石家庄二中2018-2019学年第一学期期末高三数学理科试卷

石家庄二中2018-2019学年第一学期期末试卷

高三数学理科试题

一、选择题：本题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数z 满足26z z i +=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象

限 【答案】D 【解析】 【分析】

设(),z a bi a b R =+∈，代入26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求． 【详解】解：设(),z a bi a b R =+∈，

由26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+， 即36a bi i -=+，

{

36

1a b =∴-=，解得2a =，1b =-．

∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．

故选：D ．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2.已知全集11

{|0}1{|21}8x U x R x M x N x x ??=∈<=-=<

，，，则图中阴影部分

表示的集合是（ ）

A. {|31}x x -<<-

B. {|30}x x -<<

C. {|10}x x -≤<

D. {|10}x x -<<

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意可得{|10}M x x x =-或，{|30}N x x =-<<，由文氏图可得题中表示的集合为

()U C M N ?，据此可得图中阴影部分表示的集合.

【详解】求解分式不等式1

1x

>-可得{|10}M x x x =-或， 求解指数不等式

1

218

x <<可得{|30}N x x =-<<， 由文氏图可得题中表示的集合为()U C M N ?，

易知{|10}U C M x x =-≤≤，故(){|10}U C M N x x ?=-≤<. 本题选择C 选项.

【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的基本运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3.等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141=+=a a a k ，则k=（ ） A. 10 B. 7

C. 4

D. 3

【答案】A 【解析】 【分析】

由等差数列的性质可得70a =，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可.

【详解】由等差数列的性质可知：9579468750S S a a a a a a -=++++==,

故70a =，则

410720a a a +==，结合题意可知：

10=k .

本题选择A 选项.

【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.

4.某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（ ）

A.

10

3 B. 35 C. 45

D.

CF BC ⊥

【答案】D 【解析】 【分析】

已知随机选派2人参加围棋比赛的方法有2

5C 种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C 种，据此可得满足题意的概率值.

【详解】由题意结合排列组合公式可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有2

5C 种，而选出

的2人中没有女队员的方法有23C 种，

结合古典概型计算公式可得：选出的2人中有女队员的概率为

22532

51037

1010C C P C --===. 本题选择D 选项.

【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 5.双曲线222x my m -=的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. 2

C. 1

D. 与m 的

值有关 【答案】C 【解析】

【分析】

由题意可知0m >

，据此可得右焦点坐标为?

??

?

0my ±=,利用点到直线距离公式求解其距离即可.

【详解】由题意可知0m >，双曲线方程即：2

212

x y m -=，

故22222,1,122

m m

a b c a b =

==+=+，

则右焦点坐标为?

???

0±=,

故右焦点到一条渐近线的距离为1d ==.

本题选择C 选项.

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6.

要得到函数2y x =的图象，

只需将函数22y sin x cos x =+的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动

4π

个单位长度 B. 向左平行移动8π

个单位长度

C. 向右平行移动4π

个单位长度

D. 向右平行移动8

π

个单位长度

【答案】D 【解析】 【分析】

结合辅助角公式可得

28y x π??

??=+ ???

????，据此确定函数需要平移的方向和长度即可.

【详解】由于

sin 2cos 22248y x x x x ππ???

???=+=+=+ ? ???

??????，

故要得到函数2y x =

的图象，只需将函数22y sin x cos x =+的图象上所有的点向右

平行移动

8

π

个单位长度. 本题选择D 选项.

【点睛】本题主要考查函数的平移变换公式，三角函数图像平移的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

7.在A B C ，，中，3445a b A ===?，，，则V ABC 的形状可能是（ ） A. 钝角或锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 锐角或直角三角形

【答案】A 【解析】 【分析】

由余弦定理可得1c =，结合大边对大角可知∠B 为△ABC 中的最大角，求解B cos 的值即可确定△ABC 的形状.

【详解】由余弦定理有：A bc c b a cos 2222-+=

，即

2916242c c =+-???

，

整理可得：2

70c -=

，解得：1c =，

由于1124

2?=

当1c =时，222cos 0

2a c b B ac +-=>，△ABC 为锐角三角形；

当1c =时，222

cos 0

2a c b B ac +-=<，△ABC 为钝角三角形；

综上可得：ABC V 的形状可能是钝角或锐角三角形. 本题选择A 选项.

【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．

8.若实数x y ，满足不等式组10

10240

x y x y x y +-≥??

-+≥??+-≤?

，则目标函数24x y z x -+=-的最大值是（ ）

A. -7

B.

1

3

- C.

1

4

- D.

4

1

【答案】C 【解析】【分析】

首先画出不等式组表示的可行域，目标函数即：

26

1

44

x y y

z

x x

-+-

==-

--，结合目标函数的

几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：

26

1

44

x y y

z

x x

-+-

==-

--，

其中

6

4

y

x

-

-表示可行域内的点与

()

4,6

连线的斜率值，

据此结合目标函数的几何意义可知

6

4

y

x

-

-在点()

0,1

A处取得最小值，

此时目标函数

2

4

x y

z

x

-+

=

-

的最大值为：max

0121

044

z

-+

==-

-.

本题选择C选项.

【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．9.下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（）

A. 662π+

B. 664π+

C. 662π-

D.

664π-

【答案】B 【解析】 【分析】

由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.

【详解】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，

其中长方体的长宽高分别为为3,3,4，圆柱的底面半径为1=r ，圆柱的高为5， 据此可得，组合体的表面积2(333434)212664S ππ=??+?+?+??=+. 本题选择A 选项.

【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

10.若函数2(1)()f x x x ax b =-++（）的图象关于点（-2，0）对称，12,x x 分别是f x （）的极大值与极小值点，则21x x -=（ ） A. 3- B. 23 C. 3- D. 3

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意可得：0)2(=-f ，由函数的解析式结合对称性可得

()50f -=，据此可得函数的解

析式为32

()6310f x x x x =---+，结合导函数研究函数的极值，由韦达定理可定21x x -的

值.

【详解】由题意可得：(2)3(42)0f a b -=-+=， 函数图象关于点（-2，0）对称，且()10f =，故()50f -=，

即：(5)6(255)0f a b -=-+=, 据此可得：2405250b a b a -+=??

-+=?，解得：10

7

b a =??=?,

故函数的解析式为：

()232()(1)7106310

f x x x x x x x =-++=---+，

()

22'()3123341f x x x x x =---=-++，

结合题意可知：12,x x 是方程0142=++x x 的两个实数根，且12x x >，

故

1212x x x x -=--===-.

本题选择C 选项.

【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11.函数2612

x

f x x xsin x R π=-+∈（）（）

的零点个数为（ ） A. 10 B. 8

C. 6

D. 4

【答案】B 【解析】 【分析】

很明显0x =不是()f x 的零点，当0x ≠时，原问题等价于考查函数

6sin

2x

y π=与函数

1

y x x

=+

交点的个数，绘制函数图像，结合函数的性质确定零点的个数即可. 【详解】很明显0x =不是()f x 的零点，当0x ≠时，

令26102

x

x xsin

π-+=可得

16sin

2

x

x x π=+

，

则原问题等价于求解函数

6sin

2x

y π=与函数1y x x

=+交点的个数，

注意到两个函数都是奇函数，故考查当0x >时两函数交点的个数，

绘制函数图像如图所示，当6x =时，

16x x +

>，

故当0x >时两函数交点的个数为4个，

结合函数的对称性可知函数

6sin

2x

y π=与函数1y x x

=+交点的个数为8个.

综上可得：函数2612

x

f x x xsin x R （）（）

π=-+∈的零点个数为8. 本题选择B 选项.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

12.已知实数1212,,,x x y y 满足，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则

112211x y x y +-+

+-的最大值为（ ）

A. 2

B. 2

C. 22

D. 4

【答案】D 【解析】 【分析】

设点()()1122,,,A x y C x y 在圆221x y +=上，且90AOC ∠=o

，原问题等价于求解点A 和点

C 到直线10x y +-=距离之和的2倍的最大值，据此数形结合确定

112211x y x y +-++-的最大值即可.

【详解】设点()()1122,,,A x y C x y 在圆221x y +=上，且90AOC ∠=o

， 原问题等价于求解点A 和点C 到直线10x y +-=距离之和的2倍的最大值，

如图所示，易知取得最大值时点A ,C 均位于直线10x y +-=下方， 作AD ⊥直线10x y +-=于点D ，CF ⊥直线10x y +-=于点F ， 取AC 的中点B ，作BE ⊥直线10x y +-=于点E ， 由梯形中位线的性质可知2AD CF

BE +=，

当AC P 直线10x y +-=时，直线AC 方程为10x y ++=，

两平行线之间的距离：()112

2

d --=

=，

由圆的性质2BE ≤

综上可得：112211x y x y +-++-

(4

=.

本题选择D 选项.

【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题：本题共4小题。

13.已知向量,a b v v 满足||||||2a b a b ==-=r r r r ，则||b a +=___________.

【答案】【解析】 【分析】

由题意可知

()

2222

2a b a b a b

++-=+r r r r r r ，据此结合题意求解a b +v v 的值即可.

【详解】由题意结合平行四边形的性质和向量的运算法则有：

()

2222

2a b a b a b

++-=+r r r r r r ，

结合题意可得2||42(44)a b ++=?+r r

，解得：||a b +=r

r 【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14.

在4(1x ++的展开式中，2x 项的系数为_______（结果用数值表示）.

【答案】19 【解析】 【分析】

由

022x x =?

，

22x x =?

，

4

20x x =?

结合排列组合的结论计算可得2

x 项

的系数.

【详解】由于：

2

2

x x =?

，2

2

x

x =?

，4

2

x

x =?

，

据此结合排列组合的性质可得2x 项的系数为：

202121

040422431440612119C C C C C C C C C ++=++=.

故答案为：19．

【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 15.已知点11M -（，）

和抛物线x y C 42=：，过C 的焦点作直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=?，则弦长||AB =_______.

【答案】5 【解析】 【分析】

由题意，设直线AB 的斜率为k ，点()()1122,,,A x y B x y ，首先利用抛物线的定义和性质求得直线的斜率为k =2，然后利用弦长公式确定弦长AB 的值即可.

【详解】设直线AB 的斜率为k ，点()()1122,,,A x y B x y ，则2112

22

44y x y x ?=?=?，

()22

12121212124

4,y y y y x x k x x y y -∴-=-∴=

=

-+，

设AB 中点

()00',M x y ，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线

1x =-的垂线，垂足为

A '，

B '，

则

()11'||||||22MM AB AF BF =

=+()

12AA BB ''=+.

()00',M x y Q 为AB 中点，

∴M 为A 'B '的中点，'MM ∴平行于x 轴， ∴y 1+y 2=2，k =2.

设直线AB 的倾斜角为θ，则：tan 2θ=

，故sin θ

=

，

由弦长公式可得：

22

24

5sin p AB θ=

==.

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，抛物线的焦点弦的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

16.定义在正实数上的函数{}{}

·f x x x =（），其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}0,21=，{}1,62=，当*(0,],x n n N ∈∈时，函数f x （）的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =____.

【答案】()

12

n n +

【解析】 【分析】

首先求解n =1,2,3,4,5时n a 的值，然后利用递推关系可得n a 的值. 【详解】易知：当n =1时，因为x ∈（0，1]，所以{x }=1，所以{x {x }}=1，所以11{1},1A a ==.

当n =2时，因为x ∈（1，2]，所以{x }=2，所以{x {x }}∈（2，4]， 所以

22{1,3,4},3A a ==.

当n =3时，因为x ∈（2，3]，所以{x }=3，所以{x {x }}={3x }∈（6，9]，

33{1,3,4,7,8,9},6A a ==；

当n =4时，因为x ∈（3，4]，所以{x }=4，所以{x {x }}={4x }∈（12，16]， 所以

44{1,3,4,7,8,9,13,14,15,16},10A a ==；

当n =5时，因为x ∈（4，5]，所以{x }=5，所以{x {x }}={5x }∈（20，25]， 所以

55{1,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25},15A a ==.

由此类推：1n n a a n -=+.

故()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L 123n =++++L ()12

n n +=.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不

一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、解答题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.如图，在平面四边形ABCD 中，AB=23，AC=2，∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ． （1）若θ=60°，求BD 的长度； （2）若∠ADB=30°，求tanθ．

【答案】（119（2）3

3

2 【解析】

试题分析：（1）第（1）问，在△ABD 中，利用余弦定理直接求出BD.(2)第（2）问，在△ABD 中，写出正弦定理再化简即得解. 试题解析：

（1）由题意可知，AD ＝1．

在△ABD 中，∠DAB ＝150°，AB ＝23，AD ＝1，由余弦定理可知，

BD 2＝(23)2＋12－2×233

＝19, BD 19

（2）由题意可知，AD ＝2cos θ，∠ABD ＝60°－θ， 在△ABD 中，由正弦定理可知，

02cos 2

,43,tan 3sin sin sin(60)3

AD AB ABD ADB θθθ=∴=∴=∠∠-.

18.为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.

（1）求这4000名考生的半均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；

（2）由直方图可认为考生考试成绩z 服从正态分布2(,)N μσ，其中2,σμ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？

（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001） 附：①2204.7514.31s ==；

②2(,)z N μσ:，则()0.6826,(22)0.9544P z P z μσμσμσμσ-<<+=-<<+=； ③40.84130.501=.

【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 【解析】 【分析】

（1）根据加权平均数公式计算x ；

（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数； （3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）． 【详解】（1）由题意知： 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1

0.15

0.2

0.3

0.15

0.1

∴450.1550.15650.2750.3x =?+?+?+? 850.15950.170.5+?+?=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.

（2）依题意z 服从正态分布()

2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，

14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而

()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，

∴()10.6826

84.810.15872

P z -≥=

=.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8?=人634≈人.

（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，

∴()()4

4431410.8413P P C ξξ≤=-==-? 10.5010.499=-=.

【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P (μ－σ

19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1111160,4,2,,B A A C A A AA AC AB P Q ∠=∠=?===分别为棱1,AA AC 的中点.

（1）在BC 上确定点M ，使//AM 平面1PQB ，并说明理由。 （2）若侧面11

ACC A ⊥侧面11ABB A ，求直线11C A 与平面1PQB 所成角的正弦值。

【答案】(1)答案见解析；(2)31144.

【解析】 【分析】

(1)取BC 中点M ,连接AM ,则AM ∥平面PQB 1；利用面面平行证明线面平行即可；

(2)作QO ⊥平面ABB 1A 1,与A 1A 延长线交于O ,作PN ∥C 1A 1,则直线A 1C 1与平面PQB 1所成角即直线PN 与平面PQB 1所成角，结合几何关系求解直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值即可. 【详解】(1)取BC 中点M ,连接AM ,则AM ∥平面PQB 1； 如图所示，取BB 1中点N ，连结AM ,AN ，

11ABB A 为平行四边形，点N ,P 为中点，则

1AN PB P ，由线面平行的判定定理可得

AN ∥平

面PQB 1，

同理可得，MN ∥平面PQB 1，

据此可得平面AMN ∥平面PQB 1，故//AM 平面1PQB .

(2)作QO ⊥平面ABB 1A 1,与A 1A 延长线交于O ,

则1,3AO QO ==

11

254252192OB =+-???

=

122QB ∴=， 12,23B P PQ ==Q ，

13cos 62232

QPB ∴∠=

=-

??，

1sin 6QPB ∴∠=

，

11226

PQB S ∴?=?=V 作PN ∥C 1A 1,则直线A 1C 1与平面PQB 1所成角即直线PN 与平面PQB 1所成角，

111

4223PQN B PQN S V -=

?=∴=?=V Q .

设N 到平面PQB 1的距离为h ,

则12,3

h =∴=

， ∴直线A 1C 1与平面PQB 1

所成角的正弦值为：44=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，直线与平面所成的角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.

过点2

Q 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为M N ，，直线MN 恰好经过椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点和上顶点.

（1）求椭圆C 方程；

（2）过椭圆C 左焦点F 的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，椭圆上存在一点P ，使得四边形QAPB 为平行四边形，求直线l 的方程。

【答案】(1)2

212x y +=；(2))1(2

2

+±=x y .

【解析】 【分析】

（1

）由题意可设切线方程为22(2)0kx y -+=，利用圆心到直线的距离等于半径确

定斜率的值可得切线方程，据此确定点N

的坐标为

133N ?? ? ???，从而可得椭圆方程； （2）①k 不存在或k =0时，在椭圆上不存在点P 使得四边形OAPB 为平行四边形,

②当k 存在且不为0时，设点()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，设直线l 的方程为y =k （x +1），

联立直线方程与椭圆方程，结合题意和韦达定理确定直线的斜率即可确定直线l 的方程. 【详解】（1）

过2Q ??

? ?

??

作圆221x y +=的两条切线，一条切线方程为y =1，切点为M （0，1）.

设另一条切线为1(0)2y k x k ??-=-≠ ? ???

，即22(2)0kx y -+=，

由直线与圆221x y +=

2120

k =?+=，

，解得k =0(舍去)

或k =-

故切线方程为3y =-+，

由22

31

y x y ?=-+??+=??

可得：

1,33N ??

? ???. 可得直线MN

的方程为1y x =. 由上可知，上顶点坐标为（0，1）

，右顶点坐标为

)

.

所以椭圆C 的方程为2

21

2x y +=.

（2）①k 不存在或k =0时，在椭圆上不存在点P 使得四边形OAPB 为平行四边形, ②当k 存在且不为0时，设点()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ， 设直线l 的方程为y =k （x +1），

联立直线方程与椭圆方程可得：(

)()2

2

22124210

k x k x k +++-=，

故22122880412k k x x k ??=+>??-+=

?+?

， 若四边形OAPB 为平行四边形，则有：

()()()

12121212,,2OP OA OB x x y y x x k x x =+=++=+++u u u r u u u r u u u r

22242,1212k k k k

??-= ?++??，

222

42,1212k k P k k

??-∴ ?++??.

又点P 在椭圆上，则有2

2

22242221212k k k k ??-??

+= ? ?++????，

整理得

4412k k =?=±

.

∴直线l 的方程为)1(2

2

+±

=x y . 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 21.函数1

1

·x f x e ax e e

=--

（）（a 为常数）的图象与x 轴有唯一公共点M （1）求函数f x （）

的单调区间. （2）若2a =-，存在不相等的实数12,x x ，满足)()(21x f x f -=，证明：120x x +<. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】

(1)函数f （x ）的定义域为R ，结合函数的解析式可得

1

'()x f x e a -=-，据此分类讨论函数的单调性即可；

（2）2a =-时，

11

()e 2e x f x x -=+-

，由()()12

f x f x =-结合函数的解析式和基本不

等式证明题中的结论即可.

【详解】(1)函数f （x ）的定义域为R ，且f （0）=0， 由题意可知，曲线f （x ）与x 轴存在公共点M （0，0）， 又

1'()x f x e a -=-，

若a ≤0，f ’（x ）>0，f （x ）单调递增； 若a >0，由f ’（x ）=0得x =1+lna ，

当(,1ln )x a ∈-∞+时，f （x ）<0，f （x ）单调递减；