大学物理 上海交通大学14章 课后习题答案

习题14

14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。

解：圆弧在O 点的磁感应强度：

00146I I

B R R μθμπ=

=

，方向：

；

直导线在O 点的磁感应强度：0000

20

3[sin 60sin(60)]4cos60

2I

I

B R R μμππ=

--=，方向：?；

∴总场强：03

1

)

23I

B R

μπ=

-，方向?。

14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。

（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；

（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。

解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：

2

03222

2()

I R B R z μ=

+。

（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：

2

0132

22

2[()]

2P I R B a R x μ=

++， 右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：

2

02

3222

2[()]2P I R B a

R x μ=

+-，

1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向右，

∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=

23302

22222

[()][()]2

22I R a a R x R x μ--?

?++++-??

??；

（2）因为P B 随x 变化，变化率为d B

d x ，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的

磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数：

d B d x 25502222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--??=-++++-+-??

?? 当0x =时，0d B

d x =，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。

对B 求二阶导数：

22()d d B d B

d x d x d x ==

222

057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ??

+-????--+-????

+++++-+-????

当0x =时，20

2x d B d x ==222

072223[()]2a R I R a R μ-+，

可见，当a R >时，20

20

x d B

d x =>，O 点的磁感应强度B 有极小值，

当a R <时，20

2

x d B d x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值，

当a R =时，

20

20

x d B d x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀

强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈

半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】

14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy

平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。 解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用0S

B d l I

μ?=∑?

求得，

有：

04a I B R μπ=

，∴04a I

B j

R μπ=-

b 段的延长线过O 点，

b B =，

c 段产生的磁感应强度为：0044c I I B R R μμππ=?=，∴04c I

B k

R μ=

则：O 点的总场强：0044O I I

B j k

R R μμπ=-+，方向如图。

14-4．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 的磁感强度。 解：从O 点引出一根半径线，与水平方向呈θ角，则有水平投影：

cos x R θ=，圆环半径：sin r R θ=，取微元dl Rd θ=，

有环形电流：2N I d I d θ

π=， 利用：B 2

02232

2()I R R x μ=+，有：

dB 2022322()r dI r x μ=+220222232sin (sin cos )N IR d R R μθθπθθ=+20sin N I d R μθθ

π=，

∴B

02

2

sin N I d R π

μθθπ=

?

020

1cos 22N I

d R

π

μθ

θπ-=

?

04N I R μ=。

14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j 的方向平行于轴线。求腔内任意点的磁感应强度B 。

解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了j ±的电流，那么， 以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用

0S

B d l I

μ?=∑?

，有：2

102R B j R πμπ?=，

∴012j

B R

μ=

?，

同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：

2

202()r B j r πμπ?=-，有：022

j

B r

μ=-

?，

由图示可知：()R r a +-=

那么，12

B B B =+0022j j

R r μμ=?-?012j a μ=?。

14-6．在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A 5=I 自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl R d θ=的长直电流，

有：dl d d I R θππ=

=，利用0S B d l I μ?=∑?。

在P 点处的磁感应强度为：

002

22d I I d dB R R μμθππ==， ∴02sin sin 2x I

dB dB d R μθθθπ==

，而因为对称性，0y B =

那么，005220sin 6.37102x x I I

B B dB d T

R R πμμθθππ-=====???。

14-7．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<

解：利用安培环路定理

0S

B d l I

μ?=∑?

分段讨论。

（1）当

1

0r R <≤时，有：

210

21

2r I

B r R ππμπ?=

∴

012

1

2I r

B R μπ=

；

'

O ?

?

?'O O P

O

P

a

R r

（2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ?=，∴

022I

B r μπ=

； （3）当

23R r R ≤≤时，有：

22

2

3022

32

2()r R B r I I R R πππμππ-?=--，

∴

2

2

32

032

2

32I B R r R r

R μπ--=?；

（4）当3

r R >时，有：

402()

B r I I πμ?=-，∴

40

B =。

则：02

1

011222

3

23223230(0)()()0()222r R R r R B R r R r R I r

R I

r

R r r I R R μπμπμπ?<≤???≤≤??=?

?-??≤≤-??

>??

14-8．一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密

度为σ。

（1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B 的大小；

（2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度v 及它所产生的

磁场B 和电场E 之间满足下述关系：21B v E c =?（式中001με=c ）。

解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为：i v σ=，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据

安培环路定理有：

0abcd

B dl L i

μ?=?

?02B L L v μσ?=，

∴磁感应强度B 的大小：

02v B μσ=

； （2）非相对论情形下：

匀速运动的点电荷产生的磁场为：

02

?4qv r B r μπ?=?， 点电荷产生的电场为：2

01

?4q E r r πε=

?，

∴0002

220?11?44q qv r

v E v r B c r r μεμπεπ??=??=?=，

即为结论：21B v E c =?（式中001με=c ）。

a

b

c

d

L

14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为ρ，

半径为R 。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为ω， 求：（1）圆柱体内距轴线r 处的磁感应强度的大小；

（2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）考察圆柱体内距轴线r 处到半径R 的圆环等效电流。

∵2dq rLdr d I Lr dr t T ρπρω?===，∴221()

2R r I L r d r L R r ρωρω==-?，

选环路a b c d 如图所示， 由安培环路定理：

0S

B d l I

μ?=∑?

，

有：2201

()

2B L L R r μρω?=?-

∴220()

2B R r μρω

=

-

（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强

度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：2

04R B μρω=

端面中心。

14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I ，电流在两个阴

影所示的横截面的面积皆为S ，两圆柱轴线间的距离d O O =21，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。

解：因为一个阴影的横截面积为S ，那么面电流密度为：

I

i S =，利用补偿法，将真空部分看成通有电流i ±，设

其中一个阴影在真空部分某点P 处产生的磁场为1B ，距离 为1r

，另一个为2B 、2r

，有：12r r d -=。

利用安培环路定理可得：

20

1011122I

r I r

S B r S

μπμπ=

=

，

20

2022222I

r I r

S B r S

μπμπ=

=

，

则：

0111?

2I r B r S

μ⊥

=

，

0222?

2I r B r S

μ⊥

=

，

∴

00121122?

??()22I

I d B B B r r r r d

S

S

μμ⊥⊥⊥

=+=

+=

。

即空腔处磁感应强度大小为

02I d

B S

μ=

，方向向上。

14-11．无限长直线电流1I 与直线电流2I 共面，几何位置如图所示， 试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力。 解：在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2， 此电流元到长直线的距离为x ，无限长直线电流1I

r

a

b

d

c

L

L

??

d

P

1

O 2

O 2

r 1

r 2?r ⊥

1?r ⊥

?

d ⊥

在小电流元处产生的磁感应强度为：

012I B x μπ=?

，

再利用d F I Bdl =，考虑到0cos60d x dl =，有：01202cos60I I d x d F x μπ=?，

∴

0120120ln 2cos60b a I I I I d x

b F x a μμππ=?=?。

14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为5

5.510B T -=?，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通

过20cm 时将偏转多远？

解：（1）根据f q v B =?可判断出电子束将偏向东。

（2）利用221

mv E =

，有：

m E

v 2=， 而ma qvB f ==，∴1

141028.62-??===s m m E m qB m qvB a

（3）2211()322L

y at a mm

v ===。

14-13．一半径为R 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I 等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。

解：设半圆柱面导体的线电流分布为

1

I i R π=

，

如图，由安培环路定理，i 电流在O 点处产生的磁感应强度为：

02i d B Rd R μθ

π=?，

可求得：

001

20sin 2O y iR I B d B d R R πμμθθππ==

?=

??；

又∵d F I dl B =?，

故012

22O I I d F B I dl dl

R μπ==，

有：

0122

I I d F f dl R μπ==，而21I I =， 所以：

202

I d F f dl R μπ==。

14-14．如图14-55所示，一个带有电荷q (0q >)的粒子，

B

电子束方向

-

南北

θ

?

?

O

y

dB

以速度v 平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷 密度为λ（0λ>），并载有传导电流I 。试问粒子要以多大 的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d 的平行线上？ 解：由安培环路定律

l

B d l I μ?=?知：

电流I 在q 处产生的磁感应强度为：

02I

B d μπ=

，方向?； 运动电荷q 受到的洛仑兹力方向向左，大小：

02q v I

F q v B d μπ==

洛， 同时由于导线带有线电荷密度为λ，在q 处产生的电场强度可用高斯定律求得为：

02E d λπε=

，q 受到的静电场力方向向右，大小：02q F d λ

πε=

电；

欲使粒子保持在一条与导线距离为d 的平行线，需

F F =洛电

，

即：02q v I

d μπ02q d λπε=

，可得

00v I

λ

με=

。

14-15．截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴O O '转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度θ而平衡，求磁感应强度。

解：设正方形的边长为a ，质量为m ，aS m ρ=。

平衡时重力矩等于磁力矩：

由m M p B =?，磁力矩的大小：

202

sin (90)cos M BI a BI a θθ=-=； 重力矩为：sin 2sin 2sin 2a

M mga mg mga θθθ

=+?=

平衡时：2cos 2sin BI a mga θθ=，∴22tan tan mg gS B I a I ρθθ

==。

14-16．有一个U 形导线，质量为m ，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为B 的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U 导线就会从水银槽中

跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。 解：接通电流时有F BIl =?

d v m

BIl dt =，而

d q I dt =， 则：mdv Bl dq =，积分有：

v

m mv

q dv Bl Bl ==?

；

又由机械能守恒：mgh

mv =2

21，有：gh v 2=，∴2mv m q gh Bl Bl ==

14-17

．半径为R的半圆形闭合线圈，载有电流I，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面

平行，如图所示。求：

（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；（2

解：（1）线圈的磁矩为：m

p I S n

=

2

2

I R

n

π

=

，

由m

M p B

=?，此时线圈所受力矩的大小为：

2

1

sin

22

m

M p B R I B

π

π

==

；

磁力矩的方向由

B

p

m

?确定，为垂直于B的方向向上，如图；

（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：

()

21

m m m

A I I

=?Φ=Φ-Φ

2

2

1

(0)

22

B R I

I B R

π

π

=?-=

。

【或：

22

1

sin

2

A Md R I

B d

π

θπθθ

==

??2

1

2

R I B

π

=

】

思考题

14-1．在图（a）和（b）中各有一半径相同的圆形回路1L、2L，圆周内有电流1I、2I，其分布相同，且均在真空中，但在（b）图中2L回路外有电流3I，1P、2P为两圆形回路上的对应点，则：

12

12

()d d

P P

L L

A?=?=

??

B l B l B B

，

；12

12

()d d

P P

L L

B?≠?=

??

B l B l B B

，

；

12

12

()d d

P P

L L

C?=?≠

??

B l B l B B

，

；12

12

()d d

P P

L L

D?≠?≠

??

B l B l B B

，

。

答：B的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C）对。

14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系？（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O）

B

R

I

B

S

M

o

答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度2

32

2

2

0)

(2x R IR B +=

μ

∴0=x 时，

R I

B 20μ=

（x R >>），

2

032IR B x μ≈

。

根据上述两式可判断（C ）图对。

14-3．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：

(A)回路L 内的

∑I 不变，L 上各点的B 不变； (B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 改变.

答：（B ）对。

14-4．一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管(r R 2=)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足：

()2R r A B B =；()R r B B B =；()2R r C B B =；()4R r D B B =.

答：对于长直螺线管：nI B 0μ=，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B ）对。

14-5．均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为多少？ 答：2

B r πΦ=。

14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？

答：ab 受力方向垂直纸面向里，cd 受力外，在力偶矩的作用下，ab

垂直纸面向里运动，cd 垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋

转。

14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则

（A ） 两粒子的电荷必然同号；

（B ） 粒子的电荷可以同号也可以异号；

（C ） 两粒子的动量大小必然不同； （D ） 两粒子的运动周期必然不同。 答：选（B ）