上海市2019年高考数学(理科)专题十八离心率精准培优专练(含答案)

培优点十八 离心率

1．离心率的值

例1：设1F ，2F 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴

上，若1230PF F ∠=?，则椭圆的离心率为（ ） A

B

C ．13

D ．

16

【答案】A

【解析】本题存在焦点三角形12PF F △，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴， 从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=?，则直角三角形12PF F △

中，1212::2PF PF F F = 且122a PF PF =+，122c F F =

，所以121222F F c c e a a PF PF ∴====+A ．

2．离心率的取值范围

例2：已知F 是双曲线22

221x y a b -=()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直

线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）

A ．()1,+∞

B ．()1,2

C

．(1,1

D

．(2,1

【答案】B

【解析】从图中可观察到若ABE △为锐角三角形，只需要AEB ∠为锐角．由对称性可得只需π0,4AEF ??

∠∈ ???

即

可．且AF ，FE 均可用a ，b ，c 表示，AF 是通径的一半，得：2

b AF a =，FE a

c =+，

所以()()222tan 1112AF

b c a c a

AEF e FE a a c a a c a

--==

对点增分集训

一、单选题

1．若双曲线()22

22:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过点()2,1-，则该双曲线C 的离心率为（ ）

A

B

C

D

【答案】D

【解析】双曲线的渐近线过点()2,1-，∴代入b y x a =-，可得：21b

a -=-，

即1

2

b a =

，e ∴==，故选D ． 2．倾斜角为π

4的直线经过椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该

椭圆的离心率为（ ） A

．

3

B

．

2

C

D

【答案】A

【解析】

设直线的参数方程为x c y ??=+?=????

，代入椭圆方程并化简得2222411022a b t ct b ??+-= ???，

所以12t t +=，412222b t t a b ?=-+，由于2AF FB =，即122t t =-，代入上述韦达定理， 化简得2

2

2

8c a b =+，即2229

c a =

，c a =A ．

3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用， 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设1F 、2F 分别是双曲线

()22

22

10,0x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 是该双曲线右支上的一点，若1PF ，2PF 分别是12Rt F PF △的“勾”“股”，且124PF PF ab ?=，则双曲线的离心率为（ ） A

B

C ．2

D

【答案】D

【解析】由双曲线的定义得122PF PF a -=，所以()

2

212

4PF PF a -=，

即222121224PF PF PF PF a +-?=，由题意得12PF PF ⊥，所以222

212124PF PF F F c +==，

又124PF PF ab ?=，所以22484c ab a -=，解得2b a =，从而离心率c

e a

=

=D ． 4．已知双曲线()22

12210,0:x y C a b a b

-=>>的一个焦点F 与抛物线()2220:C y px p =>的焦点相同，它们交于

A ，

B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1

C 的离心率为（ ）

A B C 1

D ．2

【答案】C

【解析】设双曲线1C 的左焦点坐标为()',0F c -，由题意可得：(),0F c ，2

p

c =

， 则,2p A p ?? ???，,2p B p ??

- ???，即(),2A c c ，(),2B c c -，

又：'2AF AF a -=，'AF ===，

据此有：22c a -=，即)

1c a =，

则双曲线的离心率：1

c e a =

=．本题选择C 选项． 5．已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO PM ⊥（O

为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）

A ．? ??

B ．()0,1

C ．?

????

D ．? ??

【答案】C

【解析】由题意PO PM ⊥，所以点P 在以OM 为直径的圆上，圆心为,02a ??

???，半径为2a ，所以圆的方程

为：2

22

24a a x y ??-+= ??

?，

与椭圆方程联立得：22

2210b x ax b a ??--+= ???

，此方程在区间()0,a 上有解，

由于a 为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2

a

与a 之间，

所以2

2221a a a b a <

- ???

，结合222

a b c =+，解得221122a c <<，

1e <<．故选C ． 6．已知椭圆()22

2210x y a b a b +=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=?，则

该椭圆的离心率的最小值为（ ） A

B

C

D ．34

【答案】C

【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMB APB ∠≥∠=?，即60AMO ∠≥?， 因为tan a OMA b ∠=

，所以tan60a b ≥?=

，a ∴，()2223a a c ≥-，2223a c ∴≤，22

3

e ≥

，e ≥选C ．

7．已知双曲线22

221x y a b -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，

则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）

A ．4

3

B ．53

C ．2

D ．73

【答案】B

【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①；又124PF PF =， ②

联立①②解得183PF a =，22

3

PF a =，

在12PF F △中，由余弦定理，得22

2

212644417999cos 8288233

a a c F PF e a a +-∠==-??，

要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值， 当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =

，即e 的最大值为5

3

，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF =， ②，联立①②解得183PF a =，22

3PF a =，

因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为5

3，故选B ．

8．已知椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，

若121

2

OP F F =，且212PF PF a =，则该椭圆的离心率为（ ）

A ．34

B

C ．12

D

【答案】D

【解析】由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，

又212PF PF a ?=，可得12PF PF a ==，即P 为椭圆的短轴的端点，

OP b =，且121

2

OP F F c =

=

，即有c b ==

a =

，c e a =．故选D ． 9．若直线2y x =与双曲线()22

2210x y a b a b -=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）

A

．( B

．(

C

．)

+∞

D

．

)

+∞

【答案】D

【解析】双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为b

y x a

=±，

由双曲线与直线2y x =有交点，则有2b a >

，即有c e a =>=，

则双曲线的离心率的取值范围为

)

+∞，故选D ．

10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，1e ，2e 分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，1260F PF ∠=?，则双曲线的离心率2e =（ ） A

B ．2 C

D ．3

【答案】C

【解析】设()1,0F c -，()2,0F c ，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ， 可得122PF PF a +=，122PF PF m =-，可得1PF a m =+，2PF a m =-， 由余弦定理可得2221212122cos60F F PF PF PF PF -?=+?， 即有()()()()2

2

22243c a m a m a m a m a m =++--+-=+，

由离心率公式可得

22

12134e e +=，12

1e e =，即有42

22430e e -+=

，解得2e =C ． 11．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆

()22122:10x y C a b a b

+=>>交于A 、B 两点，与圆()()22

2:211C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，

使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．10,2?? ???

B ．1,12??????

C

．? ?? D

．?

????

【答案】C

【解析】直线:210l kx y k --+=，即()210k x y --+=， 直线l 恒过定点()2,1，∴直线l 过圆2C 的圆心，

AC DB =，22AC C B ∴=，2C ∴的圆心为A 、B 两点中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，22

1122

22

2222

11x y a b x y a b ????+=+=???， 上下相减可得：()()()()12121

21222

x x x x y y y y a b +-+-=-，

化简可得2121221212x x y y b k y y a x x +--

?==+-，2

22b k a -?=， 221,122b k a ??=-∈-????

，e ?= ??

，故选C ． 12．已知点P 为双曲线()222210x y a b a b

-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是12

PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12121

3IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）

A ．(]1,2

B ．()1,2

C ．(]0,3

D ．(]1,3

【答案】D 【解析】

设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，

1112PF S PF r =

?△，2212PF S PF r =?△，121

22

PF F S c r cr =??=△，

由题意得12111223PF r PF r cr ?-?≥，故()123

32

c PF PF a ≤-=， 故3c

e a

=≤，又1e >，所以，双曲线的离心率取值范围是(]1,3，故选D ．

二、填空题

13．已知抛物线()2

20y px p =>与双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，

若直线AF ______．

【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F ，

由于AF 60BAF ∠=?，且AF AB =，所以ABF △是等边三角形，

所以130F BF ∠=?，所以1BF =，4BF c =， 所以2

221164242cos12028AF c c c c =+-????=，

所以1AF =，由双曲线的定义可知24a c =-． 14．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>，其左右焦点分别为1F ，2F ，若M 是该双曲线右支上一点，

满足

12

3MF MF =，则离心率e 的取值范围是__________．

【答案】(]1,2

【解析】设M 点的横坐标为x ，∵

12

3MF MF =，M 在双曲线右支上()x a ≥，根据双曲线的第二定义，

可得2

23a a e x e x c c ????

-

=+ ? ??

??

?，2ex a ∴=，

x a ≥，ex ea ∴≥，2a ea ∴≥，2e ∴≤，1e >，12e ∴<≤，故答案为(]1,2．

15．已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与椭圆交于A ，B 的两点，且

2AF x ⊥轴，若P 为椭圆上异于A ，B 的动点且14PAB PBF S S =△△，则该椭圆的离心率为_______．

【解析】根据题意，因为2AF x ⊥轴且()2,0F c ，假设A 在第一象限，则2,b A c a ??

???

，

过B 作BC x ⊥轴于C ，则易知121

AF F BFC △～△， 由14PAB PBF S S =△△得113AF BF =，所以23AF BC =，1213F F CF =， 所以25,3

3b B c a ??-- ???，代入椭圆方程得22

2225199c b a a +=，即222259c b a +=，

又222b a c =-，所以223c a =，所以椭圆离心率为c e a ==

． 16．在平面直角坐标系xOy 中，记椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若该椭圆上恰好有6

个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．

【答案】111,,1322??

?? ?

?????

【解析】椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P △为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，

设P 在第一象限，11PF PF >，当1122PF F F c ==时，21222PF a PF a c =-=-， 即222a a c >-，解得12

e >， 又因为1e <，所以

1

12

e <<， 当2122PF F F c ==时，12222PF a PF a c =-=-，

即222a c c ->且2c a c >-，解得：11

32e <<，

综上

112

e <<或11

32e <<．

三、解答题

17．已知双曲线()22

22:10,0x y C a b a b -=>>

（1）求双曲线C 的渐进线方程．

（2）当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．

【答案】（1

）y =；（2）1m =±． 【解析】（1

）由题意，得c

e a

=

=223c a ∴=， ∴2

2

2

2

2b c a a =-=，即2

22b a

=，

∴所求双曲线C

的渐进线方程b

y x a

=±=．

（2）由（1）得当1a =时，双曲线C 的方程为2

2

12

y x -=．

设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由2

212

0y x x y m -

?=++=????

，得22220x mx m ---=（判别式0Δ>）， ∴12

02

x x x m +=

=，002y x m m =+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2

225m m +=，∴1m =±．

18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>的左焦点为()1,0F -

，离心率e ．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．

①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=，PB BF μ=．求证：λμ+为定值；

②若OA OB ⊥，求OAB △面积的取值范围．

【答案】（1）2212x y +=；（2

）①见解析，②32OAB S ≤<△．

【解析】（1

）由题设知，

c a =

1c =，所以22a =，1c =，21b =， 所以椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=．

（2）①由题设知直线l 斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =+，则()0,P k ．

设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆2

212x y +=得()2222124220k x k x k +++-=，

所以2122412k x x k +=-+，2122

22

12k x x k -=+，由PA AF λ=，PB BF μ=知

111x x λ=-+，221x

x μ=-+，

22221212221212

22

444

212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-

=--++++-+

++． ②当直线OA ，OB

分别与坐标轴重合时，易知OAB S △． 当直线OA ，OB 斜率存在且不为0时，设:OA y kx =，1

:OB y x k =-，

设()11,A x y ，()22,B x y ，直线y kx =代入椭圆C 得到222220x k x +-=，

所以2

1

2212x k =+，2212212k y k =+，同理2222212k x k =+，2

1

2

212y k =+

2

12OAB S OA OB =?==△， 令2

11t k =+>，则

OAB

S ==△

因为()1

0,1t ∈，所以2

91192424t ??<--≤ ?

??

，故32OAB S ≤

<△，综上32OAB S ≤<△．