二次根式典型例题复习
二次根式的复习代数式知识结构图:
二次根式典型习题
一、二次根式的定义
1、下列代数式中,属于二次根式的为( )
A 、
B 、
C 、 (a ≥1)
D 、— 2、下列格式中一定是二次根式的是( )
A 7-
B 32m
C 、12+x
D 3b
a
二、二次根式下有关字母的取值范围 3、
4、下列各组二次根式中,x 的取值范围相同的是( )
A 、 与
B 、( )2与
C 、 与
D 、 与
5、如果
2
1
2
1--=
--x x x x ,那么x 的取值范围是( ) A 、1≤x ≤2 B 、1<x ≤2 C 、x ≥2 D 、x >2 61
1x
-是二次根式,则x 的取值范围是 7、式子
3
23+-x x
中x 的取值范围是_______ 三、二次根式的非负性 8、若588+-+-=
x x y ,则xy = _______
9、已知a 为实数,下列四个命题错误的是( )
A .若a
a 2
=1,则a>0 B.若a<0,则
2a —a= —2a
C. 若—
21a = —a
1,则a>0 D.若a ≥—2,则12++a a 有意义
10、化简1
a
- ) A a B 、a C 、a - D a -
4-3x -
1-a 2-x 1+x x 2x
12+x 22+x 1-x x
1
四、2
a a =的理解 11、
12、化简2
)21(-的结果是( )
A 、21-
B 、12-
C 、)12(-±
D 、)21(-±
13、若2)3(-a =3—a ,则a 的取值范围是______________ 14、若2x +1+|y +3|=0,则(x +y)2 的值为( ) A .52
B .-52
C .72
D .-72
五、实数范围因式分解
15、把下列各式写成平方差的形式,再分解因式:
16、在实数范围分解因式:x 2—23x+3=___________________ 2x 2-4=_______________ 六、最简二次根式 17、
18、下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A 、a 16 B 、b 3 C 、
a
b
D 、45 19、二次根式
2
1,12,2
22,40,2,30y x x x ++中最简二次根式是____________ 20、下列根式中,能合并的是( ) A .xy 和
2xy B. 3a a 与
a
1
C.xy 与2x
D. a 与3a
七、二次根式的计算 21、若
b
a b
a =成立,则————————————————( )
0.
0.
;0,0.;0,0.≥>>≥≥≥b
a
D b
a C
b a B b a A
22、下列计算中,正确的是( )
A 、3232=+
B 、3936==+
C 、35)23(3253--=-
D 、72
572173=-
23、计算:(1)、315.01812+-- (2)、)65153(102
1-?
(3)、)2463)(2463(+- (4)、)35)(15()25(2
+++-
(5)、6130
)183)(212+-+ (6)、(32
1)126432÷-
(7)、35
3
1533420?÷? (8)、)75312(3+
24、(1)若正三角形的边长为25,则这个正三角形的高是_____________面积为________________
(2)若正三角形的边长为a ,则这个正三角形的高是_____________面积为________________
25、
八、化简求值
26、先简化,再求值:x x x 1
112
-÷??
? ??+,其中2=x
27、先简化,再求值:其中
28、先化简,再求值:222
11()x y x y x y x y +÷-+-,其中1,1x y ==
九、二次根式与乘法公式 29、已知:)57(2
1+=x ,)57(21
-=y 求代数式22y xy x +-值
30、已知,32,23+=-=b a 求22ab b a -的值
31、已知55,求下列各式的值; (1)x 2-2xy+y 2 , (2)x 2-y 2; 32、 33、
34、已知x+y= —5,xy=3,求y
x
x y 的值
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二次根式知识方法题型总结
?- a(a < 0) 再根据具体情况判断是否需要讨论 a 2 = a = ? . b = 学习必备 欢迎下载 二次根式知识方法题型总结 一、本章知识内容归纳 1.概念: ①二次根式——形如 的式子;当 时有意义,当 时无意义; ②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式; ③同类二次根式—— 的二次根式; 2.性质:① a ≥ 0(a ≥ 0) 非负性; ② ( a ) 2 = a(a ≥ 0) ; ③ ?a(a ≥ 0) (字母从根号中开出来时要带绝对值 ) 3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式,且无可合并的同类二次根式 ①乘法和积的算术平方根可互相转化: a ? b = ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ; ②除法和商的算术平方根可互相转化: a a b (a ≥ 0, b > 0) ③加减法:先化为最简二次根式,然后合并同类二次根式; ④混合运算:有理式中的运算顺序,运算律和乘法公式等仍然适用; ⑤乘法公式的推广: a ? a ? a ........ ? a =a ? a ? a ....... ? a (a ≥ 0,?a ≥ 0,..... ? a ≥ 0) 二、本章常用方 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 n 法归纳 方法 1.开方 ①偶数次方: a 2n = a n ; ②奇数次方: a 2n +1 = a n ? a 方法 2.分母有理化: ①概念:分母有理化就是通过 使得 其中 叫做该分母的有理化因式; ②常用的有理化因式: a 与 a 、 a + b 与 a - b 、 a + b 与 a - b 互为有理化因式; ③分母有理化步骤: 先将二次根式尽量化简,找分母最简有理化因式; 将计算结果化为最简二次根式的形式。 方法 3. 非 0 的二次根式的倒数
《二次根式》典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义: 【例1】下列各式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A B C D 2______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z*X*X*K ] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x >3 ??B 、x≥3 C 、 x>4 ??D 、x ≥3且x ≠4 有意义的x的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y =5-x +x -5+2009,则x+y = 举一反三: 2 ()x y =+,则x -y的值为( )
A .-1 B .1 C.2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求x y的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是a,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ,小数部分为y,求y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 2、已知y x ,为实数,且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A .3 ? B .– 3? C.1? D.– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 (公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C、2a —4 D 、4
人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 二次根式(提高) 责编:常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进 行计算和化简. 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ; 2.; 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2()(0a a a =≥). 2.2a 与2()a 要注意区别与联系:1)a 的取值范围不同,2()a 中a ≥0,2a 中a 为任意值. 2)a ≥0时,2()a =2a =a ;a <0时,2()a 无意义,2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1.当x 是__________时, +在实数范围内有意义? 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意,得23010≥①≠②x x +??+?
由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时,+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三: 【变式】(2015?随州)若代数式11x x +-有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示:∵代数式 +有意义, ∴, 解得x ≥0且x ≠1. 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件,求字母x 的取值范围: (1) ; (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三: 【:二次根式及其乘除法(上)例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1)y=x --1 1+x ,___________________;(2)y=222+-x x ,______________________; 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥,≤且 (2)22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. (2016?潍坊)实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+ 的结果是( ) A .﹣2a +b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 【思路点拨】直接利用数轴上a ,b 的位置,进而得出a <0,a ﹣b <0,再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案.
(完整版)二次根式经典题型分类复习
二次根式复习 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>
常考题型: 题型一、形如: 若见到“a 为二次根式”或“a 有意义”,则马上可以得到 a≥0 例1、式子1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≥1 C .x ≤-1 D .x <-1 变式1、要使式子 有意义,则x 的取值范围是( ) A .x >0 B .x≥﹣2 C .x≥2 D .x≤2 变式2、若代数式 1 x x -有意义,则实数x 的取值范围是( ) A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 变式3、式子 有意义的x 的取值范围是( ) A . x≥﹣且x≠1 B . x≠1 C . D . 题型二、二次根式的运算(加减乘除)b a ab ?=(a≥0,b≥0)b a b a = (a≥0,b>0) 基础练习1、实数0.5的算术平方根等于( ). A.2 B.2 C. 22 D.2 1 基础练习2、16的算术平方根是( ) A. 4± B. 4 C. 2± D. 2 例1、下列运算正确的是( ) A . x 6+x 2=x 3 B . C . (x+2y )2=x 2+2xy+4y 2 D . 例2、计算1 489 3 -的结果是( ) (A)3-. (B)3. (C)11 33 - . (D) 11 33 . 例3、下列计算正确的是( ) . 4 B . C . 2 = D . 3 例4、下列各式计算正确的是( ) A . 3a 3+2a 2=5a 6 B . C . a 4?a 2=a 8 D . (ab 2)3=ab 6
初三数学二次根式经典习题
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1);2-x (2)121+-x (3)x x -++21 (4)45++x x (5)1 213-+-x x (6)若1)1(-=-x x x x ,则x 的取值范围是 (7)若 1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 5..当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=,则22004a -=_____________. 7.若433+-+-=x x y ,则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--,求m 的值. 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ,当0>y 时,m 的取值范围是( ) A 、10< 二次根式知识点复习 【知识点1】二次根式的概念:一般地,我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根 式。二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a 必须是非负数。 例1 下列各式(22211 (1) (2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153 x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2 使x + 1 x-2 有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≥0 B .x ≠2 C .x>2 D .x ≥0且x ≠2. 例3 若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 练习1使代数式 4 3--x x 有意义的x 的取值范围是 练习2若11x x ---2 ()x y =+,则x -y 的值为 例4 若230a b -+-=,则 2 a b -= 。 例5 在实数的范围内分解因式:X 4 - 4X 2 + 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数,下列等式中一定成立的是( ): A 、a 2 +b 2 =a 2 +b 2 ; B 、(a 2 +b 2 )2 =a 2 +b 2 ; C 、( a + b )2= a 2+b 2; D 、(a —b )2 =a —b ; 【知识点2】二次根式的性质: (1)二次根式的非负性,)0(0≥≥a a 的最小值是0;也就是说a ( )是一个非 负数,即)0(0≥≥a a 。 注:因为二次根式)0(0≥≥a a 表示a 的算术平方根,这个性质在解答题目时应用较多,如 若0a b +=,则a=0,b=0;若0a b +=,则a=0,b=0;若2 0a b +=,则a=0,b=0。 (2)2 ()a a =( ) 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非 负数。注:二次根式的性质公式2 ()a a =( )是逆用平方根的定义得出的结论。上 面的公式也可以反过来应用:若,则2)a a =,如: 2 22)= (3) 例7 a 、b 、c 为三角形的三条边,则=--+-+c a b c b a 2 )(____________. 第十六章 二次根式 知识点: 1、二次根式的概念:形如(a ≥0)的式子叫做二次根式。“”= “”,叫做二次根号,简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件:a ≥0; 二次根式没有意义的条件:a 小于0; 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5,求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时,12--x 有意义,当x ______时,3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ,则x 的取值范围是______。 例6、(1)当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? (2)当x 是多少时, 2x 在实数范围内有意义?3x 呢? 3、二次根式的双重非负性: ≥0;a ≥0 。 例1、 已知+ =0,求x,y的值. 例2、 若实数a、b满足 +=0,则2b-a+1=___. 例3、 已知实a满足,求a-2010的值. 例4、 在实数范围内,求代数式 的值. 例5、 设等式=在实数范围内成立,其中a、x、y是两两不同的实数,求的值. 例6、已知9966 x x x x --=--,且x 为偶数,求(1+x )22541x x x -+-的值. 4、二次根式的性质: (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 (1)9=_____ (2)2(4)-=_____ (3)25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ (4)2(3)- =_____ 例3.(1)若2a =a ,则a 可以是什么数? (2)若2a =-a ,则a 是什么数? (3)2a >a ,则a 是什么数? 例4.当x>2,化简2(2)x --2(12)x -. 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0,b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根,等于积中各因式的 算术平方根的积。 , 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0,b >0) 商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 (1)57 (2139(3927 (412 6 例2、化简 (1916?(21681?(3229x y (4)54 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1.下列各式中,不能化简的二次根式是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数;D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9;因此这三个选项都不是最简二次根式.所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求. 【详解】 解:A =,被开方数含有分母,不是最简二次根式; B = ,被开方数含有小数,不是最简二次根式; D =,被开方数含有能开得尽方的因数,不是最简二次根式; 所以,这三个选项都不是最简二次根式. 故选:C . 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; (2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式. 2.下列各式计算正确的是( ) A 1082 ==-= B . ()() 236= =-?-= C 115236==+= D .54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断;根据二次根式的乘法法则对B 进行判断. 【详解】 解:A 、原式,所以A 选项错误; B 、原式=49?=49?=2×3=6,所以B 选项错误; C 、原式=1336=136 ,所以C 选项错误; D 、原式255164=- =-,所以D 选项正确. 故选:D . 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 3.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a |+2(a b )-的结果是( ) A .2a+b B .-2a+b C .b D .2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <,0a b -<,然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简. 【详解】 解:由数轴可知:0a <,0b >, ∴0a b -<, ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+, 故选:B . 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质,根据数轴得出0a <,0a b -<是解题的关键. 4.已知实数a 满足20062007a a a --=,那么22006a -的值是( ) A .2005 B .2006 C .2007 D .2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围,然后去绝对值符号化简,再两边平方求出22006a -的值. 【详解】 ∵a-2007≥0, 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算二次根式知识及典型例题
二次根式知识点及典型例题练习
人教版初中数学二次根式经典测试题及答案
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)