《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一:高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上 F?(x)?f(x),则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2.F(x)是 f(x)的一个原函数,则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例,并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二.是非判断题 1. 若 f?x?的某个原函数为常数,则 f?x??0.[ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3. 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4. 若 f?x?在某一区间内不连续,则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。(A)?F'(x)dx?f(x)+c;(B)?f(x)dx=F(x)+c; (C)?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数,f(x)?0,则下式成立的有 。(A)F(x)=cG(x); (B)F(x)= G(x)+c;(C)F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3.下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数,且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2,则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x,则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30
2222 2 2 6.设 a 是正数,函数 f(x)?ax,?(x)?axlogae,则______.(A)f(x)是?(x)的导数; (B)?(x)是 f(x)的导 数;(C)f(x)是?(x)的原函数;(D)?(x)是 f(x)的不定积分。 四.计算题 1.?xndx 2.? dh2gh (g 是常数) 3.x?1)(x?1)dx4. 5.e(1? ? 3 ? (1?x)2 x ? x e?xx )dx6.?32xe3xdx 4sin3x?1x2?22x?2 dx 7.?8.?2 sinxx?2 xx21?cos2x dx 9.?(cos?sin)dx10.? 221?cos2x cos2x22?3x?33?2x dx 12.?dx 11.? sin2xcos2x3x 13.( 15.(1? 五.应用题 1. 一曲线通过点(e,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方 程. 2.一物体由静止开始运动,经 t 秒后的速度是 3t(米/秒),问: (1) 在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完 360 米需要多少时间 2 2 / 30
2 ? 32 ?)dx14.?secx(secx?tanx)dx 21?x2?x ? 1 )xxdx 16.x2 ? 1?x dx1?x 4-2 换元积分法 一、填空题 1.dx?______d(ax) ((a?0)) 2.dx?______d(7x?3)3.xdx?_______d(x2) 4.xdx?______d(5x2) 5.xdx?______d(1?x2)6.x2dx?_______d(2?3x3) 7.edx?______d(e)8.e 2 2x2x ? x 2 dx?______d(1?e) x ?1)dx?d(______) 3 ? x2 9.xe?2xdx?d(_______)10.cos(11. dxdx ?______d(5lnx)12.?______d(3?5lnx) xx 13.sin(?t??)dt?d(______)14. dx?x 2 ?______d(1?arcsinx) 15. ? 1xx?1 2 ? ? 3 / 30
x2 11 ?()2 x ? ? 1?_________ 1?()2 xd 16.若 ?f(x)dx?F(x)?c,则?f(ax?b)dx?________(a?0) 二.是非判断题 lnx1?1?111. ?dx??d????2?c. [ ] xx?x?2x12. ?x?1xdx?2arctgx?c.[ ] 3.设 f?x?dx?sinx?c,则 f?arcsinx?dx?x?c. [ ] ??x2 ? 4.已知 f??lnx?? ? 1,0?x?1, x,???x?0,? 且 f?0??0,且 f?x???x.[ ] x,1?x???,?e?1,0?x??? 5.?sin2xdx?1sin3x?c.[ ] 36.若?f?x?dx?F?x??c,则?f?g?x??dx?F?g?x???c.[ ] 三.单项选择 题 1.?f?(3x)dx?_____.(A) 11 f(x)?c; (B)f(3x)?c; 33 (C)3f(x)?c;(D)3f(3x)?c; 2. f?(x) . ?1?[f(x)]2dx?________ (A) ln|1?f(x)|?c;(B) 1ln|1?[f(x)]2|?c; 2(C) arctan[f(x)]?c;(D) 1arctan[f(x)]?c. 2 1?x?3.?dx?. ???x? ? (A) 2 11 4 / 30
?2ln|x|?x?C(B)??2ln|x|?x?C xx (C) ?1?2ln|x|?C(D)ln|x|?x?C x3?2x?2?3x dx?.. 4.x 2? 33 3x?2ln?()x?c; (A)(B) 3x?2x(3)x?1?c 22 2 x 2?3?2?3?(C) 3?(D) 3??c???c ?? ln3?ln2?2?ln3?ln2?2? x 5. 1?x7 ?x(1?x7)dx?______. 7 x (A) 1ln| 7(1?x7)2 1x7 |?c;(B) 7ln|1?x7|?c; 1x61x6 (C) ln||?c; |?c;(D) ln|662 61?x6(1?x) 6.|x|dx?_____. (A) ? 1111 |x|2?c; (B) x2?c;(c) x|x|?c; (D) ?x2?c; 2222 e3x?1 7.?xdx?_____. e?1 11 (A) e2x?ex?x?c;(B) e2x?ex?c; 22 11 (C) e2x?ex?x?c;(D) e2x?ex?c. 5 / 30
22 8.e 1?sin2x sin2x 的全体原函数是________. (B) e 1?sin2x?c; (A) e 1?sin2x; (C) e 1?sin2x?c (D) e 1?sin2x ?c 篇二:《高等数学》第五章 不定积分的习题库(2015 年 11 月) 第五章不定积分 一、判断题 1. ??f(x)dx???f(x)dx。 ' ' () () () () () () ? 2. ??f(x)dx??f(x)。 ?? 3. ?f?(x)dx?f(x)?C。 4. y?ln(ax)与 y?lnx 是同一函数的原函数。5. lnx1111 ?()??x?xx2?x2?C ?C6. 7. 设? f(x)dx?sinx?C 则 8. 132 xsinxdx?sinx?C?3 ?x?C () () 二、选择题 1. F?(x)?f(x),C 为常数,下列等式成立的是 6 / 30
A.?F?(x)dx?f(x)?C ' C.?f(x)dx?F(x)?C () B.?f(x)dx?F(x)?CD. ??F(x)dx???F?(x) 2. F(x)和 G(x)是 f(x)函数的任意两个原函数,则下式成立的有 () A.F(x)=CG(x) B.F(x)=G(x)?C C.F(x)?G(x)?C D.F(x)?G(x)?C 3. 若曲线 y?f(x)通过点(1,2),且在该曲线上任意点(x,y)处切线的斜率为 3x2,则该曲 线方程是 () A.f(x)?x3?CB.f(x)?x3?1C.f(x)?x3?1 D.f?(x)?3x2 () 4. 下列函数中,是同一个函数的原函数的是 A.arctanx 和 arccotx C.?e?e x ?x2 B.sin2x 和 cos2x 2x D.和 2x?ln2 ln2 ? 和 e?e 2x?2x 5. 若 F(x)是 f(x)的一个原函数,C 为常数,则下列函数中仍 f(x)的是 () 《高等数学 I》习题库 第五章不定积分 第五章共 9 页 A. F(Cx)B. F(x?C) C. CF(x) D.F(x)?C () 6. 设 f'(sin2x)?cos2x,则 f(x)? 12 sinx?sinx?CA. 2124 C. sinx?sinx?C 2 7 / 30
12 x?C 2142 D.x?x?C 2 B.x? xx 7. 设 a?0,函数 f(x)?a,?(x)?alogae 则 () A. f(x)的导数等于?(x) B.f(x)是?(x)的原函数 8. ?f'(x) 1??f(x)?2 dx= A.1 2 ln?f(x)?C C.arctan?f(x)??C 2 9. ???1?x??x?? dx? A. 1 x?2lnx?x?cC. ?1 x ?2lnx?c 3?2x?2?3x 10. ?2x ? x A.3x?ln32???3? ?2?? ?c C.3?2?3x ln3?ln2?? ?2?? ?c ?e3x11.?1 ex?1 ? A. 12e2x?ex ?x?c 8 / 30
B. 12. ?1?x7 x(1?x7) dx? 《高等数学 I》习题库 B. ?(x)的导数等于 f(x) D.?(x)是 f(x)的不定积分 () B.12ln1??f(x)?2 ?C D.1 2 arctan?f(x)??C () B. ?1x ?2lnx?x?c D. lnx?x?c () x?1 B.3x?2x??3? ?2? ??c x D.3x?2?3? ln3?ln2??2???c () 12x2e?ex ?c C.12 e2x?ex ?x?cD.12 e2x?ex ?c () 第五章不定积分 第五章共 9 页 1x7 ?cA.ln72 7(1?x)1x6 ?cC.ln62 6(1?x) '' 13. ?xf(x)dx? 9 / 30
1x7 ?c B.ln 71?x7 1x6 ?cD.ln6 61?x () A.xf'(x)?f(x)?cB.xf'(x)?f'(x)?c ' C.xf'(x)?f(x)?cD.xf(x)??f(x)dx 14. ?sinxln(tanx)dx= A.?cosxln(tanx)?lntan () x ?cB.cosxln(tanx)?lncscx?cotx?c 2 C.ln(tanx)?lntan 2 15. ?xsinxdx? x ?c D.?cosxln(tanx)?lnsinx?c x () 121121 A. x?xsin2x?c B. x?xcos2x?c 4448 12x1x?sin2x?cos2x?C xcosx?sinx?cC. D. 448 lnx 16. ?()dx? x 2 () 1212x1 A. ?(lnx?2lnx?2)B. lnx?lnx??c xx2x 112?xx lnx?2lnx??cearctane?x?ln(1?e2x)?c C.D. x2 arcsinx dx? () 17. ?x211 10 / 30
A. ?arcsinx?lncscx?cotx?cB. ?arcsinx?lncotx?cscx?c xx 11? cD. ?arcsinx?c C. ?arcsinx?xxarctanex dx?18. ?x e () 11?xx2x?xx2x A. ?earctane?ln(1?e)?cB. ?earctane?x?ln(1?e)?c 22 《高等数学 I》习题库 第五章不定积分 第五章共 9 页 12x?xx C.?e?xarctanex(?e?x?1)?cD. ?ln(1?e)?earctane?x?c 2 1?cosx ?() 19. ?1?cosx A. x+2cotx?cscx?c B. ?x?2cotx?c C. ?x?2(cscx?cotx)?cD. ?x?cscx?cotx?c 20. ?sinx(2cscx?cotx? 1 )dx=sin3x () A. 2xsinx?cotx?cB. 2x?sinx?cotx?c C. 2?sinx?cotx?cD. ?x?cscx?cotx?c 1 21. 的全体原函数是() 1?sinx ?2 1?c?cB. A. tanx? 1?tansinx 2 11 ?tanx??ctanx??c C.D. sinxcosx sinxcosx ?() 22. ?4 sinx?cos4x11 A. arctan(cos2x)?cB. ?arctan(cos2x)?c 22 1sin2x?1arctan(?cos2x)?c?c C. D. ln 11 / 30
2sin2x?1 xx 23. ?2edx? x x () xxxx D.e2??ed2 A.2xex ?2e??CB. ln2eC.?2e?ln?2e??C 三、填空题 1. 若曲线 y?f(x)上点(x,y)的切线斜率与 x3 成正比并且通过点 A(1,6)和 B(2,?9)则该 曲线方程为。 2. 若曲线 y?f(x)通过点(1,2),且曲线上任意一点的处的切线斜率等于该点横坐标的 2 倍,则该曲线方程为。 3. 某一曲线通过(e2,3), 且在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 则该曲线 的方程 为。 4. 5. ??2x?1? 3 dx= =。 《高等数学 I》习题库 第五章不定积分 第五章共 9 页 6. 7. 8. 9. 1 ?a2+x2dx。 ?(ax?b)dx(a?0)= x2xedx ? 2 2 2?3lnx ?x 2 10. ?sinxcosxdx 12 / 30
11. ?=。 12. ?sin3 xdx=13. ?sin3xcos4 xdx=14. ?cos2 x 2 dx= 15. 。 x2 16. ?1+x2 dx。 四、求解题 1. ? )dx 2. 2 3. ?cos2x sin2xcos2x 4. ?secx(secx?tanx)dx 5. ?e x?4 dx 6. (? 2x2 +1+3sinx) dx 《高等数学 I》习题库 第五章 7. (? sin 2 x2 )dx 8. ?x4 1?x 13 / 30
2 9. ??2? dx 10. 211. x?3)dx 不定积分 第五章共 9 页 篇三:高等数学习题详解-第 5 章 不定积分 1.写出下列函数的一个原函数: (1) 2x5;(2) ?cosx; (3) 解:(1)?(x6)??2x5,? 31 13 6 ; (4) ? x 是 2x 的一个原函数. 5 (2) ?(?sinx)???cosx,??sinx 是?cosx 的一个原函数. (3) ??? ? 的一个原函数. (4) ?(?2arcsinx)???,?? 2arcsinx 是? 2.根据不定积分的定义验证下列等式: (1) (2) ?x 1 x??3 12 x ?2 ?C; ?(sinx?cosx)dx??cosx?sinx?C. 12x ?2 14 / 30
解:(1) 因为(?)?? 1x 3 ,所以? 1x ??3 12 x ?2 ?C. (2) 因为(?cosx?sinx)??sinx?cosx,所以 ?(sinx?cosx)dx??cosx?sinx?C. 3.根据下列等式,求被积函数 f(x). (1) (2) ? f(x)dx?ln(x?f(x)dx? ?C; ?C. ? ?32 ? 解:(1) 等式两边求导得:f(x)?(ln(x??? x?? ?? . 2 (2) 等式两边求导得:f(x)???? 12 (1?x) 2 ?2x?? ?x x(1?x) 2 32 . 15 / 30
4.设曲线通过点(0,1),且其上任一点(x,y)处的切线斜率为 e ?x 解设所求曲线方程为 y?f(x),由题设有 f?(x)?e, ,求此曲线方程. ?f(x)? ?edx??e ?x?x ?C 又曲线过点(0,1),故 f(0)?1,代入上式得 C?2,所以,所求曲线方程为: y??e ?x ?2. 1. 求下列不定积分: (1) ? x?4)dx; (2) ? x x 2 x 2 ; x (3) ?2edx;(4) ?(5) ? 1x(1?x) 2 2 2?3?5?2 3 x42 dx; ; (6) ?1?x x ; (7) ?secx(secx?tanx)dx; (8) (9) ? cos2xsinx 22 16 / 30
?1?cos2x; 2 1 ;(10) ?sin x2 ; (11) ?解: (1) cos2xcosxsinx 2 2 dx;(12) ?(tanx?cotx)2dx. 5 1 5 1 ?? x?4)dx??2 ?(x 2 ?4x)dx? 2 2 ?x ?12 2 dx?4?xdx? 1 3 2 27 7 x? 2 83 3 x?C. 2 17 / 30
(2) ? ? ???12 ? 1 ?(x ?2x2?x2)dx 3 ? ?xdx?2?x2dx?43 3 ? x 2 dx ?x x x x?1 2 25 5 x2?C. x (3) ?2 edx? x ?(2e) x dx? ln(2e) (2e)?C? 2e xx 1?ln2 ?C. (4) 18 / 30
? 2?3?5?2 3 x2x2x dx??[2?5?()]dx?2?dx?5?()dx 33 1ln()32 ?()?C?2x??C. x 3(ln2?ln3)32 x ?2x?5 5?2 x (5) ?x 1 2 (1?x) 4 2 dx? 4 ?( 1x 2 ? 11?x )dx??2 2 1x ?arctanx?C. 1 13 (6) (7) (8) (9) ?1?x x ?2 ? x?1?11?x 19 / 30
2 ? ?(x?1? 2 1?x )dx?2 x?x?arctanx?C. 3 ?secx(secx?tanx)dx??1?cos2x 1 dx? ?(secx?secxtanx)dx?tanx?secx?C. xdx? 12 ?2cos sinx 2 1 2 ?secxdx? 1sinx 2 2 12 tanx?C. ? cos2xsinx 2 ? ? 1?2sinx 2 ? ?( ?2)dx??cotx?2x?C. (10) ?sin2(11) x2 ? 20 / 30
高等数学 第四章不定积分课后习题详解.doc
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数5 2 x -=,由积分表中的公式(2)可解。 解:5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解:42232233113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★(9) 思路=?11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
不定积分例题及参考答案
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
不定积分练习题及答案
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
(完整版)定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
《高等数学》不定积分课后习题详解Word版
不定积分内容概要
课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解:53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? ( ) ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??
★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。