非线性本构关系

第二章材料本构关系

§2.1本构关系的概念

本构关系：应力与应变关系或内力与变形关系

结构的力学分析，必须满足三类基本方程:

（1）力学平衡方程:结构的整体或局部、静力荷载或动力荷载作用下的分析、精确分析或近似分析都必须满足；

（2）变形协调方程:根据结构的变形特点、边界条件和计算精度等，可精确地或近似地满足；

（3）本构关系:是连接平衡方程和变形协调方程的纽带，具体表达形式有：材料的应力-应变关系，截面的弯矩-曲率关系，轴力-变形（伸长、缩短）关系，扭矩-转角关系，等等。

所有结构（不同材料、不同结构形式和体系）的力学平衡方程和变形协调方程原则上相同、数学形式相近，但本构关系差别很大。有弹性、弹塑性、与时间相关的粘弹性、粘塑性，与温度相关的热弹性、热塑性，考虑材料损伤的本构关系，考虑环境对材料耐久性影响的本构关系，等等。正确、合理的本构关系是可靠的分析结果的必要条件。

混凝土结构非线性分析的复杂性在于：

钢筋混凝土---复杂的本构关系：

有限元法---结构非线性分析的工具：

非线性全过程分析---解决目前结构分析与结构设计理论矛盾的途径：

§2.2 一般材料本构关系分类

1． 线弹性

(a) 线性本构关系； (b) 非线性弹性本构关系

图2-1 线弹性与非线性弹性本构关系比较

在加载、卸载中，应力与应变呈线性关系：}]{[}{εσD = （图2-1a ） 适用于混凝土开裂前的应力-应变关系。 2． 非线性弹性

在加载、卸载中，应力与应变呈非线性弹性关系。即应力与应变有一一对应关系，卸载沿加载路径返回，没有残余变形（图2-1b ）。

}{)]([}{εεσD = 或 }{)]([}{εσσD =

适用于单调加载情况结构力学性能的模拟分析。 3． 弹塑性

图2 – 2 弹塑性本构关系(a)典型弹塑性；(b)理想弹塑性；(c)线性强化；(d)刚塑性

典型的钢筋拉伸应力、应变曲线 （图2-2（a ））包含弹性阶段（OA ）、流动阶段（AB ）及硬化阶段（BC ）。常用的简化模型为： （1）

理想弹塑性：材料屈服后，应力σ不随应变ε而变化，图2-2 (b)

y σσ≤时， E /y σε=

y σσ>时， ??

?<=≥+=卸载

加载

0/0/εσσεεσσ

λσεd E

d d d sign E

式中λ为正的标量参数，sign 为数学符号。

??

?

??<-=>=010001σσσσsign

（2） 线性强化应力-应变关系

y σσ≤时， E /y σε=

y σσ>时， 2/)(/E E y y σσσε-+=

（3）

刚塑性模型：当塑性应变远远大于弹性应变时，忽略弹性变形。 图2-2 (d)

p e εε<<时，

y f <σ时， 0≈e ε y f =σ时， p εε=

（4）

一

般强化模型

：

e

p e E ε

σεεε=+=

图2-3 一般强化模

型

4． 粘弹性与粘塑性

（1） 理想弹性元件：E σε=

图2-4 理想化的简单流变元件

（2） 粘性元件：变形与时间的相关性，称为材料的粘性；引用流变学的观点，用

粘滞系数考虑应力-应变与时间的关系：以便描述混凝土的徐变对应力-应变关系的影响。

σηε=

d dt εε= — 应变速率； η——粘滞系数

（3） 理想塑性元件： 0f

σε<=；f σε==任意值。f - 摩擦阻力；

物体在弹性变形阶段有明显的粘性，称为粘弹性；

5． 断裂力学模式 应用断裂力学的条件：

（1） 研究对象为含有裂缝的缺陷体； （2） 结构受拉（剪、扭）作用； （3） 材料对脆断敏感。

断裂力学对研究混凝土内单条裂缝的发展有效。 6． 损伤力学模式

考虑材料未受力时存在初始裂缝和受力过程中由于损伤积累而产生的材料刚度变化，从而导致应变软化。

损伤：材料内结合部分发生不可恢复的减弱。设：A —原横截面积；A D —缺陷面积；D —损伤因子。

损伤因子d D A A =描述材料的受损程度。D=0(未受损)；D=1(完全破坏).

图2-4损伤单元

设未受损面积A n 上的有效应力为σn ，在轴向力作用下，

)

-(1)-(1D D A F A F n n σ

σ===

未受损材料的应力-应变关系为：

)

1(D E E n n -=

=ε

εσ

E n ——未受损材料的弹性模量； E ——损伤材料的整体弹性模量。

§2.3 钢筋的应力-应变曲线 一.单向加载应力-应变关系

σs

f y su

a 实验曲线

b 弹性硬化关系

c 理想弹塑性关系

图2-5 钢筋应力-应变

关系曲线

钢筋本构关系采用弹塑性关系（二直线关系），见图2. 5b,c 所示，

y y f ε、表示钢筋屈服强度、屈服应变，s E 表示钢筋弹性模量，s s E E 01.0=1，su ε表

s

y

s,

f y

示钢筋的极限拉应变。

二．反复加载应力应变关系：

图2-6a 钢筋在反复荷载作用下应力-应变滞回环

图2-6b 钢筋的骨架曲线

在往复荷载作用下，钢筋本构关系存在包辛格效应（Bauschinger effect ）。 包辛格效应——塑性力学中的一个效应,指具有强化性质的材料由于塑性变形的增加,屈服极限在一个方向上达到，并产生塑性变形后，在另一个方向（反向）加载时屈服强度降低的现象。

1．在往复荷载作用下钢筋本构关系 分以下三种情况：

（1）钢筋应力y s f <σ时：钢筋服从线弹性关系，s s s E εσ=，即服从图2.16的OA 直线。

σs

f y su

c 钢筋应力未变号时应力-应变关系

d 钢筋应力变号后应力-应变骨架曲线

图2.6 钢筋应力未变号时应力-应变关系

（2）钢筋应力y s f ≥σ而且钢筋未发生变号时：钢筋服从弹塑性关系，即服从CDB 直线，见图2.6c 所示。

（3）钢筋应力y s f ≥σ而且钢筋发生变号时：钢筋服从弹塑性关系，但产生包辛格效应。其骨架曲线（如图2.6d 所示）

???

???

?

<+-->+--=r

s r s r

s g r

s r s r s g C C εεεεεεσεεεεεεσσ－s （2.3-1）

式中，r ε—表示钢筋最近一次变号时的应变；g σ—表示钢筋破坏强度；C —表示计算参数，其值为：

(0.001)

0.00140.03930.0070.02(0.06)(0.0035)0.0070.02

s r r r s r r r C εεεεεεεε?-++≤

-++=?

?>?

（2.3-2）

钢筋卸载按斜率s E 直线进行，但再加载时s σ不得超过钢筋骨架曲线上对应的应力绝对值。

钢筋加载屈服后——卸载——再加载，形成钢筋反复加栽的应力-应变滞回环。骨架曲线与单调加栽的应力应变曲线一致。

2、考虑钢筋与混凝土粘结滑移的钢筋反复加载本构模型

a 重复加载下软钢本构关系

b 加载考虑粘结滑移对钢筋本构关系

c 考虑粘结滑移反复加载下钢筋本构曲线

图2-7 重复加载下软钢的力-变形曲线

通过等效刚度法，考虑粘结滑移对钢筋本构关系骨架线的影响，见图2-7b ，图中虚线(3)(4)分别为屈服前后钢筋原始弹模，实线(1)(2)为考虑钢筋混凝土粘结滑移后的等效刚度，其中(0.8 1.0)eq s E E ?；卸载及再加载曲线采用Menegotto 和Pinto （1973）建议的模型，见图2-7c 实线(5)所示：

曲线(5)的方程表达式：

()()

*

**1*11R

R b b εσεε-=+

+， 102a R R a ξ

ξ

=-

+

式中，*

0r r εεεεε-=

-，*

0r r

σσσσσ-=-，R 是决定曲线形状的参数，反映钢筋的包辛

格(Bauschinger)效应。

三、钢筋的废劳强度

（一）钢筋的废劳破坏

指钢筋在承受周期性动荷载作用下，经过一定次数后，从塑性破坏变成脆性断裂的破坏现象。

原因：钢筋内部的缺陷、钢筋本身不均匀或钢筋外表的变形突变或缺陷。

（二）疲劳强度

1. 定义：指在某一规定应力幅度内，经受一定次数循环荷载后（200万次），发生疲劳破坏的最大应力值。（该值低于静荷载下钢筋的极限强度、有时低于屈服强度）

2. 影响因素：应力幅度（主要因素）、最小应力值、钢筋外形、钢筋直径、试验方法等。

§2.4 混凝土的本构关系

微观结构——水泥石结构；

混凝土的结构分为：亚微观结构——水泥砂浆；混凝土为内有孔隙、微裂缝的复合材料

宏观结构——砂浆和粗骨料。

2.4.1 混凝土本构关系综述

本构关系通常建立在结构分析的尺度和层次上，最基本的是材料一点的应力-应变关系，由此推导其它各种本构关系。已经取得的研究成果有：

?混凝土单轴受压、受拉应力-应变关系；

?混凝土多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；

?多种环境和受力条件下的应力-应变关系；

?钢筋与混凝土的粘结-滑移关系；

?约束混凝土应力-应变关系；

?构件在单调荷载和反复荷载下的弯矩-曲率关系；

?构件在单调荷载和反复荷载下的轴力-变形关系；

建立本构模型的方法：试验、理论、半经验半理论的方法，基于已有的理论框架，针对混凝土的力学特性，确定混凝土本构关系。具体有：

（1）用结构工程相同的混凝土材料，制作足量的试件，通过试验测定；

（2）选定适合分析特色的本构模型，其数学式中待定参数通过试验标定；

（3）直接采用经过试验验证或工程证明可行的本构关系式。

2.4.2 混凝土单向受压应力应变关系

特点：

图2-8 柱体受压试件图2-9 混凝土破坏机理

（1）典型应力-应变关系：

图2-10 混凝土典型应力-应变关系

OA—弹性阶段；AB—裂缝稳定发展阶段；BC—不稳定裂缝扩展阶段（2）体积应变：

图2-10 纵向应变, 横向应变及体积应变的变化曲线

体积应变：321εεεε++=v

c f ).~.(907500≤<σ 体积应变与σ成线性关系——体积收缩； c c f f ).~.(≤<σ90750 体积应变改变方向且为非线性——体积膨胀。

（3）不同混凝土强度的应力-应变曲线：

图2-11 典型受压应力-应变曲线

（4）不同加载速度：

加载速度越快，混凝土强度越高，破坏脆性越明显。

一、混凝土受压应力-应变全曲线

全曲线的特点：设c

c f y ;x σεε==1， 几何特点： （1） x=0,y=0;

（2） 0≤x<1, 02

2

y

d ; （3） x=1,

0=dx

dy

; （4） 下降段上有拐点，022=dx

y

d （D 点）；

（5） x →∞时，y →0 且

0→dx

dy

； （6） 下降段曲线上有曲率最大点（E 点），033=dx

y

d （E 点，在D 点右侧）；

（7） 全曲线x ≥0，0

图2-11 全曲线的特征

图2-12 典型受压应力-应变曲线

混凝土受压应力-应变全曲线方程，按数学函数分类，有多项式、有理式、三角函数和指数式。

二、我国规范中混凝土受压应力-应变全曲线方程

现行《混凝土结构设计规范》建议了两个混凝土受压应力-应变关系。 1． 用于正截面极限承载力计算的应力-应变关系 全曲线分为上升段和水平段。

（1）上升段：???

?

???????

? ?

?--=n

c

c f εε

σ11 c εε≤<0 （2）水平段：c f =σ u c εεε≤≤

式中，2)50(60

1

2,≤--

=k cu f n 002.010)50(5.0002.05,≥?-+=-k cu c f ε 003.010)50(0033.05,≥?--=-k cu u f ε;

表2-1 混凝土受压应力-应变曲线的参数

图2-13 我国规范应力-应变曲线

2． 用于非线性分析的应力-应变关系

全曲线分为上升段和下降段，二者在峰值点连续。

（1）上升段：???

?

???????? ??-+???? ??-+???? ??=3

2)2()23(c a c a c a c f εεαεεαεεασ c εε≤<0

（2）下降段：???

?

??+???? ??-????

??=c c d c c f εεεεαεεσ2

1 u c εεε≤≤ 式中，c f --混凝土轴心抗压强度，根据分析方法和极限状态的需要分别取为标准值、设计值或平均值

c ε--相应于c f 的应变；

)4121(2;10)172700(6d d d

c

u c c f αααεεε+++=

?+=-; 上升段参数c a f 0125.04.2-=α， 下降段参数905.0157.0785.0-=c d f α

表2-2 混凝土单轴受压混凝土应力-应变曲线的参数

图2-14 混凝土受压应力-应变全曲线

两种曲线比较：

（1） 曲线形状不同；

（2） 峰值应力对应的应变不同，c εε≤0 （3） 上升段的形状稍有不同。

3．高强混凝土应力-应变关系

图2-16 混凝土应力-应变曲线随强度等级的变化

三、其它应力-应变全曲线方程 1、CEB-FIP 规范

(1) u εε≤：cm c c f E E

E E ???

?

??-+????

??--

=002

000)2(1εεεεεεσ

式中，;

.00200-=ε

'

f f c cm +=8；混凝土抗压强度平均值；

0E 为初始弹模；

c cm c E ,./f E 0020=为相应于峰值点的割线模量。

图2-17 CEB-FIP 曲线

(2) u εε>：cm u u u f 1

2

0020200

4)(2

-???

?

???????

? ?????? ??-+???? ?????? ??--=εεξεεεεεεεεξσ

式中，2

000002

12224?

??? ??+???? ??-??

??

???

?-+???? ??-???

? ??-=c

c c E E E E E E εεεεεε

ξ 4． 三次多项式模拟

332210εεεσC C C C +++= 根据边界条件：

(a) 0,0==σε; (b) 0,

0E d d ==ε

σ

ε; (c) 00,σσεε==; (d) 0,

0==ε

σ

εεd d ; 确定系数C 0, C 1, C 2, C 3,

5． 美国规范中Hongnestad 建议公式

（1）上升段：???

?

???????? ??-???? ??=20002εεεεσσ 00εε≤<

（2）下降段：??

???

????? ??---=00

01501ε

εεεσσu . u εεε≤≤0 式中，003800030.~.u =ε（设计~理论分析）;

00002E ,E ???

? ??=σε为初始弹模，

'f .c 8500=σ(圆柱体抗压强度)

图2-18 Hongnestad 建议公式曲线

6．

Saenz 建议公式

2

000)())(2(1εεεεε

σ+-+-

=c E E E

Elwi 和Murray 改进上式，

3

2εεεε

σD C B A +++=

由边界条件： (1) 0,0==σε; (2) 0,

0E d d ==ε

σ

ε; (3) 00,σσεε==; (4) 0,0==ε

σ

εεd d ; (5)

u u σσεε==,.

得， 3

20000)()()12())(2(R 1εε

εεεεε

σR R E E E c +---++-

=

且 )

(1)1()1(

/02

00

0εεεεσσu u u

c E E R -

--=

图2-19 改进的Seanz曲线

忽略边界条件（5），可得Seanz公式。

各应力-应变全曲线比较

σ-关系，表达式简1．Hongnestad 和我国规范建议的计算正截面极限承载力的ε

单，易于计算，适合工程计算；

σ-关系，较符合试验结2．CEB 、Seanz和我国规范建议的用于非线性分析的ε

果，适于研究分析；

3．三次多项式模拟公式既简单，易于计算，又较精确，有广阔的应用前景。