2019届高三上学期开学摸底考试含答案

高三第一学期文科数学摸底考试

命题：袁明星

—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象跟

D.第四象限

2. 若集合}82

2|{2

≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含

的元素个数为

A. O

B. 1

C. 2

D. 3

3. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做

“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是

A. 1,2,3,4,5,6

B. 6，16，26，36，46，56

C. 1,2，4，8，16，32

D. 3,9,13 ,27,36,54

4 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则

该双曲线的标准方程为

5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：

①l//m,m ?a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ?a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m

其中正确的命题的个数是

A. 1

B. 2

C.

3

D. 4

6.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次

为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A ．6 B ．10 C ．91 D ．92

7. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则

a 6(a 2+2a 6+a 10）的值 为

A. 4

B. 6

C. 8

D. -9

8. 设曲线()()f x x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数

2()y x g x =的部分图象可以为

9. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若

的取值范围为

11. 已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,

则此三棱锥的外接球的表面积为 A 4π B, 12π

12. 已知函数2

(1)(0)()2

x f f f x e x x e '=

?+?-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为

A. [)1-,1,2??∞-?+∞ ??

? B. (]1,1,2

??-∞-?+∞????

C. (]1,0,2??-∞?+∞????

D. [)1-,0,2

??∞-?+∞ ??

?

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a

13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且 u ∥v ，则实数x 的值是____

15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x

+4y

取得最小值时，过点P 引圆

16. 已知12,F F 分别是椭圆22

221x y a b

+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于

左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2

122PM PF PF =?，

则该椭圆的离心率为

三 、解 答 题 : 本大题共6小 题 ，共

70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分10分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

B

D

（1）求角C 的大小；

（2）若bsin （π﹣A ）= acosB ，且，求△ABC 的面积．

18. (本小题满分12分）

如图，在四棱锥

P ﹣ABCD 中，∠ADC=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=1，PA ⊥平面ABCD ，PA=2AD ，E 是线段PD 上的点，设PE=λPD

，F 是BC 上的点，且AF ∥CD

（Ⅰ）若

λ=，求证：PB ∥平面AEF

（Ⅱ）三棱锥P ﹣AEF 的体积为时，求λ的值．

19. (本小题满分12分）

已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未

售出的商品，每吨亏损

万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量

的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以

（单位：吨，

）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示

该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小； （结果精确到小数后1位）

（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.

20. (本小題满分12分）

轴不重合的直线l 交椭圆于A,B 两点.

(I)若ΔABF 2为正三角形，求椭圆的标准方程；

21 (本小题满分14分）

已知函数f （x ）=x 2

+1，g （x ）=2alnx+1（a ∈R ） （1）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的极值；

（2）当a=e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g （x ）≤ kx+m ≤f （x ）恒成立？若存在，

请求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．

请考生在22?23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中 ，以 原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为: θθρcos sin 2

=

(I)求曲线C 的直角坐标方程；

求|AB|的值。

23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当a=1时，解不等式f(x)>3;

(II)不等式1)(≥x f 在 区 间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围。

高三第一学期文科数学摸底考试

（数学文科答案）

一、选择题

1-5 DCBCA 6-10 BADAB 11-12 DA 二、填空题

13．1

2 14．36

35

15. 2

16 .

2

三、解答题

17.解：（1）在△ABC

中，由，

由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，

可得：

2acsinB=2abcosC．

由正弦定理：

2sinCsinB=sinBcosC ∵0＜B＜π，sinB≠0，

∴

2sinC=cosC，

即

tanC=，

∵0＜C＜π，

∴

C=．

（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，

∵0＜A＜π，sinA≠0，

∴sinB=cosB，

∴，

根据正弦定理

，可得，

解得c=1

∴

18．解：（Ⅰ）证明：如图，

∵AD∥BC，AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，则CF=AD=1，

∵BC=3，∴BF=2，

连接BD ，交AF 于G ，则△AGD ∽△FGB ， ∴

．

连接GE ，∵PE=PD ，∴，

∴

，则EG ∥PB ．

∵EG ?平面AEF ，PB ?平面AEF ， ∴PB ∥平面AEF ；

（Ⅱ）解：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AF ，

由（Ⅰ）知AF ∥CD ，又CD ⊥AD ， ∴AF ⊥AD ，而PA ∩AD=A ， ∴AF ⊥平面PAD ．

∵PA=2AD=2，∴，

∵PE=λPD ，∴S △PAE =λ， 又AF=CD=2，

∴

，得．

19.解：（Ⅰ）估计一个销售季度内市场需求量的平均数为

（吨）

设所求中位数为k ，由直方图建立方程：

0.01100.0210(120)0.030.5k ?+?+-?=

解得 20

120126.73

k =+

≈ 即估计一个销售季度内市场需求量的中位数为126.7。 （Ⅱ）当时，；

当时，

，

所以，

根据频率分布直方图及（Ⅰ）知， 当时，由，得

，

当

时，由

，

所以，利润不少于

万元当且仅当

， 于是由频率分布直方图可知市场需求量

的频率为

所以下一个销售季度内的利润不少于57万元的概率的估计值为

20. 解：（Ⅰ）因为2ABF ?为正三角形，所以22AF BF =

∴AB x ⊥轴

2

122,2b AB F F a

== 且有122AB F F =，所以

2

2a

=

化为2

20a -= 解得 a =

b ∴=

故椭圆的标准方程为 22

132

x y += ………………4分

（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为102e <<

，1c =，所以12

a +>…………6分

①当直线AB 与x 轴垂直时， 由（Ⅰ）此时椭圆离心率1

32

e =< 且有((1,

A B -- ，所以1

03

OA OB ?=-

< AOB ∴∠为钝角.………………………8分

②当直线AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程为：(1)y k x =+，代入22

221x y a b

+=，

整理得：

2222222222

()20b a k x k a x a k a b +++-=，

22122222a k x x b a k -+=+，2222

122

22a k a b x x b a k -=+

1212OA OB x x y y ?=+

212121212(1)(1)x x y y x x k x x +=+++ 2221212(1)()x x k k x x k =++++

22222242222222()(1)2()

a k a

b k a k k b a k b a k -+-++=

+ 2222222

222()k a b a b a b b a k +--=

+

24222

222(31)k a a a b b a k -+--=

+………………10分

令

42

()31m a a a =-+-， 由 ①可知 ()0m a <， AOB ∴∠恒为钝角.………………12分

21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2

﹣2alnx ，x ＞0

所以 h′（x ）

=

当a ≤0，h′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值， 当a ＞0时，由h′（x ）＞0，即x 2

﹣a ＞0，解得：a

＞

或x

＜﹣

，（舍去）

由h′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x

＜

，

∴h （x ）在（0

，

）单调递减，在（

，+∞）单调递增， ∴h （x ）的极小值为h

（）=a ﹣

2aln

=a ﹣alna ，无极大值；

（2）当a=e 时，由（1）知

min ()h x = h

（

）=h

（）=e ﹣elne=0

∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当

x=时，取等号；

以（1)e +为公共切点，

f′（

）=g′（

）=

所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程

y=2

x+1﹣e ，

构造函数

2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥

1()e f x ∴+-≤

构造函数

()1)()2ln k x e g x e x e =+--=-- (0)x >

()k x '= 由()0k x '> 解得

x >

()0k x '< 解得

0x <<

所以()k x

在

上递减，在)+∞上递增

min ()0k x k ∴==

，即有1)()e g x +-≥

从而

()1()g x e f x ≤+-≤

，此时1k m e ==-

22.解：(Ⅰ)依题意

22sin cos ρθρθ=………………3分

cos ,sin x y ρθρθ==-----------4分

得直角坐标系下曲线C 的方程：2

y x = …………………5分

(Ⅱ)

把222

x y ?=-????=?? 代入2

y x =整理得：

0422=-+t t ………………7分

0>?总成立，

221-=+t t ，421-=t t

2

3)4(4)2(221=-?--=-=t t AB ………………10分

另解：

(Ⅱ)直线l 的直角坐标方程为x y -=2，把x y -=2代入

x y =2

得： 0452=+-x x ………………7分

0>?总成立，521=+x x ，421=x x

2

3)445(212212=?-=-+=x x k AB …………………10分

23. 解：(Ⅰ)?

??>-+-≥32222x x x 解得37>x ?

?

?>-+-<<32222

1x x x 解得φ∈x

?

??>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17

(,)(,)

33-∞+∞………………5分

(Ⅱ)时，2>a ???

??≥--<<-+-≤++-=a

x a x a

x a x x a x x f ,2232,222,223)(；

时，2=a 36,2

()36,2x x f x x x -+≤?=?

->?； 时，2

??≥--<<+-≤++-=2

,2232

,22,223)(x a x x a a x a

x a x x f ；

∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分

则?

?

?≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分