高中数学必修五考试卷试题.docx

必修五阶段测试四(本册综合测试 )

时间： 120 分钟满分： 150 分

一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分 )

3x－ 1

1．不等式2－x≥1的解集是 ()

D． { x| x<2}

2．(2017 ·存瑞中学质检 ) △中，

a ＝ 1，＝45°，△ ABC＝2，则△外接圆的直径为 ()

ABC B S ABC A． 4 3B．5C． 5 2D． 6 2

3．若a<0，则关于x的不等式x2－ 4ax－ 5a2>0 的解为 ()

A． >5 或

x <－

a

B．

x

>－

a

或<5C．－< <5D．5< <－

a

x a x a a x a a x

11

4．若a＞ 0，b＞ 0，且 lg( a＋b) ＝－ 1，则a＋b的最小值是 ()

B．10C． 40D． 80

5．设S n为等差数列 { a n} 的前n项和，若a1＝1， a3＝5， S k＋2－ S k＝36，则 k 的值为() A． 8B． 7C． 6D． 5

6．若，，∈ R， >，则下列不等式成立的是()

a b c a b

1

>1

>

b

D． ||> ||

<22

b b

c ＋1 a c b c

7．已知等差数列 { a } 的公差为d( d≠0) ，且a＋a＋a＋a＝ 32，若a＝ 8，则m的值为 ()

n361013m

A． 12B． 8C． 6D． 4

x＋ y≤8，

2y－x≤4，

若变量x， y 满足约束条件且 z＝5y－ x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a— b 的x≥0，

y≥0，

值是 ()

A． 48B． 30C． 24D． 16

n n n n

17S－S*n

9．设 {

a } 是等比数列，公比

q

＝2，

S

为{

a

} 的前

n

项和，记

T

＝n2n0 为数列{

T

} 的

( ∈N ) ，设

a n＋1n Tn

最大项，则 n ＝()

A． 2B． 3C． 4D． 5

2122

10．设全集U＝ R，A＝ { x|2(x－1) <2} ，B＝ { x|log2( x＋ x＋1)>－ log 2( x＋ 2)}，则图中阴影部分表示的集合为 ()

A． { x|1 ≤x<2}B．{x|x≥1}C．{x|0

11．在等比数列 { a n } 中，已知 a 2＝ 1， 其前三 的和 S 3 的取 范 是 ( )

A ． ( －∞，－ 1]

B ． ( －∞， 0] ∪ [1 ，＋∞)

C ． [3 ，＋∞)

D

． ( －∞，－ 1] ∪ [3 ，＋∞)

1

12．(2017 ·山西朔州期末 ) 在数列 { a n } 中，a 1＝ 1，a n ＋ 1＝ a n ＋ n ＋ 1， 数列

a n 的前 n 和

S n ，若 S n

一切正整数 n 恒成立， 数 的取 范 ( )

m

A ． (3 ，＋∞ )

B ．[3 ，＋∞)

C ． (2 ，＋∞ ) D

． [2 ，＋∞)

二、填空 ( 本大 共 4 小 ，每小 5 分，共 20 分)

13．(2017 ·福建莆田二十四中期末 ) 已知数列 { a } 等比数列，前

n 的和 S ，且 a ＝ 4S ＋ 3， a ＝

n

n

5

4

6

4S ＋3， 此数列的公比

q ＝ ________.

5

14．(2017 ·唐山一中期末 ) 若 x >0， y >0， x ＋ 2y ＋ 2xy ＝ 8， x ＋ 2y 的最小 是 ________ ．

15．如右 ，已知两座灯塔

A 和

B 与海洋 察站

C 的距离都等于

3a km ，灯塔 A 在 察站 C 的北偏

20°. 灯塔 B 在 察站 C 的南偏 40°， 灯塔 A 与灯塔 B 的距离 ________．

16．已知 a ， ， 分 △ 三个内角

， ，

C 的 ，

a ＝ 2，且 (2 ＋ )(sin － sin ) ＝ ( c

－ )sin ，

b c ABC

A B

b

A

B b

C

△ ABC 面 的最大 ________．

三、解答 ( 本大 共 6 小 ，共 70 分 )

17． (10 分)(2017 ·山西太原期末

) 若关于

x 的不等式 ax 2

＋ 3 x － 1>0 的解集是

1 < <1 .

x 2

x

(1) 求 a 的 ；

(2) 求不等式 ax 2－3x ＋ a 2＋ 1>0 的解集．

18.(12 分 ) 在△

中，内角 ， ，

C 的 分 a ， ， ，且

> . 已知 → ·

→

＝ 2，cos ＝ 1 ， ＝

ABC

A B b c

a c BA BC

B 3

b

3. 求：

(1)

a 和

c 的 ； (2)cos(

－ ) 的 ．

B C

19． (12 分)(2017 · 宁沈阳二中月考

) 在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的 分

a ，

b ，

c ，且 cos A ＝ 1.

3

(1) 求 sin

2

B ＋ C

＋cos2 A 的 ；

2

(2) 若 a ＝ 3 ，求 bc 的最大 ．

20.(12 分)(2017 · 春十一高中期末

) 数列 { a

* 3 3 3 } 的各 都是正数，且 于 n ∈N

，都有 a ＋ a ＋ a ＋?

n

1

2

3

3

2

＋ a n ＝ S n ，其中 S n 数列 { a n } 的前 n 和．

(1) 求 a 2；

(2) 求数列 { a n } 的通 公式．

x ＋ 2y ≤2n ，

21．

(12 分 已知点 ( x ， y ) 是区域

x ≥0，

( n ∈ ＋ 内的点，目标函数 z ＝ ＋ ， z 的最大值记

)

N ) x y

y ≥0

作 z n . 若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1＝ 1，且点 ( S n ， a n ) 在直线 z n ＝ x ＋y 上．

(1) 证明：数列 { a n － 2} 为等比数列；

(2) 求数列 { S n } 的前 n 项和 T n .

22.(12

分 ) 某投资商到一开发区投资

72 万元建起一座蔬菜加工厂，

第一年共支出

12 万元，以后每年支

出增加

4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入

50 万元．设

f ( n ) 表示前

n 年的纯利润总和

( f ( n ) ＝前 n 年的

总收入－前

n 年的总支出－投资额

) ．

(1) 该厂从第几年起开始盈利？

(2) 若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以

48 万

元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以

16 万元出售该厂，问哪种方案更合算？

答案与解析

1 ． B 由 3x －1 ≥1， 可 得 3x －1

－ 1≥0， 所 以 3x － 1－ 2－ x

≥0， 即 4x － 3

≥0 ， 所 以

2－x 2－ x 2－ x

2－ x 4x － 3

x － 2 ≤0，

3

x －2≠0，

解得 4≤ x <2.

故选 B.

1

2． C ∵ S △ABC ＝2ac sin B ＝2，

1

2

∴ 2×1× 2 c ＝ 2，∴ c ＝4 2，

2

2

2

2

∴ b ＝ c ＋a － 2ac cos B ＝ 32＋ 1－2×1×4 2× 2 ＝ 25，

b ＝ 5 2，故选 C.

∴ b ＝ 5，∴外接圆的直径为 ＝ 5 sin B 2

2

3． B ( x ＋ a )( x － 5a )>0. ∵ a <0, ∴－ a >5a .

∴ x >－a 或 x <5a ，故选 B.

4． C

若 lg( a ＋ b ) ＝－ 1，则 a ＋ b ＝

1

，

10

1 1

1

1

∴ a ＋b ＝ 10 a ＋ b ( a ＋ b ) ＝

b a

10 2＋a ＋ b ≥10(2 ＋ 2) ＝40.

1

当 a＝b＝20，“＝”成立，故 C.

5－ 1

5． A∵ a1＝1，a3＝5，∴公差d＝2＝2，

∴a n＝1＋2( n－1)＝2n－1，

S k＋2－ S k＝ a k＋2＋ a k＋1＝2( k＋2)－1＋2( k＋1)－1＝4k＋4＝36，∴ k＝8，故 A.

6． C∵ > ，21

>0，∴2a> 2

b

，故 C.

a b

c ＋1 c ＋1 c ＋1

7． B由等差数列的性知，a3＋ a6＋ a10＋a13＝4a8＝32，

∴a8＝8.又 a m＝8，∴ m＝

8.8． C

如所示，当直z＝5y－ x A点 z 最大，即 a＝16， C点 z 最小，即 b＝－8，∴ a－ b＝24，故 C.

9． A a12n－ 1＝

a n

a122n－ 1＝

a1

(22n n

n＝1(2－1)， 2n＝－ 1) ，n＋ 1＝ 1·2，

S2－ 1S2－1a a

17 n－2n17

a12n－ 1 －122n－ 1n16

n S S

＝

a

＝ 17－

2 ＋

n≤17－ 8＝ 9，当且当n＝2取等号，

n

∴ T ＝

a n＋ 112

a ·2

∴数列 { T n} 的最大T2， n 0＝2，故 A.

10． A由2(x－1)2<2，得(x－1)2<1.解得0

∴A＝{ x|0< x<2}．由log 1

( x2＋ x＋1)>－log2( x2＋2)，2

得log 2( x2＋x＋ 1)

x2＋ x＋1>0，

2

x ＋2>0，解得x<1.

∴B＝{ x| x<1}．∴?U B＝{ x| x≥1}．

∴阴影部分表示的集合

( ?U B) ∩A＝ { x|1 ≤x<2} ．

1数列{a n}的公比q，a2＝a1q＝1，∴ q＝，a1

∴ S3＝ a1＋a2＋ a3＝ a1＋ a1q＋ a1q2＝ a1＋1＋1

，当 a1>0， S3≥1＋2a

1·1＝ 3，当且当a1＝1，a

1

a

1

取等号；当 a1<0， S3≤1－2＝－1，当且当 a1＝－1，取等号．

故 3 的取范是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

S

12． D a1＝1， a n＋1－ a n＝ n＋1，

a n＝( a n－ a n－1)＋( a n－1－ a n－2)＋?＋( a2－ a1)＋a1

＝ ( n －1＋ 1) ＋ ( n － 2＋ 1) ＋?＋ (1 ＋1) ＋ 1

n n ＋1

，

＝ n ＋ ( n － 1) ＋ ( n － 2) ＋?＋ 2＋ 1＝ 2

当 n ＝1 ，也 足上式，

n

n n ＋ 1

，

∴ a ＝

2

1

2

1

1

n

＝

n n ＋

1

＝ 2 n － n ＋ 1 ，

a

n

2 1－ 1＋ 1－1

＋?＋ 1

－

1

∴ S ＝

2

2 3

n ＋ 1 ＝

n

1

2 1－ n ＋ 1 .

∵ S n

13． 5

解析： 由 可得 a 5－ a 6＝ 4S 4－ 4S 5＝－ 4a 5，

∴ a 6＝ 5a 5，∴ q ＝ 5.

14． 4

解析： ∵ x ＋ 2y ＋ 2xy ＝ 8，

又

2xy ≤

x ＋

2y

2

，

2

∴ x ＋ 2y ＋

x ＋

2y 2

≥8，

2

12

∴ 4( x ＋2y ) ＋ x ＋ 2y －8≥0，

∴ x ＋ 2y ≥4，

当且 当 x ＝ 2y ＝ 2 ，等号成立．

∴ x ＋ 2y 的最小

4.

km

解析： 由 意知，∠ ACB ＝120°，

∴

2

＝ 3 2＋ 3 2－ 2 3 × 3 cos120°＝ 9

2,

AB a a aa

a

∴ AB ＝3a km.

解析： 由正弦定理及

(2 ＋b )(sin

A － sin

B ) ＝( c － b )sin

C ，得 (2 ＋ b )(

a －

b ) ＝ (

c －b ) c ，又 a ＝ 2，

∴ b 2＋ c 2－a 2＝ bc . 由余弦定理得

b 2＋

c 2－ a 2

bc

1

cos A ＝

2bc

＝2bc ＝ 2，∴ A ＝60°.

又 22＝ b 2＋c 2－ 2bc cos60°＝ b 2＋c 2－ bc ≥2bc － bc ，

∴ bc ≤4. 当且仅当 b ＝ c 时取等号．

∴ S ＝ bc sin A ≤ ×4×

＝ 3.

△ ABC 1

1 3

2

2

2

2

1

17． 解： (1) 依题意，可知方程

ax ＋3x － 1＝ 0 的两个实数根为 2和

1，

1 3 1 1

∴ 2＋ 1＝－ a 且2×1＝－ a 解得 a ＝－ 2，

∴ a 的值为－ 2，

(2) 由 (1) 可知，不等式为－ 2x 2－ 3x ＋5>0，即 2x 2＋ 3x － 5<0，

2

5 ∵方程 2x ＋ 3x －5＝ 0 的两根为 x 1＝ 1，x 2＝－ ，

2

∴不等式 ax 2

－ 3x ＋ a 2

＋ 1>0 的解集为 x －

5

2

→ →

1 18． 解： (1) 由BA · BC ＝ 2

得 c · a cos B ＝ 2，又 cos B ＝ ，所以 ac ＝ 6.

3

由余弦定理，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2ac cos B .

又 b ＝3，所以 a 2＋c 2＝ 9＋2×2＝ 13.

ac ＝ 6， 解

2＝ 13，

得 ＝ 2， ＝3 或 a

＝ 3， ＝ 2.

a 2＋c ac

c

因 a >c ，所以 a ＝ 3， c ＝ 2.

2

1 2 2 2

(2) 在△ ABC 中， sin B ＝ 1－ cos B ＝

1－ 3 ＝ 3 ，

c 2 2 2 4 2 由正弦定理，得 sin C ＝b sin B ＝ 3× 3 ＝ 9 .

因 a ＝b >c ，所以 C 是锐角，因此

cos C ＝ 1－ sin 2

C ＝ 1－ 4

2 2 7

9 ＝ 9.

1 7

2 2

4 2

23

于是 cos( B － C ) ＝ cos B cos C ＋ sin B sin C ＝ 3×9＋ 3 × 9 ＝ 27.

1

19. 解： (1) 在△ ABC 中，∵ cos A ＝ 3，

2

B ＋ C

1

2

1

2

1

∴ sin 2 ＋ cos2 A ＝ 2[1 －cos( B ＋ C )] ＋ 2cos A － 1＝ 2(1 ＋ cos A ) ＋ 2cos A － 1＝－ 9

.

(2) 由余弦定理知 2＝ 2＋ 2

－ 2 cos ，

a b

cbc

A

∴ 3＝ b 2

＋ c 2

－ 2

bc ≥2bc － 2

bc ＝ 4

bc ，

3 3 3

∴ bc ≤9，当且 当 b ＝ c ＝ 3

，等号成立，

4

2

9

∴ bc 的最大 4.

20． 解： (1) 在已知式中，当

3

2

，∵ a 1>0，∴ a 1 ＝ 1，

n ＝ 1 ， a 1＝ a 1 当 ≥2 ， 3 3 3

3

2

n a 1＋ 2＋

3＋?＋

a

n ＝ n ，①

a

a

S

3

3 3

3

2

，②

a ＋ a

＋ a ＋?＋ a

n －1 ＝ S

1

2

3

n －1

3

＋a ) ．

①－②得 a ＝ a (2 a ＋ 2a ＋?＋ 2a

n n

1

2

n － 1n

∵ n >0，∴

a 2

2 2

＋?＋ 2 n － 1＋

n

，即

2 n

，

n ＝ 2 1＋

n

＝ 2 n

－

a

a a

a a aS a

2

＝ 2(1 ＋ a 2) － a 2，解得 a 2＝－ 1 或 a 2＝ 2，

∴ a 2

∵ a n >0，∴ a 2＝ 2.

(2) 由 (1) 知

2

＝ 2 － *

a a ( ∈ N ) ，③

n

n

n

当 n ≥2 ， a

2

＝ 2S － a

，④

n －1

n － 1 n － 1

2

2 S n － S n －1) － a n ＋a n － 1＝ 2a n － a n ＋ a n －1＝ a n ＋ a n －1.

③－④得 a n － a n － 1＝ 2(

∵ n ＋ n －1>0，∴ a n － n － 1＝ 1，∴数列 { n } 是等差数列，首 1，公差

1，可得

a

n

＝ .

a a

a

a

n

21. 解： (1) 明：由已知当直 点 (2 n, 0) ，目 函数取得最大 ，故

z n ＝ 2n .

∴方程 x ＋ y ＝ 2n .

∵ ( S n ， a n ) 在直 z n ＝ x ＋ y 上，∴ S n ＋ a n ＝ 2n . ① ∴ S n －1＋ a n －1＝ 2( n － 1) ， n ≥2. ②

由①－②得， 2a n －a n － 1＝2， n ≥2. ∴ a n － 1＝2a n － 2， n ≥2.

a n － 2a n － 2 a n － 2

1

1

又∵

a n －1－ 2＝ 2a n － 2－ 2＝

2 a n － 2

＝ 2， n ≥2， a － 2＝－ 1，

1

∴数列 { a n － 2} 是以－ 1 首 ， 公比的等比数列．

(2) 由 (1) 得

n

－ 2＝－ 1 n － 1

1 n － 1

，∴

n

＝ 2－.

a

2

a

2

∵ S n ＋ a n ＝2n ，∴ S n ＝2n － a n ＝ 2n － 2＋ 1 n

－1

. 2

1 0

1

1

n －1

∴ T n ＝ 0＋ 2

＋ 2＋ 2 ＋?＋

2n － 2＋ 2

＝ [0 ＋2＋?＋ (2 n － 2)] ＋

1

＋

1

＋?＋

1 n －1

2

2

2

1 n

n 2n － 2

1－ 2

2

1

n －1

＝

2

＋

1 ＝ n －n ＋ 2－ 2

.

1－ 2

22 ．解：由题意知 f ( n ) ＝ － 12n ＋ n n －1 ×4 －

72 ＝－ 2n 2＋ －

72.

50n

2

40n

(1) 由 f (

n )>0 ，即－ 2 2＋ 40 － 72>0，解得 2< <18. 由 ∈ N ＋ 知，该厂从第

3 年起开始盈利．

n

n n

n

f n

36

(2) 方案①：年平均纯利润

n ＝ 40 － 2 n ＋ n

，

∵ ＋

36

≥2

× 36 ＝ 12，当且仅当

n ＝ 6 时取等号，

n

n

n

n

f

n

∴

≤40－2×12＝ 16.

n

因此方案①共获利

16×6＋ 48＝ 144( 万元 ) ，此时 n ＝6.

方案②：

f

( ) ＝－ 2( － 10) 2＋ 128. 从而方案②共获利 128＋16＝ 144( 万元 ) ．比较两种方案，获利都是144

n

n

万元，但由于第一方案只需

6 年，而第②种方案需要

10 年，因此，选择第①种方案更合算．

纯的课本内容，并不能满足

学生的需要，通过补充，达到内容的完善

教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。