(完整版)实际问题与一元一次方程(常见题型)

实际问题与一元一次方程（一）基础

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题???

→分析

抽象方程???→求解检验

解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、找、设、列、解、检、答．

要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系。 （2）“找”寻找等量关系； （3）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （4）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （5）“解”就是解方程，求出未知数的值． （6）“检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （7）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题

（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水流速度；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来

考虑．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题

寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析】设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x )亿立方米． 依题意，得5.8-x ＝3x+0.6 解得x ＝1.3

5.8-x ＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）

答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．

【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x ，另外一个用含x 的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米． 举一反三：

【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?

【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x 台，则第一季度销售量为2x 台，第三季度销售量为4x 台，依题意可得：x+2x+4x ＝2800，

解得：x ＝400

答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．

类型二、行程问题 1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析】

解：设小山娃预订的时间为x 小时，由题意得： 4x+0.5＝5(x -0.5)，解得x ＝3．

所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)． 答：学校到县城的距离是12.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量． 举一反三：

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度． 【答案】

解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为x 千米/时，则上坡行驶的时间为

10

a

小时，下坡行驶的时间为

20a 小时．依题意，得：21020a

a x a ??+=

???

， 化简得： 340ax a =． 显然a ≠0，解得1

133

x =

答：汽车的平均速度为1133

千米/时．

2.相遇问题（相向问题）

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】

3． A 、B 两地相距100km ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、B 两地出发相向而行，甲的速度是23km/h ，乙的速度是21km/h ，甲骑了1h 后，乙从B 地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解析】

解:设甲经过x 小时与乙相遇.

由题意得：()2312321(1)100x ?++-= 解得，x=2.75

答：甲经过2.75小时与乙相遇．

【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km 举一反三：

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米? 【答案】

解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶(x +2.5)千米，根据题意，得：

2( 2.5)245x x ++=

解得：10x =

2.510 2.512.5x +=+=（千米）

答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍? 【答案与解析】

解：设通讯员x 小时可以追上学生队伍，则根据题意，

得18

145560

x x =?+， 得：16

x =

， 1

6小时=10分钟．

答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x 表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．

4.航行问题（顺逆风问题）

5．一艘船航行于A 、B 两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离． 【答案与解析】

解法1：设船在静水中速度为x 千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x -4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x -4)，解得：x=16，

（16+4）×3=60（千米）

答：两码头之间的距离为60千米．

解法2：设A 、B 两码头之间的距离为x 千米，则船顺水航行时速度为3x 千米/时，逆水航行时速度为5

x 千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：

4435

x x

-=+，解得：60x = 答：两码头之间的距离为60千米．

【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．

类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池? 【思路点拨】视水池的蓄水量为“1”，设乙管还需x 小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的

110，甲管单独注水每小时注水池的115，合注7小时注水池的710，乙管每小时注水池的111015??

- ??

?． 【答案与解析】

解：设乙管还需x 小时才能注满水池． 由题意得方程：1171101510x ??

-=-

???

解此方程得：x ＝9

答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．

【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” ． 举一反三：

【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?

【答案】

解：设乙中途离开x 天，由题意得

111

7(72)21141812x ?+-++?= 解得：3x =

答：乙中途离开了3天

类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）

7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m 长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m 长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?

【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣3

2

件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量． 【答案与解析】

解：设做上衣需要xm ，则做裤子为(750-x )m ，做上衣的件数为

23x ?件，做裤子的件数为75033

x -?，

则有：

23(750)

33

x x -=

解得：x ＝450，

750-x ＝750-450＝300(m )，

4502

3003

?=（套） 答：用450m 做上衣，300m 做裤子恰好配套，共能生产300套．

【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数． 举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 调配问题】

【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34

. 解：设从甲队调出x 人到乙队.由题意得，

()3

72684

x x -=

+ 解得，x=12.

答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的

34

.

实际问题与一元一次方程（二）（提高）

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题

（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 （2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来

考虑．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 4．调配问题

寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案与解析】

解：设油箱里原有汽油x 公斤，由题意得： x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x×40% 解得：x=10

答：油箱里原有汽油10公斤.

【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三：

【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票? 【答案】

解：设这个班有x 名学生，根据题意得： 3x+24＝4x -26 解得：x ＝50

所以3x+24＝3×50+24＝174

答：这个班有50名学生，一共展出了174张邮票．

类型二、行程问题 1.车过桥问题

2. 某桥长1200m ，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s ，而整个火车在桥上的时间是30s ，求火车的长度和速度．

【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义． 【答案与解析】

解：设火车车身长为xm ，根据题意，得：

120012005030

x x

+-=， 解得：x ＝300， 所以

12001200300

305050

x ++==． 答：火车的长度是300m ，车速是30m/s ．

【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．

(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度． 举一反三：

【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米，通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？ 【答案】

解：设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得：

6928611864x ??=-?+ ???

，

解得：x ＝3

答：从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．

2.相遇问题（相向问题）

3．小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从B 地到A 地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米.求A 、B 两地间的路程.

【答案与解析】

解：设A 、B 两地间的路程为x 千米，由题意得：

3636

24x x -+=

解得：x =108．

答：A 、B 两地间的路程为108千米.

【点评】根据“匀速前进”可知A 、B 的速度不变，进而A 、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程． 举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一)388410二次相遇问题】

【变式】甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A 站34km ，已知甲车的速度是70km/h ，乙车的速度是52km/h ，求A 、B 两站间的距离. 【答案】

解：设A 、B 两站间的距离为x km ，由题意得：23434

7052

x x -+= 解得：x=122

答： A 、B 两站间的距离为122km.

3.追及问题（同向问题）

4．一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比

卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但

速度减小了

1

3

，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度． 【答案与解析】

解：设卡车的速度为x 千米/时，由题意得：

11

22(30)(1)(30)243

x x x x x x +++=++-?+?

解得：x=24

答：卡车的速度为24千米/时．

【点评】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间．

4.航行问题（顺逆风问题）

5．盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A 地上船，沿江而下至B 地，然后溯江而上到C 地下船，共乘船4小时．已知A 、C 两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米/时，求A 、B 两地间的距离．

【思路点拨】由于C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在A 、B 之间；（2）C 地在A 地上游． 【答案与解析】

解：设A 、B 两地间的距离为x 千米．

(1)当C 地在A 、B 两地之间时，依题意得．

10

47.5 2.57.5 2.5

x x -+=+-

解这个方程得：x ＝20(千米)

(2)当C 地在A 地上游时，依题意得：

10

47.5 2.57.5 2.5

x x ++=+-

解这个方程得：20

3

x =

答：A 、B 两地间的距离为20千米或

20

3

千米． 【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．

5.环形问题

6．环城自行车赛，最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的3

倍，环城一周是20千米，求两个人的速度.

【答案与解析】

解；设最慢的人速度为x 千米/时，则最快的人的速度为

x 千米/时， 由题意得:

x×

-x×

=20

解得：x=10

答：最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.

【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程 - 最慢人骑的路程=20千米. 举一反三：

【变式】两人沿着边长为90m 的正方形行走，按A →B →C →D →A …方向，甲从A 以65m/min 的速度，乙从B 以72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上

?

【答案】

解：设乙追上甲用了x 分钟，则有： 72x -65x ＝3×90 270

7

x =

（分） 答：乙第一次追上甲时走了270

7227777

?

≈(m ) 此时乙在AD 边上 类型三、工程问题

7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池? 【答案与解析】

解：设再过x 小时可把水注满．由题意得：

11111

()2()168689

x +?++-= 解得：304

21313

x ==．

答：打开丙管后4

213

小时可把水放满．

【点评】相等关系：甲、乙开2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1． 举一反三：

【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割

2

3

后，改用新式农机，工作效率提高到原来的112

倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积． 【答案】

解：设这块水稻田的面积为x 亩，由题意得：

2133114414

2

x x x =++? 解得：36x =．

答：这块水稻田的面积为36亩．

类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）

8．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5 m 3或运土3 m 3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人? 【答案与解析】

解：设安排x 人挖土，则运土的有(120-x )人，依题意得：

5x ＝3(120-x )， 解得x ＝45． 120-45＝75(人)．

答：应安排45人挖土，75人运土．

【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等． 举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 配制问题】

【变式】某商店选用A 、B 两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？ 【答案】

解：设要用A 种糖果x 千克，则B 种糖果用(100-x)千克.依题意，得：

28x+20(100-x)=25×100 解得：x=62.5.

当x=62.5时，100-x=37.5.

答：要用A 、B 两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.

实际问题与一元一次方程（三）（基础）

【学习目标】

(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程； (2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路． 【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续） 1．利润问题 （1）=

100% 利润

利润率进价

(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率

(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 2．存贷款问题

（1）利息=本金×利率×期数

（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12

（6）月利率＝年利率×

12

1 3.数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 4．方案问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】

类型一、利润问题

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 利润问题例2】

1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？ 【答案与解析】

解：设该商品的成本为a 元，则商品的现价为(1+30%)a 元，依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a ·(1+40%)(1-50%)=0.91a .

∵0.91a -a =-0.09a ,

∴

0.09a

a

-·100%=-9%. 答：商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.

【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要． 举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二)388413利润问题例3】

【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？ 【答案】

解：设该商品打x 折，依题意，则： 500(1+40%)·

10

x

=500（1+12%）. x=

10 1.12

1.4

?=8. 答：该商品的广告上可写上打八折.

【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．

【答案】

解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：0.8x+20＝x-12，

解这个方程得：x＝160．

答：李明上次所买书籍的原价是160元．

类型二、存贷款问题

2．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.

【答案与解析】

解：设爸爸开始存入x元.根据题意，得x＋x×2.7％×5＝17025.

解之，得x＝15000

答：爸爸开始存入15000元.

【总结升华】本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数．

类型三、数字问题

3．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.

【答案与解析】

解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x

由题意得：x+14-2x-x=2x+2

解得：x=3

∴ x=3， 2x=6，14-2x-x=5

答：这个三位数为365

【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加．

举一反三：

【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数.

【答案】

x+），由题意得：

解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（4

++=++?

x x x x

10(4)[(4)]4

x=

解得：4

∴?++=

410(44)48

答：这两位数是48.

类型四、方案设计问题

4．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．

(1)篮球和排球的单价分别是多少元?

(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?

【答案与解析】

解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2x元．

依题意3x+2x＝80，解得x＝16

即 3x＝48，2x＝32

答：篮球和排球的单价分别为48元和32元．

(

由列表可知，共有三种购买方案：

方案一：购买篮球26个，排球10个；

方案二：购买篮球27个，排球9个；

方案三：购买篮球28个，排球8个．

【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴．采用列表的方法探索方案，值得学习．

举一反三：

【变式】(武昌区期末调考)某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．

(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?

(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?

【答案】

解：设有x位学生参加考察．

按方案一购票费用为：25×88%(10+x)＝22x+220

按方案二购票费用为：20×25+25×80%(x+10-20)＝20x+300

(1)当x＝30时：

22x+220＝660+220＝880(元)

20x+300＝600+300＝900(元)

答：当有30位学生参加考察，选择方案一更省钱．

(2)设22x+220＝20x+300，解得：x＝40

答：参加考察的学生人数为40人时，两种方案车费一样多．

实际问题与一元一次方程（四）（提高）

【学习目标】

(1)进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程； (2)熟悉利润，存贷款，数字及方案设计问题的解题思路． 【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续） 1．利润问题 （1）=

100% 利润

利润率进价

(2) 售价＝ (1＋利润率). 成本 (3) 售价＝标价×打折率

(4) 利润＝售价－成本(或进价) 利润＝ 成本×利润率

注意：“商品利润＝售价－成本”中的商品利润为正时，是盈利；当为商品利润负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 2．存贷款问题

（1）利息=本金×利率×期数

（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) （3）实得利息=利息-利息税 （4）利息税=利息×利息税率 （5）年利率＝月利率×12 （6）月利率＝年利率×

12

1

3.数字问题

已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a ，十位数字为b ，则这个两位数可以表示为10b+a ． 4．方案问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】

类型一、利润问题

1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支? 【答案与解析】

解：设打折的钢笔有x 支，则有： 6(100-x )+6×90%x ＝100×4+188 解得x ＝20

答：打9折的钢笔有20支．

【总结升华】本题可以采用列表法分析问题：

售价数量售出总价

按标价出售 6 100-x 6(100-x)

剩余的打折出售6×90% x 6×90%x

此外本题还可以这样列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样．

举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 思考与研究1】

【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）

【答案】

解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：

(900×0.9-100)-x=10%x，

得：x=

5

645

11

∴x≈645.

答：此商品的进价约为645元.

类型二、存贷款问题

2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?

【答案与解析】

解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，

得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．

解之，得x＝2．

答：所以2年后能一次性还清贷款．

【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 388413 贷款问题】

【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为 2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？

【答案】

解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，

x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,

解得, x≈9436(元)

16000-9436=6564(元).

答：小华父母用9436元参加教育储蓄，还准备贷6564元.

类型三、数字问题

3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求原数．

【答案与解析】

解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为4x+1．根据题意得：

10(4x+1)+x ＝10x+(4x+1)+63，

解得x ＝2，

∴ 4x+1＝4×2+1＝9，故这个两位数为92． 答： 这个两位数是92．

【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x 就答；（3）两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加

类型四、方案设计问题

4．某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多，为什么? 【答案与解析】 解：（1）若选择方案1，依题意，

总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元． （2）若选择方案2．

设将x 吨鲜奶制成奶片，则用(9-x )吨鲜奶制成酸奶销售，

依题意得，

9413

x x -+=， 解得 1.5x =．

当 1.5x =时，97.5x -=．

总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元． ∵ 12000>10500， ∴ 选择方案2较好．

答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．

【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂，常借助列表，画线段图，示意图等手段帮助我们理顺题目x 吨鲜奶制成奶片，则列表如下：

每吨利润 吨数 工效 天数

酸奶 1200 9x -

3 93x

- 奶片

2000

x

1

1

x 合计 9 4

从表中能一目了然条件之间的关系，从而，得到等量关系．

举一反三：

【变式1】商场出售的A 型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B 型节能冰箱每台售价比A 型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的

1

10

)，问商场将A 型冰箱打几折，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当(每年365天，每度电按0.40元计算)． 【答案】

解：设商场A 型冰箱打x 折，依题意，买A 型冰箱需2190×

10

x

元，10年的电费是365×10×1×0.4元；买B 型冰箱需2190×(1+10%)元，10年的电费是365×10×0.55×0.4元，依题意，得： 2190×

10

x

+365×10×1×0.4＝2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4 解得：x ＝8

答：商场将A 型冰箱打8折出售，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当． 【变式2】某市居民生活用电的基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费．

(1)某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a ；

(2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元? 【答案】

解： (1)根据题意，得0.40a+0.40×70%×(84-a )＝30.72． 解得：a ＝60．

(2)设该户六月份共用电x 度，因0.36＜0.40，所以x ＞60，于是超出部分电量为(x -60)度，依题意，

得：0.40×60+0.4×70%(x -60)＝0.36x ． 解得：x ＝90．

所以0.36x ＝0.36×90＝32.40元．

答：(1)a ＝60；(2)该用户六月份共用电90度，应交电费32.40元．