数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分
5三重积分
一、三重积分的概念
引例:设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z),为求V 的质量M , 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i n
i i i i T V f ?∑=→10
),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i n
i V ≤≤.
概念:设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ,把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n),T =}{max 1的直径i n
i V ≤≤.
在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i n
i i i i V f ?∑=1
),,(ζηξ.
定义1:设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数,J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对于V 的任何分割T ,只要T <δ,属于分割T 的所有积分和都有
J V f i n
i i
i
i
-?∑=1
),,(ζ
ηξ<ε,则称f(x,y,z)在V 上可积,数J 称为函数f(x,y,z)
在V 上的三重积分,记作J=???V
dV z y x f ),,(或J=???V
dxdydz z y x f ),,(,其中
f(x,y,z)称为被积函数,x, y, z 称为积分变量,V 称为积分区域.
注:当f(x,y,z)=1时,???V
dV 在几何上表示V 的体积.
三积重分的条件与性质:
1、有界闭域V 上的连续函数必可积;
2、如界有界闭区域V 上的有界函数f(x,y,z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面上,则f(x,y,z)在V 上必可积.
二、化三重积分为累次积分
定理21.15:若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对任意(x,y)∈D=[a,b]×[c,d], g(x,y)=?h
e dz z y x
f ),,(存在,则积分
??D
dxdy y x g ),(也存在,且???V
dxdydz z y x f ),,(=???D
h
e
dz z y x f dxdy ),,(.
证:用平行于坐标轴的直线作分割T ,把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ].
设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界,
对任意(ξi ,ηj )∈[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ], 有m ijk △z k ≤?-k
k z z j i dz z f 1
),,(ηξ≤M ijk △z k .
现按下标k 相加,有∑?-k
z z j i k
k dz z f 1
),,(ηξ=?h
e j i dz z
f ),,(ηξ=g(ξi ,ηj ),以及
∑???k
j i k j i ijk
z y x m
,,≤j i j
i j i y x g ??∑,),(ηξ≤∑???k
j i k j i ijk z y x M ,,.
两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积,当T →0时, 下和与上和具有相同的极限,∴g(x,y)在D 上可积,且
???D
h
e
dz z y x f dxdy ),,(=???V
dxdydz z y x f ),,(.
推论:若V={(x,y,z)|(x,y)∈D, z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y)} ?[a,b]×[c,d]×[e,h]时,其中D 为V 在Oxy 平面上的投影,z 1(x,y), z 2(x,y)是D 上的连续函数,
函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在,且对任意(x,y)∈D, G(x,y)=?)
,(),(21
),,(y x z y x z dz z y x f 亦存在,则积分??D
dxdy y x G ),(存在,且
???V
dxdydz z y x f ),,(=??D dxdy y x G ),(=???
D
y x z y x z dz z y x f dxdy )
,()
,(21),,(.
证:记F(x,y,z)=??
?∈∈V V z y x ,
V
z y x ,z y x f \),,(0),,(),,(0 , 其中V 0=[a,b]×[c,d]×[e,h].
对F(x,y,z)应用定理21.15,(如图)则有
???V
dxdydz z y x f ),,(=???0
),,(V dxdydz
z y x F
=????d]
[c,b][a,),,(h
e
dz z y x F dxdy =???
D
y x z y x z dz z y x f dxdy )
,()
,(21),,(.
例1:计算???
+V
y x dxdydz
2
2,其中V 为由平面x=1, x=2, z=0, y=x 与z=y 所围区域(如图).
解:设V 在xy 平面上投影为D ,则 V={(x,y,z)|z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y),(x,y)∈D},
其中D={(x,y)|0≤y ≤x,1≤x ≤2}, z 1(x,y)=0, z 2(x,y)=y, 于是
???+V y x dxdydz 22=???+D y y x dz dxdy 022=??+D dxdy y x y 22=??+21022x dy y x y dx
=?212ln 21dx =2ln 2
1
.
例2:计算???++V
dxdydz z y x )(2
2
,其中V 是由???==0x y z 绕z 轴旋转一周而
成的曲面与z=1所围的区域.
解:V={(x,y,z)|22y x +≤z ≤1,(x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},
???++V
dxdydz z y x )(22=???+++D
y
x dz z y x dxdy 12
22
2)(
=????
???
?+??? ??+-+D
dxdy y x y x 2121)(2222=????????
+??
? ?
?-π
θ201
022
121
rdr
r r d
=?πθ20407d =207π
.
定理21.16:若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在,且对任意x ∈[a,b], 二重积分I(x)=??D
dydz z y x f ),,(存在,则积分
?
??b
a
D
dydz z y x f dx ),,(也存在,且???V
dxdydz z y x f ),,(=???b
a
D
dydz z y x f dx ),,(.
证:用平行于坐标轴的直线作分割T ,把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 记D jk =[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界, 对任意ξi ∈[x i-1,x i ], 有m ijk △D jk ≤??jk
D i dydz z y f ),,(ξ≤M ijk △D jk .
现按下标j,k 相加,有∑??k j D i jk
dydz z y f ,),,(ξ=??D
i dydz z y f ),,(ξ=I(ξi ),以及
∑???k
j i k j i ijk
z y x m
,,≤i i
i x I ?∑)(ξ≤∑???k
j i k j i ijk z y x M ,,.
两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积,当T →0时, 下和与上和具有相同的极限,∴I(x)在D 上可积,且
???b
a
D
dydz z y x f dx ),,(=???V
dxdydz z y x f ),,(.
推论:(如图)若V ?[a,b]×[c,d]×[e,h], 函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在,且对任意固定的z ∈[e,h], 积分φ(z)=??z
D dxdy z y x f ),,(存在,其中D z
是截面{(x,y)|(x,y,z)∈V}, 则?h
e dz z )(?存在,且
???
V
dxdydz z y x f ),,(=?h e
dz z )(?=???h
e
D z
dxdy z y x f dz ),,(.
证:证法与定理21.16证明过程同理.
例3:计算I=??????? ??++V dxdydz c z b y a x 222222, 其中V 是椭球体22
2222c z b y a x ++≤1.
解:I=??????? ??++V dxdydz c z b y a x 222222=???V dxdydz a x 22+???V dxdydz b y 22+???V
dxdydz c z 22
.
其中???V dxdydz a x 22
=???-a a V x
dydz dx a x 22,
V x 表示椭圆面2222c z b y +≤1-22
a
x 或
???
? ?
?-+
???
? ?
?-2
2
22
2
2
22
11a x c z a x
b y ≤1. 它的面积为
π???? ??-???? ?
?-222211a x c a x b =πbc ???
?
??-2
21a x
. ∴???V dxdydz a x 22
=?-???
? ??-a a dx a x a bcx 222
2
1π=154
πabc. 同理可得:???V dxdydz b y 22=???V dxdydz c
z 22
=154πabc.
∴I=3(154πabc)=5
4
πabc.
三、三重积分换元法
规则:设变换T :x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w),把uvw 空间中的区域V ’一对一地映成xyz 空间中的区域V ,并设函数x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V ’内连续且函数行列式
J(u,v,w)=
w
z v z u
z w y
v y u y
w x v x u x ?????????≠0, (u,v,w)∈V ’. 则当f(x,y,z)在V 上可积时,有 ???V
dxdydz z y x f ),,(=???'
V dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f |),,(|)),,(),,,(),,,((.
常用变换公式: 1、柱面坐标变换:
T :??
???+∞<<∞-=≤≤=+∞
<≤=z z ,z ,r y r ,r x πθθθ20sin 0cos , J(r,θ,z)=1
00cos sin 0
sin cos θθ
θθr r -=r, 即有 ???V
dxdydz z y x f ),,(=???'
V dz rdrd z r r f θθθ),sin , cos (.
V ’为V 在柱面坐标变换下的原象.
注:(1)虽然柱面坐标变换并非是一对一的,且当r=0时,J(r,θ,z)=0,但结论仍成立.
(2)柱面坐标系中r=常数, θ=常数, z=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中,r=常数是以z 轴为中心轴的圆柱面,θ=常数是过z 轴的半平面,z 的常数是垂直于z 轴的平面(如图).
例4:计算???+V
dxdydz y x )(22, 其中
V 是曲面2(x 2+y 2)=z 与z=4为界面的区域.
解法一:V={(x,y,z)|2(x 2+y 2)≤z ≤4, (x,y)∈D}, D={(x,y)|x 2+y 2≤2}.
???+V
dxdydz y x )(22=???++4
)
(2222
2
)(y x D
dz
y x dxdy
=??+-+D
dxdy y x y x )](24)[(2
2
2
2
=??-2
02220)24(rdr
r r d πθ
=?-2053)2(4dr r r π=?-2
053)2(4dr r r π=3
8π.
解法二:V 在xy 平面上的投影区域D=x 2+y 2≤2. 按柱坐标变换得 V ’={(r,θ,z)|2r 2≤z ≤4, 0≤r ≤2, 0≤θ≤2π}.
∴???+V dxdydz y x )(22=???'
V dz drd r θ2=???4
2320202
r dz r dr d πθ=3
8π.
2、球坐标变换:T :??
???≤≤=≤≤=+∞
<≤=πθ?π?θ?θ?20cos 0sin sin 0cos sin ,r z ,r y r ,r x ,
J(r,φ,θ)=0
sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ?
?
θ?θ?θ
?θ
?θ?θ
?r co r r r r --=r 2
sin φ≥0, 即有
???V
dxdydz z y x f ),,(=???'
V d drd r
r r r f θ???θ?θ?sin )cos ,sin sin , cos sin (2
,
V ’为V 在球坐标变换T 下的原象.
注:(1)球坐标变换并不是一对一的,并且当r=0或φ=0或π时,J=0. 但结论仍成立.
(2)球坐标系中r=常数, φ=常数, θ=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中,r=常数是以原点为中心的球面, φ=常数是以原点为顶点, z 轴为中心轴的 圆锥面,θ=常数是过z 轴的半平面(如图).
例5:求由圆锥体z ≥22y x +cot β和球体x 2+y 2+(z-a)2≤a 2
所确定的立
体体积,其中β∈??
?
?
?2,0π和a(>0)为常数.
解:球面方程x 2+y 2+(z-a)2=a 2可表示为r=2acos φ, 锥面方程z=22y x +cot β可表示为φ=β. ∴V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤2acos φ, 0≤φ≤β, 0≤θ≤2π}. ∴???V
dV =????
βπ
??θcos 20
2
020sin a dr r d d =
?
β
???π0
3
3
sin cos 3
16d a =3
43
a π(1-cos 4β).
例6:求I=???V
zdxdydz , 其中V 为由22
2222c z b y a x ++≤1与z ≥0所围区域.
解:作广义球坐标变换:T :??
??
?===?θ?θ
?cos sin sin cos sin cr z br y ar x , 则J=abcr 2
sin φ. V 的原象为V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2
π, 0≤θ≤2π} ∴???V
zdxdydz =????1
02
20
20sin cos dr abcr cr d d ???θπ
π
=
?
20
2
2sin 4
π
??πd abc =
4
2
abc π.
习题
1、计算下列积分:
(1)???+V
dxdydz z xy )(2, 其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1];
(2)???V
zdxdydz y x cos cos , 其中V=[0,1]×[0,2π]×[0,2
π];
(3)???
+++V
z y x dxdydz
3
)
1(, 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域; (4)???+V
dxdydz z x y )cos(, 其中V 由y=x , y=0, z=0及x+z=2
π所围成.
解:(1)???+V
dV z xy )(2=???+--1023352)(dz z xy dy dx =??--??
?
?
?+335231dy xy dx =?-522dx =14.
(2)???V
zdV y x cos cos =???20201
0cos cos π
πzdz ydy xdx =2
1
.
(3)???
+++V
z y x dxdydz 3)1(=???---+++y x x z y x dz dy dx 103
10
10)1(
=
??-???
???-++x dy y x dx 1021041)
1(121=???? ??-+-+1041211121dx x x =1652ln 21-. (4)???+V
dV z x y )cos(=???-+x
x
dz z x y dy dx 20020)cos(π
π
=??-x
ydy
dx x 020)sin 1(π
=?-20)sin 1(21π
dx x x =2
1
162-π.
2、试改变下列累次积分的顺序: (1)???+-y
x x
dz z y x f dy dx 0
101
0),,(;(2)?
??+2
20
1
10
),,(y x dz z y x f dy dx .
解:(1)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x+y, 0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1}; ∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1} ∴I=???+-y
x x
dz z y x f dy dx 0
101
0),,(=?
?
?+-y
x y
dz z y x f dx dy 0
10
10
),,(.
∵V 在yz 平面上的投影区域D yz ={(y,z)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=???-y
y
dx z y x f dz dy 1001
0),,(+???--y
y z y dx z y x f dz dy 1110),,(
=???--y
y z z
dx z y x f dy dz 101
0),,(+???-y
z dx z y x f dy dz 101
1
0),,(.
∵V 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,z)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=???-x
x
dy z y x f dz dx 1001
0),,(+???--x
x z x dy z y x f dz dx 11
1
0),,(
=???--x
x z z
dy z y x f dx dz 101
0),,(+???-x
z dy z y x f dx dz 101
1
0),,(.
(2)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x 2+y 2, 0≤y ≤1, 0≤x ≤1};
∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤x ≤1}; 在yz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1+y 2}; 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1+x 2}; ∴I=???+2
20
1
010),,(y x dz z y x f dy dx =?
??+2
20
1
10
),,(y x dz z y x f dx dy
=???1
001
0),,(2
dx z y x f dz dy y +?
??-+111
02
2
2
),,(y z y y
dx
z y x f dz dy
=???1
01
1
0),,(dx z y x f dy dz z +???--1
11212
),,(y
z z dx z y x f dy dz .
=???1
001
0),,(2
dy z y x f dz dx x +???-+1
11
02
2
2
),,(x z x x dy
z y x f dz dx
=???10110),,(dy z y x f dx dz z +???--1
11212
),,(x z z dy z y x f dx dz .
3、计算下列三重积分与累次积分:
(1)???V
dxdydz z 2, 其中V 由x 2+y 2+z 2≤r 2和x 2+y 2+z 2≤2rz 所确定;
(2)?
??--+-222
2
2
2210
1
0y x y
x x dz z dy dx .
解:(1) 由x 2+y 2+z 2≤2rz, 得S: x 2+y 2≤2rz-z 2, 0≤z ≤2
r , 又由x 2+y 2+z 2≤r 2, 得Q: x 2+y 2≤r 2-z 2,
2
r
≤z ≤r ∴???V
dxdydz z 2=???S
r dxdy z dz 220
+???Q
r
r dxdy
z dz 22
=?
-20
2
2
)2(r dz z rz z π+?-r
r dz z r z 2
2
2
2
)(π=480595
r π. (2)应用柱坐标变换:V ’={(r,θ,z)|r ≤z ≤22r -, 0≤r ≤1, 0≤θ≤2
π
}, ∴?
??--+-222
2
2
22
101
0y x y
x x dz z dy dx =?
??-2
221
020
r r
dz z rdr d π
θ=
?---1
322]2)2[(6dr r r r r π
.
=
?
---10322]2)2[(6dr r r r r π
=
)122(15
-π
.
4、利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积. (1)z=x 2+y 2, z=2(x 2+y 2), y=x, y=x 2;
(2)2
??? ??+b y a x +2
??
? ??c z =1 (x ≥0, y ≥0, z ≥0, a>0, b>0, c>0). 解:(1)V={(x,y,z)|x 2+y 2≤z ≤2(x 2+y 2), (x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x 2≤y ≤x }. ∴???V dxdydz =??+D
dxdy y x )(22=??+x
x dy
y x dx 2
)(2210
=??
?
????-+-1
0632
23)()(dx x x x x x =353. (2)令x=arsin 2φcos θ, y=brcos 2φcos θ, z=crsin θ, 则
J=0
cos sin cos cos sin 2sin cos cos cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2222θ
θ
θ??θ
?θ
?θ
??θ?θ
?cr c br br b ar ar a ---=2abcr 2
cos φsin φcos θ,
又V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2
π}. ∴???V
dxdydz =???1
022020sin cos cos 2dr r d d abc π
π???θθ=
3
abc
.
5、设球体x 2+y 2+z 2≤2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离,求这球体的质量.
解:依题意,球体的质量M=
???
≤++++x
z y x dV z y x 2222222,
应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)|-2
π≤θ≤2
π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤2sin φcos θ}. ∴M=???-θ
?ππ
π??θcos sin 20
3
022
sin dr r d d =??-π
π
π??θθ0
522
4sin cos 4d d =
5
8π.
6、证明定理21.16及其推论. 证:证明过程见定理21.16及其推论.
7、设V=?
?????≤++1),,(22
2222c z b y a x z y x , 计算下列积分:
(1)???---
V
dxdydz c z b y a x 22
22221;(2)???++V
c z b
y a
x dxdydz e 2
22
22
2.
解:应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)| 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤1}. (1)???
---V
dV c
z b y a x 2222221=???-102
20201sin dr r abcr d d ??θππ =42πabc . (2)???+
+V
c z b y a
x dV e
2
22
22
2
=???1
20
20
sin dr e abcr d d r ??θππ=
)2(4-e abc π.
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题(每小题3分,共18分) 1.集合X 中的关系R 同时为反身的,对称的,传递的,则该关系R 为 . 2.设E 是非空数集,若存在实数β,满足1)E x ∈?,有β≥x ;2) ,则称β是数集E 的下确界。 3.函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若 存在,则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4.若)(x f y =是对数函数,则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5.若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+,则函数)(x f 是 函数。 6.设函数)(x f 定义在区间),(b a 上,对于任意的),(,21b a x x ∈,)1,0(∈?α,有 成 立,则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题(每小题3分,共18分) 1.设f :Y X →,X A ??,则A ( )))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2.已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导,),(b a x ∈?,有1)(0<
高等数学不定积分习题
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
(完整版)定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?