高中数学人教A版选修4-4检测：第二讲四渐开线与摆线 Word版含解析
第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线
A 级 基础巩固
一、选择题
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线
B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C ．正方形也可以有渐开线
D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同
解析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
答案：C
2.?????r ＝5（φ－sin φ），
y ＝5（1－cos φ）
(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.
答案：B
3．下列各点中，在圆的摆线?
????x ＝φ－sin φ，
y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是
( )
A ．(π，0)
B ．(π，1)
C ．(2π，2)
D ．(2π，0)
答案：B
4．圆?
????x ＝3cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那
么其横坐标可能是( )
A ．π
B ．3π
C ．6π
D ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
?
????x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．
答案：C
5．已知一个圆的参数方程为?????x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的
摆线方程中与参数φ＝π
2对应的点A 与点B ? ??
??3π2，2之间的距离为
( )
A.π
2
－1 B. 2 C.10 D. 3π2
－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的
参数方程为?
????x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中
可得??
?x ＝3? ????
π2－1，
y ＝3，
即A ? ??
??3?
??
??π2－1，3，
所以|AB |＝ ??????3? ????π
2
－1－3π22
＋（3－2）2＝10.
答案：C 二、填空题
6．已知一个圆的摆线的参数方程是?????x ＝3φ－3sin φ，
y ＝3－3cos φ
(φ为参数)，
则该摆线一个拱的高度是________．
解析：由圆的摆线的参数方程?
????x ＝3（φ－sin φ），
y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)知
圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.
答案：6
7．渐开线?????x ＝6（cos φ＋φsin φ），
y ＝6（sin φ－φcos φ）
(φ为参数)的基圆的圆心在
原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2
＋y 2
＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24
＋y 2
＝36，
即x 2144＋y 2
36＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.
答案：12 3
8．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上的一点，对应
的参数φ＝π
2
，则点P 的坐标为________．
解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为
?????x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）
(φ为参数)． 当φ＝π
2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．
答案：(π，2) 三、解答题
9．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．
解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
?
????x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)． 以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为
?
????x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为?
????x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参
数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．
解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为
?????x ＝2φ－2sin φ，
y ＝2－2cos φ
(φ是参数)．
B 级 能力提升
1.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的1
4圆周长，长度
为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的1
4圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的1
4圆周长，长度为2π.
所以曲线AEFGH 的长是5π.
答案：C
2．摆线?????x ＝4（t －sin t ），y ＝4（1－cos t ）
(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝4的交
点的直角坐标为________________．
解析：由题设得4＝4(1－cos t )得cos t ＝0.
因为t ∈[0，2π)，所以t 1＝π2，t 2＝3π
2，代入参数方程得到对应的
交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．
答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)
3．已知圆C 的参数方程?????x ＝1＋6cos α，
y ＝－2＋6sin α
(α为参数)和直线l 的普
通方程x －y －62＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝62
2
＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
?
????x ＝6（φ－sin φ），y ＝6（1－cos φ）(φ为参数)．
圆的渐开线与摆线教案
第七课时 圆的渐开线与摆线 一、教学目标： 知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析： 1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐 开线的参数方程为???-=+=) cos (sin )sin (cos ??????r y r x （?为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。 ?? ?-=-=) cos 1() sin (???r y r x （?为参数）
（三）、例题与训练题： 例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2π ?=，π时，求圆渐开线? ??-=+=??????cos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。 变式训练 2 求圆的渐开线?????-=+=) cos (sin 2) sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐 标。 例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程 变式训练3：求摆线???-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标 例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。 （四）、小结：本节课学习了以下内容： 1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问 题。 （五）、作业： 五、教学反思：
2017-2018学年高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练：2.4平摆线和渐开线 Word版含解析
§4平摆线和渐开线 课后篇巩固探究 A组 1.已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数),则此渐开线对应基圆的面积是() B.π C.2 D.2π 1,故其面积为π. 2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是() A.(π,0) B.(π,1) C.(2π,2) D.(2π,0) . 3. 如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”,其中AE,EF,FG,GH…的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是() A.3π B.4π D.6π ,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π. 4.导学号73144041我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为() A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) (φ为参数) y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出平摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程,只需把其中的x与y互换. 时,圆的平摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是. π-4,4) 6.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数),则该圆的面积为,对应圆的
渐开线方程为. π(φ为参数) 80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高. 平摆线的生成圆的半径r=40 mm, ∴此平摆线的参数方程为(t为参数),它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm),拱高为2r=2×40=80(mm). 8.已知圆的渐开线(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积. (3,0)代入参数方程得 解得 所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π. 9.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l对应的普通方程是x-y-6=0. (1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系? (2)写出平移后圆的摆线方程. x轴的交点. 圆C平移后圆心为O(0,0),圆心到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. (2)因为圆的半径是6,所以可得摆线方程是(φ为参数). (3)令y=0,得6-6cos φ=0?cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=6φ-6sin φ,得x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z). B组 1.半径为4的圆的平摆线的参数方程为() A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) (φ为参数) 2.给出下列说法: ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程; ②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题; ③在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程; ④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有() B.②④ C.②③ D.①③④ ,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所不同,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 3.已知半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐标可能是() B.2π C.12π D.14π (φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,
人教版高中数学选修2-1优秀全套教案
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
人教版高中数学选修1-1知识点总结
高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：
人教版高中数学选修教案全集
人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
高二数学北师大选修同步精练：第二章 平摆线和渐开线
平摆线和渐开线练习 1给出下列说法： ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程； ②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题； ③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程； ④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④ 2平摆线=2sin =21cos x t t y t (-)??(-) ?，(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )． A ．(π－2,2) B ．(3π＋2,2) C ．(π－2,2)或(3π＋2,2) D ．(π－3,5) 3如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 4我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线()() sin ,1cos x r y r ???=-???=-??(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为( )． A ．=sin ,=1cos x r y r ???(-)??(-) ?(φ为参数) B ．=1cos ,=sin x r y r ???(-)??(-) ?(φ为参数) C ． ,1x rsin y r cos ??=??=(-) ?(φ为参数) D ．1cos ,sin x r y r ?? =(-)??=?(φ为参数) 5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．
人教版高中数学选修教案全套
§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程， 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导：自主、合作、探究 四、知识链接 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何研究曲线与方程间的关系？ 五、学习过程 一．平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定
巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上） 问题1: 思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？ 思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？ 问题2：还可以怎样描述点P的位置？ B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？
小结：选择适当坐标系的一些规则： 如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横 坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
高三数学课时提升作业 九 直线的参数方程 渐开线与摆线
课时提升作业 九 直线的参数方程 渐开线与摆线 一、选择题(每小题6分,共18分) 1.直线{x =?3+tcosα,y =2+tsinα (t 为参数,α=π 6)不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】选D.直线{x =?3+tcosα,y =2+tsinα 经过点(-3,2),倾斜角α=π 6,所以不经过第四 象限. 【补偿训练】直线{x =?3+tsinα,y =2+tcosα (t 为参数,α=π 6)的倾斜角为 ( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.5π 6 【解析】选C.方法一:直线{x =?3+tsinα,y =2+tcosα (t 为参数,α=π 6)的普通方程为 y-2=√3(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为π 3. 方法二:直线{ x =?3+tsinα,y =2+tcosα (t 为参数,α=π 6) 即{x =?3+tcos (π 2 ?α), y =2+tsin (π 2 ?α), 所以直线的倾斜角为π 3 . 2.(·衡水高二检测)若直线的参数方程为{x =1+2t, y =2?3t (t 为参数),则直线的斜率 为 ( )
A.23 B.-32 C.32 D.-2 3 【解析】选B.直线{x =1+2t,y =2?3t 的普通方程为y=-32x+72,所以直线的斜率为-3 2. 3.已知直线l 过点P(1,2),其参数方程为{x =1?t, y =2+t (t 是参数),直线l 与直线 2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 【解析】选D.方法一:将直线l 的参数方程{x =1?t, y =2+t (t 是参数)化为普通方程 y=-x+3,代入2x+y-2=0, 得x=-1,y=4,即Q(-1,4), 所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2√2. 方法二:将直线l 的方程化为标准形式{x =1?√2 2 t′, y =2+√2 2 t′, 代入2x+y-2=0得t ′=2√2, 所以PQ=|t ′|=2√2. 二、填空题(每小题6分,共12分) 4.(·重庆高考)已知直线l 的参数方程为{x =?1+t, y =1+t, (t 为参数)以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(ρ >0, 3π4 <θ< 5π4 ),则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为__________. 【解题指南】首先将直线与曲线C 的方程化为直角坐标系下的方程,然后求出交点坐标再化为极坐标即可. 【解析】因为直线l 的参数方程为{x =?1+t, y =1+t, 所以直线l 的普通方程为y=x+2.
人教版高二数学选修2-1知识点总结
人教版高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题． 11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：
2019-2020学年高中数学 2.5.2圆的渐开线与摆线教案 新人教版选修4-4.doc
2019-2020学年高中数学 2.5.2圆的渐开线与摆线教案 新人教版选修4-4 一、教学目标： 知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析： 1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 ? ? ?-=+=)cos (sin ) sin (cos ??????r y r x （?为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。 ? ? ?-=-=)cos 1() sin (???r y r x （?为参数）
（三）、例题与训练题： 例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2 π ?=，π时，求圆渐开线?? ?-=+=? ??? ??cos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。 变式训练2 求圆的渐开线?????-=+=) cos (sin 2) sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。 例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程 变式训练3： 求摆线?? ?-=-=t y t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标 例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。 （四）、小结：本节课学习了以下内容： 1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。 （五）、作业： 五、教学反思：
渐开线与摆线
渐开线与摆线 1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线． 3．圆的渐开线和摆线的参数方程 (1)圆的渐开线方程： (2)摆线的参数方程： 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程． 直线的参数方程 直线的参数方程：
过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。 直线的参数方程及其推导过程： 设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α， 定点M0、动点M的坐标分别为 直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M到定点 Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0． 抛物线的参数方程 抛物线的参数方程： 如图，抛物线y2=2px（p＞0）（或x2=2py（p＞0））的参数方程为 （或）（t为参数，t∈R）。
几何意义为： t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。即M（x,y）为抛物线上任意一点，则有 抛物线的参数方程的推导： 设抛物线的普通方程为 因为点M在α的终边上,根据三角函数的定义可得 由(5)(6)解出x,y，得到 这就是抛物线（5）（不包括顶点）的参数方程。 如果令，则有
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必修 1必修 2 第一章集合与函数概念第一章空间几何体 1.1集合 1.1空间几何体的结构 阅读与思考集合中元素的个数 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.2函数及其表示阅读与思考画法几何与蒙日 阅读与思考函数概念的发展历程 1.3空间几何体的表面积与体积 1.3函数的基本性质探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球 信息技术应用用计算机绘制函数图象体的体积 实习作业实习作业 小结小结 第二章基本初等函数（Ⅰ）复习参考题 2.1指数函数第二章点、直线、平面之间的位置关系 信息技术应用借助信息技术探究指数 2.1空间点、直线、平面之间的位置关 函数的性质系 2.2对数函数 2.2直线、平面平行的判定及其性质 阅读与思考对数的发明 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 探究也发现互为反函数的两个函数图阅读与思考欧几里得《原本》与公理化象之间的关系方法 2.3幂函数小结 小结复习参考题 复习参考题第三章直线与方程 第三章函数的应用 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1函数与方程探究与发现魔术师的地毯 阅读与思考中外历史上的方程求解 3.2直线的方程 信息技术应用借助信息技术方程的近 3.3直线的交点坐标与距离公式 似解阅读与思考笛卡儿与解析几何 3.2函数模型及其应用小结 信息技术应用收集数据并建立函数模复习参考题 型第四章圆与方程 实习作业 4.1圆的方程 小结阅读与思考坐标法与机器证明 复习参考题 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 信息技术应用用《几何画板》探究点的 轨迹：圆 小结 复习参考题
必修 3必修 4 第一章算法初步第一章三角函数 1． 1算法与程序框图 1 .1任意角和弧度制 1． 2基本算法语句 1.2任意角的三角函数 1． 3算法案例阅读与思考三角学与天文学阅读与思考割圆术 1.3三角函数的诱导公式 小结 1.4三角函数的图像与性质 第二章统计探究与发现函数 y=Asin （ω x+φ）及函2． 1随机抽样数 y=Acos（ωx+φ） 阅读与思考一个著名的案例探究与发现利用单位圆中的三角函数 阅读与思考广告中数据的可靠性线研究正弦函数、余弦函数的性质 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实信息技术应用 反应 1.5函数 y=Asin （ω x+φ）的图像2． 2用样本估计总体阅读与思考振幅、周期、频率、相位阅读与思考生产过程中的质量控制图 1.6三角函数模型的简单应用2． 3变量间的相关关系小结 阅读与思考相关关系的强与弱复习参考题 实习作业第二章平面向量 小结 2.1平面向量的实际背景及基本概念 第三章概率阅读与思考向量及向量符号的由来3． 1随机事件的概率 2.2平面向量的线性运算 阅读与思考天气变化的认识过程 2.3平面向量的基本定理及坐标表示3． 2古典概型 2.4平面向量的数量积 3． 3几何概型 2.5平面向量应用举例 阅读与思考概率与密码阅读与思考向量的运算（运算律）与图小结形性质 复习参考题小结 复习参考题 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 信息技术应用利用信息技术制作三角 函数表 3.2简单的三角恒等变换 小结 复习参考题
高中数学渐开线与摆线阶段测试高考专项训练B4
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 高中数学渐开线与摆线阶段测试高考专项训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐 标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1{ 3 x t y t =+=-（t 为参数），圆C 的极 坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．参数方程()() sin { 1cos x a t t y a t =-=- （0,a t >为参数）所表示的函数()y f x =是（ ） A ． 图像关于原点对称 B ． 图像关于直线x π=对称 C ． 周期为2a π的周期函数 D ． 周期为 2a π 的周期函数 3．已知曲线C 的参数方程是2cos 2sin x a y θ θ =+??=?(θ为参数)，则曲线C 不经过第二象限 的一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 （ ） A ． a ≥2 B ． a ＞3 C ． a ≥1 D ． a ＜0 4．曲线25()12x t t y t =-+?? =-? 为参数与坐标轴的交点是（ ） A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5 (0,)(8,0)9 、 5．曲线5cos ()5sin 3x y θπ θπθ=?≤≤? =? 的长度是（ ） ． A ．5π B ．10π C ． 35π D ．3 10π ()4R π θρ= ∈12cos 22sin x y α α=+??=+? 14 2 14 15 2 15 7．直线l 的参数方程为()x a t t y b t =+?? =+?为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与 (,)P a b 之间的距离是（ ） A ．1t B ．12t C 1 D 1 二、填空题 8 ．求直线11:()5x t l t y =+??? =-+??为参数 和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。 9．直线122 ()112 x t t y t ?=-??? ?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。 10．圆的摆线上有一点(π,0),在满足条件的所有摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆 线上,参数对应的点的坐标为________ 11．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，将曲线（为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵
2021年高中数学 第二章 平摆线和渐开线练习 北师大版选修4-4
2021年高中数学第二章平摆线和渐开线练习北师大版选修4-4 1给出下列说法： ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程； ②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题； ③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程； ④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )． A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 2平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )． A．(π－2,2) B．(3π＋2,2) C．(π－2,2)或(3π＋2,2) D．(π－3,5) 3如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )． A．3π B．4π C．5π D．6π 4我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为( )． A．(φ为参数) B．(φ为参数) C．(φ为参数) D．(φ为参数) 5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________． 6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为________． 7已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．
8已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
最新人教版高中数学选修1-1知识点总结
高中数学选修1-1知识点总结 第一章 简单逻辑用语 ● 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 真命题：判断为真的语句．假命题：判断为假的语句． ● “若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论． ● 原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” ● 四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ● 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如： 若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件； 若A =B ，则A 是B 的充要条件； ● 逻辑联结词：⑴且：命题形式p q ∧； ⑵或：命题形式p q ∨； ⑶非：命题形式p ?． p q p q ∧ p q ∨ p ? 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ● ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示． 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?． ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示． 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?．
第二章 圆锥曲线 ● 平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+． 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． ● 椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、() 20,F c 焦距 () 222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<
人教版高中数学选修部分知识点总结(理科)
高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?”. ?，则p 四种命题的 真假性之间 的关系： ()1两个命 题互为逆否 命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是真命题． ?必是假命题；若p是假命题，则p 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
苏教版数学高一苏教版选修4-4教案 4.4.7《圆的渐开线与摆线》
5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 246 j D O'O B C 第七课时 圆的渐开线与摆线 一、教学目标： 知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析： 1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数 方程为? ??-=+=)cos (sin )sin (cos ??????r y r x （?为参数） 2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴， 定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系， 设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。 ? ? ?-=-=)cos 1() sin (???r y r x （?为参数） （三）、例题与训练题： 例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2 π ?= ，π时，求圆渐开线?? ?-=+=? ??? ??cos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并 求出A 、B 间的距离。 变式训练2 求圆的渐开线?????-=+=) cos (sin 2) sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。 例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
【人教a版】高中数学：第二讲四渐开线与摆线127
第二讲 参数方程 四、渐开线与摆线 A 级 基础巩固 一、选择题 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同 解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 答案：C 2.???r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ） (φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程 解析：对照渐开线和摆线参数可知选B. 答案：B 3．下列各点中，在圆的摆线???x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ (φ为参数)上的是( ) A ．(π，0) B ．(π，1) C ．(2π，2) D ．(2π，0)
4．圆???x ＝3cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．3π C ．6π D ．10π 解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 ? ??x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)． 答案：C 5．已知一个圆的参数方程为???x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ? ?? ??3π2，2之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2 －1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为 ???x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得?????x ＝3? ????π2－1，y ＝3， 即A ? ?? ??3? ????π2－1，3， 所以|AB|＝ ??????3? ????π2－1－3π22 ＋（3－2）2＝10. 答案：C 二、填空题 6．已知一个圆的摆线的参数方程是???x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ (φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________． 解析：由圆的摆线的参数方程???x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.