八年级下册数学专题：勾股定理与面积问题

解题技巧专题：勾股定理与面积问题

——全方位求面积，一网搜罗

◆类型一三角形中利用面积法求高

1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为( ) A.

80

13

cm B．13cm C.

13

2

cm D.

60

13

cm

2．(2017·乐山中考)点A、

B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________．

◆类型二结合乘法公式巧求面积或长度

3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是( ) A．48cm2B．24cm2C．16cm2D．11cm2

4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( ) A．7cm B．10cm

C．(5＋37)cm D．12cm

5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

◆类型三巧妙利用割补法求面积

6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．

7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6

】

◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积

8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为

________cm2.

9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．

参考答案与解析

1．D

2.

3

5

5 解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC ＝3×3－

1

2

×2×1－

1

2

×2×1－

1

2

×3×3－1＝9－1－1－

9

2

－1＝

3

2

，AB＝12＋22＝5，∴

1

2

×5h

＝

3

2

，∴h＝

35

5

.故答案为

35

5

.

3．D 4.D 5.C

6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝52＋122＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE ＝

1

2

AD＝

1

2

×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝AC2－AE2＝132－52＝12.∴S四边形ABCD ＝S△ABC＋S△CAD＝

1

2

AB·BC＋

1

2

AD·CE＝

1

2

×5×12＋

1

2

×10×12＝90.

7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AE2－AB2＝82－42＝4 3.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝CE2－DC2＝42－22＝2 3.∴S四边形ABCD ＝S△ABE－S△CDE＝

1

2

AB·BE－

1

2

CD·DE＝

1

2

×4×43－

1

2

×2×23＝6 3.

8．81

9．110 解析：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，易证四边形AOLP 是矩形，OK＝BE＝3.∵∠CBF＝90°，∴∠ABC＋∠OBF＝90°.又∵∠ABC＋∠ACB＝90°，

∴∠OBF＝∠ACB.在△ACB和△OBF中，

?

?

?∠BAC＝∠FOB，

∠ACB＝∠OBF，

BC＝FB，

∴△ACB≌△OBF(AAS)．同理：

△ACB≌△PGC≌△LFG≌△OBF，∴KO＝OF＝LG＝3，FL＝PG＝PM＝4，∴KL＝3＋3＋4＝10，LM＝3＋4＋4＝11，∴S矩形KLMJ＝KL·ML＝10×11＝110.