高考必备湖北省黄冈中学高考数学压轴题

黄冈中学

高考数学压轴题精编精解精选100题，精心解答

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1．设函数()1,12

1,23x f x x x ≤≤?=?

-<≤?

，

()()[],1,3g x f x ax x =-∈，其中a R ∈，记函数()g x 的

最大值与最小值的差为()h a 。（I ）求函数()h a 的解析式；

（II ）画出函数()y h x =的图象并指出()h x 的最小值。

2．已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2

n n a a +<

（Ⅲ）若12

,2a =则当n ≥2时,!n n b a n >?.

3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：

（1）2

1212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）；

个个

（2）(0)()14

f f π

==；

（3）当0,

4x π

∈［］

时，()f x ≤ 2 求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．

4．设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x x y y x B y x A 是椭圆上的两点，

满足0),(),(

2211=?a

y b x a y b x ，椭圆的离心率,23

=e 短轴长为2，0为坐标原点. （1）求椭圆的方程；

（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；

（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 5．已知数列{}n a 中各项为：

12、1122、111222、 (111)

??????222n ?????? ……

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .

6、设1F 、2F 分别是椭圆

2154

x y 的左、右焦点.

（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF ?的最大值和最小值；

（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；

.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-

（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.

8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，

（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；

（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2

)>1，求x 的取值范围。

9、已知二次函数),(2)(2

R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f ，且关于x 的方程

0)(=++b x x f 的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内。（1）求实数b 的取值范围；

（2）若函数)(log )(x f x F b =在区间（-1-c ，1-c ）上具有单调性，求实数C 的取值范围

10、已知函数,1)2

1(,)1,1()(-=-f x f 上有意义在且任意的x 、)1,1(-∈y 都有

).1()()(xy

x f y f x f ++=+

（1）若数列).(),(12,21

}{*211n n

n n n x f N n x x x x x 求满足∈+==+ （2）求)21()1

31()111()51

(12+++++++n f n n f f f 的值.

11.在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时满

足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC ③GM ∥AB （1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上，定点F

, 0），已知PF ∥FQ ,

RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.

12．已知α为锐角，且12tan -=

α，

函数)4

2sin(2tan )(2

αα+

?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2

11n n a f a a ==

+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；

⑶ 求证：

),2(21111111*

21N n n a a a n

∈≥<++++++<

13．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足(

)111,21n n a a a n N *

+==+∈

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111

321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；

（Ⅲ）证明：()23

11112

n n N a a a *++++

<∈

14．已知函数()(),02

32≠++-=a cx x a x a x g （I ）当1=a 时，若函数()x g

在区间()1,1-上是增函数，求实数c 的取值范围；

（II ）当2

1≥a 时，（1）求证：对任意的[]1,0∈x ，()1/

≤x g 的充要条件是43≤c ；

（2）若关于x 的实系数方程()0/

=x g 有两个实根βα,，求证：,1≤α

且1≤β的充要

条件是.4

2a a c -≤≤-

15．已知数列{a n }前n 项的和为S n ，前n 项的积为n T ，且满足(1)

2n n n T -=。

①求1a ；②求证：数列{a n }是等比数列；③是否存在常数a ，使得

()

()()2

12n n n S a S a S a ++-=--对n N +∈都成立？若存在，求出a ，若不存在，说明理由。

16、已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，其图像均在x 轴的上方，对任意的

[0,)m n ∈+∞、，都有()[()]n f m n f m =，且(2)4f =，又当0x ≥时，其导函数'()0

f x >恒成立。

（Ⅰ）求(0)(1)F f -、的值；

（Ⅱ）解关于x

的不等式：2

2f ??

≥????

，其中(1,1).k ∈-

17、一个函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函数”．

（I ）判断(

)1f x =

，()2f x x =，()23f x x =中，哪些是“保三角形函数”，哪些不

是，并说明理由；

（II ）如果()g x 是定义在R 上的周期函数，且值域为()0,+∞，证明()g x 不是“保三

角形函数”；

（III ）若函数()sin F x x =，x ∈()0,A 是“保三角形函数”，求A 的最大值．（可以利用公式sin sin 2sin cos

x y x y

x y +-+=）

18、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1

n n a

S a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21=

n n

S b a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设1

11n n n c a a +=

++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：1

n T n >-．

19、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。（I ）求c 的值；

（II ）求{}n a 的通项公式。

（III ）由数列{}n a 中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b n }，求n

n n b b 1

lim +∞→的值。

20、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:2

2=++上的动点，点Q 在NP 上，

点G 在MP 上，且满足0,2=?=NP GQ NQ NP . （I ）求点G 的轨迹C 的方程；

（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,+=

是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.

21．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达

区域安排三个救援中心（记为A ，B ，C ），B 在A 的正东方向，相距6km,C 在B 的北偏东300

，相距4km,P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s. （1）求A 、C 两个救援中心的距离；（2）求在A 处发现P 的方向角；

（3）若信号从P 点的正上方Q 点处发出，则A 、B 收到信号的时间差变大还是变小，并证

明你的结论.

22．已知函数||1y x =+

，y ，11()2t y x x

-=+

(0)x > 的最小值恰好是方程32

0x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．

C B A

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学中的放缩技巧

高考数学中的放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i