力的合成与分解 知识讲解 提高

力的合成与分解

编稿：周军审稿：张金虎

【考纲要求】

1.知道力的合成与分解、合力与分力、平行四边形定则；

2.会用作图法求共点力的合力；

3.理解合力的大小与分力夹角的关系；

4.会用作图法求分力，并且能用直角三角形及正交分解法求分力。

【考点梳理】

考点一：合力与分力

当一个物体受到几个力的共同作用时,我们常常可以求出这样一个力,这个力产生的效果跟原来几个力的共同效果相同,这个力就叫做那几个力的合力,原来的几个力叫做分力.

要点诠释：

①合力与分力是针对同一受力物体而言.

②一个力之所以是其他几个力的合力,或者其他几个力是这个力的分力,是因为这一个力的作用效果与其他几个力共同作用的效果相当,合力与分力之间的关系是一种等效替代的关系.

考点二：共点力

1.定义：一个物体受到的力作用于物体上的同一点或者它们的作用线交于一点,这样的一组力叫做共点力.(我们这里讨论的共点力,仅限于同一平面的共点力)

要点诠释：

一个具体的物体,其各力的作用点并非完全在同一个点上,若这个物体的形状?大小对所研究的问题没有影响的话,我们就认为物体所受到的力就是共点力.如图甲所示,我们可以认为拉力F、摩擦力F1及支持力F2都与重力G作用于同一点O.如图乙所示,棒受到的力也是共点力.

2.共点力的合成:遵循平行四边形定则.

3.两个共点力的合力范围

合力大小的取值范围为:F1+F2≥F≥|F1-F2|.

在共点的两个力F1与F2大小一定的情况下,改变F1与F2方向之间的夹角θ,当θ角减小时,其合力F逐渐增大;当θ=0°时,合力最大F=F1+F2,方向与F1与F2方向相同;当θ角增大时,其合力逐渐减小;当θ=180°时,合力最小F=|F1-F2|,方向与较大的力方向相同.

4.三个共点力的合力范围

①最大值:当三个分力同向共线时,合力最大,即F max=F1+F2+F3.

②最小值:a.当任意两个分力之和大于第三个分力时,其合力最小值为零.

b.当最大的一个分力大于另外两个分力的算术和时,其最小合力等于最大的一个力减去另外两个力的算术和的绝对值.

要点三、矢量相加的法则

要点诠释：

(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边 作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向(如左图所示)。

(2)三角形定则：把两个矢量首尾相接从而求出合矢量，这个方法叫做三角形定则(如右图所示)．

要点四、力的分解的两种方法

要点诠释：

1．按力产生的实际效果进行分解,具体是：

(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．

(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形．

(3)最后由平行四边形知识求出两分力的大小．

如图所示，物体的重力G 按产生的效果分解为两个分力，F 1使物体下滑，F 2使物体压向斜面．

2．对力的正交分解法的理解和应用

(1)正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为坐标原点，直角坐标x 、y 的选择可按下列原则去确定：

①应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，使得方程的解法简捷．

②沿物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴．

(2)正交分解各力，即分别将各力投影到坐标轴上，分别求x 轴和y 轴上各力投影的合力F x 和F y . 其中123x x x x F F F F ?＝＋＋＋

123y y y y F F F F ?＝＋＋＋

(3)求F x 和F y 的合力F ，如图所示．

大小F

方向tan /y x F F α＝.

要点五、力的分解的唯一性与多解性

要点诠释：

两个力的合力唯一确定，但一个力的两个分力不一定唯一确定，即已知一条确定的对角线，可以作出无数个平行四边形，如果没有条件限制，一个已知力可以有无数对分力．若要得到确定的解，则须给出一些附加条件：

(1)已知一个分力的大小和方向，力的分解也是唯一的．

(2)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，如图则有三种可能：(F1与F的夹角为θ)

①F2

②F2＝F sinθ或F2≥F时有一组解；

③F sinθ

(3)已知两个不平行分力的大小(F1＋F2>F)．如图所示，分别以F的始端、末端为圆心，以F1、F2为半径作圆，两圆有两个交点，所以F分解为F1、F2有两种情况．

(4)存在极值的几种情况：

①已知合力F和一个分力F1的方向，另一个分力F2存在最小值．

②已知合力F的方向和一个分力F1，另一个分力F2存在最小值．

【典型例题】

类型一、求合力的取值范围

例1、物体同时受到同一平面内的三个共点力的作用,下列几组力的合力不可能为零的是( )

A.5 N,7 N,8 N

B.5 N,2 N,3 N

C.1 N,5 N,10 N

D.10 N,10 N,10 N

【答案】C

【解析】分析A?B?C?D各组力中,前两力合力范围分别是:2 N≤F合≤12 N,第三力在其范围之内:3 N≤F合≤7 N,第三力在其合力范围之内;4 N≤F合≤6 N,第三力不在其合力范围之内;0≤F合≤20 N,第三力在其合力范围之内,故只有C中第三力不在前两力合力范围之内,C中的三力合力不可能为零.

【总结升华】共点的三个力的合力大小范围分析方法是:这三个力方向相同时合力最大,最大值等于这三个力大小之和;若这三个力中某一个力处在另外两个力的合力范围中,则这三个力的合力最小值是零.

举一反三

【变式】一个物体受三个共点力的作用，它们的大小分别为F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N．求它们的合力的取值范围？

【答案】0≤F≤24 N

类型二、求合力的大小与方向

例2、(2015 深圳模拟)一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速前进，则对小孩和车下列说法正确的是()

A. 拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力

B. 拉力与摩擦力的合力大小等于重力大小

C. 拉力与摩擦力的合力方向竖直向上

D. 小孩和车所受的合力为零

【答案】C、D

【解析】小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件,拉力的水平分力等于小孩和车所受的摩擦力，故选项A错误；小孩和车整体受重力、支持力、拉力和摩擦力，根据共点力平衡条件，拉力、摩擦力的合力与重力、支持力的合力平衡，重力、支持力的合力竖直向下，故拉力与摩擦力的合力方向竖直向上，故选项B错误，C正确；小孩和车做匀速直线运动，故所受的合力为零，故选项D正确。

【高清课程：力的合成与分解例2】

例3、如左图在正六边形顶点A分别施以F1～F5 5个共点力，其中F3=10N，A点所受合力为；如图，在A点依次施以1N～6N，共6个共点力．且相邻两力之间夹角为600，则A点所合力为。

【答案】30N ，方向与F 3相同；0N

【解析】对于左图，依据正六边形的性质及力的三角形作图法，不难看出，1F 、3F 、4F 可以组成一个封闭三角形，即可求得1F 和4F 的合力必与3F 相同。同理可求得2F ,5F 的合力也与3F 相同。所求五个力的合力就等效为三个共点同向的3F 的合力，即所求五个力的合力大小为30 N ，方向沿3F 的方向（合力与合成顺序无关）。

对于右图，先将同一直线上的三对力进行合成,可得三个合力均为3 N 且互成120°角,故总合力为零.

【总结升华】巧用物理概念、物理规律和物理方法做出平行四边形去分析、研究、推理和论证，合理地选择合成的顺序就使解题思路过程变得极为简单明了、巧妙而富有创意。

类型三、按力的实际作用效果分解力

例4、(2015 银川模拟)关于两个力的合力与这两个力的关系说法中正确的是( )

A. 合力比这两个力都大

B. 合力至少比这两力中较小的力要大

C. 合力可能比这两个力都小

D. 合力可能比这两个力都大

【答案】C 、D

【解析】根据平行四边形定则知,因为对角线的长度可能比两邻边的长度长,也可能比两邻边的长度短,也可能与两邻边的长度相等,所以合力可能比分力大,可能比分力小,可能与分力相等,故选项C 、D 正确。

【总结提升】判断合力与分力关系的三点注意

(1)合力与分力的大小关系要视情况而定,不能形成合力总大于分力的思维定势,合力可以等于分力,也可以大于分力,还可以小于分力。

(2)三个共点力的合力的最小值不一定等于两个较小力的和与第三个较大力之差。

(3)合力与分力是等效替代关系,在进行有关力的计算时,如果已计入了合力,就不能再计入分力;如果已计入了分力,就不能再计入合力。

举一反三

【变式】质量为m 的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上,其重力产生两个效果:一是使球压紧竖直墙壁的分

力F 1,二是使球拉紧悬线的分力F 2.则：1F mgtan α=,2F cos mg α

=

题型四、正交分解法的应用

例5、质量为m 的木块，在与水平夹角为θ的推力F 作用下，沿水平地面做匀速运动，如图所示．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力应为 ( )

A ．μmg

B ．μ(mg ＋F sin θ)

C ．μ(mg －F sin θ)

D ．F cos θ

【答案】BD

【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg 、支持力F N 、摩擦力F f 、推力F ，建立如图所示的坐标系，因木块做匀速运动，所有：

F cos θ＝F f

F N ＝mg ＋F sin θ

又∵F f ＝μF N

∴F f ＝μ(mg ＋F sin θ)，故BD 答案是正确的．

【评价】在对实际问题的求解中，可以用合成法，也可以用分解法，还可以用正交分解法，要善于根据题目要求，灵活选择解题方法,一般来说，在研究多个共点力作用的力学问题时，选用正交分解法比较方便. 举一反三

【变式1】如图所示，质量为m 的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为 ( )

【答案】A

【高清课程：力的合成与分解 例6】

【变式2】如图所示，有一个表面光滑、质量很小的截面是等腰三角形的尖劈，其倾角为θ，插在缝A 、B 之间，在尖劈上加一个力F ，则尖劈对缝的左侧压力大小为多少？

【答案】2sin 2F

类型五、力的合成与分解的实际应用

例6、（2016 全国新课标Ⅰ卷）如图，一光滑的轻滑轮用细绳'OO 悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a ，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b 。外力F 向右上方拉b ，整个系统处于静止状态。若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块b 仍始终保持静止，则（ ）

A. 绳OO '的张力也在一定范围内变化

B. 物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化

C. 连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化

D. 物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

【答案】BD

【解析】由题意，在F 保持方向不变，大小发生变化的过程中，物体a 、b 均保持静止，各绳角度保持不变；选a 受力分析得，绳的拉力T = m a g ，所以物体a 受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b 受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C 选项错误； a 、b 受到绳的拉力大小方向均不变，所以OO '的张力不变，A 选项错误；对b 进行受力分析，并将各力沿水平方向和竖直方向分解，

如上图所示。x x y y =m b g 。T 和m b g 始终不变，当F 大小在一定范围内变化时；支持力在一定范围内变化，B 选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D 选项正确。

故答案选

BD 。

举一反三

【高清课程：力的合成与分解 例4】

【变式】求图中两种情况下，轻绳的拉力T 和轻杆中的弹力N 。

【答案】（1）4533

mg

mg N T == （2）N mg

T mg ==