八年级奥数精讲与测试勾股定理

例1．如图46，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2。

例2．如图47，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，

，

BC=5

?CD=6，求AD的长。

例3．如图48，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2。

例4．如图49，已知△ABC中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC 上一点，若∠EDF=90°，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°。例5．如图50，正方形ABCD中，点M为AB的中点，AE=

AD，点N 是EC的中点，求证：MN=

EC。

例6．求证：2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1 (n是正整数)是一组勾股数。

例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。

A卷一、填空题

_________。

02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。

03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。

04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为

_________。

05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。

06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。

07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。

08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC=_________。09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且BD=5，CD=3，则AC=_________。

10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。

二、解答题

11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：BE2=EC2+BC?DE。

12．如图55，已知△ABC中，∠BAC=90°，E、D是BC的三等分点。求证：222

AE AD BC

B卷

一、填空题

01．如图56，已知梯形两底分别为11和25，两腰长分别为15和13，则BD=_________，AC=_________，AG=_________。

02．在Rt△ABC中，∠A=90°，BE和CF为△ABC的中线，则(BE2+CF2) ：BC2=_________。

03．如图57，∠ABC中，AB=AC=20，BC=32，AD⊥AC，AD⊥B C于D，

则BD=_________。

04．如图58，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=

∠B，则BC=_________。

05．如图59，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，则

BC=_________，AD=_________。

06．如图60，已知△ABC中，BC=28，AC=25，AB=17，则S△ABC=_________。

07．△ABC周长是24，M是AB中点，MC=MA=5，则S△ABC=_________。

08．如图61，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，且P点到CD边的

距离也等于10，则S正方形ABCD=_________。

09．如图62，已知∠XOY=60°，M是∠XOY内的一点，它到OX的距离

MA=2，到OY的距离MB=11，则OM=_________。

10．如图63，在△AB C中，∠C=90°。若三角形内有一点O，使得△AOB、

△OAC和△OB C的面积相等，则(OA2+OB2) ：OC2=_________。

二、解答题

11．在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D点在AC延长线上，且

，求∠DBC的度数。

12．如图64，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，P、Q在斜

边AB上，且∠PCQ=45°，求证：PQ2=AP2+BQ2。

C卷

解答题

01．如图65，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的点P1、

P2、…、P10。记M i=AP i2+P i B?P i C(i=1、2、…、10)，求M1+ M2+?+M10

的值。

02．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，求这个三角形三边的长。

03．已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DM⊥ME，BD=3，CE=4，求线段DE长。

04．如图66，△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内点P向△ABC三边作垂线PD、PE、PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的值。

05．如图67，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。06．如图68，点P是正方形ABCD内一点。若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0)，求∠APB。

07．如图69，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4。求OD。

08．如图70，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，

CPA。

09．如图71，已知等边三角形ABC内一点P，PA=3，PC=4，PB=5。求△ABC的边长。

10．如图72，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求S梯形ABCD。

816.几何不等式初步-奥数精讲与测试8年级

例1．如图，P是△ABC内任一点，求证： 1 2 (a+b+c)＜PA+PB+PC＜a+b+c。例2．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，求证：AC＜2AB 。例3．如图，设正△AB C的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别为S和t，求S2?t2的值。例4．如图，△ABC中，BC为最大边，AB=AC，CD=BF，BD=CE，求∠ DEF的取值范围。例5．已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°？请证明你的结论。

A 卷一、填空题 01．在周长为a 的等腰三角形中，腰长x 的取值范围是__________。 02．如图260，在△ABC 中，若AB=5，AC=3，则BC 边上的中线MA 的取值范围是__________。 03．在△ABC 中，若∠A=58°，AB ＞BC ，那么∠B 的取值范围是__________。 04．根据绝对值的几何意义，代数式321x x x ++-++的最小值为__________。 05．在锐角△ABC 中，a=1，b=3，则第三边。的变化范围是__________。 06．在△ABC 中AB ＞AC ，∠A 的平分线交BC 于D ，则BD_____CD （填“＞”或“＜”）。 07．如图261，设△ABC 为等边三角形，P 是任意点，则PB +PC ____PA （填“＜”、“＞”或“＝”）。 08．已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，∠DAB=∠CBA=90°，O 为DC 的中点，则OA _____OB （填“＞”、“＝”或“＜”）。 09．如图262，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC +DE=CD ，∠ABC +∠AED=180°，连结AD ，则∠ADE_______∠ADC(填“＞”、“＝”或“＜”）。 10．如图263，△ABC 中，AB ＞AC ，P 是∠A 平分线AD 上一点，则PB ?PC_______（填“＞”或“＜”）AB ?AC 。二、解答题 11．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论。 12．如图，已知∠MON 内有一点P ，分别在OM 与ON 上，求作点A 与点B ，使△APB 的周长最小。

817.同余-奥数精讲与测试8年级

例1．求证：⑴8︱(551999＋17)；⑵ 8︱(32n ＋7)；⑶ 17︱(191000?1)。例2．求使2n ?1为7的倍数的所有正整数n 。例3．把1、2、3、…、127、128这128个数任意排列为a l 、a 2、…、a 128，计算出、、…、，再将这64个数任意排12a a -34a a -127128a a -列为b 1、b 2、…、b 64，计算出、、…、。如此继12b b -34b b -6364b b -续下去，最后得到一个数x ，问x 是奇数还是偶数？例4．m 、n 是正整数，证明：3m +3n +1不可能是完全平方数。例5．任意平方数除以4，余数为0或1(这是平方数的重要特征)。例6．任意平方数除以8余数为0，1，4(这是平方数的又一重要特征）。

A卷一、填空题 01.a除以5余1，b除以5余4。如果3a＞b，那么3a?b除以5的余数是__________。 02. 71427和19的乘积被7除，余数是__________。 03. 1+22+33+44+55+66+77+88+99≡__________ (mod3)。 04. 一个数除以3余2，除以4余1，这个数除以12的余数是__________。05. 今天是星期一，过21995是星期__________。 06. 10100被7除的余数是__________。 07. 1至5 000之间同时被3、5、7除都余2的数有__________个。 08. 1至1 000之间同时被2、3、7除都余1的数有__________个。 09.用除以7，余数是__________。 19943 3333 个 10. 1993年的元旦是星期五，那么1996年五月一日是星期__________。二、解答题 11.甲、乙两数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知甲数有12个约数，乙数有10个约数，那么甲、乙两数的最小公倍数是多少？

广东四会中学2017九年级奥数培训.三角形的“四心”-奥数精讲与测试(无答案)

知识点、重点、难点三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。 1.外心三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，△ABC 的外心通常用字母O 表示。它具有如下性质： (1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径； (2)在△ABC 中，若∠A 是锐角，则∠BOC =2∠A ；若∠A 是钝角，则 ∠BOC ＝360°－2∠A . 2.内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，△ABC 的内心一般用字母I 表示．它具有如下性质： (1)内心在△ABC 三边距离相等，这个相等的距离是△ABC 内切圆的半径； (2)若I 是△ABC 的内心，则 11190,90,90222 BIC A CIA B AIB C ∠=+∠∠=+∠∠=+∠； (3)若I 是△ABC 的内心，AI 延长线交△ABC 外接圆于D ，则有DI = DB ＝DC ，即D 为△BCI 的外心。 3.重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质： (1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍； (2)若G 是△ABC 的重点，则1 3 GBC GCA GAB ABC S S S S ????===； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。 4.垂心三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质： (1)图中有六组四点共圆（如A 、F 、H 、E ；A 、B 、D 、E 等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH ·HD =BH ·HE =CH ·FH ； (2)垂心H 关于三边的对称点均在△ABC 的外接圆上； (3) H 、A 、B 、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心； (4) △ABC 的内接三角形（即顶点在△ABC 的边上）中，以垂足△DEF 的周长最短。例题精讲例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP = BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆。分析一连结AO 、CO 、PO 、QO ，要证O 、A 、P 、Q 四点共圆，显然只要证∠P =∠Q .在△A QO 和△CPO 中，由AB =AC ，BQ =AP ，得AQ ＝CP ，又O 点是△ABC 的外心，故OA ＝OC ，∠OCP ＝∠OAC .由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上，所以∠OAC ＝∠OAQ .从而∠OCP ＝∠OAQ ，故△AQO ≌△CPO ，可得∠CPO ＝∠AQO .因此O 、A 、P 、Q 四点共圆。分析二 O 是△ABC 的外心，作△ABC 的外接圆O ，并作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥AC 于 G ，连结OP 、OQ （图略）．易知OH ＝OG ，BH = AG ，从而 Rt △OQH ≌Rt △OPG ，于是∠P =∠Q ，故O 、P 、A 、Q 四点共圆。例2：已知∠ACE =∠CDE = 90°，点B 在CE 上，CB = CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于点F （如图241），求证：F 是△CDE 的内心。证明连结DF 、DB 、CF ，则∠CDF =∠A =45°，∠EDF = 45°，即DF 是∠CDE 的平分线。因为CD = CB ，所以∠CDB =∠CBD .又∠CDF = ∠CBF =45°，所以∠FDB =∠FBD ，所以DF =BF .又CF 为公共边，所以△DCF ≌△BCF ，所以∠DCF = ∠BCF ，即CF 为∠DCE 的平分线。因此F 为△CDE 的内心。例3：如图，已知△ABC 的高AD 、BE 交于H ，△ABC 、△ABH 的外接圆分别为⊙O 与⊙1O ，求证：⊙O 与⊙1O 的半径相等。证明如图所示，过A 作⊙1O 和⊙O 的直径AP 、AQ ，连结PB 、QB ，则 ∠ABP =∠ABQ = 90°，故P 、B 、Q 三点共线。因为H 为△ABC 的垂心，所以D 、C 、E 、H 四点共圆，所以∠AHE =∠C .又∠C =∠Q ，所以∠AHE = ∠Q .因为A 、H 、B 、P 均在⊙1O 上，所以∠AHE =∠P ，所以∠P =∠Q ，所以AP = AQ .所以⊙O 与⊙1O 的半径相等。

因式分解-奥数精讲与测试8年级

例1．分解因式： ⑴a6?b6； ⑵a2＋b2＋c2?2bc＋2ca?2ab； ⑶a7?a5b2＋a2b5?b7 例2．分解因式： ⑴a3＋b3＋c3?3abc；⑵x3＋y3＋3xy?1. 例3．分解因式：(x?1)3＋(x?2) 3＋(3?2x) 3例4．分解因式：x3?5x＋4. 例5．分解因式：x5n＋x n＋1. 例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2?1)2十(x?1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2 A卷

一、填空题 01.分解因式(a＋b)2＋(a?b) 2＋c(a2+b2)＝_________。 02 ．计算 () 2 22 200220012003 2002200220012001 -? -?+ 的结果等于_________。 03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。 04.分解因式（x2＋3x?3)(x2十3x＋4)?8=_________。 05.将多项式x2?4y2?9z2?12yz分解成因式的积，结果是_________。 06.把(1? x2)(1? y2)＋4xy因式分解，结果是_________。 07．已知x?1是多项式x3?3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。 08.分解因式(x2?1)(x4＋x2＋1)? (x3＋1)2 =_________。09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。 10.分解因式(x?2y)x3?(y?2x) y3=_________。二、解答题 11．分解因式a3＋b3＋c3?3abc. 12.已知x y ≠，且x3?x=7，y3?y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？ B卷一、填空题 01．分解因式ab(c2?d2)?cd(a2?b2)＝_________。

2017小学数学奥数精讲第一讲速算与巧算练习3-副本分析

加减法巧算练习3 练习题 1、99999+9999+999+99+9 2、574-397 3、483+254-183 4、83+82+78+79+80+81+78+79+77+84 5、356+（644-178） 6、4521-（627+521） 7、1847-386-414 水平测试1 A 卷一、填空题 1. 773+368+227=____________ 2. 10000-8927=__________

3. 582-(82-14)=__________ 4. 4941-268+28=__________ 5. 125×19×8=___________ 6. 11500÷2300=__________ 7. (20+8)×125=_________ 8. 22500÷(100÷4)=______________ 9. 在加法算式中,两个加数都增加26,则和增加__________ 10. 在减法算式中,被减数与减数都增加6,则差_________ 二、解答题 11. 计算:999+99+9+3 12. 计算:(24-15+37)+(26+63-35) 13. 计算:3572-675-325-472 14. 计算:56241×8÷24

15. 计算:125×16×25 16. 计算:375×823+177×375 17. 计算:1624÷29-1334÷29 B 卷一、填空题 1. 34+47+53+66=___________ 2. 3000-99-9-999=__________ 3. 111000-(99998+9997)-996=__________ 4. 1028-(233-72)-67=______________ 5. 在加法算式中,一个加数增加53,另一个加数减少27,则和是___________ 6. 161÷23+92÷23+115÷23=____________ 7. 27^2-23^2=__________

808.三角形的全等及其应用-奥数精讲与测试8年级

例1．如图，OA=OB，OC=OD，求证：∠AOE=∠BOE。例2．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，CE⊥AD于F交A B于E，求证：∠CDF=∠BDE。例3．如图，在△ABC中AB=AC，直线l过A且l∥BC，∠B的平分线与AC交于D，与l交于E，∠C的平分线与AB交于F，与l交于G。求证：DE=FG。例4．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC 为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于点F，求证：EF=FD。例5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠ABC的平分线，求证：AD+BD=BC。例6．如图，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形AMN。求证：△AMN的周长等于2。例7．如图，在△ABC中，∠A＜60°，以AB、AC为一边，分别向外作等边△ABD和△ACF，又以BC为边向内作等边△BCE，连结DE，EF。求证：AD∥EF。例8．已知△AB C中AB=AC，CE是边AB上的中线，延长AB到D，使BD=AB，求证CE= 1 2 CD 。 A卷

一、填空题 01．如图9，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠CBA的平分线交AC于D，过C作BD的垂线，垂足为E，CE和BA的延长线相交于F。若CE=5，则BD=________。 02．如图10，AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，则∠BCE=________。03．如图11，在等边△ABC中，AD=BE=CF，若三个全等的三角形为一组，则图中共有________组全等三角形。 04．如图12，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BE=BC，∠DBE=∠DBC，则∠BED=_______。 05．如图13，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C=_______。 06．如图14，正方形ABCD边长为1，P、Q分别是边BC、CD上的点，连结PQ。若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=________。 07．如图15，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长，在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连结BE、AD，分别交AC于M，交CE于N。若CM=x，则CN=________。 08．如图16，△ABD中，∠BAD=45°，AE⊥BD于E，DF⊥AB于F，交AE于G。若BE=4，DE=4，则AG=________。09．如图17，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、D、E在一条直线上。若BE=2，CE=4，则AE=_______。 10.如图18，等边△ABC中，E、D分别是CA延长线，AB 延长线上的点，且BD=AE，连结EB并延长交CD于F，则∠BFC=_______。二、解答题 11．如图19，已知CD、BE相交于A，M是BC的中点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△BMD≌△CME。 12．如图20，已知过△ABC的顶点A，在∠BAC内部任意作一条射线，过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE，M为BC中点。求证：MD=M E。

(完整word版)奥数小学三年级精讲与测试_第4讲_植树问题

第4讲植树问题知识点、重点、难点以植树为内容,研究植树的棵树、棵与棵之间的距离(棵距)和需要植树的总长度(总长)等数量间关系的问题,称为植树问题. 植树问题在生活中很有实际运用价值,其基本数量关系和解题的要点是: 1.植树问题的基本数量关系:每段距离×段数=总距离. 2.在直线上植树要根据以下几种情况,弄清棵数与段数之间的关系: (1)在一段距离中,两端都植树,棵数=段数+1; (2)在一段距离中,两端都不植树,棵数=段数-1; (3)在一段距离中,一端不植树,棵数=段数. 3.在封闭曲线上植树,棵数=段数.

例题精讲: 例1 有一条长1000米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵树苗,一共需要准备多少棵树苗? 分析:先将全长1000米的公路每25米分成一段,一共分成多少段?种树的总棵树和分成的段数的关系是棵数=段数+1. 解1000÷25+1=41(棵). 答:一共需要准备41棵树苗. 例2 公路的一旁每隔40米有木电杆一根(两端都有).共121根.现改为水泥电杆51根(包括两端),求两根相邻水泥电杆之间的距离. 分析:公路全长为40×(121-1) 解40×(121-1)÷(51-1)=40×120÷50=96(米). 答:两根相邻水泥杆之间的距离是96米. 例3 两幢大楼相隔115米,在其间以等距离的要求埋设22根电杆,从第1根到第15根电杆之间相隔多少米? 分析:在相距115米的两幢大楼之间埋设电杆,是两端都不埋电杆的情况,115米应该分成22+1=23段,那么每段长是115÷23=5米,而第1根到第15根电杆间有15-1=14段,所以第1根到第15根电杆之间相隔(5×14)米. 解115÷(22+1)×(15-1)=115÷23×14=70(米) 答:从第1根到第15根之间相隔70米. 例4 工程队打算在长96米,宽36米的长方形工地的四周打水泥桩,要求四角各打一根,并且每相邻两根的距离是4米,共要打水泥桩多少根? 分析:先求出长方形的周长是(96+36)×2=264米,每4米打一根桩,因为是沿着长方形四周打桩,所以段数和根数相等,可用264÷4来计算. 解 (96+36)×2÷4=132×2÷4=66(根). 答:共要打水泥桩66根. 例 5 一个圆形水库,周长是2430米,每隔9米种柳树一棵.又在相邻两棵柳树之间每3米种杨树1棵,要种杨树多少棵? 分析:沿着封闭的圆形水库四周植树,段数与棵数相等,沿着2430米的四周,每隔9米种柳树一棵,共可种2430÷9=270棵,也就是把水库四周平分成270段.又在相邻两棵柳树之间,每隔3米种杨树一棵,每段可种9÷3-1=2棵,总共可种杨树2×270=540棵. 解 (9÷3-1)×(2430÷9)=2×270=540(棵) 答:水库四周要种杨树540棵. 例 6 红星小学有125人参加运动会的入场式,他们每5人为一行,前后两行的距离为2米,主席台长32米.他们以每分钟40米的速度通过主席台,需要多少分钟? 分析:这是一道与植树问题有关的应用题.利用"有125人,每5人为一行"可求出一共有125÷5=25行,行数相当于植树问题中的棵数,"前后两行距离是2米"相当于每两棵树之间的距离,这样可求出队伍的长度是2×(25-1)米.再加上主席台的长度,就是队伍所要走的距离.用队伍所要走的距离,除以队伍行走的速度,可求出所需行走的时间了. 解 [2×(125÷5-1)+32]÷40=[2×24+32]÷40=80÷40=2(分钟). 答:队伍通过主席台要2分钟.

809.勾股定理-奥数精讲与测试8年级

例1．如图46，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2。例2．如图47，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6， BC=5?3，CD=6，求AD的长。例3．如图48，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2。例4．如图49，已知△ABC中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC 上一点，若∠EDF=90°，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°。例5．如图50，正方形ABCD中，点M为AB的中点，AE= 1 4 AD，点N 是EC的中点，求证：MN= 1 2 EC。例6．求证：2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1 (n是正整数)是一组勾股数。例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。 A卷

一、填空题 01．高为3的等边三角形的面积为_________。 02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。 03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。 04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为1+3，由此三角形的面积为_________。 05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。 06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。 07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。 08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC=_________。 09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且BD=5，CD=3，则AC=_________。10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。二、解答题 11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：BE2=EC2+BC?DE。 12．如图55，已知△ABC中，∠BAC=90°，E、D是BC的三等分点。求证：222 5 9 AE AD BC += B卷一、填空题

716.奇数和偶数-奥数精讲和测试7年级1116

例1．在1、2、3、?、2007中的每个数前面任意添上一个正号或负号，试判断它们的代数和是奇数还是偶数。例2．1、2、3、?98共98个自然数中，能够表示成两整数的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？例3．将图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？说明理由。例4．在6张纸片的正面分别写上整数1、2、3、4、5、6。打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1~6这六个整数。然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。例5．设1、2、3、…、9的任一排列的a1、a2、…、a9，求证：(a l?1)(a2?2)…(a9?9)是一个偶数。例6．有n个数x1、x2、…、x n，它们中的每一个数或者为1，或者为?1。如果x1x2+x2x3+?+x n?1x n+x n x1=0，求证：n是4的倍数。例7．设a、b是正整数，且满足关系式 (11111+a)(11111?b)＝123456789，求证：a?b是4的倍数。

A卷一、填空题 01．三个质数之和为86，三个质数是______________。 02．已知三个整数a、b、c的和为奇数，(a+b+c)(a+b?c)一定是_______数(填奇或偶)。 03．三个不同的质数m、n、p满足m+n=p，mnp的最小值是_________。 04．摆渡船往返于江的两岸，若最初从北岸开始，若干次后又回到北岸，那么船过江的次数是_________(奇数或偶数)。若从北岸出发过江2003次后停在_______ (南或北)岸。 05．五个连续奇数的和是85，其中最大的数是_______，最小的数是_______。 06．如图1是一张靶纸，靶纸上的1、3、5、7、9表示射中该靶区的分数。甲说：“我打了六枪，每枪都中靶得分，共得了27分”；乙说：“我打了3枪，每枪都中靶得分，共得了27分。”已知甲、乙两人只有一人说的是真话，说假话的是_______。 07．前100个正偶数之和等于_________。 08．200个正整数，它们的和是5000。在这些数里奇数的个数比偶数多，偶数最多有_________个。 09．5个连续奇数之和的绝对值的最小值为_________。10．有两个质数，它们的和是小于100的奇数，并且是17的倍数，这两个质数是_________。二、解答题 11．设x1、x2、?、x2006中每个数取+1或?1，求证：x1+2x2+3x3+?+2006x2006 ≠0。 12．在桌子上放着四个杯子，杯口都朝上，每次翻动三个杯子，能否翻动若干次后，将杯子口全部朝下？若杯子有五个，每次翻动四个杯子，其他条件不变，情况又如何？ B卷一、填空题

809.勾股定理-奥数精讲与测试8年级

例1．如图46，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 边上一点，求证：BD 2+DC 2=2AD 2。例2．如图47，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB= ，BC=5 CD=6，求AD 的长。例3．如图48，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：BD 2=AB 2+BC 2。例4．如图49，已知△ABC 中，D 是BC 中点，E 为AB 上一点，F 为AC 上一点，若∠EDF=90°，且BE 2+FC 2=EF 2，求证：∠BAC=90°。例5．如图50，正方形ABCD 中，点M 为AB 的中点，AE=AD ，点N 1 4 是EC 的中点，求证：MN= EC 。1 2 例6．求证：2n 2 + 2n ， 2n +1，2n 2+2n +1 (n 是正整数)是一组勾股数。

例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。 A卷一、填空题 01 的等边三角形的面积为_________。 02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。 03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。 04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为 1_________。05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。 06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。 07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。 08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB?PC=_________。 09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于 D ，且BD=5 ，CD=3，则AC=_________。 10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。二、解答题 11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：

三年级奥数精讲与测试方阵问题

三年级奥数精讲与测试方阵问题【基本知识点】概念：横着的排叫行；竖着的排叫列。行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形叫方队，也叫方阵。特点：1、方阵无论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同，每向里一层，每边上的人数就少2. 2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1] ×4 每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4+1 3、整个方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数【例题】 1、有一个正方形操场，每边都载17棵树，四个角各种1棵，共种多少棵？答案：64 2、某校四年级的同学排成一个方阵，最外层的人数为80人，问最外一层每边上有多少人？，这个方阵共有四年级学生多少人？答案：441 3、妈妈用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16个，妈妈摆这个方阵共用了多少个围棋子？答案;156 4、一堆围棋子，排成一个实心方阵，后来又添进21只棋子，使横竖各增加一排，成为一个新的实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？答案：100 5、有一堆棋子排成实心方阵多余3只，如果纵、横各增加一排，则缺8只，问一共有棋子多少？答案：;8

1、用棋子排成一个正方形，共排成9排，每排9个，排成这个正方形共用＿＿81枚棋子。 2、有一个正方形池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽20＿＿课树。 3、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，四边一共栽24 棵树，每边栽＿7＿棵树。 4、在大楼的正方形场地的四边竖电线杆，四个角上都是一根，一共竖28根，则场地的每边竖8＿＿根。 5、方阵每边的实物数量＿相等＿，相邻两层每边实物数量相差＿2＿，相邻两层实物数量相差＿8＿。 6、小明用棋子排成一个五层空心方阵，外层每边有15个棋子，这个空心方阵用有棋子＿＿个。200 7、向阳小学有576名学生，进行列队训练，若排成三层空心方阵，这个方阵的最外层有＿＿人。51 8、新华小学四年级学生排成一个实心方阵，还多9人，如果横竖各增加一排，成为大一点的实心方阵，又差24人，求四年级学生共有多少人？256

2019年奥数小学三年级精讲与测试第3讲简单数列求和

2019年奥数小学三年级精讲与测试第3讲简单数列求和知识点、重点、难点当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数,这样的数列就称为等差数列.其中固定的差用d表示,和用S表示,项数用n表示,其中第n项用a n表示.等差数列有以下几个通项公式: S=(a1+a n)×n÷2, n=(a n-a1)÷d+1(当a1