简谐运动 机械波多解问题
简谐运动、机械波的多解性
简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性．在解答某些 问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁．
波的传播和介质各质点的振动之间有密切的内在联系，在求解此类问题时，如果质点振动或波的传播方向不确定和波的传播时间不确定等，就容易出现多解现象．解题时往往人为地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向， 造成漏掉一个相反方向的可能解．如果解题中又不能透彻分析题意，合理使用已知条件，就会造成解答不完整，或用特解代替通解现象．
简谐运动的多解性
简谐振动的多值性 ：作简谐振动的质点，是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．简谐振动是周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关 系，质点运动的路程是唯一的，若运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的位移是多值的．
情形一：简谐振动的对称性引出的多值
例1．一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，则该质点再经 s 的时间第三次过P 点．
分析与解： 由题意“从 O 点”出发，“过 P 点继续”
运动知，P 点不是平衡位置和位移最大的特殊点，做出示意图，
题中未明确质点第一次从 O 到P 的路径，因此需多向思维，
考虑到可能的两种情况． 若质点沿图14-1中①的方向第一次过 P 点 ，历时3s ；
由P 到b ，再由b 到P 共历时2s ，则由其对 称性知P 、b 间往返等时，各为1s ，从而可知4
T =4s ，周期 T =16s ，第三次再过 P 点，设由P 向左到a ，再返回P ，历时一个周期 T 减去P 、b 间往返用的 2s ，需时t=(16—2)s=14s ．
若沿图1中② 的方向第一次过 P 点，由对 称性可知，从 O 到P 的时间与从P 到O 的时间相等，设为t ’ ，则有：'3'22'4T t t -=+=
由上式解得1'3t =s,163T =s ，质点第三次过 P 点历时10''23t T =-=s ，故此时的答案为：14s 或103
s ． 情形二：运动方向性引出的多值性
例2．一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（ ）
A.2s
B.2s 3
C.1s 2
D.1s 4
解：质点从平衡位置开始运动时，是先向发现点运动还是背离发现点运动，题目中并未说明，故分析时应考虑两种情况：
若质点先向发现点运动，设周期为T 则，t =T n )4
1
(+，且n=0、1、2、3…… 图
14-1
由上式可知答案A 正确；
若质点先向背离发现点运动，设周期为T 则，t =T n )4
3(+，且n=0、1、2、3…… 由上式可知答案B 正确．
情形三：周期性变化引出的多值性
在解决与振动有关的问题时，要充分考虑到振动的周期性，由于振动具有周期性，所以此类问题往往答案不是一个而是多个．
例3．如图14-2所示，光滑圆弧轨道的半径为R ，圆弧底部中点为O ，两个相同的小球分别在O 正上方h 处的A 点和离O 很近的轨道B 点，现同时释放两球，使两球正好在O 点相碰。问h 应为多高？
分析与解： 对A 球，它做自由落体运动，自h 高度下落至O 点
212A h gt t =∴= 对B 球可视为单摆，延用单摆周期公式可求B 球到对B 球振动周期
2B T π= 到达O 点的时间为 1()2424
B T T n t n T =+=+ (0,1,2,n =
2121244B n n t T ++????∴==
? ?????
212n +??= ???
要求两球相碰，则A B t t = ,
212n π+??= ??? 解得：2
2(21)8
n h R π+= (0,1,2,)n =
机械波的多解性
机械波在传播过程中时间上和空间上的周期性、传播方向的双向性、以及质点振动方 向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因，解题时稍一疏忽就会出现漏解．
情形一：时间 、距离不确定形成多解
沿着波的传播方向，间距等于数倍波长的两相邻质点振动情况完全相同；在振动时间上，间隔等于整数倍周期的两相邻质点振动情况也完全相同，所以，已知条件若没有给定波传播的时间或没有给定波传播距离，就会出现多解现象．
例4. 如图13-3所示，实线表示t
时刻的图线，箭头表波的传播方向，虚线表示经14-2
过时间Δt 后的波形图，已知波长为λ ，试求波的传播速度．
分析与解： 因未给定波传播距离，比较实线波形和虚线波形，在时间Δt 内，波向右传播距离可能是3711,,,444
λλλ ． 故3(),(0,1,2)4
x n n λ?=+= ，则波的传播速度通解为： 3(43)()/44x n v n t t t λλ?+==+?=??，(0,1,2)n =
情形二：方向不确定性出现多解
波源起振后产生 的波可以在介质中向四周传播 ． 若题 中没有特别注明传播方 向，则求解时必须讨论其传播方向 ，从而导致了波的多解问题 ．
例 5．如图14-4(甲)所示 ，绳中有一列正弦横波 ，沿x 轴传播 ，a 、b 是绳上两点，它们在x 轴上的距离小于一个波长，当 a 点振动到最高点时，b 点恰好经过平衡位置向上运 动．试在图上 a 、b 之间画出波形图．
分析与解：本题没有注明波的传播方向，所以需分波向x +轴 ，x -轴方向传播讨论．由于a 、b 间距离小于一个波长．因此a 、b 间不足一个波形 ，其图像如图14-4(乙) 所示 ，①为波向x +轴传时波形 ，② 为波沿x -轴传时的波形．
情形三：波的时间周期性而形成多解
在波传播过程中，当经过的时间是周期的整数倍时，波形与原来相同，形成波的各质点的振动情况也与原来时刻相同．所以，已知条件没有给定传播时间与周期间的关系时，就会出现多解问题．如在解题时只分析传播时间?t 例6． 一列横波在t=0和t=1 s 时刻的波形如下图 14-5中实线和虚线所示．由此可判定 此波的( )． A 波长一定是4 cm ； B 周期一定是4 S ； C 振幅一定是2 cm ； D 传播速度一定是1 cm ·S -1 分析与解：由图可直接得出振幅A=2 cm ， 波长 4cm λ=，故A 、C 正确；但波的传播方向 和周期T 与 ?t 之间的关系均未知，故周期与波速应有多解： 若波向右传播，则1()4 t n T ?=+从而 图14-3 图 14-4 图 14-5 14s s(0,1,2)1/441 T n n n = ==++ 所以110.01(41)(41)(0,1,2).v n m s n cm s n T λ--==?+=+= 同理可得当波向左传播时443T s n =+ 1(43)(0,1,2).v n cm s n -=+= 故B 、D 错误． 情形四：质点振动方向导致的多解问题 例7． 如 图14-6所示 ，为一列简谐横波在某时刻的波形图，图中 P 点为介质中一质点，此时刻P 恰好位于平衡位置 ，已知波的周期为 0．4s ，则质点P 到达波峰的时间为多少？ 分析与解：根据质点的振动情况解决问题 如果质点 P 从此时刻开始向上运动，则需要经过14 T 到达最高点，即0.1s; 如果质点 P 从此时刻开始向下运动，则需要经过34T 到达最高点，即0．3s. 情形五：波长不确定出现的多解 沿着波的传播方向，相隔整数倍个波长的两个质点振动的步调是完全相同的，所以当题 中已知条件没有明确波传播的距离和波长的关系时，会出现多解现象． 例8. 如图14-7所示，一列横波沿x 正方向传播，波速大小为 600m ／s ，当离原点 3m 的A 质点恰在平衡位置且向上振动时，离原点6m 的B 质点正处于x 轴上方最大位移 5cm 处，试求此列波的频率． 分析与解：根据题意可以判断出，AB 之间的距离 3()4 s n λ=+ (1,2,3n = 所以波长123434 s n n λ==++ (1,2,3)n = 再根据v f λ=，可以得到200150v f n λ ==+H Z 情形六：形状的周期性造成的多解问题 例９． 在机械波的传播方向上有a 、b 两 个质点，ab 间距为L ．某一时刻，当a 点处于正的最大位移处时，b 点刚好在平衡位置；经过一 段时间t 后，发现a 点在平衡位置，b 点在负的最大位移处。若时间 t 小于一个振动周期T ，且波向右传播，则波的传播速度为多少? 分析与解:该例题给出了波的传播方向，但未给出ab 间距为L 与波长之间的关系。因此分析可知，可能会出现图14-8、图14-9两种情形。图中点 b l 、b 2、b 3…… 表示满足条件的相差波长整数倍的点。 图14-6 图 14-7 根据图14-8可知：ab 间距()1()4L n n N λ=+∈．由于 t t T =，因此图14-8对应的传播速度为： 1 34,4(41)3 L n L v n N T n t t λ+ ===∈+ 根据图14-９可知：ab 间距()3()4 L n n N λ=+∈．由于 t t T =，因此图14-8对应的传播速度为： 34,4(43)L n L v n N T t n t λ+===∈+ 情形六：质点振动图像导致的多解问题 例10．一 列沿x +轴传播的简谐波 ，在1x =10 cm 和2x =110 cm 处的两点振动图线分 别如图14-10中实线和虚线所示，试求质点振动周期和简谐波的波长． 分析与解 ：题目只给定了两个质点振动图像 ，从图像较易得出，振动周期为 4 s ，同时振动图像还揭示了质点的位置关系． 1x 质点在 t=0时刻位于正的最大位移处 ，2x 质点此时位于平衡位置且向上振动 ．但满足此条件的 ，位置有许多个．图14-11中的 A 、B 、C …… 等 ．因此,机械波的波长有多个答案．1x 、2x 间距遵循 2114 x x n λλ-=+，(0,1,2)n = 图14-8 图14-9 图14-10 图14-11 从而可得 441 m n λ=+ (0,1,2)n = 练习 14 1．某简谐振动物体由平衡位置出发开始振动，频率为0.25 Hz ，它在什么时刻速度最大？什么时刻加速度最大？ 2．质点作简谐振动，从某位置开始经过3 s 又回到该位置，再经过4 s 质点离平衡位置的距离和原来相同，则它的周期多大？ 3．一列频率为50Hz 的横波在x 轴上传播,某时刻,在x =-2m 的质点A 正通过平衡位置向上运动时,在x =4m 处的质点恰好处于上方最大位移处(1)设这列波的波长大于6m ,若沿x 轴正方向传播,则波速多大?若沿x 轴负方向传播,则波速多大?(2)若这列波的波速为240m ／s ,求波的传播方向 4．在坐标原点O 处有一波源S ,它沿y 轴做 频率为50Hz 、振幅为2cm 的简谐运动,形成的波 可沿x 轴正、负方向传播,波速为20m ／s ,开始振 动时S 恰好通过O 点沿y 轴正方向运动,求: (1)当S 完成第一次全振动时,在图14-12上画出此时刻的波形图； (2)如果波传到坐标为x 1=2.7m 的M 点时,还要经历多少时间才能传到坐标为x 2=-2.9m 的N 点?波传到N 点时质点M 在什么位置? 参考答案：１．2k s, (2k +1) s ２．14 s ，8 s ，14 / 3 s 3．(1)若向右传播 6m 43=λ,λ=8m ,v =λf =400m /s ；若向左传播 s /1200m f v ,24m ,6m 41====λλλ (2)8m .4f v ==λ两点间距离等于λ4 11.∴波向左传播 ４．(1)如图14-13 (2)波传到M 点时.同时也传到了x ′2=-2.7m 的N ′点,NN ′=△x =0.2m 由△x =v △t ,所以△t =0.01s .这说明向右的波传到M 后,向左的波再经过半个周期波才传到N 点,即质点M 还要做半次全振动,所以M 正好位于平衡位置且向y 轴负方向运动 图 14-12 图14-13 阜阳市红旗中学 时其新 摘要：简谐运动问题是全国中学生物理竞赛考查的重点内容，本文对这类问题 的常见类型以及解决问题的思路作了比较详尽的阐述，希望对参加竞赛的同学有所裨益。 关键词：简谐运动 解题导引 简谐运动问题是历届全国中学生物理竞赛考查的重点内容之一。这类问题大体上可以分为三类：（1）判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期；（2）确定物体做简谐运动的振动方程；（3）确定物体在简谐运动过程中的时间、位移、速度、能量等。本文旨在就这几类问题求解的基本思路作些指导，希望对准备参赛的同学有所帮助。 1. 判断物体的运动是否是简谐运动，并求其振动周期 1.1 判断物体的运动是否是简谐运动的基本方法 简谐运动的基本判据： （1） 动力学判据：判断物体所受回复力是否满足 F= －kx 其中k ——回复力系数 （2） 运动学判据：判断物体运动的加速度是否满足 a= －ω2x 其中ω——简谐运动的圆频率 无论采用那种方法判断，其基本步骤都是：首先确定振动物体的平衡位置，然后令物体偏离平衡位置一段位移x ，再求物体所受的回复力或物体具有的加速度。进而，可确定回复 力系数k 或圆频率ω，从而由T=2πm k 或ω=T π2求出振动周期。 例1．如图1所示，一个质量为m 2的光滑滑轮由劲度系数为k 的轻弹簧吊 在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m 1的重物，另一端竖直固定在地板上。试证明重物沿竖直方向的振动是简谐运动，并求其振动周期。 解析：设：系统平衡时弹簧的伸长量是x 0。则有 kx 0=2m 1g+m 2g （1） 当重物m 1向下偏离平衡位置x 时，滑轮m 2向下偏离平衡位置（x 0+ 2 x ），假设此时绳上的拉力是F ，m 1的加速度为a 1，m 2的加速度为a 2，则由牛顿第二定律得 对m 1： F －m 1g=m 1a 1 （2） 对m 2： k （x 0+ 2 x ）－2F －m 2g=m 2a 2 （3） 由位移关系有： a 1=2a 2 （4） 由以上各式可得 F=m 1g+ 2 11 4m m m +kx （5） m 1 m 2 k 图—1 高三物理第一轮复习《机械振动和机械波》 一、机械振动： （一）夯实基础： 1、简谐运动、振幅、周期和频率： （1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。 特征是：F=-kx,a=-kx/m （2）简谐运动的规律： ①在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。 ②在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。 ③振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。 ④当质点向远离平衡位置的方向运动时，质点的速度减小、动量减小、动能减小，但位移增大、回复力增大、加速度增大、势能增大，质点做加速度增大减速运动；当质点向平衡位置靠近时，质点的速度增大、动量增大、动能增大，但位移减小、回复力减小、加速度减小、势能减小，质点做加速度减小的加速运动。 ④弹簧振子周期：T= 2 (与振子质量有关,与振幅无关) （3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量, 是标量。 （4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为频率，单位是赫兹（Hz ）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. 2、单摆： （1）单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。 （2）单摆的特点： ○ 1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○ 2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100 时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T= g L π 2。 （3）单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=2 24T L π. 3、受迫振动和共振： （1）受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动叫受迫振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。 （2）共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。 ○ 2产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。○3共振的应用：转速计、共振筛。 4、简谐运动图象： （1）特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。 （2）简谐运动图象的应用： ①可求出任一时刻振动质点的位移。 ②可求振幅A ：位移的正负最大值。 ③可求周期T ：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 ④可确定任一时刻加速度的方向。 ⑤可求任一时刻速度的方向。 ⑥可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 πm K 简谐运动及其图象 编稿：张金虎审稿：吴嘉峰 【学习目标】 1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。 2．知道什么样的振动是简谐运动。 3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。 4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。 5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。 6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。 7．能用公式描述简谐运动的特征。 【要点梳理】 要点一、机械振动 1．弹簧振子 弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子． 2．平衡位置 平衡位置是指物体所受回复力为零的位置． 3．振动 物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动． 振动的特征是运动具有重复性． 要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线． 4．振动图像 （1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移x，建立坐标系，如图所示． （2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移x 随时间t 变化的规律． （3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所示，在x t -图像中，某时刻质点位置在t 轴上方，表示位移为正（如图中12t t 、时刻），某时刻质点位置在t 轴下方，表示位移为负（如图中34t t 、时刻）． （4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反． 如图所示，在x 坐标轴上，设O 点为平衡位置。A B 、为位移最大处，则在O 点速度最大，在A B 、两点速度为零． 在前面的x t -图像中，14t t 、时刻速度为正，23t t 、时刻速度为负． 要点二、简谐运动 1．简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动． 简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动． 物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动． 简谐运动是最简单、最基本的振动． 2．实际物体看做理想振子的条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）；（2）当与弹簧相接的小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内． 3．理解简谐运动的对称性 如图所示，物体在A 与B 间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则有： （1）时间的对称： 4 OB BO OA AO T t t t t ==== ， OD DO OC CD t t t t ===， 机械振动与机械波 简谐振动 一、学习目标 1.了解什么是机械振动、简谐运动 2.正确理解简谐运动图象的物理含义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线。 二、知识点说明 1.弹簧振子(简谐振子)： (1)平衡位置：小球偏离原来静止的位置； (2)弹簧振子：小球在平衡位置附近的往复运动，是一种机械 运动，这样的系统叫做弹簧振子。 (3)特点：一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型。 2.弹簧振子的位移—时间图像 弹簧振子的s—t图像是一条正弦曲线，如图所示。 3.简谐运动及其图像。 (1)简谐运动：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。 (2)应用：心电图仪、地震仪中绘制地震曲线装置等。 三、典型例题 例1：简谐运动属于下列哪种运动( ) A．匀速运动 B．匀变速运动 C．非匀变速运动 D．机械振动 解析：以弹簧振子为例，振子是在平衡位置附近做往复运动，并且平衡位置处合力为零，加速度为零，速度最大．从平衡位置向最大位移处运动的过程中，由F＝－kx可知，振子的受力是变化的，因此加速度也是变化的。故A、B错，C正确。简谐运动是最简单的、最基本的机械振动，D正确。 答案：CD 简谐运动的描述 一、学习目标 1．知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。 2．知道振动物体的固有周期和固有频率，并正确理解与振幅无关。 二、知识点说明 1.描述简谐振动的物理量，如图所示： (1)振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，。 (2)全振动：振子向右通过O点时开始计时，运动到A，然后向左回到O，又继续向左达到，之后又回到O，这样一个完整的振动过程称为一次全振动。 (3)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，符号T表示，单位是秒(s)。 (4)频率：单位时间内完成全振动的次数，符号用f表示，且有，单位是赫兹(Hz)，。 (5)周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，振动越快。 (6)相位：用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。 2.简谐运动的表达式：。 机械波多解问题的成因及对策 江苏省怀仁中学214196 顾晓伟 机械波的多解问题历来是高考中的热门考点，无论是全国卷，还是上海卷，都屡屡出现。同时本考点又是学生学习机械波时的难点所在。其主要表现在无法正确判断多解问题的原因，从而造成错解。本文将就机械波多解问题的源头——产生原因作简要的探讨，并结合最近几年高考中出现的考题说明对应的解题策略。 一、传播方向导致的多解问题 波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播。若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题。 例1．（87年全国高考卷）如图一（甲）所示，绳中有一列正弦横波，沿x 轴传播，a,b是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动。试在图上a、b之间画出波形图。 图一（甲）图一（乙） 分析：本题没有注明波的传播方向，所以需分波向+x轴，-x轴方向传播讨论。由于a、b间距离小于一个波长。因此a、b间不足一个波形，其图象如图一（乙）所示，①为波向+x轴传时波形，②为波沿-x轴传时的波形。 二、波长大小导致的多解问题 因题设中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题。 例2．（96年全国卷）如图二（甲）所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0米，b点在a点右方，当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若a点位移达到正向极大时，b点位移恰好为零，且向下运动。经过1.00秒后，a点位移为零，且向下运动。而b点的位移恰好达到负向极大，则这列简谐波的波速可能等于（） A ．4.67m/s B ．6m/s C ．10m/s D ．14m/s 图二（甲） 图二（乙） 分析：此题虽然已说明了波的传播方向，但满足题设条件的a 、b 两点可以 有无数个可能位置，图二（乙）中的b 1、b 2、b 3……等。只可写出a 、b 间距的 通式：S ab =λλn +4 3（n=0、1、2……），从而波速的答案也是系列解答。经求解可知A 、C 为正确答案。 三、波形周期导致的多解问题 简谐机械波的波形是周期性重复出现的，每经过一个周期波形图与原图形重 复，从而导致了问题的多解性。 例3．（96年上海卷）一列横波在某时刻的波形图如图三中实线所示，经2 ×10-2S 后波形如图中虚线所示，则该波的波速v 和频率f 可能是（ ） A ．v=5m/s B ．v=45m/s C ．f=50hz D ．f=37.5hz 图三 分析：此题波的传播方向不确定，需分向+x 轴和向-x 轴传播两种情况讨论。 另外由于波形的周期性导致了传播波形的不确定性。若波向+x 轴传播，传播的 距离S=λλn +41（n=0、1、2……）。若向-x 轴传播，传播距离S=λλn +4 3（n=0、1、2……），通过求解可知A 、B 、D 答案是正确的。 四、质点振动方向导致的多解问题 例4．（99年上海卷）一列简谐横波向右传播，波速为v ，沿波传播方向上 机械图纸解析，看懂了它，所有的图纸都能轻松看懂（干货）1.纸幅面按尺寸大小可分为5种，图纸幅面代号分别为A0、A1、A2、A3、A4。 图框右下角必须要有一标题栏，标题栏中的文字方向为与看图方向一致。 2.图线的种类有粗实线、细实线、波浪线、双折线、虚线、细点划线、粗点划线、 双点划线等八类。 3.图样中，机件的可见轮廓线用粗实线画出，不可见轮廓线用虚线画出，尺寸线和 尺寸界线用细实线画出来，对称中心线和轴线用细点划线画出。虚线、细实线和细 点划线的图线宽度约为粗实线的1/3。 4.比例是指图中图形尺寸与实物尺寸之比。 5.比例1：2是指实物尺寸是图形尺寸的2倍，属于缩小比例。 6.比例2：1是指图形尺寸是实物尺寸的2倍，属于放大比例。 7.在画图时应尽量采用原值比例的比例，需要时也可采用放大或缩小的比例，其中1：2为缩小比例，2：1为放大比例无论采用那种比例图样上标注的应是机件的实 际尺寸。 8.图样中书写的汉字、数字和字母，必须做到字体工整，笔画清楚，间隔均匀，排 列整齐，汉字应用长仿宋体书写。 9.标注尺寸的三要素是尺寸界限、尺寸线、尺寸数字。 10.尺寸标注中的符号：R表示圆半径，ф表示圆直径，Sф表示球直径。 11.图样上的尺寸是零件的实际尺寸，尺寸以毫米为单位时，不需标注代号或名称。 12.标准水平尺寸时，尺寸数字的字头方向应向上；标注垂直尺寸时，尺寸数字的 字头方向应朝左。角度的尺寸数字一律按水平位置书写。当任何图线穿过尺寸数字时都必须断开。 13.斜度是指斜线对水平线的倾斜程度，用符号∠表示，标注时符号的倾斜方向应 与所标斜度的倾斜方向一致。所标锥度方向一致。 14.符号“∠1：10”表示斜度1：10，符号“ 1：5”表示锥度1：5。 15.平面图形中的线段可分为已知线段、中间线段、连接线段三种。它们的作图顺 序应是先画出已知线段，然后画中间线段，最后画连接线段。 16.已知定形尺寸和定位尺寸的线段叫已知线段；有定形尺寸，但定位尺寸不全的 线段叫中间线段；只有定形尺寸没有定位尺寸的线段叫连接线段。 简谐运动的对称性 在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用: 一、运动时间的对称性 例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（） A. 8s B. 4s C. 14s D. s 3 10 【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动， O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知： s 16 T,s4 4 T = = 质点第三次经 过M点所需时间：△s 14 s2 s 16 s2 T t= - = - =，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O →a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有： s 3 16 T,s4 4 T 2 T = = + ，质点第三次经过M 点所需时间： △ s 3 10 s2 s 3 16 s2 T t= - = - = ，故D正确，应选CD。 二、速度的对称性 例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周 期内（） A. 弹力做的功一定为零 B. 弹力做的功可能是0到 2 mv 2 1 之间的某一值 C. 弹力的冲量一定为零 D. 弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一值 【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小 相等，方向相反。由动能定理知，半个周期内弹力做的功为零，A正确；半个周期内振子速度变化量的 最大值为2mv。由动量定理知，弹力的冲量为0到2mv之间的某一值，故D正确，应选AD。 三、位移的对称性 例3.一弹簧振子做简谐动动，周期为T，则下列说法中正确的是（） 专题：振动图像与波的图像及多解问题 一、振动图象和波的图象 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形 例1.如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象 （1）说出两图中AA/的意义？ （2）说出甲图中OA/B图线的意义？ （3）求该波速v=？ （4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图 （5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移 解析：（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负． （2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由 乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲 图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动， A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动． （3）甲图得波长λ＝4 m，乙图得周期T＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s （4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十?）λ 所以只需将波形向x轴负向平移?λ=2m即可，如图6——28所示 t =7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m （5）求路程：因为n= 2/ T 求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零． 例2 .如图所示，（1）为某一波在t＝0时刻的 波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图 象，则下列判断正确的是 A．该列波的波速度为4m／s ； B．若P点的坐标为x p＝2m，则该列波 沿x轴正方向传播 C、该列波的频率可能为2 Hz； D．若P点的坐标为x p＝4 m，则该列波沿x轴负方向传播； 解析:由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T ＝4m／s． 由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为x p ＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为x p＝4 m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确． 点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向 二、波动图象的多解 波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定． 1.波的空间的周期性：相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同． 2.波的时间的周期性：波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同． 3.波的双向性 4.介质中两质点间的距离与波长关系未定 在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解． 5.介质中质点的振动方向未定 机械振动和机械波 一、知识结构 二、重点知识回顾 1机械振动 （一）机械振动 物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。 产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。 （二）简谐振动 1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。 2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。 3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。 （三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。 1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。 2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。 （四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在 圆弧切线方向的分力。单摆的周期公式是T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。 （五）振动图象。 简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。 （六）机械振动的应用——受迫振动和共振现象的分析 （1）物体在周期性的外力（策动力）作用下的振动叫做受迫振动，受迫振动的频率在振动稳定后总是等于外界策动力的频率，与物体的固有频率无关。 （2）在受迫振动中，策动力的频率与物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象叫共振，声音的共振现象叫做共鸣。 2机械波中的应用问题 1. 理解机械波的形成及其概念。 （1）机械波产生的必要条件是：<1>有振动的波源；<2>有传播振动的媒质。 （2）机械波的特点：后一质点重复前一质点的运动，各质点的周期、频率及起振方向都与波源相同。 （3）机械波运动的特点：机械波是一种运动形式的传播，振动的能量被传递，但参与振动的质点仍在原平衡位置附近振动并没有随波迁移。 （4）描述机械波的物理量关系：v T f ==? λ λ 注：各质点的振动与波源相同，波的频率和周期就是振源的频率和周期，与传播波的介质无关，波速取决于质点被带动的“难易”，由媒质的性质决定。 2. 会用图像法分析机械振动和机械波。 振动图像，例：波的图像，例： 振动图像与波的图像的区别横坐标表示质点的振动时间横坐标表示介质中各质点的平衡位置 表征单个质点振动的位移随时间变 化的规律 表征大量质点在同一时刻相对于平衡位 置的位移 相邻的两个振动状态始终相同的质 点间的距离表示振动质点的振动周 期。例：T s =4 相邻的两个振动始终同向的质点间的距 离表示波长。例：λ=8m 波的多解问题专项练习 1、一列简谐横波沿直线 AB 传播，已知A 、B 两质点平衡位置间的距离是 3m ,且在某一时刻, A 、 ■ rZem 图5 B 两质点的位移均为零， A 、B 之间只有一个波峰，则这列横波的波长可能是（ y/cm 图6 A 、 3m B 、6m C 、2m D 、4m 2、如图所示，绳中有一列正弦横波，沿 x 轴传播， 是绳上两点，它们在x 轴上的距离小于一个波长，当 振动到最高点时，b 点恰好经过平衡位置向上运动。试在 图上门、b 之间画出波形图。 上，b 占 八、、 3、如图甲所示，一根张紧的水平弹性长绳上的 一列简谐波沿此绳向右传播时，若 点位移达到正向极大时, 经过1 . 00s 后，^点位移为零，且向下运动，而 的波速可能等于： 二、b 两点，相距14. 0m 。b 点在*点右方，当 b 点位移恰好为零，且向下运动。 b 点的位移恰好达到负向极大，则这列简谐波 7.一根张紧的水平弹性长绳上有a 、b 两点相距 14m ，b 点在a 点的右方.当一列简谐横波沿 此长绳向右传播时，若a 点的位移达到正极大值时，b 点的位移恰为 0，且向下运动.经过 1s 后，a 点的位移为 0,且向下运动，而b 点的位移恰达到负极大值.则这列简谐横波的波速可能 等于（ ） A . 4.67m/s B. 6m/s C. 10m/s D . 14m/s &一简谐波沿x 轴正方向传播.已知轴上 x 1=0和x 2=1m 两处的振动图象分别如图 9所示，又知 此波的波长大于1m ，则此波的传播速度 v= _______ m/s .（取整数） A . 4. 67m /s B . 6m /s C. 10m /s D. 14m / s 4 ?一列机械波在某时刻的波形如图 1中实线所 示，经过一段时间以后， 波形图象变成图 大小为1m/s .那么这段时间可能是（ A . 1s B . 2s C. 3s 1中虚线所示, ） D . 4s J 厂 x/m 波速 9.一列波以速率v 传播，如图2所示，t 1时刻的波形的实线，t 2时刻的波形为虚线，两时刻之 差t 1-t 2=，且小于一个周期 T ，有下列各组判断中，可能正确的是: 5、一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经 0. 02s 后波形如图中虚线所示，则该波的波速 频率f 可能是（ B. i = 45m / s 图1 C . f = 50Hz D . f = 37. 5Hz A. T = 0. 12s ， v =100m /s B. T =， v = 300m /s C. T =， v = 300m / s D. T = 0. 04s ， v =100m /s ( ) 6 .图5所示为一列简谐横波在 的传播速度和传播方向是： （ A . v 25cm/s ，向左传播 C. v 50cm/s ，向左传播 t=20s 时的波形图，图6是这列波中P 点的振动图线，那么该波 ） B . v 25cm/ s ，向右传播 D. v 50cm/ s ，向右传播 10 .如图所示，图3为一列简谐横波在t = 20秒时的波形图，图4是这列波中P 点的振动图 线，那么该波的传播速度和传播方向是（ ） A . v = 25cm/s ，向左传播 B. v = 50cm/s ，向左传播 有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧 黄 菊 娣 （浙江省上虞市上虞中学 312300） 弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移） ；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的． 在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理． 一、弹簧振子及解题方法 在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化． 例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是………………………………………（ ） A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍 B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于 2 T 的整数倍 C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等 D ．若Δt ＝2T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹 簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置． 对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相 同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错． 对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是 2 T ，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确． 对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为 2 T ，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ． 解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确． 图1 简谐运动 知识点说明 1.弹簧振子(简谐振子)： (1)平衡位置：小球偏离原来静止的位置； (2)弹簧振子：小球在平衡位置附近的往复运动，是一种机械运动，这样的系统叫做弹簧振子。 (3)特点：一个不考虑摩擦阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子的大小和形状的理想化的物理模型。 2.弹簧振子的位移—时间图像 弹簧振子的s—t图像是一条正弦曲线，如图所示。 巩固练习： 1．下列说法中正确的是() A．弹簧振子的运动是简谐运动 B．简谐运动就是指弹簧振子的运动 C．简谐运动是匀变速运动 D．简谐运动是机械振动中最简单、最基本的一种 2．简谐运动是下列哪一种运动() A．匀变速运动 B．匀速直线运动 C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动 3．如图，当振子由A向O运动时，下列说法中正确的是() A．振子的位移在减小 B．振子的运动方向向左 C．振子的位移方向向左 D．振子的位移大小在增大 4．一质点做简谐运动，如图所示，在0.2s到0.3s时间内质点的运动情况是 A．沿负方向运动，且速度不断增大 B．沿负方向运动，且位移不断增大 C．沿正方向运动，且速度不断增大 D．沿正方向运动，且加速度不断减小 5．如图(a)，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，如图(b)是振子做简谐运动时的位移—时间图象．则关于振子的加速度随时间的变化规律．下列四个图象中正确的是 6．下图为质点P在0～4s内的振动图象，下列叙述正确的是() A．再过1s，该质点的位移是正向最大 B．再过1s，该质点的速度方向为正向 C．再过1s，该质点的加速度方向为正向 D．再过1s，该质点的速度最大 7.如图所示，是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象(x－t图)．由图可推断，振 动系统() A．在t1和t3时刻具有相同的速度 B．在t3和t4时刻具有相同的速度 C．在t4和t6时刻具有相同的位移 简谐运动、机械波的多解性 简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性．在解答某些 问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁． 波的传播和介质各质点的振动之间有密切的内在联系，在求解此类问题时，如果质点振动或波的传播方向不确定和波的传播时间不确定等，就容易出现多解现象．解题时往往人为地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向， 造成漏掉一个相反方向的可能解．如果解题中又不能透彻分析题意，合理使用已知条件，就会造成解答不完整，或用特解代替通解现象． 简谐运动的多解性 简谐振动的多值性 ：作简谐振动的质点，是一个变加速运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同．简谐振动是周期性的运动，若运动的时间与周期存在整数倍的关 系，质点运动的路程是唯一的，若运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性．若不具备以上条件，质点运动的位移是多值的． 情形一：简谐振动的对称性引出的多值 例1．一个做简谐运动的质点在平衡位置O 点附近振动，当质点从O 点向某一侧运动时，经3s 第一次过P 点，再向前运动，又经2s 第二次过P 点，则该质点再经 s 的时间第三次过P 点． 分析与解： 由题意“从 O 点”出发，“过 P 点继续” 运动知，P 点不是平衡位置和位移最大的特殊点，做出示意图， 题中未明确质点第一次从 O 到P 的路径，因此需多向思维， 考虑到可能的两种情况． 若质点沿图14-1中①的方向第一次过 P 点 ，历时3s ； 由P 到b ，再由b 到P 共历时2s ，则由其对 称性知P 、b 间往返等时，各为1s ，从而可知4 T =4s ，周期 T =16s ，第三次再过 P 点，设由P 向左到a ，再返回P ，历时一个周期 T 减去P 、b 间往返用的 2s ，需时t=(16—2)s=14s ． 若沿图1中② 的方向第一次过 P 点，由对 称性可知，从 O 到P 的时间与从P 到O 的时间相等，设为t ’ ，则有：'3'22'4T t t -=+= 由上式解得1'3t =s,163T =s ，质点第三次过 P 点历时10''23t T =-=s ，故此时的答案为：14s 或103 s ． 情形二：运动方向性引出的多值性 例2．一质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经过0.5s 在位移最大处发现该质点，则此简谐运动的周期可能是（ ） A.2s B.2s 3 C.1s 2 D.1s 4 解：质点从平衡位置开始运动时，是先向发现点运动还是背离发现点运动，题目中并未说明，故分析时应考虑两种情况： 若质点先向发现点运动，设周期为T 则，t =T n )4 1 (+，且n=0、1、2、3…… 图 14-1 简谐运动的对称性 It was last revised on January 2, 2021 简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性. 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。 下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用: 一、运动时间的对称性 例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s 质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（） A. 8s B. 4s C. 14s D. s 3 10 【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知： s 16 T,s4 4 T = = 质点第三次经过M点所需时间：△s 14 s2 s 16 s2 T t= - = - =，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O →a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有： s 3 16 T,s4 4 T 2 T = = + ，质点第三次经过M点所需时间： △ s 3 10 s2 s 3 16 s2 T t= - = - = ，故D正确，应选CD。 二、速度的对称性 例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周期内（） A. 弹力做的功一定为零 简谐运动和机械波 重点难点 1．简谐运动特点 ①研究简谐运动，通常以平衡位置为坐标原点． ②对称性：在振动轨迹上关于平衡位置对称的两点，位移、回复力、加速度等大反向；速度等大，方向可能相同，也可能相反；动能、速率等大；振动质点从平衡位置开始第一次通过这两点所用的时间相等． ③周期性： 2．振动图象 振动图象反映的是一个质点的位移随时间的变化规律，由图象可直接读出振幅、周期和任意时刻的运动方向． 由于振动的周期性和非线性，在从任意时刻开始计时的一个周期内或半周期内，质点运动的路程都相等(分别为4A 和2A )，但从不同时刻开始计时的四分之一周期内，质点运动的路程是不一定相等的． 3．单摆 ①单摆周期与高度关系 设地球质量为M 时，半径为R ，地球表面的重力加速度为g 0．离地面高h 处重力加速度为g ，单摆的质量为m ，忽略地球自转的影响，则有 022 ,()GM GM g g R R h ==+ 因此可得单摆在高为h 处的周期T 与地面处周期T 0的关系为 R h R g g T T +==00 或 0 20g L R h R R h R T T +=+=π ②单摆周期与不同行星的关系 把单摆分别置于质量为M 1、M 2，半径为R 1、R 2的两行星表面上，其周期分别为T 1和T 2，重力加速度分别为g 1、g 2，忽略行星自转影响，则有 22 122111,R GM g R GM g ==， 2121221)(M M R R g g ?= 4．波动过程具有时间和空间的周期性 介质在传播振动的过程中，介质中每一个质点相对于平衡位置的位移随时间作周期性变化，这体现了时间的周期性；另一方面，每一时刻，介质中沿波传播方向上各个质点的空间分布具有空间周期性．√如相距波长整数倍的两个质点振动状态相同，即它们在任一时刻的位移、速度及相关量均相同；相距半波长奇数倍的两个质点振动状态相反，即它们在任一时刻的位移、速度及相关量均相反． 5．由波的图象判定质点振动方向或波的传播方向 ①“带动”法 如果已知某质点的振动方向，在波的图象中找一个与它紧邻的另一质点，分析这两个质点哪一个先振，先振的质点靠近振源，从而判断出波的传播方向． 反之，如果知道了波的传播方向，也就知道了振源在哪一侧，再找一个与所研究的质点紧邻且靠近振源的质点，这个质点先振，由此判断所研究质点的振动方向． ②微平移法 规律方法 机械波多解问题专题 机械波的多解问题历来是高考中的热门考点，无论是全国卷，还是上海卷，都屡屡出现。同时本考点又是学生学习机械波时的难点所在。其主要表现在无法正确判断多解问题的原因，从而造成错解。本文将就机械波多解问题的源头―――产生原因作简要的探讨，并结合最近几年高考中出现的考题说明对应的解题策略。 １ 传播方向导致的多解问题 波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播。若题 中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题。 例１．（１９８７年全国高考题）如图所示，绳中有一列正弦横波，沿ｘ轴传播，α，ｂ是绳上两点，它们在ｘ轴上的距离小于一个波长，当α点振动到最高点时，ｂ点恰好经过平衡位置向上运动。试在图上α、ｂ之间画出波形图。 分析：本题没有注明波的传播方向，所以需要对波向＋ｘ轴，－ｘ轴方向传播讨论。由于α、ｂ间距离小于一个波长。因此α、ｂ间不足一个波长，其图像如图乙所示，（１）为波向＋ｘ轴传播时的波形；（２）是波沿－ｘ轴传播时的波形。 ２ 波长大小导致的多解问题 因题中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题 例２ （１９９６年全国卷）如图甲所示，一根张紧的水平弹性长绳上的α、ｂ两点，相距１４．０ｍ。ｂ点在α点右方，当一列简谐波沿此绳向右传播时，若α点位移达到正向极大时，ｂ点位移恰好为零，且向下运动。经过１．００ｓ后，α点位移为零，且向下运动，而ｂ点的位移恰好达到负向极大，则这列简谐波的波速可能等于： Ａ、４．６７ｍ／ｓ Ｂ、６ｍ／ｓ Ｃ、１０ｍ／ｓ Ｄ、１４ｍ／ｓ 分析：此题虽然已说明了波的传播方向，但满足题设条件的α、ｂ两点可以有无数个可能位置，图乙中的ｂ1、、b 2、b 3……等。只可以写出α、ｂ间距的通式； λλαn S b += 43（ｎ＝０、１、２……）。从而波速的答案也是系列解答，经求解可知Ａ、Ｃ为正确答案。 三、振动图像与波得图像及多解问题 一、振动图象与波得图象 振动就是一个质点随时间得推移而呈现得现象； 波动就是全部质点联合起来共同呈现得现象． 简谐振动与其引起得简谐波得振幅、频率相同，二者得图象有相同得正弦（余弦）曲振动图象波动图象 研究对象 研究内容一质点位移随得变化规律某时刻所有质点得规律画出图线 物理意义表示某在各时刻得位移表示某各质点得位移 图线变化随时间推移，图线延续，但已有图 像形状。 随时间推移，图象。 一完整曲线 占横坐标距 离 表示一个。表示一个。 m处得质点，Q就是平衡位置为x=4 m处得质点，图乙为质点Q得振动图象，则( ) A．t =0．15s时，质点Q得加速度达到正向最大 B．t=0．15 s时，质点P得运动方向沿y轴负方向 C．从t=0．10 s到t=0．25 s，该波沿x轴正方向传播了6 m D．从t=0．10 s到t=0．25 s，质点P通过得路程为30 cm 【对应练习2】如图甲所示，为一列横波在t=0时刻得波动图像，图乙为质点P得振动图像，下列说法正确得就是（） A．波沿x轴正方向传播 B．波沿x轴负方向传播 C．波速为6m/s D．波速为4m/s 【对应练习3】一列横波 沿x轴正方向传播，a、b、 c、d为介质中得沿波传 播方向上四个质点得平衡位置。某时刻得波形如图1所示，此后，若经过3/4周期开始计时，则图2描述得就是（） A．a处质点得振动图象 B．b处质点得振动图象 C．c处质点得振动图象 D．d处质点得振动图象 【对应练习4】图甲表示一简谐横 波在t=20 s时得波形图，图乙就是该列波中得质点P得振动图象，由甲、乙两图中所提供得信息可知这列波得传播速度以及传播方向分别就是( )． A．v=25cm／s，向左传播B．v=50 cm／s，向左传播 C．v=25 cm／s．向右传播D．v=50 cm／s，向右传播． 二、波动图象得多解 1、波得空间得周期性：相距为得多个质点振动情况完全相同． 2、波得时间得周期性：波在传播过程中，经过时，其波得图象相同． 3、波得双向性：波得传播方向及质点得振动方向不确定，要全面考虑。 【解题思路】波得多解问题常常求解波速。常常根据波速得两个表达式v=x/t=λ/T，建立等式方程。考虑波得多解问题，也即考虑x=nλ+x0，或t=nT+t0。其中x0常写为四分之几λ得形式，t0常写为四分之几T得形式。 同时根据图像得出λ与T得大小。最后联立方程求解。 【题目形式】常常结合已知图像得不同进行分类：①已知两个质点得振动图像；②已知两个时刻得波形图；③已知一个质点得振动图像与某一时刻得波形图。简谐运动问题解题导引
机械振动和机械波知识点总结与典型例题
知识讲解 简谐运动及其图象
高中物理选修-4知识点机械振动与机械波解析
机械波多解问题的成因及对策
机械图纸解析,看懂了它,所有的图纸都能轻松看懂(干货)
简谐运动的对称性
专题 机械波多解
机械振动和机械波知识点总结教学教材
波的多解问题专项练习
有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧
机械波详细知识点和典型课后习题
简谐运动 机械波多解问题
简谐运动的对称性
简谐运动和机械波
机械波多解问题考点
机械振动与机械波：振动图像与波的图像及多解问题