次函数根的判别式、韦达定理

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 222

4()24b b ac

x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程2

0(0)ax bx c a ++=≠

有两个不相等的实数根1,2x =．

②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b

x x a

==-．

③0?

若a ，b ，c 为有理数，且?为完全平方式，则方程的解为有理根；

若?

为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两个不相等的实数根时，0?>;有两个相等的实数根时，0?=;没有实数根时，0?<．

(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ?=-判定方程的根的情

况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ② 当0a <时?抛物线开口向下?顶点为其最高点．

3.一元二次方程的根的判别式的应用：

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

二、韦达定理

如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，

，那么，就有 ()()212ax bx c a x x x x ++=--

比较等式两边对应项的系数，得

1212b x x a c x x a ?

+=-???

??=???

L L L L L L L L L ①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．

因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，

必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．

利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ?=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b

a

-<，

则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b

a -<，则此方程的两根均为负根．

⑴ 韦达定理：

如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c

x x a

=．(隐含的条件：0?≥)

⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0?≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --，2x m <

② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ?>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ?<，2x m <

特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：

① 若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．

⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：

① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；

④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某

个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的?．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．

例题

一、判断方程根的情况

【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()

25170x x +-=。

?

【例2】 不解方程，判别方程220x k ++=的根的情况。

?

【例3】 解关于x 的方程()21230m x mx m -+++= ?

【例4】 已知关于x 的方程2(1)10n x mx -++=①有两个相等的实数根．

求证：关于y 的一元二次方程222440m y my m n --+=②必有两个相等的实数根．

【巩固】已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明.

【巩固】(1998年山东省竞赛)设a 、b 、c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程

220ax bx c ++=， 220bx cx a ++=， 220cx ax b ++=，

不可能都有2个相等的实数根．

二、应用题

【例5】 （2006·湛江市）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明为主要特色

的新农村建设活动取得了明显成效．下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民提出的问题（结果精确到%）．

领导

市民

【巩固】 （2006·新疆）2004年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区

内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生．某市2004年9月招收区内初中班学

全市一共有13233个自然村，2005年已建成生态文明村2315个，计划到2007年全市生态文明村数要达到自然村总数的%

领导，按这个计划，从2005年到2007年，

平均每年生态文明村增长率约是多少

生50名，并计划在2006年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数

．．．．．．．达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年的增长率相同，求这个增长率．

【例6】（2006·重庆市）机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克用油的重复利用率是多少

【例7】（2006·南安）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元

（2）设后来该商品每件降价x元，，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元

②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结

合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元

【例8】（2006·诸暨市）有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺; 把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺; 把竹竿斜放, 竹竿长正好和门的对角线等长. 问竹竿长几尺

【例9】（2006·广东省）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多

少

(2)两个正方形的面积之和可能等于2

12cm吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

三、韦达定理

【例10】 (2006·广安市)已知:ABC ?的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程

()2223320x k x k k ++++=-的两个实数根, 第三边BC 的长为5. 试问:k 取何值时,ABC

?是以BC 为斜边的直角三角形

【例11】 已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=.

(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值；

(2)若方程的两实数根之积等于292m m -+

【巩固】 已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根

（2）设1x 、2x 是方程的两根，且21212()()120x x x x +-+-=，求m 的值。

【例12】 （2006·济南市）已知关于x 的方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根2x x 1，，且满足

212()1x x +=，求k 的值．

【例13】 已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2244(1)0x m x m +-+=的两个非零实数根，问：1x 与2

x 能否同号若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

【巩固】 证明：方程2199719970x x -+=无整数根。

【例14】 已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使12123

(2)(2)2

x x x x --=-成立若存在，求出k 的值；若不存在，请说

明理由。

（2）求使1221

2x x

x x +-的值为整数的实数k 的整数值。

【巩固】 已知关于x 的方程230x x a ++=的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程

2(1)320k x x a -+-= 有实根，且k 为正整数，求代数式1

2

k k --的值。

作业题

1． 已知关于x 的方程2(21)10kx k x k +-+-=只有整数根，且关于y 的一元二次方程

2(1)30k y y m --+=的两个实数根为1y 、2y 。

（1）当k 为整数时，确定k 的值。

（2）在（1）的条件下，若m ＝2，求2212y y +的值。

2． 已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程2244(1)0x m x m +-+=的两个非零实根，问：1x 、2x 能

否同号若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

3． 设1x 、2x 是方程2420x x -+=的两根，则①

12

11

x x +

＝ ；②12x x - ＝ ；③12(1)(1)x x ++＝ 。

4． 以方程2240x x --=的两根的倒数为根的一元二次方程是 。

5． 已知方程2450x mx -+=的两实根差的平方为144，则m ＝ 。

6． 已知方程230x x m -+=的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。

7． 反比例函数k

y x

=

的图象经过点P （a 、b ），其中a 、b 是一元二次方程240x kx ++= 的两根，那么点P 的坐标是 。

8． 已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两根，则21241211x x ++的值为 。

9． 不解方程，判别下列方程的情况：

（1）23420x x +-=；（2）2256y y +=；

（3）()4130p p --=；（4）()()2

22280x x -+--=； （5

220+=；（6

）2320t -+=

10． 练习：不解方程，判别下列方程的根的情况。

（1）()22100a x ax a --=≠；

（2）222220x x k -+=； （3）(2221210m x mx +-+=

11． （南通市）据2005年5月8日《南通日报》报道：今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游

收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占的比例如图所示，其中住宿消费为万元。 （1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元旅游消费中各项消费的中位数是多少万元

（2）对于“五一”黄金周期间的旅游消费，如果我市2007年要达到亿元的目标，那么2005年到2007年的平均增长率是多少

2005年南通市“五一”黄金周旅游各项消费分布统计图：

12． （2006·永州市）李大伯承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质油桃，今年已进入第三

年收获期．今年收获油桃6912千克，已知李大伯第一年收获的油桃重量为4800千克．试求去年和今年两年油桃产量的年平均增长率，照此增长率，预计明年油桃的产量为多少千克

13． 已知关于x 的方程22(12)30x a x a --+-=……①有两个不相等的实数根，且关于x 的方程

22210x x a --+-=……②没有实数根，问：a 取什么整数时，方程①有整数解