常微分方程试题库试卷库2汇编

常微分方程期终考试试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程

(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）

。

有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若12(),(),,()

n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件

是__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是

'

()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是

_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％）

1、

3

()0ydx x y dy -+=

２、sin cos2x x t t ''+=-

３、若

2114A ??

=??

-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt

４、32(

)480dy dy

xy y dx dx

-+=

５、求方程2

dy

x y dx =+经过（0，0）的第三次近

似解

6.求1,5

dx dy

x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

三、证明题（１０％）

１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)

一、填空题 30%

1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ?分别为x.y 的连

续函数。 2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函

数.n ，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0

3、 如果存在常数

使得不等式

,0 L _____________对于所有

称为利普希兹常数。都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于

y 满足利普希兹条件。

4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21a a

5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一

解可表为)(t γ_____________-。 一、计算题40%

1.求方程的通解。26xy x y

dx dy -= 2.求程xy

e x y dx

dy =+的通解。

3.求方程t

e x x x 25'6''=++的隐式解。

4.求方程）的第三次近似解。

、通过点（002

y x dx

dy +=

二、证明题30%

1.试验证()t Φ=?????

?122t t t 是方程组x '=??

??

????-t t 22102x,x=??????21x x ，在任何不包含原点的区间

a b t ≤≤上的基解矩阵。

2.设()t Φ为方程x '

=Ax （A 为n ?n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明:

()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.

常微分方程期终试卷(3)

一 . 解下列方程(10%*8=80%)

2. dx dy =6x y -x 2y

3. '

y =22)12(-++y x y

4. x '

y =

2

2y x ++y 6. {y-x(2

x +2

y )}dx-xdy=0

8. 已知f(x)?

x

dt

t f 0)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

二． 证明题(10%*2=20%)

9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试同齐次函数，且xM+yN ≠0,则)

(1

yN xM +是该方程的一个积分因子。

常微分方程期终试卷（4）

一、填空题 1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

２、当（ ）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（ ）。

４、对毕卡逼近序列，()

)()(1≤--x x k k ??。

５、解线性方程的常用方法有（ ）。

６、若)

,,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。 ７、方程组x t A x )(='（ ）。

８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（ ）。 ９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（ ）。

二、计算题

求下列方程的通解。

１、1

sin 4-=-x e dx dy

y 。

２、1

)(122=??????

-dx dy y 。

３、求方程2

y x dx dy

+=通过)0,0(的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。 ４、0=+'+''x x x 。

５、t

e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： ６、

5,!--=+--=y x dt dy

y x dt dx 。

三、证明题。

１、１、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ?常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，

证明

)(t φ)()(001

t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

常微分方程期终考试试卷（5）

一． 填空题 （30分）

1．)()(x Q y x P dx dy

+=称为一阶线性方程，它有积分因子 ?-dx

x P e )( ，其通解为

_________ 。

2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。

3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤______ 。

4．方程2

2y x dx dy

+=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解

的存在区间是 _______ 。

5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。

6．若),,2,1)((n i t x i

=为齐线性方程的一个基本解组，)(t x -

为非齐线性方程的一个特解，

则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。

7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是)()('t f x t A x +=的满

足初始条件

0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____

是)()('

t f x t A x +=的满足初始条件

η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,2

1 ，它们对应的特征值分别为

n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组Ax x ='的一个基解矩阵。

9．满足 _______ 的点

),(**y x ，称为驻定方程组。

二． 计算题 （60分）

10．求方程

0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。 11．求方程0

=-+x e dx dy

dx dy

的通解。

12．求初值问题?????=--=0)1(22y y x dx

dy

1

,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，

给出在解的存在区间的误差估计。

13．求方程t t x x 3sin 9'

'=+的通解。

14．试求方程组)('t f Ax x +=的解).(t ?

??????=???

???=??????-=1)(,3421,11)0(t e t f A ? 15．试求线性方程组52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx 的奇点，并判断奇点的类型及稳定

性。

三．证明题 （10分）

16．如果)(t ?是Ax x ='

满足初始条件η

?=)(0t 的解，那么

[]η?)(ex p )(0t t A t -=

常微分方程期终考试试卷(6)

三． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、 当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。

2、________________称为齐次方程。

3、求

dx

dy =f(x,y)满足

00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy

=的解

y=

),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)

(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是

__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/

的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy =

31

2

+++-y x y x 2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

3、讨论方程

23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解 4、求解常系数线性方程：

t e x x x t cos 32///-=+-

5、试求方程组Ax x =/

的一个基解矩阵，并计算

????

??3421,为其中A e At 6、试讨论方程组cy dt dy by ax dt dx =+=, （1）的奇点类型，其中a,b,c 为常数，且

ac ≠0。

三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果Ax x t =/

）是（?满足初始条件η?=)(0t 的解，那么

=)(t ?[]

η)(0t t A e -

常微分方程期终试卷(7) 一、选择题

1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2

2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件． （A ）充分 （B ）必要 （C ）充分必要 （D ）必要非充分

3. 方程

2

1

d

d

y

x

y

-

=

过点

)1,

2

(

π

共有（）个解．

（A）一（B）无数（C）两（D）三

4．方程

x

x

y

x

y

+

-

=

d

d

（）奇解．

（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个

5．方程

y

x

y

=

d

d

的奇解是（）．

（A）

x

y=（B）1

=

y（C）1-

=

y（D）0

=

y

二、计算题

1.x

'

y=2

2y

x+

+y

2.tgydx-ctydy=0

3.

d

d)

2

(=

-

+y

x

x

y

x

4.

1 d

d

+

=

x

y

x

y

5.

d)

ln

(

d3=

+

+y

x

y

x

x

y

三、求下列方程的通解或通积分

1.

)

1(

d

d

2

y

x

x

y

y-

=

2.

2

)

(

d

d

x

y

x

y

x

y

-

=

3.

x

y

x

y

2

e

3

d

d

=

+

四．证明

1.设

)

(

1

x

y，)

(

2

x

y是方程

)

(

)

(=

+'

+''y

x

q

y

x

p

y

的解，且满足

)

(

1

x

y

=

)

(

2

x

y

=0，

)

(

1

≠

x

y，这里)

(

),

(x

q

x

p在)

,

(∞

+

-∞上连续，)

,

(

∞+

-∞

∈

x

．试证明：存在常数C使得

)

(

2

x

y=C)

(

1

x

y．

2．在方程

)

(

)

(=

+'

+''y

x

q

y

x

p

y中，已知)

(x

p，)

(x

q在)

,

(∞

+

-∞上连续．求证：该

方程的任一非零解在

xoy平面上不能与x轴相切．

常微分方程期终试卷(8)

一、填空（每空3分）

1、称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。

2、函数

)

,

(y

x

f称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果

。

3、若)

(,),(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件

是 。

4、形如 的方程称为欧拉方程。

5、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系： 。

6、若向量函数);(y t g 在域R 上 ，则方程组

0000),;(),;(y y t t y t g dt dy

==?的解?存在且惟一。

7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。

二、 求下列方程的解 1、

0)4()3(2=---dy x y dx x y （6分）

2、 dx y x xdy ydx )(2

2

+=- （8分） 3、 2

2

)'2()1'(y y y -=- （8分）

4、 xy

e x y

dx dy =+ （8分）

5、 t

e x x x 25'6''=++ （6分）

6、

t x x 3sin 1

''=

+ （8分）

7、

'21

''x x =

（8分）

三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）

52,1972+-=+-=y x dt dy y x dt dx

常微分期中测试卷(2) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)

1. 1. x '

y =

2

2y x ++y

2. 2. tgydx-ctydy=0

3. 3. {y-x(2

x +2

y )}dx-xdy=0

4. 4.

2xylnydx+{2

x +2

y

2

1y +}dy=0

5. dx dy =6x y

-x 2y

6. '

y =22

)12(

-++y x y

7. 已知f(x)?

x

dt

t f 0

)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。

8．一质量为m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k ）

的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为

2k ）。试求此质点的速度与时间的关系。

二． 证明题(10%*2=20%)

1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

2． 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试同齐次函数，且xM+yN ≠0,则)

(1

yN xM +是该方程的一个积分因子。

2

()()

()y

y y xM yN M x N y xM yN N M

M +-+++2

()()

()x x

x xM yN N x M y xM yN N

N M +-++-+常

常微分方程期终试卷(9)

一、填空题（每小题5分，本题共30分）

1．方程x

x y x y

e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．

3．向量函数组

)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在

区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．

4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．

6．向量函数组

)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们

的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．

二、计算题（每小题8分，本题共40分）

求下列方程的通解

7. x

y x y

2e 3d d =+

8.

0)d (d )(3

223=+++y y y x x xy x 9．

0e =-'+'x y y

10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解．

?

?????

?+=+=y x t y y x t x

4d d d d

三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．

13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程

y

x x y

sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常

常微分方程期终试卷(10)

一、填空（30分）

1、)(x y g dx dy =称为齐次方程，)

()()(2x R y x Q y x P dx dy ++=称为黎卡提方程。

2、如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件，则方程)

,(y x f dx dy

=存在唯一的

解)(x y ?=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件

00)(y x =?，其中

),

m in (M b

a h =，)

,(max ),(y x f M R y x ∈=。

3、若

)(t x i =i (1，2，……，)n 是齐线性方程的n 个解，)(t w 为其伏朗斯基行列式，则)

(t w 满足一阶线性方程0)()()(1'

=+t w t a t w 。

4、对逼卡逼近序列，k

k k k x x k ML x x )(!)()(01

1-≤---??。

5、若)(t Φ和)(t ψ都是x t A x )('

=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有关系C t t )()(Φ=ψ。

6、方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是)

(x N x

N

y M ?=??-??。

有只含y 的积分因子的充要条件是)

(y M x

N

y M ?=-??-??。 7、方程21

2-=

y dx

dy 经过)0,0(点的解在存在区间是),(+∞-∞。 二、 计算（60分）

1、 求解方程0)(4

2

=++dx y x y xdy 。 解：所给微分方程可写成

0)(4

2=++dx y x ydx xdy 即有 0)(4

2=+dx y x xy d

上式两边同除以4

)(xy ，得 01

)()(24=+dx x xy xy d

由此可得方程的通解为 13

1

)(31c x xy =--

即

3

33231y cx y x =+ )3(1c c -= 2、 求解方程322p p y +=

解：所给方程是关于y 可解的，两边对x 求导，有

dx dp p p p )

62(2+=

（1） 当0=p 时，由所给微分方程得0=y ； （2） 当dp p dx )62(+=时，得

c p p x ++=2

32。 因此，所给微分方程的通解为

c p p x ++=232，3

22p p y += （p 为参数）

而0=y 是奇解。

3、 求解方程1442'''++=+-t

t e e x x x 解：特征方程0442=+-λλ，2

2,1=λ，

故有基本解组t e 2，t

te 2，

对于方程t

e x x x =+-44'''，因为1=λ不是特征根，故有形如t

Ae t x =)(1的特解，

将其代入t

e x x x 2'''44=+-，得t

e Ae t 222=，解之得

21

=

A ， 对于方程144'''=+-x x x ，因为0=λ不是特征根，故有形如A t x =)(3

的特解，

将其代入144'

''=+-x x x ，得

41=A ，所以原方程的通解为 41

21)()(22212+

+++=t t t e t e t c c e t x

4、 试求方程组Ax x ='

的一个基解矩阵，并计算At exp ，其中

?

??? ??--=2112A

解：0)det()(=-=A E p λλ，31=λ，32-=λ，均为单根，

设1λ对应的特征向量为1v ，则由0)(11=-v A E λ，得

????

??+=αα)32(1v ,0≠α 取

???? ??+=3211v ，同理可得1λ对应的特征向量为????

??-=3212v ，

则131

)(v e t t =?，232)(v e t t

-=?，均为方程组的解，令))(),(()(21t t t ??=Φ， 又

33

2321

1)0(det )0(≠-=-+=

Φ=w ，

所以)(t Φ即为所求基解矩阵????

??-+--

t t

t

t r e

e e 3333)32()32(。

5、 求解方程组?????--=++=5

1y x dt dy

y x dt dx

的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。

解：令???=--=++0501y x y x ，得???-==32

y x ，即奇点为（2，-3） 令??

?+=-=32

y Y x X ，代入原方程组得?????-=+=Y X dt dY Y X dt dX

， 因为021111≠-=-，又由0

2111

12=-=+---κλλ，

解得21=λ，22-=λ为两个相异的实根， 所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。

6、 求方程2

y x dx dy

+=经过（0，0）的第二次近似解。

解：0)(0

=x ?， 2

12

1)0,(0)(x dx x f x x

?=+=?，

5

20

2220

121)21,(0)(x x dx x x f x x

+

=+=??。

三、证明（10分）

假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组

mt

ce Ax x +=' 有一解形如

mt

pe t =)(?

其中c ，p 是常数向量。

证：设方程有形如mt

pe t =)(?的解，则p 是可以确定出来的。 事实上，将mt pe 代入方程得mt

mt mt ce Ape mpe +=，

因为0=mt

e

，所以c Ape mp +=，

c P A mE =-)( （1）

又m 不是矩阵A 的特征值，0)det(≠-A mE

所以1

)

(--A mE 存在，于是由（1）得c A mE p 1

)(--=存在。

故方程有一解mt

mt

pe ce A mE t =-=-1

)()(?

常微分方程期终试卷(11)

一．填空 1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。

2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。 3．若?（x ）为毕卡逼近序列

{})(x n ??的极限，则有?（x ）—)

(x n ?≤

。

4．若)

(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。

5．若)

(t x i （i=1,2,┄,n ）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。

6．如果A(t)是n ×n 矩阵，f(t)是n 维列向量，则它们在 a ≤t ≤b 上满足 时，方程组x ˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x （t 0）=η的解在a ≤t ≤b 上存在唯一。 7．若?（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的 基解矩阵，则?（t ）与ψ（t ）具有关系：

。 8．若?（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的 基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη

=的解

()t ψ=_____________________

9.满足 _________________________________________的点（**

,x y ），称为方程组的奇点。

10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。 二．计算题（60分）

1．

3

()0ydx x y dy -+= 2．32(

)480

dy dy

xy y dx dx -+=

3．求方程2

dy

x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解

4．sin cos2x x t t ''+=-

5．若

2114A ??

=??

-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt

6.求1,5

dx dy

x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

三.证明题(10分)

设

(,)f x y 及f

y

??连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x

的积分因子.

常微分方程期终测试卷(12)

一、填空题（30%）

1．若y=y 1(x )，y=y 2(x )是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

2．方程2

2d d y x x y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

3．)

,(y x f y '

连续是保证方程),(d d y x f x y

=初值唯一的 条件．

一条积分曲线.

4. 线性齐次微分方程组Y A Y

)(d d x x =的一个基本解组的个数不能多于

个，其中R ∈x ，n

R Y ∈．

5．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 ．

6．方程y x x y

cos sin d d ?=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．

7．方程y

x x y

tan d d 2=的所有常数解是 ．

8．方程0d cos d sin =+y x y x y x 所有常数解是 ． 9．线性齐次微分方程组的解组

)(,),(),(21x x x n Y Y Y 为基本解组的 条

件是它们的朗斯基行列式0)(≠x W ．

10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个．

二、计算题（40%）

求下列方程的通解或通积分：

1. x y x y x

y tan d d += 2．y

y x y x y

sin sin cos cos d d 2=-

3．

0)d 1(d )cos 2(2

=-+-y x x x xy 4．?

?????

?+==y x t y y t x

2d d d d 5．?

?????

?+-=+=y x t y y x t x

32d d d d

三、证明题（30%）

1．试证明：对任意

0x 及满足条件100<

221)1(d d y x y y x y ++-=

的满足条件

00)(y x y =的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．

2．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0

)(lim =+∞

→x f x ，求证：方程)(d d x f y x y

=+的任意

解)(x y y =均有0)(lim =+∞→x y x ．

3．设方程)

(d d 2y f x x y

=中，)(y f 在),(∞+-∞上连续可微，且0)(

证：该方程的任一满足初值条件

00)(y x y =的解)(x y 必在区间),[0∞+x 上存在．

常微分方程期终试卷(13)

一、填空题（30分）

1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x 的积分因子的充要条件是

（ )(x N x N

y M ?=??-?? ），有只含y 的积分因子的充要条件是 （ )(y M x N

y M ?-=??-?? ）。

2、 求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =φ的解等价于求积分方程（y=y 0+?x

x dx y x f 0

),(）。

3、 方程2

2y x dx dy

+=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）的

即位存在区间是（4141≤

≤-x ）。

4、 若X i (t)(I=1,2, ,n)是齐线性方程的 n 个解，W(t)为伏朗斯基行列式，则W(t)

满足一阶线性方程（W '(t)+a 1(t)W(t)=0）。

5、 若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要

条件是（W[X 1(t), X 2(t) , X n (t)]≠0）。

6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组'X =A （t ）X+f(x),X(t 0)=η的近似解时，则

ds

s f s s A t t

t k k )]()()([()(0

1++=?-?η?）。

7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应

的奇点称为（稳定中心）。 8、 满足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（x *

*,y ）, 称为方程组的奇点。

9、 若)()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：

（为非奇异矩阵）C C t t ()()(φψ=）。

10、 形如（x n

n n

dx y d +a 1x

11

1---n n n dx y d +)0=+y a n 的方程称为欧拉方程。

二、计算题

求下列方程的通解（１－２）

１、（２xy+3222)()0

3y

x y dx x y dy +++=

解：因为222,2M N

x x y x

y x ??=++=??

又因为M N

N y x ??-=??

所以方程有积分因子：u(x)= x

e 方程两边同乘以x e 得：

x e 2(2xy x y ++322

)()03x y dx e x y dy ++=

［3222(2)][]0

3x x x x y

e xy x y dx e x dy e dx e y dy ++++=

也即方程的解为 3

23x x y

e x y e c

+=． ２、

33

30()

dy x y xy y dx '''+-== 解：令，dy

y p tx

dx '===，则

3332

30x t x tx +-=即

331t x t =+

从而

2

331t p tx t ==

+

又2

33

33()()11t t y dt c t t '=+++?

＝3

32

3142(1)t c t +++

故原方程的通解为

33

32313142(1)t x t t y c t ?

=?+??+?=+?+? t 为参数 ３、求方程2

dy

x y dx =+经过（０，０）的第三次近似解

解：0

00y Φ==

2

10

2x

x x d x Φ==

?

425

20

()4220x

x x x x dx Φ=+=+

?

4107

30

()440020x

x x x x dx

Φ=+++?

＝251182

204400160x x x x +++

４、求22

2321d x dx

x t dt dt --=+的通解

解：齐线性方程22

230d x dx

x dt dt --=的特征方程为

2230λλ--= 故齐线性方程的一个基本解组为3t

e ，t

e -，

因为0λ

=不是特征方程的特征根

所以原方有形如()x t ＝01B t B +的特解

将()x t ＝01B t B +代入原方程，比较t 的同次幂系数得：

0013(23)2

1B t B B t -+--=+

故有00132231B B B -=??--=?解之得：032B =-，119B = 所以原方程的解为：

31231()()

29t t x t c e c e t -=++-+

５、试求：

211121112-????-????-??

的基解矩阵

解：记A=21

11211

12-????

-????-??,又()det()(1)(2)(3)0p E A λλλλλ=-=---= 得11λ=，232,3λλ==均为单根

设1λ对应的特征向量为1v ，则由

11()0E A V λ-=得

10,0v ααα????=≠??

????取

1011v ????

=?????? 同理可得23,λλ对应的特征向量为：

23111,011v v ????????

==????????????

则231

12233(),(),()t t t t e v t e v t e v Φ=Φ=Φ=均为方程组的解 令123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ

又011

(0)det (0)1100

111

w =ψ=≠

所以

123()((),(),())t t t t ψ=ΦΦΦ即为所求。

６、试求22

320d x dx

x dt dt ++=的奇点类型及稳定性 解：令dx y dt =，则：32dy y x

dt =--

因为01023≠--，又由1

23λλ-=+得

2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负

故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。

7. 一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k 1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k 2）。试求此质点的速度与时间的关系。

解：由物理知识得：)F (为质点受到的合外力为质点的加速度，其中合合

a m F a =

根据题意：v k t k F 21-=合

故：)0(221>-=k v k t k dt dv

m