度的折线变化图，能够让学生从图象中找到变量并发现变量之间的关系，会利用图象准确回答相关的问题。

2．在导课中学生已经了解了有关骆驼的常识，利用这个折线图，可以让学生进一步巩固变量之间的关系，会利用图象解决实际问题。并清楚图象上的点所表示的内容。

建模：

优点不足表格

关系式

图象

练习：海水受太阳和月亮的引力而产生潮汐现象，早晨海水上涨的现象叫做潮，黄昏上涨叫做汐，合称潮汐。潮汐与人类的生活有密切的关系。下图是某港口从0时到12时的水深情况。

（1）大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少？

（2）大约什么时刻港口的水最浅？深度约是多少？

（3）在什么时间范围内，港口水深在增加？

（4）在什么时间范围内，港口水深在减少？

（5）A,B两点分别表示什么？还有几时水的深度与A

点所表示的深度相同？

（6）说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的.

思考：能否将上述图象不变，而改变两变量的实际意义，设计一个实际问题，使它涉及的两个变量之间的关系符合上面这个图像，小组合作探究这个问题。

扩展阅读：

1、课本p71读一读

2、人的大脑所能记忆的内容是有限的，随着时间的推移，记忆的东西会逐渐被遗忘，德国心理学家艾宾浩斯第一个发现了记忆遗忘规律。他根据自已得到的测试数据描绘了一条曲线（如图），这就是非常有名的艾宾浩斯遗忘曲线，其中竖轴表示学习中的记忆保持量，横轴表示时间。观察图象并回答下列问题：

(1)2时后,记忆保持了多少?

(2)图中点A表示的意义是什么？在哪个时间段内遗忘的速度最快？

(3)有研究表明，如及时复习，一天后能保持98%。根据遗忘曲线，如不复习又怎样? 由此，你有什么感受？

【设计意图】1、数学表格建模是一种数学的思考方法，是运用数学的表格，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"问题的一种强有力的数学手段。让学生更清晰的明白三种表示变量间的关系方法的优点与不足。

2、活动建构教学论倡导以问题为起点，突出学生的探究性学习，突出学生对学习过程的体验与结果表达，从而对学习智慧的生成发挥重要作用。我设计了“思考”“扩展阅读”这个以体验为主的活动，充分让学生动脑、动手、动口，进一步训练学生从图象中获取变量之间关系的信息，感受几何直观的作用，并能用语言进行描述！

通过感受数学图象的神奇，引发学生的思考，让学生有一个思维发展空间，为他们的想象力插上翅膀。让学生了解数学具有无限可能……

36.5

17

12 5 0 T/()C 0

t/h

24 37.5

图

四、综合建模

通过本节课的学习，你有哪些收获和感悟？ （与大家分享） 当堂检测

1. 某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在 ）

2. 正常人的体温一般在C 0

37左右,但一天中的不同时刻不尽相同,如下图反映了一天24小时

内小红的体温变化情况,下列说法错误的是（ ） A.清晨5时体温最低 B.下午5时体温最高

C.这一天小红体温T C 0

的范围是36.5≤T ≤37.5

D.从5时至24时,小红体温一直是升高的 3. 小丽一天中的体温变化情况如图：

(1) 大约什么时候，小丽的体温最高？最高体温约是多少？ (2) 大约什么时候，小丽的体温最低？最低体温约是多少？ (3) 什么时间内，小丽的体温在升高？ (4) 什么时间内，小丽的体温在降低？

4. 一年中，每天日照（从日出到日落）的时间是不同的，下图表示了某地区从1998年1月1日到1998年12月26日的日照时间.

⑴右图描述是哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？

O

y

x

O

x

y

O

y

x

O x

y

⑵哪天的日照时间最短？这一天的日照时间约是多少？

⑶哪天的日照时间最长？这一天的日照时间约是多少？

⑷大约在什么时间段内，日照时间在增加？在什么时间段内，日照时间在减少？

⑸说一说该地一年中日照时间是怎样随时间而变化的。

一年之中第几天作业：必做题 1、知识技能

【拓展延伸】 2、每个同学测量自己一天的体温，并用图象表示出来

“综合建模”从知识、方法和感悟三方面让学生进行反思梳理，基本理念是面向全体学生，

让学生在各方面都有相应的发展。【拓展延伸】学生通过自己做表，对本节知识进行复习和整理，进一步延伸和拓展知识体系和认知体系。

整节课的设计过程中主要把握了三条线索：

流程线：从生活走向数学，从数学走向生活；

知识线：让学生从生活情境入手——获取图象中的信息——利用信息解决新的实际问题——再次

回归生活

情感线：数学来源于生活，服务生活；通过小组合作交流帮助学生养成合作、互助的习惯。关注

科学精神与人文精神的融合，将本节课的教学内容有机融合科学性、人文性和社会性，努力体现

数学推动人类社会发展的重要意义。

理论依据：个性化思维教学理论，活动建构理论以及自主探究、交流合作的高效课堂教学策略为

这堂课提供了强大的理论基础。

第五章反比例函数

一、学生知识状况分析

通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法.

教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.

二、教学任务分析

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念, 是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型, 学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容, 对函数已有了初步的认识, 在此基础上讨论反比例函数, 可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。

教学目标

(一)知识与能力

1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念.

2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.

3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.

(二)过程与方法

1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.

2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.

3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和交流能力.

4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.

(三)情感与价值观

通过本章内容的回顾与思考，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点

本章知识的网络结构体系.

反比例函数的概念.

会作反比例函数的图象，并掌握其性质.

反比例函数的相关应用.

教学难点

利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质.

反比例函数的相关应用.

教学方法

自主探究、合作交流.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，巩固新知；第四环节：交流探讨、收获小结；第五环节：课后作业

第一环节：复习提问，引人入胜

活动目的给学生设置疑问，激发学生的思考和回顾，明确本节课的学习任务。

活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?

学生回答预设：反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。

. 教师引入：下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。

.

第二环节：知识串联，形成体系

活动目的：引导学生对本章的所学的基础知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系，将基础知识网络化，形成本章知识的框架结构体系。

活动过程：

（一）本章知识结构

引导学生构造本章知识结构图。 (可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流)

本章内容框架

活动效果：学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.

注意事项：1. 应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导； 2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。 （二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念. 学生回答预设：

例：当三角形的面积是16 cm 2

时，它的底边a(cm)是这个底边上的高h(cm)的函数. 解：a ＝

h

32. 在上式中，任意给定h 一个值，相应地就确定了一个a 的值.因此a 是h 的函数。所以一般地，如果两变量x ，y 之间的关系可以表示成y=x

k

(k 是常数，k ≠0)的形式,那么称y 是 x 的反比例函数.

（三）说说函数y ＝

x 2和y ＝-x

2

的图象的联系和区别. 联系：(1)图象都是由两支曲线组成； (2)它们都不与坐标轴相交；

(3)它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形. (4)虽然y ＝

x 2和y=-x

2

的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2.

区别：(1)它们所在的象限不同，y=x 2的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-x

2

的两支曲线在第二象限和第四象限. (2)y ＝

x 2的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小；y=-x

2

的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大.

（四）回顾反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质

画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.

反比例函数图象的性质有（课件演示）： 1.形状：反比例函数的图象是两支双曲线.

2.位置：当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.

3.增减性：当k>0时.在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y 随x 的增大而增大.

4.因为在y=

x

k

(k ≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交.

5.在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P ，Q 分别作x 、轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2则S 1＝S 2

6.对称性： 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.

第三环节：例题精练，巩固新知

活动目的：使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。 活动过程：课件展示

例一

1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的是哪些 ( )

(1)y=

x 31 (3)y=x 2.0 (2)y= x

10 (4)y=-x 1007

2.在函数y ＝x

3

的图象上任取一点P ，过P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少?

分析：根据反比例函数图象的性质，当k ＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y ＝

x

31

中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=x

31

的形式。

答案：1.图象位于第一、三象限的有(1)(2).在其图象所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有(3)(4).

2. S=｜k ｜=

3. 例二

1.一个圆台物体的上底面积是下底面积的4

1

，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200 Pa ，倒过来放，对桌面的压强是多少?

2.一定质量的CO 2，当体积v ＝5米3

时.它的密度ρ＝1.98千克／米3

，求(1)ρ与v 的函数关系式；(2)当v=9米3

时，CO 2的密度.

分析：压强p 、受力面积S 、压力F 三者之间的关系为p=S

F

，因为是同一物体，所以F 是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不同. 质量m 、密度ρ、体积v 三者之间的关系为：ρ=

v

m ，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3

,可知质量m ，实际代表已知反比例函数中的k ，求出m ，就确定了反比例函数的关系式. 答案：

解：1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p 1＝S

F

＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p 2＝

S F

S F 44

1

＝800Pa. 2.设CO 2的质量为m 千克，将v=5米3

，ρ=1.98千克／米3

代入公式ρ＝v

m

中，得m=9.9千克.

故所求ρ与v 间的函数关系式为ρ＝

v

9.9. (2)当v ＝9米3

时，ρ=

v

9.9＝1.1(千克／米3

)。 课堂练习 课件演示：

1.对于函数y=

x 2，当x>0时，y_______0，这部分图象在第______象限；对于y ＝-x

2

，当x<0时，y____0，这部分图象在第_____象限.

2.函数y=

x

10

的图象在第____象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而______. 3.根据下列条件，分别确定函数y ＝x

k

的表达式

(1)当x=2时，y ＝-3； (2)点(-3

1,21-

)在双曲线y ＝x k

上.

答案：1.> 一、三 < 二、四 2.一、三 减小 3.(1)y=

x

6- (2)y=x 61

；

注意事项：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，避免替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。

第四环节：交流探讨 收获小结

活动内容： 教师引导学生进行回顾和整理，然后通过师生交流和生生交流，回答以下问题：本节课我们都一起回顾和复习了哪些内容？

交流预设： 1.反比例函数概念

2.反比例函数图像的做法及性质

3.反比例函数在生活中的应用

4.做题时要注意数形结合

5.具体题目的解题思路

活动目的：使学生通过再次的回顾和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。

第五环节：课后作业 （一）复习题 （二）活动与探究

反比例函数图象与矩形的面积 若点A 是反比例函数y=

x

k

(k ≠0)图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 垂直于y 轴，垂足为C,则矩形面积S ABOC =｜k ｜.如图(1).

1.如图(2)，P 是反比例函数)y=

x

k

(k ≠O)图象上的一点，由P 点分别向x 轴，y 轴引垂线，得阴影部分(矩形)的面积为3，则 这个反比例函数的表达式______.

2. 如图（3）过双曲线y=

x

2

上两点A 、B 分别作x 轴，y 轴的垂线，若矩形ADDC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1,S 2,则S 1与S 2的关系是_____.

答案：

1.解：由题意得｜k ｜=3.

又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k ＝-3.

∴k=

x

3

-. 2.解：由题意得 S 1=S 2=｜k ｜=2.

（三）补充练习(课件展示）

（四）反比例函数与正比例函数图象性质比较分析

正比例函数y=kx(k ≠0) x

k

y =

(k 为常数，且k ≠0) 关系式

K ＞0

K ＜0

K ＞0

K ＜0

图象

x y

x

y

性质 图象经过点 ，与第 象限。y 随着x 的增大而 。 图象经过点 ，与第 象限。y 随着x 的增大而 。 双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x 的增大而 。 双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着x

的增大而 。

四、板书设计

回顾与思考

一、本章知识结构

二、课堂练习

三、课时小节

四、课后作业

五、教学反思

本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。

函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。