与圆有关的动点问题[下学期]--浙教版
浙教版数学初一上册动点问题
初一数学上册动点问题 对于数学动点,要在动中取静.在线上运动,那么线的长度就是定量.如果是组成三角形,那么有两个点在运动,那那个不动的点就是定量.再根据运动的时间和长度进行分类,根据长宽高判断面积周长等 动点总要在极端上出考题1.两端是极端2.一个极端在中间（抛物线）3.特殊点（1）轴对称（2）平移（3) 旋转（4）列方程表示未知量,结合极端情况 动点的问题你要去用未知数如、(x.t.y)等大胆的去设如{有一点p以A为起点沿AB以每秒2个单位运动到B那么设AP为2t如果以知AB为6那么PB为6-2t. 点睛：速度公式和方程思想 练习： 1.数轴上A为-40，B为80 （1）一蜘蛛P从B出发3个单位/秒向左移动蜘蛛Q从A出发2个单位/秒设两个蜘蛛在C相遇C对应的数是多少? （2）若蜘蛛Q从A出发向左移动,蜘蛛P从B出发向左移动,设蜘蛛P在数轴上D点追上蜘蛛Q,D为多少? 2.甲、乙两物体分别从相距70米的两处同时相向运动,甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米, ⑴甲、乙开始运动后几分钟相遇? ⑵如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 3.已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。 ⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？ ⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？ 4.点P从A点出发沿着线段AB向点B匀速运动,点P出发4分钟时距A地240cm,此时点Q也从点A出发沿着线段AB向点B匀速运动,再经过6分钟点Q追上点P,又经过2分钟点Q到达点B处,此时点P、Q同时停止运动,设点P的运动时间为t分钟 （1）求点A与点B的距离； （2）当线段PQ的长为40cm时,求t的值 5.在数轴上有A、B两点,A、B两点所表示的有理数分别是a和b,a的倒数等于它本身,|b|=3,a ＜b且ab＜0. （1）求线段AB的长； （2）动点P、Q分别从点A、O同时出发,沿线段AB方向同向而行,其中一个点到达B点时停止,另一个点继续运动,直至也到达B点停止,P、Q的运动速度分别是2个单位/秒和1个单位/秒,M是PQ的中点,设运动时间为t秒,当点P、Q都在线段OB上运动时,请用含有t 的式子表示线段OM的长； （3）在（2）的条件下,是否存在t值使线段OM的长度是7/4.请说明理由.
浙教版八年级下动点问题1学案
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. D A 动点问题（１） 班级 姓名 准备练习：点Ａ、Ｂ、Ｃ在同一直线上，AB=6，BC=5，则AC= ． 例、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是BC 的中点, AD=5, BC=12, CD=24, ∠C=45°,点P 是BC 边上一动点, 设PB 的长为x ． (1)当x 为何值时, 以P , A, D, E 为顶点的四边形是平行四边形? (2)点P 在BC 边上运动的过程中, 以P , A, D, E 为顶点的四边形 能否构成菱形? 试说明理由． (3)当x 为何值时, 以P , A, D, E 为顶点的四边形是直角梯形? (4)当x 为何值时, S PEA =10 ? 备用图： 巩固练习： 1、在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），C （2，3）． (1) 要使四边形ABCD 是平行四边形，则点Ｄ的坐标为 ． (2) 要使以A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形，则点Ｄ的坐标为 ． ２、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，若BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从点D 出发，在线段AD 上以每秒2个单位长的速度向点A 运动；动点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒l 个单位长的速度向点C 运动．现点P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当点P 运动到A 点时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t(s)． (1)当四边形ABQP 是平行四边形时，求运动时间t ． (2) 当四边形ABQP 是直角梯形时，求运动时间t ． (3) 当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形 是等腰三角形? 备用图：
浙教版初中数学关于动点问题的总结
浙教版 初中数学 关于动点问题的总结 “动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系, 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、 GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2 132?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362 121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中, . ∴y =GP= 32MP=23363 1x + (0 动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分 （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值最大值是多少 （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A P Q B y C O x A 备用图 B y C O x A 备用图 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1 个单位的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单位的速度向点D运动，连结MN，设运动时 间为t（s）． （1）当t为何值时，MN∥BC （2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证： 点P的位置固定不变； （3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得 MN与半圆O相切若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若 不存在，请说明理由．A C B D M N 3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点 出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒． ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC 求出t的值． C 三角形全等之动点问题（习题） 例题示范 例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6． 【思路分析】 1．研究背景图形，标注 四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段 ①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围． 0≤t ≤6 D C (2/s) P ： ②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式 ①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上， P D C B A 此时AP =2t ，AD =4， 1 2ADP S AD AP =??△， 即1 6422t =??， 3 2t =，符合题意． ②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上， P D C B A A B C D A B C D P D C B A 此时11 44822 ADP S AD AB =??=??=△， 不符合题意，舍去． ③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上， P A B C D 此时DP =12-2t ，AD =4， 1 2ADP S AD DP =??△， 即1 64(122)2t =??-， 9 2 t =，符合题意． 综上，当t 的值为32或9 2 时，△ADP 的面积为6． 巩固练习 1. 已知：如图，在等边三角形ABC 中，AB =6，D 为BC 边上一点， A P D 与圆有关的动点问题 G D M D C 0 6 B (1)求/ APC 与Z ACD 的度数 ⑶OD 动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周 Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点E S A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M 2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐 ⑴求证：OD 与边BC 也相切 向左移动正 M , N 分别是边BC , AD ⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二) (2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上. 过点B 作的一条切线BE , E 为切点. 如图1,当点A 在。O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由 1、如图,?O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧 O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C 團2 与AB 、 过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 A B 点(不与A. C 重合) F D C ( F 图1 4、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时 DFC / 图3 BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° ° AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H . t 7』 B\ / 1 与圆有关的动点问题的教学设计 一、教学内容分析 与圆有关的动点问题是动态问题中的一类问题，它以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；它集几何、代数知识于一体，是数形结合的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。而做这种题就是要抓住图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图形的运动的过程，用静态的方法来研究运动当中的变与不变的函数关系，把复杂的运动过程化为简单的数学问题。复习时，除了深刻理解图形的基本性质外，还必须注重数形结合、转化等数学思想方法的学习，努力发展空间观念，切实提高分析解决问题的能力。 二、学情分析 九年级的学生已经具备了抽象、概括和分析问题解决问题的能力，通过合作交流、共同探讨，形成了一定的探究能力，此年龄段的学生独立意识、表现欲望较为强烈，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。因此在课程内容的安排中创设了一些具有一定难度的问题，加强学生在学习过程中自主探索与合作交流的紧密结合，鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，从中获得成功的体验，激发学习热情。 三、教学目标： （1）知识与技能： 培养学生观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力。引导学生正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它们之间的关系，（2）过程与方法： 通过观察、动手操作培养学生发现问题、解决问题的能力；（3）情感、态度与价值观 让学生通过观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力，培养学生数形结合的思想。 四、教学重难点： 重点：如何探索动点运动的特点和规律。 难点：如何探索动点运动的特点和规律。 五、教学方法分析 根据本专题的特点，为了较好的达成本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我采用教师启发引导，学生合作交流的方式来组织本节课的教学。同时利用Z Z动态演示图形的运动变化过程，化抽象为直观，采取动中觅静、动静互化、以动制动的策略来帮助学生寻找图形中的基本关系，突破难点。 六、教学策略与手段： 新教材倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以 初二动点问题 1、图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A 开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． A P （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？ （2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？ （3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？ 2、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点 P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两 点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形? （2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的 关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由； 3、已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 4、如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====?∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 5、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒． （1）求NC ，MC 的长（用t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形； （3）是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形． C P Q B A M N A D C B N 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC， 垂足分别为E，F，则DE＋DF ＝ ． 2、在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标． 4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB 边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形 5、如图，在等边ABC ?的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问 （1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：?=∠60CQE （3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确 6、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由． 7、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； 图1 图 2 动点问题专项练习 1、如图，在直角坐标系中，O是原点，A，B，C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P，Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）求直线OC的解析式． （2）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．（3）设从出发起，运动了t秒．当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由． 2、如图1所示，在△ABC中，点O在AC边上运动，过O作直线MN∥BC交∠BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点．试探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 3、如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C 点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts（0≤t≤4）． （1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形． （2）求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线PQ的函数关系式． 巩固提高： 1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向 D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts． 2. （1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ 与圆有关得动点问题 1、如图，⊙O得直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O得切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD得度数； （2）当点P移动到CB弧得中点时，求证：四边形OBPC就是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分得面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3 S△MDF时，求动点M 经过得弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧， ⊙O与l相切于点F，DC在l上． （1）过点B作得一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA得度数就是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA得长； （2）以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置，向左移动正 方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别就是边BC，AD 与⊙O得公共点，求扇形MON得面积得范围． 4、如图，Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x得函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应得y值． 动点问题(与圆相关) 动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分？ （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A 备用图备用图 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个单位 的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单 位的速度向点D运动，连结MN，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，MN∥BC？ （2）当点N在CD边上运动时，设 MN与BD相交于点P，求证：点P的位置固定不变；A C B D M N （3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得MN与半圆O相切？若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若不存在，请说明理由． 3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/ 沿AC向点C移动，同时，动点Q以1C 点出发，沿CB向点B Q 它们都停止移动，设移动的时间为t秒． （1）①当t＝2.5秒时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值； （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时， 求出t的值． 与圆有关的动点问题 1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD的度数； （2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M 经过的弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC 在l上． （1）过点B作的一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长； （2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围． 4、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值． 5、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C 重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE； （2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 2.如图7，梯形中，，，,，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． （1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等) （2）试用表示，并写出的取值围；（相似） （3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 【答案】解： 于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又 又与关于对称， （3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为 则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ①②③ 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存 在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似） 【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明， （2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解， （3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t． 【解答】： 证明：（1）如图，连接PM，PN， ∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN， ∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE， 在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA）， ∴PE=PF， （2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图， 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a， ②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上， 同理可证△PMF≌△PNE， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a， （3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时， ∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称， ∴F′（1﹣t，0） ∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t， 由（1）得△PMF≌△PNE [来源:学,科,网] ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1 1.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32 =，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ADC的外接圆. （1）求BC的长；(特殊三角形) （2）求⊙O的半径.（垂径定理+圆周角+圆心角） 【解析】 ∴BC33 =+. （2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23. ∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB AC CB CD =，即 3223 CD 33 = + . ∴DM=4. ∴⊙O的半径为2. 【考点】：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理. 2.如图7，梯形中，，，,，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． （1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等) （2）试用表示，并写出的取值范围；（相似） （3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又 又与关于对称， （3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为 则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ①②③ 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 圆中的动点问题 教学目标： 【知识与技能】：1.复习圆的基本知识，包括圆的定义,垂经定理，圆 周角定理，切线定理。 2.运用圆的有关知识解决圆中的动点问题。 【过程与方法】：经历探究圆中的动点问题的解题过程，初步体会解 决动点问题的思考方法。 【情感、态度与价值观】：培养学生分类讨论的数学方法，以静制动 的解题策略。 教学重难点： 【重点】：圆中的动点问题的解决方法。 【难点】：分类讨论的数学方法的运用。 教与学互动设计： （一）创设情境导入新课 1.欣赏下列图片 2. 复习圆的定义，与圆有关的角、线段。 （１）圆周角与圆心角的关系： （２）复习垂径定理： （３）切线，切线的性质与切线的判定： （二）合作交流解读探究 例1：已知：点A、B是⊙O上的两个定点，且∠AOB=70? （1）点P是⊙O上不与A、B重合的一个动点，∠APB的度数是 多少？讨论：采用了什么方法和技巧？ （∠APB=35?，145?） ①以静制动②分类讨论 （2）过点O分别作OC⊥PA，OD⊥PB垂足分别为C、D。连接CD，线段CD与AB的位置关系和数量关系会不会随点P的变化而改变， 请说明理由。 例2：已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为直径AB 上的一个动点，过 C 作DE ⊥AB （1）连接OD ，作∠ODE 的角平分线交⊙O 于点P （如图2），请观察点P 的位置，你有什么发现吗？ （2）点M 为线段CD 上不同于C ，D 的一动点，作直线AM 交O 于N ，过N 点作O 的切线NG ，直线NG 与直线CD 交于点G ，请你通过观察测量判断?MNG （三） 总结反思 拓展升华 总结：主要数学知识圆的有关知识以及与圆有关的动点问题。 主要数学方法分类讨论与以静制动。 B B 人教版人教版八年级数学关于动点问题的分析集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN# 动点问题专项练习 1、如图，在直角坐标系中，O是原点，A，B，C三点的坐标分别为A（18，0），B （18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P，Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC，CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动． （1）求直线OC的解析式． （2）设从出发起，运动了t秒．如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围． （3）设从出发起，运动了t秒．当P，Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由． 2、如图1所示，在△ABC中，点O在AC边上运动，过O作直线MN∥BC交∠BCA内角平分线于E点，外角平分线于F点．试探究：当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形 3、如图2所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC， BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q 停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts（0≤t≤4）． （1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形． （2）求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分的面积比为 1:2，求出此时直线PQ的函数关系式． 巩固提高： 3 3 2 O C A D B 与圆有关的最值（取值范围）问题 引例 1：在坐标系中，点 A 的坐标为(3，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C 是第一象限 内一点，且 AC=2．设 tan∠BOC=m，则 m 的取值范围是 ． 引例 2：如图，在边长为 1 的等边△OAB 中，以边 AB 为直径作⊙D，以 O 为圆心 OA 长为半径 作⊙O，C 为半圆弧 ?AB 上的一个动点（不与 A 、B 两点重合），射线 AC 交⊙O 于点 E ， BC= a ，AC= b ，求 a b 的最大值. 引例 3：如图，∠BAC=60°，半径长为 1 的圆 O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点， 以 P 为圆心，PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、E 两点，连接 DE ，则线段 DE 长度的最大值为( ). A ．3 B ．6 C ． D ． 3 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1. 引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点 C 与两个定点 O 、A 构成夹角的 变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化 （增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2. 引例 2：通过圆的基本性质，寻找动点 C 与两个定点 A 、B 构成三角形的不变条件， 结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3. 引例 3：本例动点的个数由引例 1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质 运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点 D 、E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦 DE 、直径所在的直角三角形，从而转化为弦 DE 与半径 AP 之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1. 直观感觉，画出图形； 2. 特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量） 之间的关系，建立等式，进行转化. 3 1.已知△ABC中,CB=8cm,CA=6cm,P为一动点,沿着C→B→A→C的路径运动,(再次到达C 点则停止运动),P点的运动速度为2cm/秒(1)求AB的取值范围; (2)若∠C=90°,AB=10cm ①当P点在CB上运动时,经过几秒钟PC=AC; ②P从运动开始,几秒钟后P点与△ABC某一顶点的连线能将△ABC的面积分成相等的两部分 2.（2016秋?柯桥区校级月考）如图，△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分． （2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时P经过的路程；（3）画出P点的位置，使得△BCP为等腰三角形（保留作图） 3.（12分）如图，已知△ABC中，∠B=90 o，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长； （2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间． 4．如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a 厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． （1）用的代数式表示PC的长度； （2）若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？ 动手操作题 例题：我们可以将一个纸片通过剪切，结合图形的平移、旋转、翻折，重新拼接成一 个新的图形．如图，沿△ABC 的中位线DE 剪切，将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°， 可得到□BCFD ．请尝试解决下面问题（不写画法，保留痕迹，并作必要说明）： （1）将梯形纸片剪拼成平行四边形：请在下图中画出示意图，要求用两种不同．． 的画法， 并简要说明如何剪拼和变换的； （2）如图，将四边形ABCD 剪拼成平行四边形．在下图中画出示意图． 课后练习 1．解方程x 2－4x ＋1＝0． 2.解不等式组? ????2－x ＞0， 5x ＋12＋1≥x ，并写出不等式组的整数解． 3.计算(a 2－4a 2－4a ＋4－ 2a －2)÷a 2＋2a a －2． 4.在解不等式||x +1＞2时，我们可以采用下面的解答方法： ① 当x +1≥0时，||x +1=x +1． ∴由原不等式得x +1＞2．∴可得不等式组?? ?>+≥+.21,01x x ∴解得不等式组的解集为x ＞1． ② 当x +1＜0时，||x +1=－（x +1）． ∴由原不等式得–（x +1）＞2． ∴可得不等式组?? ?>+-<+. 2)1((,01x x ∴解得不等式组的解集为x ＜﹣3． 综上所述，原不等式的解集为x ＞1或x ＜﹣3． 请你仿照上述方法，尝试解不等式||x –2≤1． 5.某批发商以每件50元的价格购进500件T 恤．若以单价70元销售，预计可售出200件．批发商的销售策略是：第一个月为增加销售量，降价销售，经过市场调查，单价每降低1 元，可多售出10件，但最低单价高于购进的价格；第一个月结束后，将剩余的T 恤一 次性清仓销售，清仓时单价为40元． （1）按照批发商的销售策略，销售完这批T 恤可能亏本吗？请建立函数关系进行说明； （2）从增加销售量的角度看，第一个月批发商降价多少元时，销售完这批T 恤获得的 利润为1000元？动点问题(与圆相关)
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