中考数学十大解题思路之判别式与韦达定理

中考数学十大解题思路之根的判别式

【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(22

2=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。

答案：（1）43-

=m ；（2）43-

->m

【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92

=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。分析：列出△的代数式，证其恒大于零。解略。

【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(2

2=+++-x m x m 有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42

-m ≠0两种情形讨论。

略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42

-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：

△＝[]208)4(4)1(22

+=--+m m m ≥0，解得m ≥2

∴当m ≥25-

且2±≠m 时，方程有实根。综上所述：当m ≥2

-时，方程有实根。

习题（一）

一、填空题：

1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02

=-x x 中，无实根的方程是。 2、已知关于x 的方程022

=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。

3、如果二次三项式k x x 2432

+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是。 4、在一元二次方程02

=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是。

5、已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2

=1有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.

6、关于x 的方程(k-2)x 2

-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.

7、已知方程kx 2-2kx+k=x 2

-x+3有两个不相等实根,则k 的取值范围是____.

8、关于x 的方程2x(kx-4)-x 2

+6=0无实根,则k 的最小整数值是____.

二、选择题：

9、下列方程中，无实数根的是（）

A 、011=-+-x x

B 、 762=+y y

C 、021=++x

D 、0232=+-x x

10、若关于x 的一元二次方程01)12()2(2

=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（）

A 、43<

m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43

且m ≠2 11、在方程02

=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（）

A 、有两个不等实根

B 、有两个相等实根

C 、没有实根

D 、无法确定

三、试证：关于x 的方程1)2(2

-=+-x m mx 必有实根。

根与系数的关系

例1:已知2x 2-3x-1=0的根是x 1,x 2求|x 1-x 2|的值.

例2. 已知关于x 的一元二次方程.

例3: 已知一元二次方程x 2-2kx-5+2k=0的两根是x 1,x 2且24||21=-x x 求k 的值.

例4: 已知m 是正实数,关于x 的方程2x 2

-mx-30=0的两根是x 1,x 2,且5x 1+3x 2=0，求m 的值.

例6、已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

例7、已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使2

)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理

由。

（2）求使21

221-+x x

x x 的值为整数的实数k 的整数值。

例8、1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：22

22133x x x -+

例9. 求一个一元二次方程,使它的两根分别是: 21

2,313- .

练习（二）

一、填空题：

1、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是，m 的值是。

2、已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，则1112422

1++x x 的值为。 3、已知2x 2-(2m+1)x+m+1=0的两根之比是2:3,则m=____.

4、已知方程3x 2-2x-1=0的两根是x 1,x 2,则2

221x x +=____;2112x x x x +=____;2111x x +=____;||21x x -=____.

5、已知8x 2-(m-1)x+m-7=0的两根异号,且正根的绝对值大,则m 的取值范围是____.若它的两根互为相反数,则m=____.若m 互为倒数,则m=____.

6、以3和-7为根的方程是____.

二、选择题：

7、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =??

??2

2，则方程的两根之比为（）

A 、0∶1

B 、1∶1

C 、1∶2

D 、2∶3

8、菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程：03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为（）

A 、－3

B 、5

C 、5或－3

D 、－5或3

三、解答题： 9、已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程0

23)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式2

--k k 的值。

10、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。（2）在（1）的条件下，若m ＝2，求2

1y y +的值。

11、已知x 1,x 2是方程x 2-2(2m+1)x+3m 2-4=0的根,且21121=+x x .求m 的值.

已知方程2x 2+mx-2m+1=0的两个根的平方和是7.25。求m 的值.

已知方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两实根的平方和是11.求k 的值.

练习（二）答案：

一、填空题： 1、2，2；2、43；3－4题略。5、1m ；

（2）1=m

、11.-1或5/3 12.3(-11舍去) 13.1(-3舍去)

第十课判别式与韦达定理

第10课判别式与韦达定理〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析 1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q (3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定 2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0

一元二次方程根的判别式与韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点一、一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?．（1）当△>0?一元二次方程有2 个不相等的实数根；1x = 2x = （2）当△=0?一元二次方程有2个相等的实数根；122b x x a ==- （3）当△<0?一元二次方程没有实数根．例1：下列一元二次方程没有实数根的是（） A ．x 2+2x +1=0 B ．x 2+x +2=0 C ．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0 【变式一】不解方程，判断一元二次方程2210x ax a -++=的根的情况是（）． A ．没有实数根 B ．只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根例2．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．【变式一】关于x 的方程()22210m x x ++-=有两个不等的实根，则m 的取值范围是知识点二、韦达定理 1．如果一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x 、，那么有：1212b x x a c x x a ? +=-????=?? ．例3：已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则α+β-αβ的值是（） A ．3 B ．1 C ．-1 D ．-3 知识点&例题

【变式一】已知一元二次方程22210x x +-=的两个根为1x ，2x ，且1x ＜2x ，下列结论正确的是（） A ．1x + 2x =1 B ．1x ?2x =-1 C ．|1x |＜|2x | D ．21112 x x += 【变式二】已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121235x x x x +-=，那么b 的值为（） A ．4 B ．-4 C ．3 D ．-3 2、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形 ①()2 221212122x x x x x x +=+-；例4：设1x 、2x 是一元二次方程22410x x --=的两实数根，则的2212x x +值是（） A ．2 B ．4 C ．5 D ．6 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则2212x x + = ．【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． ②()()2 21212124x x =x x x x -+-；例5：设1x 、2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则()2 12x x -的值为．【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两根，则()212x x - = ．【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+7x ﹣6=0的两根，则()2 α-β= ． ③12x x =-± 例6：设1x 、2x 是一元二次方程23450x x -+=的两实数根，则12x x -的值为．【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程21 5102 x x --=的两根，则12x x - = ．【变式二】若α、β是一元二次方程2250x x +-=的两根，则α-β= ．

判别式韦达定理题型讲解

根的判别式【典例1】.关于x 的方程10422 =-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 _____；k ＝______。【典例2】.1x 、2x 是方程05322 =--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2 2 2 1x x +（2） 2 1x x -（3）22 22133x x x -+ 【典例3】.已知关于x 的一元二次方程与有一个相同的根，求k 的值。【典例4】已知方程032=++k x x （1）若方程两根之差为5，求k 。（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。【典例5】已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a 、b 的值。

韦达定理 [典例1]因式分解6x y+7xy-3=___________ [典例2]解方程组 [典例3]如果直角三角形三条边a,b,c,都满足方程x-mx+=0,求三角形的面积。 [典例4]已知方程2x-8x-1=0的两个根为α,β,不解方程，求解以+,(α-1)(β-1)为根的一元二次方程。 [典例5]已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p,q，且满足关系式,试求这个一元二次方程。

[典例6]已知α,β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实根（1）是否存在实数根k，使（2α-β)(α-2β)=- 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。（2）求使+-2的值为整数的实数k的整数值。训练题 1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c=时，m≥4是否成立，并说明理由；（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值． 2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0， ③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．（1）请解上述一元二次方程①、②、③、（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 3、（02海淀）（1）求证：若关于x的方程（n-1）x2十mx十1=0①有两个相等的实数根．则关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根；（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n十12n 的值．

判别式与韦达定理

第三讲判别式与韦达定理教学容：判别式与韦达定理教学目标： 1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况； 2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值围； 3、理解并掌握韦达定理的定义； 4、熟练掌握一些常用代数式的变形； 5、能利用韦达定理构造一元二次方程； 6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解。教学重点： 1、△与方程根的关系； 2、韦达定理； 3、常用代数式的变形；教学难点： 1、运用△求方程中参数的值或取值围； 2、常用代数式的变形；教学方法：探究法、讲授法；教学过程： 8:20~8:30:考勤，收发作业 8:30~8:50:进门考第一课时8:50~9:20 一、讲评作业二、导入新课子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起

来温习一下昨天我们学了什么？ 1、引导学生复习一元二次方程：定义一元二次方程特点解直接开方解法配方公式因式分解 2、举例复习四种方法：（1） x 2=25 （2） 2x 2+4x-2=0 （3） 2123 0234 x x +-= （4） 2560x x ++= 3、问公式引入判别式三、探索新知： 1、回顾得出判别式的概念：24b ac ?=-作用：判别一元二次方程根的个数. 要先化为一般式 2、算出下列一元二次方程的判别式 2223720230410 x x x x x x -+=-=++= 3、判别式与方程的根的关系 1,2120020x b x x a ?>?= -?=?==?

韦达定理在初中数学竞赛应用

韦达定理的应用例1、已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b 则 b a a a b b +的值为（）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题）（A ）23 （B ）-23 （C ）-2 （D ）-13 例2、实数t s .分别满足1,01999,01991922≠=++=++st t t s s ，求 t s st 14++的值。（1999年全国初中数学竞赛试题）例3、若1≠ab ，且有0520019,092001522=++=++b b a a ，则b a 的值是（）（2001年全国初中数学联合竞赛试题）（A ） 59 （B ）95 （C ）52001- （D ）92001 例4、已知0325,052322=-+=--n n m m ，其中n m .为实数，求n m 1- 的值。（2000年江苏省初中数学竞赛试题）

例5、设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012 ≠-ab 。求200322)12(a a b ab +-+的值。（2003年全国初中数学联合竞赛初赛题）练习： 1、已知实数b a ,满足027,02722=+-=+-b b a a ，求 b a a b +的值。 2、已知实数b a ,满足015,01522=--=--b b a a ，求 b a a b +的值。 3、已知实数b a ,满足025,02522=++=++b b a a ，求 a b b a +。 4、已知βα,是方程022)2(322=--++m x m x 的两根且 2=βα，求m 的值。 5、已知21,x x 是方程06)53(422=---m x m x 的两根，且 2321=x x ，求m 的值。 6、关于x 的方程)(09)(2b a x b a x <=+--的两实根为βα,，求αββα+的值。

判别式与韦达定理的应用

【学习课题】九上补充内容综合应用根的判别式和韦达定理龙泉二中范积慧【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习过程】学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论：（1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根；（2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ；（3）有一个根为—1 ? a —b+c=0；（4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞（10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞（12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞（13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0))(021 ＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不等式组即可求出k 的值。

根的判别式韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式 2 1.402 2.0204 3.,22ac b b ac b x x a a ? ?≠-????>???? ?=?????

1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02 =-x x 中，无实根的方程是。 2、已知关于x 的方程022 =+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。 3、下列方程中，无实数根的是（） A 、011=-+-x x B 、 762=+y y C 、021=++x D 、0232=+-x x 4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(2 2 =+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A 、43< m B 、m ≤43 C 、4 3>m 且m ≠2 D 、m ≥43 且m ≠2 5、在方程02 =++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（） A 、有两个不等实根 B 、有两个相等实根 C 、没有实根 D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2 ＋kx －1=0的根的情况是（） A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 7、 m 取何值时，方程()0112)2(2 2 =++--x m x m （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根 8、试证：关于x 的方程1)2(2 -=+-x m mx 必有实根。 9、已知关于x 的方程022 =-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、 n 的值。

一元二次方程之韦达定理

一对一个性化辅导教师授课学案学生姓名年级初三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课 3 授课时间审核人本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练教学目标韦达定理授课内容教学内容对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

二次函数根的判别式韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式 1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 222 4()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22 424b b ac x a a -+=± 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式． 2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则 ①0?>?方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． ③0?;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?<． (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ?=-判定方程的根的情况 (有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ② 当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点． 3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=-- 比较等式两边对应项的系数，得 1212 b x x a c x x a ? +=-??? ??=??? ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ?=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .

初二.判别式与韦达定理

[文件] sxjsck0006 .doc [科目] 数学 [关键词] 初二/ 判别式/韦达定理/方程 [标题] 判别式与韦达定理 [内容] 判别式与韦达定理根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论. 1．判别式的应用例1 （1987年武汉等四市联赛题）已知实数a 、b 、c 、R 、P 满足条件PR ＞1，Pc+2b+Ra=0. 求证：一元二次方程ax 2+2bx+c=0必有实根. 证明 △=（2b ）2-4ac.①若一元二次方程有实根，必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra ），代入①，得 △ =（Pc+Ra ）2-4ac =（Pc ）2+2PcRa+（Ra ）2-4ac =（Pc-Ra ）2+4ac （PR-1）. ∵（Pc-Ra ）2≥0，又PR ＞1，a ≠0，（1）当ac ≥0时，有△≥0；（2）当ac ＜0时，有△=（2b ）2-4ac ＞0. （1）、（2）证明了△≥0，故方程ax 2+2bx+c=0必有实数根. 例2 （1985年宁波初中数学竞赛题）如图21-1，k 是实数，O 是数轴的原点，A 是数轴上的点，它的坐标是正数a.P 是数轴上另一点,坐标是x,x ＜a ，且OP 2=k ·PA ·OA. （1） k 为何值时，x 有两个解x1，x2（设x 1＜x 2）；此处无图（2）若k ＞1，把x 1，x 2，0，a 按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接. 解（1）由已知可得x 2=k ·（a-x ）·a ，即 x 2+kax-ka 2=0，当判别式△＞0时有两解，这时 △ =k 2a 2+4ka 2=a 2k （k+4）＞0. ∵a ＞0， ∴k （k+4）＞0，故k ＜-4或k ＞0. （2）x 1＜0＜x 2＜a. 例3（1982年湖北初中数学竞赛题）证明y x y xy x +++-2 2不可能分解为两个一次因式之积. 分析若视原式为关于x 的二次三项式，则可利用判别式求解. 证明 ).()1(2222y y x y x y x y xy x ++-+=+++- 将此式看作关于x 的二次三项式，则判别式 △ =.163)(4)1(222+--=+--y y y y y 显然△不是一个完全平方式，故原式不能分解为两个一次因式之积. 例3 （1957年北京中学生数学竞赛题）已知x ，y ，z 是实数，且x+y+z=a ，①.2 12222a z y x =++ ②

根的判别式与韦达定理

根的判别式ac b 42- 根的判别式的作用： ①判定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。例2、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 例3、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m 例4、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。例5、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值. 例6、已知关于x 的方程0k x 4k 2x 2=++-有两个不相等的实数根，（1）求k 的取值范围。（2）化简4k 4k 2k 2+-+-- 针对练习： 1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。 2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3.关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）

A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 4．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根. 5．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根. 6. 已知a 、b 、c 是ABC ?三条边的长，那么方程()04 2=+ ++c x b a cx 的根的情况是考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m ⑴有两个实数根，则m 为 , ⑵只有一个根，则m 为。例2、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。考点六、根与系数的关系 ⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥?时，才能用韦达定理。 ⑵主要内容： ⑶应用：整体代入求值。几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212212221x x 2x x x x -+=+ ②()21212 21221x x x x x x x x +?=?+? ③()()()2212121a x x a x x a x a x +++?=++

初中数学竞赛辅导-韦达定理及其应用

学科：奥数年级：初三不分版本期数：346 本周教学内容：韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】 1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b 为实数，且，，求的值。思路注意a，b 为方程的二实根；（隐含）。解（1）当a=b时，；（2 ）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1. 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。

★★★例2 若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m ，n 为方程的二不等实根，再由韦达定理，得， ∴ 2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。解（1）由韦达定理知，。，。所以，所求方程为。（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。于是，得以下七个方程，，，，， 01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。

二次函数与根的判别式韦达定理

二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题【例1】如图，抛物线y＝－x2＋4x－3的顶点为M，直线y＝－2x－9与y轴交于点C，与直线MO交于点D，现将抛物线的顶点在直线OD上平移，平移后的抛物线与射线CD（含顶点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．【练】如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于点A,B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？讲点2：距离问题【例2】如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D ，在抛物线上共有三个点到直线BC的距离为m，求m 是抛物线的顶点，已知CD 的值．【练】如图，抛物线y＝ax2－6ax＋5a与x轴交于A,B两点（A左，B右），若抛物线与直线y＝2x的最近点之间的距离为，求a的值．讲点3：隐藏判别式

【例3】如图，点P是直线l：y＝－2x－2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y＝x2与A,B两点，试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立．【练】如图，已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)（a＞0）的图象与x轴分别交于点A,B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．讲点4：交点间的距离【例4】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m的图象与函数y＝kx＋1的图象交于A（x 1 ， y 1），B（x 2 ，y 2 ）（x 1 ＜x 2 ）两点．（1）如图1，当k＝1，m取不同值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想；（2）如图2，当m＝0，k取不同值时，猜想△AOB的形状，并证明你的猜想．【例5】如图，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，过点N（1，2）作直线l，交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PC，若PE＝PC，求直线l的解析式．【练】如图，抛物线C 1 ：y＝x2＋4x＋3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，将抛物线C 1沿y轴翻折得新抛物线C 2 ，过点C作直线l交抛物线C 1 于点M，交抛物线C 2 于点N，若MN＝，求直线l的解析式．三、对称问题

初中数学代数复习之韦达定理

代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一）、一元二次方程的根的判断式? 一元二次方程2 0 (0)a x b x c a ++=≠，用配方法将其变形为： (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ?=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-= 解：(1) 2(3)42110?=--??=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+= 2(12)4490?=- -??=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+= 2(6)45152640?=--??=-<，∴ 原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．解：2(2)43412k k ?=--??=- (1) 1 41203k k ->?<； (2) 141203k k -=?= ； (3)31 0124≤?≥-k k ； (4) 31 0124>?<-k k ．【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得： 22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： 222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=，代入原方程得：22101x x x ++=?=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： x x == 所以：12b x x a += +=-， 22122 2()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?=== 韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：以通常把此定理称为”韦达定理”．【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂

初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)

初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例1】已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为。思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。【例3】已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。【例4】设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。