上海高二数学矩阵及其运算
矩阵及其运算
矩阵的概念
1、形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ?
- ? ?
-??
这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数组
成的向量12n b b
b ?? ? ? ???? ???
称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n
?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128??
?
? ???
为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。
3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）
行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128??
?
? ???
第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000??
???
为一个23?阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），
可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ??
?
- ? ?-??
均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均
为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001??
?
? ???
为3阶单位矩阵。
6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=??
-+=??+-=?
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵
2332441m n ?? ?- ? ?-??，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ?? ?- ? ?-??
叫做方程组的增广矩阵。 应用举例：
例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y
x y ---????
==
? ?++????且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。
例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：
（1）23146x y x y +=??-=?； （2）2320
3250230
x y z x y z x y z +-+=??
-++-=??-++=?
例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：
（1）235124-?? ?-?? （2）210203213023-??
?- ? ?
-??
例4、已知矩阵
sin cos0
sin cos1
αα
ββ
+
??
?
+
??
为单位矩阵，且,,
2
π
αβπ
??
∈?
???，求
()
sinαβ
-的值。
矩阵的基本变换：
（1）互换矩阵的两行或两列；
（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；
（3）某一行乘以一个数加到另一行。
显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。
应用举例：
例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组
435
724
5238
x y z
x y z
x y z
+-=
?
?
++=
?
?--=
?
的解。
例2、运用矩阵变换方法解方程组：
32
2
ax y
x y b
+=
?
?
-=
?
（a、b为常数）
课堂练习：
用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2
(1)(1)4
x y k x k y +=??
-++=?的解x 与y 相等，求k 的值。
（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=??
++=??-+=-?
矩阵运算
（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等
定义 如果两个矩阵[]n m ij a A ?=，[]p s ij b B ?=满足： (1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；
(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B
（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ?n 矩阵相等，等价于元素之间的m ?n 个等式.）例如，矩阵
A =????
??2322
211312
11a a a a a a ， B =??
?
???--412503 那么A = B ，当且仅当
a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4
而
C = ??
?
?
??22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.
2．加法
定义 设[]n m ij a A ?=，[]p s ij b B ?=是两个m ?n 矩阵，则称矩阵
C = ?
?
??
?
??
?????+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a
2
2112222
2221
211112
121111
为A 与B 的和，记作
C = A + B = []ij ij b a +
（由定义可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.
例1 设矩阵A =????
??---152403， B =??
?
???--130432，求A + B ，A - B .
例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβ
α??=
???，00
tan tan tan B β
αβ??= ?-??
，010
1
7C ??- ?
= ? ?-?
?
，若A B C +=，(0,)2
πα∈，(,)2
πβπ∈，求sin
2
αβ
+的值。
矩阵加法满足的运算规则是什么
设A , B , C , O 都是m ?n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .
3．数乘
定义 设矩阵[]n m ij a A ?=，λ为任意实数，则称矩阵[]n m ij c C ?=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为
C =λA
（由定义可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）
例3 设矩阵A =??
??
?
?????--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A.
数乘矩阵满足的运算规则是什么
对数k , l 和矩阵A = []n m ij a ?，B =[]n m ij b ?满足以下运算规则： 1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A .
例4 设矩阵 A =??????????-610523，B =????
??????--712834，求3A - 2B .
4．乘法
矩阵乘积的定义 设A =[]ij a 是一个m ?s 矩阵，B =[]ij b 是一个s ?n 矩阵，则称m ?n 矩阵
C =[]ij c 为矩阵A 与B 的乘积，记作 C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =a b ik kj k s
-∑1
(i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n ). （由矩阵乘积的定义可知：）
(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ； (2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数；
(3) 乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.
例6 设矩阵 A = ??
??
?
?????--530412， B = ??????--10789，计算AB .
例7 设矩阵 A = ????
??2142，B =??
?
???--1122， 求AB 和BA .
由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和
BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法
时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.
在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O , B ≠O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出
A 和
B 中至少有一个是零矩阵的结论.
一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.
那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢
矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数. 例8：已知?
??
?
??=0110A ，矩阵12B ??= ???，求AB 。
练习：计算下列矩阵的乘法
（1）12
12()n n b b a a a b ?? ? ? ? ???；（2）1212()n n a a b b b a ??
? ? ? ???
。
例9、已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，??
?
???=a
2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最
小值.
例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式
（1）21437x y x y -=??+=?；（2）231
4231241
x y z x y z x y z -+=??-+=??-+=-?
。
例11：若AB BA =，矩阵B 就称为与A 可变换，设1101A ??
=
???
，求所有与A 可交换的矩阵B 。
课堂练习与课后作业 一、选择题
1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件是
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组??
?-=-=+1
y 2x 2
y 3x 2其中正确的是（ ）
A 、??????-=????????????-122132y x
B 、??
????-=????????????-122312y x
C 、??????-=??????????
??-122132y x D 、??
?
???-=?
???????????-121223y x 3、若211403201453A B -????
? ?== ? ? ? ?--????
，，且23A X B -=，则矩阵X =___________.
4、点A （1，2）在矩阵??
?
???-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________
5、已知?
?
?
?
??b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么a+b= . 6、若点A )22
,22(在矩阵??
?
???-αα
ααcos sin sin cos 对应的变换作用下得到的点为（1，0），那么α= .
7、若点A 在矩阵1222-?
??
?-??
对应的变换作用下下得到的点为（2，4），那么点A 的坐标为 .
8、已知???
?
??
--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，??
?
???--=1221B 若A=B ，那么α+β= . 9、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= .
10：46x A y ??= ???，13u B v ??
= ???
，且A B =，那么A+AB= 。
11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)-，那么该线性方程组为 。
12、计算:
若矩阵1
cos60sin602
sin60cos6012A B ?-
?-????
== ??????
-??
，，则AB =___________. 13、计算：342112546110221???? ?
? ?-?? ?
??
= .
14. 线性方程组60
3540x y x y --=??
++=?
对应的系数矩阵是___________，增广矩阵是___________.
15、 已知矩阵2301(1,2)123A B C ??
-?? ?
==-= ? ?-?? ?-??
，，，则()AB C =___________. 二、简答题
1. 已知1011A ??=
???
，分别计算23
A A 、，猜测*(2)n A n n ≥∈N ，；
2. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:
⑴ 32110
250x y x y --=??
+-=?
；
⑵ 111612102113x y z ?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-??????
.
3. 若202137x y -??????
=
??? ?-??????
，则x y +=__________ 4、已知矩阵[])(x f A =，[]x x x B sin 2cos sin -=，??
????=x x C sin cos ，若A=BC ，求函数)x (f 在]3,0[π
上的最小值.
上海市高二下学期期末考试数学试题(含答案)
高二下学期期末考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________． 2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________． 3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________． 4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________． 5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________． 6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________． 7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线14 22 =-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________． 10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ， N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________． 11.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________． 12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外 科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答) 13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计） 14.设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P 到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞ →n n d ，则常数=k ___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米. A ．32424-π B ．33636-π C ．32436-π D ．33648-π 第15题图
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1．定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ，如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+， 2 π βα=-，则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2．定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3．矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4． 若行列式21 24 1 013 9x x =-，则=x ． 5．若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ，则x y += ． 6．已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ，则 x y -=_______． 7．矩阵1141?? ???? 的特征值为 ． 8．已知变换100M b ?? =? ??? ，点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a '，则a b += 9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间，用0.618 法寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ； 10．已知 ， ，则y= ． 11．若2211 x x x y y y =--，则______x y +=
2020学年上海市格致中学高二下学期期中数学试题(解析版)
上海市格致中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1．给出下列命题 （1）若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面； （2）若三条直线两两平行，那么这三条直线共面； （3）若直线a 与直线b 异面，直线b 与直线c 异面，那么直线a 与直线c 异面； （4）若直线a 与直线b 垂直，直线b 与直线c 垂直，那么直线a 与直线c 平行； 其中正确的命题个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】A 【解析】根据空间直线与平面平行垂直的性质与判定逐个分析即可. 【详解】 (1)如正四面体的任意一定点经过的三条棱均相交,但这三条直线异面.故(1)错误. (2)如直三棱柱的三条高均互相平行,但这三条直线异面.故(2)错误. (3)当a 与c 相交且,a c α?,b α⊥时可满足直线a 与直线b 异面,直线b 与直线 c 异面,但直线a 与直线c 共面.故(3)错误. (4)同(3)可知(4)错误. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了线面平行垂直的判定,需举出反例证明结论不正确,属于基础题. 2．在复数范围内，有下列命题： （1）若z 是非零复数，则z z -一定是纯虚数； （2）若复数z 满足22 ||z z =-，则z 是纯虚数；
（3）若复数1z 、2z 满足22 120z z +=，则10z =且20z =； （4）若1z 、2z 为两个虚数，则1212z z z z +一定是实数； 其中正确的命题个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A 【解析】(1)设(),,z a bi a b R =+∈再运算分析即可. (2)取0z =分析即可. (3)举出反例分析即可. (4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈再运算分析即可. 【详解】 (1)设(),,z a bi a b R =+∈则()2z z a bi a bi bi -=+--=,当0,0a b ≠=时可知(1)错误. (2)取0z =满足22 ||z z =-,但z 不是纯虚数.故(2)错误. (3)当11z =、2z i =时也满足22 120z z +=,故(3)错误. (4) 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈, 则()()()()121222a bi c di a bi c di z z z a z c bd =+-+-+=++为实数.故(4)正确. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了复数的运算运用,需要根据题意找到反例或者设复数的表达式计算分析.属于中档题. 3．已知复数 i z x y =+（,x y ∈R ）满足|2|z -=，则 y x 的最大值为（ ） A ．1 2 B ． 3 C ． 2 D 【答案】D
上海市高二数学下学期期末考试试题(含解析)
北虹高级中学2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析） 一、填空题。 1.已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A ＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =_______。 【答案】{}4 【解析】 由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B ?=，则(){}4U C A B ?=，故答案为{}4. 2.不等式215x +≤的解集是_______. 【答案】[] 3,2- 【解析】 【分析】 直接去掉绝对值即可得解. 【详解】由215x +≤去绝对值可得5215x -≤+≤即-32x ≤≤，故不等式215x +≤的解集是[] 3,2-. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于基础题. 3.关于x 的不等式290x kx ++>的解集是R ，求实数k 的取值范围是 _______. 【答案】()6,6- 【解析】 【分析】 利用判别式△＜0求出实数k 的取值范围． 【详解】关于x 的不等式290x kx ++>的解集为R ，∴△=k 2-4×9＜0，解得-66k <<∴实数k 的取值范围为 ()-6,6. 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，是基础题． 4.某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数
分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______。 【答案】2 【解析】 【分析】 根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果. 【详解】城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8. 本市共有城市数24 , ∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本， ∴每个个体被抽到的概率是61 244 =， 丙组中对应的城市数8， ∴则丙组中应抽取的城市数为1 82 4 ?=,故答案为2. 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 5.有n个元素的集合的3元子集共有20个，则n= _______. 【答案】6 【解析】 【分析】 在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20即可得解. 【详解】在n个元素中选取3个元素共有3C n种，解3C n=20得6 n=，故答案为6. 【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题. 6.用0，1，2，3，4可以组成_______个无重复数字五位数. 【答案】96 【解析】 【分析】 利用乘法原理，即可求出结果．
上海高二数学矩阵及其运算
矩阵及其运算 矩阵的概念 1、形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ?-?? 这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列 的数组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13 ?? ??? 为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵 512128363836232128?? ? ? ??? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个 23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有 n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线
的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。 7、对于方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵 2332441m n ?? ?- ? ?-??，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ?? ?- ? ?-?? 叫做方程组的增广矩阵。 应用举例： 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---???? == ? ?++????且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。 例2、写出下列线性方程组的增广矩阵： （1）23146x y x y +=??-=?；（2）2320 3250230 x y z x y z x y z +-+=?? -++-=??-++=? 例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组： （1）235124-?? ?-??（2）210203213023-?? ? - ? ? -?? 例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1αα ββ+?? ?+??为单位矩阵，且,,2παβπ?? ∈???? ，求()sin αβ-的值。 矩阵的基本变换：
【精准解析】上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
七宝中学高二期中数学试卷 一.填空题 1.若直线a 、b 均平行于平面α，那么a 与b 位置关系是 ________ 【答案】相交、平行、异面 【解析】 【分析】 依据题意画出图形，即可判断． 【详解】解：由题意可知：直线//a 平面α，直线//b 平面α，则a 与b 的位置关系是：图1是相交；图2是平行；图3是异面直线． 故答案为：相交、平行、异面 【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力． 2.若11211 01211(21)x a a x a x a x +=+++???+，则 2202101311()()a a a a a a ++???+-++???+=________ 【答案】177147- 【解析】 【分析】 利用赋值法求二项式展开式系数和，令1x =则，可得01211a a a a +++???+的值，令1x =-则，可得01231011a a a a a a -+-+???+-的值，从而得解； 【详解】解：因为1121101211(21)x a a x a x a x +=+++???+ 令1x =得11 012113a a a a +++???+=， 令1x =-得()11 0123101111a a a a a a -+-+???+-=-=-
则22 02101311()()a a a a a a ++???+-++???+ [][]0210131102101311()()()()a a a a a a a a a a a a =++???++++???+?++???+-++???+ ()1131=?- 177147=- 故答案为：177147- 【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题. 3.某学生在上学的路上要经过三个路过，假设在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1 3 ，则这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯的概率为______ 【答案】 427 【解析】 【分析】 依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯，根据相互独立事件同时发生的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意，在各路口是否遇到红绿灯是相互独立的，要使这名学生在上学的路上到第三个路口时第一次遇到红灯，即前两个路口遇到的都不是红灯，第三个路口恰是红灯， 根据相互独立事件同时发生的概率公式可得11141133327 P ????=-?-?= ? ????? 故答案为： 427 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题. 4.在120°的二面角内有一点P ，P 到二面角的两个半平面的距离分别为1米和3米，则P 到该二面角棱的距离为________ 【解析】 【分析】 设垂足分别为C ，B ，先计算CB 的长，再利用PCB 外接圆的直径为P 到棱的距离，即可
沪教版(上海)高二上学期数学第 九 章 矩阵和行列式初步
第 九 章 矩阵和行列式初步 格致中学 王国伟 第一课时 9.1 矩阵的概念（1） [教学目标] 1、了解矩阵的产生背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题； 2、了解矩阵、行向量、列向量、方矩阵、零矩阵、单位矩阵等概念； 3、理解同阶矩阵、相等的矩阵等概念； 4、理解线性方程组与系数矩阵及其增广矩阵之间的转化。 [教学重点] 1、与矩阵有关的概念； 2、线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的概念。 [教学难点] 学习矩阵的目的。 [教学过程] 一、情境设置、引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把的坐标排成一列，可简记为13?? ??? ； 引例2：2008 我们可将上表奖牌数简记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 引例3：将方程组231 324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为 2332441m n ?? ?- ? ? -?? ；若将常数项增加进去，则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-??。 二、概念讲解：
1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -? ?这样的矩形数表 叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12 n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵， m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第 j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列）， 可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个 n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余 元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ???为2阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ? ?? 为 3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
上海高二数学矩阵及其运算有详细答案精品
上海高二数学矩阵及其 运算有详细答案精品 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
上海版高二上数学 矩阵及其运算 一．初识矩阵 （一）引入： 引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13?? ???； 引例2：2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表： 记为：512128363836232128?? ? ? ??? ； 我们可将上表奖牌数简 231324244x y mz x y z x y nz ++=?? -+=??+-=? 中未引例3：将方程组 知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ?? ? - ? ?-??；若将常数项增加进去， 则可简记为：2313242414m n ?? ? - ? ?-?? 。 （二）矩阵的概念 1、上述形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ? -?? 这样的矩形数表叫做矩 阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排列的数 组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，
m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ???为21?阶矩阵，可记做21A ?；矩阵512128363836232128?? ? ? ? ?? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ???为一个23 ?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行 （列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。 在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为 1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2阶单位矩阵，矩阵 100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
上海市高二下学期数学期末统考试卷
静安区高二期末数学试卷 2019.06 一. 填空题 1. 在复数集，方程24x =-的解为 2. 如图，在正方体中，AB 与CD 所成角的大小为 3. 已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所 在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为 4. 用一块半径为2分米的半圆形薄铁皮制作一个无盖的圆锥形容 器，若衔接部分忽略不计，则该容器的容积为 立方分米 5. 62()x x -的二项展开式中2x 项的系数为 6. 请列举用0，1，2，3这4个数字所组成的无重复数字且比230大的所有三位偶数 7. 在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有 种（填写数值） 8. 有9本不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书4本，外语书3本，物理书2本，如果同一学科的书要排在一起，那么有 种不同的排法（填写数值） 二. 选择题 9. 已知关于x 的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是(2,1)，则这个方程可以是（ ） A. 2450x x -+= B. 2450x x ++= C. 2430x x -+= D. 2430x x +-= 10. 半径为2的球的表面积为（ ） A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π 11. 下列5个命题中：① 平行于同一直线的两条不同的直线平行；② 平行于同一平面的两条不同的直线平行；③ 若直线l 与平面α没有公共点，则l ∥α；④ 用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；⑤ 若l ∥α，则过l 的任意平面与α的交线都平行于l . 其中真命题的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 三. 解答题 12. 已知虚数z 满足||1z =. （1）求|2|z +的取值范围；（2）求证：1z z - 是纯虚数.
2017-2018学年上海市松江二中高二下学期期末考试数学试题(Word版)
2017-2018学年上海市松江二中高二下学期期末考试 数学试题 2018.06 一. 填空题 1. 若31010 r C C =，则r = 2. 函数21y x =-(0)x <的反函数是 3. 已知,{3,2,1,1,2,3}a b ∈---且a b ≠，则复数z a bi =+对应点在第二象限的概率 为 （用最简分数表示） 4. n a 是(3)n x -(2,)n n ≥∈N 展开式中x 的一次项系数，则2323333lim()n n n a a a →∞++???+= 5. 已知x 是1、2、3、x 、5、6、7这七个数据的中位数，且1、3、2x 、y -这四个数据的 平均数为1，则1y x -的最小值为 6. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直 径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 7. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为 8. 从1、2、3、4、5、6、7、8中任取三个数，能组成等差数列的概率是 9. 我校家长会学校邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的 教育情况，则这4位中恰有一对是夫妻的概率是 （结果用分数表示） 10. 设集合{72,94,120,137,146}M =，甲、乙、丙三位同学在某次数学测验中的成绩分别 为a 、b 、c ，且a 、b 、c M ∈，a b c <≤，则这三位同学的考试成绩的所有可能的情况种 数为 11. 设集合12312{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,,12}i A x x x x x i =???∈-=???，则集合A 中满足条件 “123121||||||||9x x x x ≤+++???+≤”的元素个数为 12. 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位，3人能被选中的概率分别为25、34、13，
上海高二数学矩阵及其运算(完整资料)
【最新整理，下载后即可编辑】 矩阵及其运算 矩阵的概念 1、形如13?? ???、512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ?- ? ?-??、2313242414m n ?? ? - ? ?-? ?这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ???称为行向量；垂直方向排 列的数组成的向量12n b b b ?? ? ? ???? ??? 称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ?阶矩阵，m n ?阶矩阵可记做m n A ?，如矩阵13?? ??? 为21?阶矩阵，可记做21A ?； 矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 为33?阶矩阵，可记做33A ?。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ?阶矩阵m n A ?中的第i （i m ≤）行第j （ j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128?? ? ? ??? 第 3行第2个数为 3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000?? ??? 为 一个23?阶零矩阵。 5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方 阵有n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128?? ? ? ???、2332441m n ?? ? - ? ?-?? 均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001?? ??? 为2 阶单位矩阵，矩阵100010001?? ? ? ??? 为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果 矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。
上海市2018-2019学年高二下学期阶段性检测数学试题
○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 上海市2018-2019学年高二下学期阶段性检测数学试题 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题 本大题共4道小题。 1. 以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案及解析： 1.A 【分析】 由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误； 【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确； 对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误； 对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；
答案第2页，总22页 ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误； ∴只有命题①正确． 故选A ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题． 2. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 不平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直 答案及解析： 2.C 【分析】 由已知中直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，可得直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案． 【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题． 3. 已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. 7 9 C. 0或 79 D. 以上都不对 答案及解析： 3.B
上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题
上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期末数 学试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填空题 1. 将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式. 2. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为 _______ . 3. 已知空间向量，，（其中、），如果存在实数，使得成立，则_____________. 4. 在展开式中，常数项为_____________.（用数字作答） 5. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127，则该样本标准差___________（克）（用数字作答）． 6. 在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种. 7. 若在展开式中，若奇数项的二项式系数之和为，则含的系数是_____________.
8. 已知变数满足约束条件目标函数仅在点 处取得最大值，则的取值范围为_____________． 9. 在的展开式中，项的系数为_____________.（用数字作答） 10. 已知、满足组合数方程，则的最大值是_____________. 11. 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种. 12. 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且 AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值 是. 二、单选题
上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含答案)
上海市闵行区高二（下）期末数学试卷 一、填空题 1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______． 2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______． 3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______． 4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______． 5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______． 6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______． 7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______． 8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第 一象限，则实数a的值为______． 9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______． 10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______． 11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）． 12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______． 13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T， 都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号） ①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．
高考数学《矩阵与行列式》专题复习
高考数学《矩阵与行列式》专题复习 1.矩阵：n m ?个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1, ==排成m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn n m n n a a a a a a a a a A 2122212 11211叫做矩阵。记作n m A ?，n m ?叫做矩阵的维数。 矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。 2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。 ?? ?=+=+222 1 11c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换： ①互换矩阵的两行； ②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。 变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。 4.矩阵运算：加法、减法及乘法 （1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B ）. 运算律：加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ） （2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：α A.
运算律：分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(； 结合律：()()()A A A γλλγγλ==； （3）矩阵的乘积：设A 是k m ?阶矩阵，B 是n k ?阶矩阵，设C 为n m ?矩阵。如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C m ×n =A m ×k B k ×n . 运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(； 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB =； 注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BA AB ≠. 5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法： 设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数 且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）: 当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：??? ? ???--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ， 引入记号 21a a 2 1b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 2 1b b 1221b a b a -=． 从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。 记= D 21a a 2 1b b ，= x D 21c c 2 1b b ，= y D 21a a 2 1c c ，则： ①当= D 21a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解， 可用二阶行列式表示为??? ? ?? ? ==D D y D D x y x . ②当D =0时，0x y D D ==方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0≠x D 或0≠y D ，方程组（*）无解。 系数行列式11 22 a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
上海市松江区2018-2019学年高二第二学期期末考试数学试题及答案解析
上海市松江区2018-2019学年高二第二学期期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 一、单选题 1．若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与b （ ） A ．相交 B ．垂直 C ．平行 D ．以上都不对 2．若点P 为两条异面直线a 、b 外的任意一点，则下列说法一定正确的是（ ） A ．过点P 有且仅有一条直接与a 、b 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与a 、b 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与a 、b 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与a 、b 都异面 3．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56?个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（ ） A ．36 B ．64 C ．80 D ．96 4．已知复数1cos 2()z x f x i =+，) 2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=?，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．14- B ．14 C ．12- D ．12
第II 卷（非选择题） 二、填空题 5．3-的平方根是________. 6．若552x C C =，则实数x =________. 7．高二（1）班有男生18人，女生12人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生人数为____. 8．二项式61(2x )x -的展开式中常数项为______(用数字表示)． 9．若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为________. 10．某校生物研究社共8人，他们的生物等级考成绩如下：3人70分，3人67分，1人64分，1 人61分，则他们的生物等级考成绩的标准差为________. 11．已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________. 12．甲、乙两地都位于北纬45°，它们的经度相差90°，设地球半径为R ，则甲、乙两地的球面距离为________. 13．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在由4x y +=和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________. 14．已知a 是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且 2a ≤，则实数m 的取值范围是________. 15．设向量(,,0)u a b =，(,,1)v c d =.其中22221a b c d +=+=.则u 与v 夹角的最大值为________. 16．如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且1CD =，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面α，若四面体ABCD 绕AB 所在直线旋转.且始终在平面α的上方，则它在平面α内影子面积的最小值为________.
高中数学 矩阵与变换
14.2 矩阵与变换 解答题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2 ＋y 2 ＝1在矩阵A ＝?? ?? ?? 2 00 1对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程． 解析 设P (x ，y )是椭圆4x 2＋y 2＝1上的任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有??????x ′y ′＝?? ????2 00 1 ??????x y ，即??? x ′＝2x ，y ′＝y ， 所以??? x ＝x ′ 2y ＝y ′ . 又因为点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝1上， 所以4( x ′2 )2＋y ′2＝1， 即x ′2＋y ′2＝1. 故曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 【点评】 线性变换是基本变换，解这类问题关键是由??????x ′y ′＝A ???? ?? x y 得到点 P ′(x ′，y ′)与点P (x ，y )的坐标关系． 2．已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M . 解析 设M ＝?? ?? ??a b c d ，则?? ????a b c d ??????12＝??????710，??????a b c d ??????20＝???? ??24， 即??? a ＋2b ＝7， c ＋2 d ＝10，2a ＝2，2c ＝4. 解得??? a ＝1， b ＝3， c ＝2， d ＝4. 所以M ＝?? ???? 1 3 2 4.
3．求圆C ：x 2 ＋y 2＝4在矩阵A ＝?? ?? ?? 2 00 1的变换作用下的曲线方程． 解析 设P ′(x ′，y ′)是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任一点， 设P (x ，y )是P ′(x ′，y ′)在矩阵A ＝?????? 2 00 1对应变换作用下新曲线上的对应点， 则??????x y ＝??????2 00 1 ??????x ′y ′＝???? ??2x ′ y ′， 即?? ? x ＝2x ′，y ＝y ′， 所以?? ? x ′＝x 2， y ′＝y . 将??? x ′＝x 2， y ′＝y 代入x 2 ＋y 2 ＝4，得x 2 4 ＋y 2＝4， 故方程为x 2 16＋y 2 4 ＝1. 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝?? ?? ?? 1 a b 4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值． 解析 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2,0)，B (0，－2)． A 、 B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′、B ′. 因为??????1 a b 4 ??????－2 0＝?????? －2 －2b ，所以点A ′的坐标为(－2，－2b )； ??????1 a b 4 ?????? 0－2＝???? ??－2a －8，所以点B ′的坐标为(－2a ，－8)． 由题意，点A ′、B ′在直线m ：x －y －4＝0上， 所以??? (－2)－(－2b )－4＝0，(－2a )－(－8)－4＝0. 解得a ＝2，b ＝3. 5．求曲线C ：xy ＝1在矩阵M ＝?????? 1 1－1 1对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程． 解析 设P (x 0，y 0)为曲线C ：xy ＝1上的任意一点，