数学史重点内容汇总

古埃及与古巴比伦部分

1．与其他科学相比，数学是一门积累性很强的学科，它的许多重大理论都是在继承和发展原有理论的基础上发展起来的。如果我们不去追溯古今数学思想方法的演变与发展，也就不可能真正理解数学的真谛，正确把握数学科学发展的方向。正如法国注明数学家庞加莱所说：“如果我们想要预知数学的未来，最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状。”

2．数学史主要研究数学科学发生发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容，思想和方法的演变，发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学，哲学，文化学，宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。

3．学习数学史的意义：首先，数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延伸性。科学史现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，遇见科学未来，使我们在明确科学研究方向上少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据。同时总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。因此，我国著名数学史家李文林先生曾经说过：不了解数学史就不可能全面了解数学科学。

其次，数学史已经广泛的影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征和价值取向。

再者，仅凭数学教材的学习，难以了解数学的原貌和全景，同时也忽略了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料和方法，而弥补这方面不足的最好途径就是学习和研究数学的历史。同时，数学史是一门文理交叉学科。通过对数学史的学习和研究，既可以使数学类专业的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养；也可以使文科或其他专业的学生了解数学的概貌，获得数理方面的修养。此外，历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。

4．保存至今有关数学的纸草书主要有两种：一种是陈列于英国大不列颠博物馆东方展室的兰德纸草书，由英国人兰德1858年搜集到的；另一种是收藏于俄国莫斯科美术博物馆的莫斯科纸草书，由俄罗斯人郭列尼舍夫1893年搜到的。两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集。兰德纸草书长544cm，宽33cm,共载有85个问题，莫斯科纸草书长544cm，宽8cm，共载有25个问题。

5．古埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号，古埃及人的记数系统是叠加制而不是位值制。即，十进叠加记数制。

6．古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这一问题的方法是试位法。

7．古埃及人通过具体问题说明了高为h,底边长为a和b的正四棱台的体积公式是V=1/3(a*a+a*b+b*b)*h著名得数学史家贝尔形象的将这一古埃及数学杰出称为“最伟大的埃及金字塔”。

8．古巴比伦使用的文字称为楔形文字；古巴比伦的记数采用60以下十进制，60以上60进位值制。9．我们介绍古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，他们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的的算术与代数较为领先。而古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。

这些表明，数学从他的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学中，虽然出现了一些令人信服的数表和重要的公式，但他们的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉，更谈不上掌握了。在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量的问题的工具或者方法，其所给的仅仅是“如此去做”，而基本没有涉及到“为什么这样做”，这标志着他们的数学还远没有进入到理性思维的阶段，因此，从这个意义上来讲，数学作为一门学科还远远没有建立起来，正如美国著名数学史家M。克莱因在《古今数学思想》一书中所说的那样，“按这个标准说，埃及人和巴比伦人好比粗陋的木匠，而希腊人则是大建筑师。”真正科学意义下的理性数学，是由希腊人为我们提供的。

古希腊部分

10. 希腊数学达到了欧洲数学的顶峰。

11. 公元前6---3世纪期间希腊出现的最有影响的学派：爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派、柏拉图学派。

12. 泰勒斯——（1）希腊七贤之首

（2）享有“希腊科学之父”创立了古希腊历史上第一个数学学派——爱奥尼亚学派

（3）发现命题：a圆被任意直径二等分；b等腰三角形的两底角相等；c两条直线相交，对顶角相等；d两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形

全等；e内接于圆的角必为直角。其中“内接于圆的角必为直角”称为泰勒斯定

理

（4）泰勒斯将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了数学的基础，使他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的荣誉。被西方学者称为“测量学的鼻祖”。

13. 毕达哥拉斯学派创始人为毕达哥拉斯。有许多的几何成就，其信条却是“万物皆数”。将1命名

为“原因数”。

他们信奉和崇拜10，认为10是完美和谐的标志。

14 . 完全数：一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和；如28=1+2+4+7+14

盈数：一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和；如10》1+2+5

亏数：一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和；如12《1+2+3+4+6

亲和数：两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数；

如：220的因子和1+2+4+5+10+20+22+44+55+110=284；284的因子和1+2+4+71+142=220.

费马发现（17926和18416）笛卡尔发现第三对；瑞士数学家欧拉发现了30到60对；16

岁男孩帕加尼尼1886年发现（1184和1210）

形数：（形与数的结合物）图形中点的个数。三角形形数=1/2n(n+1)；正方形形数=n*n；正五边形的形数n/2(3n-1).

梅森数：2的n次方减1；如果2的n次方减1是素数，则2的n-1次乘以（2的n次减1）是完全数

15. 按照“万物皆数”的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整数之比（即某个

有理量）。这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作

为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段，称这样的两条线段为“可公度

量”，即有公共的度量单位。

16. 巧辩学派的三大尺规作图问题——只允许用圆规和直尺做一个正方形，使其与给定的圆面积相

等；（化圆为方）

给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者体积两倍于前者体积；（倍立方）

三等分任一已知角。（三等分角）

17. 2000多年来，三大问题的研究花费了人们的大量心血。直至1831年，法国数学家万采尔首先

证明了倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家

林德曼于1882年又证明了∏的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，

这三大问题才彻底得以解决。

18. 柏拉图学派杰出数学家欧多克索斯——

（1）数学成果成为欧几里得《几何原本》5、6、7卷的主要内容

（2）运用公理法建立了比例理论，处理了“不可公度量”即无理数问题

（3）引入了“量”的概念

（4）定义了两个量之比和比例即两个比相等的关系

（5）进一步完善了安蒂丰的“穷竭法”，并将“穷竭法”改造成为一种严格的证明方法

（6）研究了“中末比”问题；解决了立方倍积的问题

19. 欧多克索斯的学生梅奈赫莫斯（柏拉图学派）——圆锥曲线理论的创始人

20. 亚里士多德（柏拉图学派）——

（1）建立了形式逻辑学，把形式逻辑学规范化系统化，使之上升为一门学科

（2）提出了矛盾律、排中律等思维的规律

（3）把逻辑学理解为论证的学问

（4）研究了三段论法的格和规则

（5）著作中有许多的几何定理：多边形外角之和等于四直角；在包围给定面积的所有平

面图形中圆的周长最小。

21. 亚历山大时期的数学发展有两个方向——

（1）沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系

统化，其代表人物有欧几里得、阿波罗尼斯。

（2）以阿基米德为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在

继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域。

其中，阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。

22. 欧几里得——（1）勤奋的学者，以满腔的热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索

斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。为

此，他首先收集整理已有的数学成果，以命题的形式作出

表述，完善前人的各种定理并予以重新证明，使其达到无

懈可击的地步。然而，他做出了自己的伟大创造：对定义

进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑的严密的按

演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构

和严密逻辑体系的《几何原本》，是在公元前300年左右

完成的。

（2）对天文学和光学都有研究，其他纯数学著作《数据》、在《几何原本》基础

上进一步研究几何学的一本问题集，共95个问题；《论图

形的分割》，研究将图形分割后成比例的问题，共36个问

题。

23. 《几何原本》中第五公设——若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于两直角，则两

直线无限延长后必相交于该侧的一点。

24. 《几何原本》——古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是月300年来希腊数学成果、方法、

思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻

辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达二千

多年的时间里一直盛行不衰。它经历多次修订和翻译，自

1482年第一次印刷本出版后，至今已有一千多种不同的

版本，除了《圣经》外，没有任何其他著作，其研究、使

用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。但《几何原

本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，

却是《圣经》所无法比拟的。

诚然，正如现代数学家所指出的那样，《几何原本》存在着一些结构上的缺陷，

但这丝毫无损于这部著作的崇高价值，他的影响之深远，

使得欧几里得与几何学几乎成了同义词。它集中体现了希

腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中

的瑰宝。

25．阿基米德——用力学的方法探索数学结论的基本思想是：为了找出所求图形的面积和体积，可

将它分成很多窄的平行条和厚的平行层，接着，将这些条

或层挂在杠杆的一端，使它平衡与体积和重心为已知的图

形，利用杠杆平衡原理及已知图形的面积、体积，便可探

求出未知图形的面积和体积来。

26 阿波罗尼斯——《圆锥曲线》P33页

27. 希腊数学的衰落——自阿波尼洛斯之后开始走下坡路，但也有些数学成就。代数的进展时产生

了代数符号，第一次提出代数符号的是丢番图，其主要著

作是《算术》，堪称古代数学的典籍。丢番图引入了1—

—6次幂的符号。丢番图是该时期解代数方程的大师，在

《算术》中，绝大多数问题是不定方程，考察的范围是1

——4次，在解题时，丢番图经常以高超的技巧利用公式。

28. 托勒密在总结希帕恰斯和梅乃劳斯工作的基础上，写成三角学的最早系统性的论著《天文学大

成》简称《大成》。

印度部分

29. 摩诃毗罗——著《数学九章》，其内容只要是算术运算，开平方，和开立方，二次方程及组合问

题，也讲到解二次不定方程等。

30. 婆什伽罗——对天文学和数学都有研究，是古代印度最著名的数学家，著有《丽罗娃提》和《算

法本原》。这两部著作除了整理前人的成果之外还论述了

有理数的四则运算、线性方程组和不定方程。他指出二次

方程有两个根，并对形如Cx*x+1=y*y的二次不定方程提

出解法。

31. 在印度数学中最值得称道的是印度数码和10进位值制记数法。人们所说的阿拉伯数码实际上最

早是由印度人发明的，这是她们对数学乃至整个人类文化

的重要贡献。

32. 印度人很早就引入了负数。婆罗门笈多在628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则，

婆什伽罗又在《根

的计算》中又进一步讨论了负数，他把负数叫做“负债”或“损失”，并用在数码中加一点表示负

数，在数码的

右下角加一点表示减号。不过，当一个问题得出正负两个解时，他会解释说“负数解不合适，因为

人们不赞成负

数，故应舍弃”。

阿拉伯部分

33. 阿尔·花拉子米——（1）出生于花拉子米城，并以此得名，曾担任过阿拔斯王朝第五代哈里发

的司书官，以博古通今著称。他仔细研究过印度天文学，

并根据印度天文表中的资料，编辑了阿拉伯最古老的天文

表。

（2）他写的书涉及天文、历法、算术、代数等多个领域，其中最著名的是《代

数学》。这本书无论在内容还是风格上都代表了一个新的起

点，首先把代数学作为一门有别于其他学科的、独立的数学

分支来处理。此书内容分为三个部分:第一部分讲述现代意

义下的初等代数；第二部分论及各种实用算术问题；第三部

分列举了有关继承遗产的各种类型的问题。

（3）花拉子米知道二次方程有两个根，但是他只取正根，放弃负根和零根。

正因为系数和根都限取正数，所以无法将6种类型的方程联

系起来。但在花拉子米的著作中，一个代数式中的项即可指

数（包括无理数）也可指几何量，这正是优于希腊代数的地

方。

（4）花拉子米采取演算与论证并举的方式来阐述解方程的过程。

（5）他在讨论了6种类型的方程后指出：通过“复原”与“对消”两种变换，

可将其他形式的一次、二次方程化为这6种标准方程。

（6）另一本著作《算术》介绍印度数码的计算方法，通过这本书，欧洲人才

了解到印度的数码和记数系统。

（7）放弃了符号

（8）《算术》中给出了“0”，以及0在十进位制数值中的作用及其运算规则，