材料力学 静定外伸梁的剪力图和弯矩图 解题过程
画出下面梁的剪力图和弯矩图。
1.问题分析：属于受集中力、均布力的外伸梁，静定梁。
2.将A点的固定支座去掉，以F AX、F Ay代替支座反力。将B点的滑动支座去掉，以F B代替支座反力，如下图所示。
利用静力平衡方程求解如下：
∑F x=0，得出：F AX=0（1）
∑F Y=0，得出：F AY+F B=30+20×2+40（2）
∑M B=0，得出：−30×6+F AY×4−20×2×1+40×2=0（3）
由方程（1）、（2）、（3）解得：F AY=35kN，F B=75kN
3.剪力图
求解出未知的支座反力后，梁的受力如下图所示。
如果认为剪力比较简单，可直接画出剪力图。
如果直接画出有些困难，可以分段列出梁的剪力方程，根据每段的剪力方程，分段画出剪力图。剪力的正负按照“左上右下，剪力为正”来判断。剪力
方程如下：
CA段：F s1=−30kN 0 AE段：F s2=−30+35=5kN2≤x≤4 EB段：F s3=−30+35−20×(x−4)=−20x+854≤x≤6当x=6时，F s3=−35kN BD段：F s4=−30+35−20×2+75=40kN6 4.弯矩图 如果认为弯矩比较简单，可直接画出弯矩图。 如果直接画出有些困难，可以分段列出梁的弯矩方程，根据每段的弯矩方程，分段画出弯矩图。弯矩的正负按照“左顺右逆，弯矩为正”来判断。弯矩方程如下： CA段：M1=−30x0 AE段：M2=−30x+35(x−2)=5x−702≤x≤4当x=4时，M2=−50kNm EB段：M3=−30x+35(x−2)−20×(x−4)×x−4 2 =−10x2+85x−2304≤x≤6对上式求“最大值点”，以便画弯矩图。 当x=4.25时，M3max=−49.375kNm BD段：M4=−30x+35(x−2)−20×2×(x−5)+75×(x−6) =40x−3206 此段的弯矩图也可由右侧的剪力直接画出。 剪力图和弯矩图如下图所示。 第二章杆件的内力.截面法 一、基本要求 1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念； 2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力； 3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。 当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为 的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数，即) () (S S x M M x F F == 上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。 5）剪力图和弯矩图 为了直观地表达剪力F S 和弯矩M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种： （1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为： 第一，求支座反力。 第二，根据截荷情况分段列出F S (x )和M (x )。 在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。 第三，求控制截面内力，作F S 、M 图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，F S =0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。并注明 ma x ma x M F S 、的数值。 （2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。 载荷集度q （x ）、剪力F S （x ）与弯矩M （x ）之间的关系为: )() (S x q dx x dF = )() (S x F dx x dM = )() ()(S 2 2x q dx x dF dx x M d == 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。 (a)若某段梁上无分布载荷，即0)(=x q ，则该段梁的剪力F S （x ）为常量，剪力图为平行于x 轴的直线；而弯矩)(x M 为x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 (b)若某段梁上的分布载荷q x q =)(（常量），则该段梁的剪力F S （x ）为x 的一次函数，剪力图为斜直线；而)(x M 为x 的二次函数，弯矩图为抛物线。当0>q （q 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当0 第5章弯曲内力 教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。 教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内力计算。 教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：平面弯曲等基本概念；截面法求梁弯曲内力；剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图；用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪 力图和弯矩图。 教学学时：6学时。 教学提纲： 5.1 弯曲的概念和实例 5.1.1简单回顾杆件的变形特征 杆件的整体变形有以下几种基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲以及它们的组合。 1、轴向拉伸或压缩 受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向 相反，且作用线与杆件轴线重合。 变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。 2、剪切 受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 变形：杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。 3、扭转 受力：在垂直于杆件轴的横截面内，分别作用两个绝对值相等，转向相反的两个力偶。变形：任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 4、弯曲 受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶，或在垂直于杆件轴线方向上作用横向力。 变形：杆件轴线由直线变为曲线。 组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。 5.1.2 弯曲的概念 1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例 ()()()()????? ? ?轧板机的轧辊镗刀刀杆 火车轮轴桥式起重机大梁 4321 3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面） ②载荷作用在对称平面内 在此前提下，可讨论杆件弯曲的 受力特点：所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内： 变形特点：杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线。 受力、变形具有上述特点的弯曲称为平面弯曲。 画出下面梁的剪力图和弯矩图。 1.问题分析：属于受集中力、均布力的外伸梁，静定梁。 2.将A点的固定支座去掉，以F AX、F Ay代替支座反力。将B点的滑动支座去掉，以F B代替支座反力，如下图所示。 利用静力平衡方程求解如下： ∑F x=0，得出：F AX=0（1） ∑F Y=0，得出：F AY+F B=30+20×2+40（2） ∑M B=0，得出：−30×6+F AY×4−20×2×1+40×2=0（3） 由方程（1）、（2）、（3）解得：F AY=35kN，F B=75kN 3.剪力图 求解出未知的支座反力后，梁的受力如下图所示。 如果认为剪力比较简单，可直接画出剪力图。 如果直接画出有些困难，可以分段列出梁的剪力方程，根据每段的剪力方程，分段画出剪力图。剪力的正负按照“左上右下，剪力为正”来判断。剪力 方程如下： CA段：F s1=−30kN 0 1轴向拉伸与压缩 例1-1 如图所示的等截面直杆，受轴向力F 1=15kN ，F 2=10kN 的作用。试分别求出杆件1-1、2-2截面的轴力，并画出轴力图。 F 2 F 2 C 2 2 2 2 F 1 1 1 1 1 B F 1 A F R F R F N1 F 1 F N2 F R F N 10kN 5kN 图1-1 解： （1）外力分析 先解除约束，画出杆件的受力图。 120,0x R F F F F = -+=∑ 得： ()121510kN 5kN R F F F =-=-= （2）内力分析 外力F R 、F 1、F 2将杆件分为AB 段和BC 段， 在AB 段，用1-1截面将杆件截分为两段，取左段为研究对象，右段对截面的作用力用F N1来代替。假定内力F N1为正，列平衡方程 10,0x N R F F F = +=∑ 得： 15kN N R F F =-=- 负号表示F N1的方向和假定方向相反，截面受压。 在BC 这一段，用任意2-2截面将杆件分为两段，取左段为研究对象，右段对左段截面的作用力用F N2来代替。假定轴力F N2为正，有平衡方程 2100x N R F F F F = +-=∑ 得： ()21515kN N R F F F =-+=-+ =10kN （3）画轴力图 由以上例题可以总结出求截面轴力的简捷方法：杆件任意截面的轴力F N （x ）等于截面一侧所有外力的代数和。即1n N i i F F ==∑，外力背离 该截面的时取正，指向该截面时取负。 例1-2 如图所示为正方形截面阶梯杆，受力及尺寸如图所示。试分析杆上1截面处和2截面处的正应力。 F F 2h h 1 2 （a ） 材料力学剪力图弯矩图绘制（有详细的程序） 说明： 输入变量: 分段数组x 分段点一般在集中力，集中力偶作用出和分布载荷的起末端。 载荷数组MPQ 若梁上的外载荷总数为PN，则用PN行四列的数组MPQ储存载荷，数组MPQ第一列代表载荷的类型：1为集中力偶，2为集中力，3为分布载荷，第二列代表载荷的大小，第三列代表集中力，集中力偶或者分布载荷左端与简支梁左端的距离，第四列代表均匀载荷右端与简支梁左端的距离，当载荷为集中力或者集中力偶时，第四列为0. 符号规定 集中力和均匀载荷向下为正，向上为负，集中力偶顺时针为正，逆时针为负。 输出变量: 内力数组XQM 如果梁被分为NN-1段，则内力数组XQM为NN行，三列的数组，第一列代表梁的横截面的位置，第二列代表剪力，第三列代表弯矩。 剪力极值及位置QDX QDX是一个二行二列的数组，第一列代表极值所在的位置，第二列代表极值 弯矩极值及位置MDX MDX是一个二行二列的数组，第一列代表极值所在的位置，第二列代表极值 1.子程序 1.1集中力偶对弯矩贡献的子函数QMM 1.2集中力对剪力和弯矩贡献的子函数QMP 1.3分布载荷对剪力和弯矩贡献的子函数QMQ 1.4求剪力和弯矩极值的子函数MAX_MIN 1.5绘制剪力图和弯矩图的子函数TU_QM 2.计算分析程序 2.1简支梁QMDJ 2.2左端固定悬臂梁QMDXZ 2.3右端固定悬臂梁QMDXY 2.4左端外伸梁QMDWZ 2.5右端外伸梁QMDWY 2.6两端外伸梁QMDWL 1.子程序 1.1集中力偶对弯矩贡献的子函数QMM function MM=QMM(n,x1,a,M,MM) for j=1:n if x1(j)==a n1=j; end end MM(n1:n)=MM(n1:n)+M; 1.2集中力对剪力和弯矩贡献的子函数QMP function [QQ,MM]=QMP(n,x1,b,P,QQ,MM) for j=1:n if x1(j)==b; n1=j; end end QQ(n1:n)=QQ(n1:n)-P; MM(n1:n)=MM(n1:n)-P*(x1(n1:n)-b); 1.3分布载荷对剪力和弯矩贡献的子函数QMQ function [QQ,MM]=QMQ(n,x1,c,d,q,QQ,MM) for j=1:n if x1(j)>c QQ(j)=QQ(j)-q*(x1(j)-c); MM(j)=MM(j)-0.5*q*(x1(j)-c)^2; end if x1(j)>d QQ(j)=QQ(j)+q*(x1(j)-d); MM(j)=MM(j)+0.5*q*(x1(j)-d)^2; end end 1.4求剪力和弯矩极值的子函数MAX_MIN function [QDX,MDX,XQM]=MAX_MIN(x1,QQ,MM) XQM=[x1',QQ',MM']; [Qmax,i]=max(QQ); Q1=[Qmax,x1(i)]; [Qmin,i]=min(QQ); Q2=[Qmin,x1(i)]; [Mmax,i]=max(MM); M1=[Mmax,x1(i)]; [Mmin,i]=min(MM); 作出图中AB杆的受力图。 A处固定铰支座 B处可动铰支座 作出图中AB、AC杆及整体的受力图。 B、C光滑面约束 A处铰链约束 DE柔性约束 作图示物系中各物体及整体的受力图。 AB杆：二力杆 E处固定端 C处铰链约束 （1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。 （2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。 3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。 4、力的表示方法： （1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！） （2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。 5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。 6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。 约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。 约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处 7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。 8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。 (1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。 (2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。（） 9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。 （1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。 （2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。（） 10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。 约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。（）11、固定铰支座 （1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。 8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。 (2) 取1-1 (3) 取2-2 (4) 轴力最大值： (b) (1) 求固定端的约束反力； (2) 取1-1 (3) 取2-2 (4) (c) (1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面； (2) 取1-1 (3) 取2-2 (4) 取3-3截面的右段； (5) 轴力最大值： (d) (1) 用截面法求内力，取1-1、 (2) 取1-1 (2) 取2-2 (5) 轴力最大值： 8-2 试画出8-1解：(a) (b) (c) (d) 8-5 与BC 段的直径分别为(c) (d) F R N 2 F N 3 F N 1F F F d 1=20 mm 和d 2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F 2之值。 解：(1) 用截面法求出 (2) 求1-1、2-28-6 题8-5段的直径d 1=40 mm ，如 欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求BC 段的直径。 解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力； (2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同； 8-7 图示木杆，承受轴向载荷F =10 kN 作用，杆的横截面面积A =1000 mm 2，粘接面的方位 角θ = 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。 解：(1) (2) 8-14 2=20 mm ，两杆F =80 kN 作用，试校核桁架的强度。 解：(1) 对节点A (2) 列平衡方程 解得： (2) 8-15 图示桁架，杆1A 处承受铅直方向的载荷 F 作用，F =50 kN ，钢的许用应力[σS ] =160 MPa ，木的许用应力[ σW ] =10 MPa 。 解：(1) 对节点A (2) 84 mm 。 8-16 题8-14解：(1) 由8-14得到的关系； (2) 取[F ]=97.1 kN 。8-18 图示阶梯形杆A 2=100 mm 2，E =200GPa ，试计算杆AC 的轴向变形 解：(1) (2) AC 8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A 处承受载荷F 作用。从 F A C B F F F AB F AC 一、回答下列各题（共4题，每题4分，共16分） 1、已知低碳钢拉伸试件，标距mm l 1000=，直径mm d 10=，拉断后标距的长度变为mm l 1251=，断口处的直 径为mm d 0.61 =，试计算其延伸率和断面收缩率。 答：延伸率%25%100100 100 125%100001=⨯-=⨯-= l l l δ 断面收缩率%64%100))(1(%100211=⨯-=⨯-= d d A A A δ 2、试画出图示截面弯曲中心的位置。 3、梁弯曲剪应力的计算公式z z bI QS = τ，若要计算图示矩形截面A 点的剪应力，试计算z S 。 232 3 )84(41bh h h hb S z =+= 4、试定性画出图示截面截面核心的形状（不用计算）。 二、绘制该梁的剪力、弯矩图。（15分） 矩形 圆形 矩形截面中间 挖掉圆形 圆形截面中间 挖掉正方形 h b 4/h A 三、图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于0.20m 的正方形,q=4OKN/m,弹性模量 E 1＝10GPa ；钢拉杆的横截面面积A 2＝250mm 2 ,弹性模量E 2=210GPa 。试求拉杆的伸长l ∆及梁中点沿铅垂方向的位移∆。（14分） 解：杆受到的拉力kN q F N 402 2== m EA l F l N 00228.010 25010210310406 93=⨯⨯⨯⨯⨯==∆- 梁中点的挠度： m I E ql A E l F w l N c 00739.012 2 .0101038421040500114.0384521214 94 314122=⨯ ⨯⨯⨯⨯⨯+ =+=+∆=∆四、砖砌烟窗高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31=，内径m d 22=，自重kN P 20001=，受 m kN q /1=的风力作用。试求：（1）烟窗底截面m m -的最大压应力；（2）若烟窗的基础埋深m h 40=， 基础及填土自重按kN P 10002=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？（20分） 注：计算风力时，可略去烟窗直径的变化，把它看成是等截面的。 F s M m kN q /20=kN 20m kN ⋅160A B C m 10m 2112kN 88kN 20kN 5.6m 40kNm 150.3kNm 160kNm 专题一 梁的内力和内力图 例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。 解：1）求反力 kN 5=A F ，kN 4=B F 2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。 0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F 0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M 3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。 0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F 0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M 4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。 0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F 0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-= 5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。 0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-= 【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体， 两者计算结果一致。一般取外力比较简单的一段进行分析。②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。 图 1 (a) (b) (c) (d) (e) 例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。 解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++ == 取C 截面左段研究，, 2 SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB B F F M Fl == (b) 求A 、B 处约束反力 如图(d)所示，l M F F e B A /== 取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l ++=-=-= 取C 截面左段研究， , 22 e e SC A A e A M M l F F M M F l +=-=-=-⨯= 取B 截面右段研究，, 0e SB B B M F F M l =-=-= (c) 求A 、B 处约束反力 取A + 截面右段研究，2 33, 22248 SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=- 取C -截面右段研究，2, 22248 SC C l ql l l ql F q M q - -=⨯==-⨯⨯=- 取C +截面右段研究，2 , 22248 SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=- 取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --== 图2 (b) (a) q B (c) B 图(d) 一、由外力直接绘制轴力图 例 5.4 如图 5.18(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。 解 根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。 从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N=920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N=640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力 （b ） (a) 突变为0。 例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。 图5.19 解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下： 在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0. 第二章 轴向拉伸与压缩 1、试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并做轴力图。 （1） （2） 2、图示拉杆承受轴向拉力F =10kN ，杆的横截面面积A =100mm 2 。如以α表示斜截面与横 截面的夹角，试求当α=10°,30°,45°,60°,90°时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。 3、一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10GPa 。如不计柱的自重，试求： (1)作轴力图； (2)各段柱横截面上的应力； (3)各段柱的纵向线应变； (4)柱的总变形。 4、(1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变d ε,等于直径方向的 线应变d ε。 (2)一根直径为d =10mm 的圆截面杆,在轴向拉力F 作用下,直径减小0.0025mm 。如材料的弹性摸量E =210GPa ，泊松比ν=0.3,试求轴向拉力F 。 (3)空心圆截面钢杆,外直径D =120mm,内直径d =60mm,材料的泊松比ν=0.3。当其受轴向拉伸时, 已知纵向线应变ε=0.001,试求其变形后的壁厚δ。 5、图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的自重不计。试求： (1) 钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律)； (2) 钢丝在C点下降的距离∆； (3) 荷载F的值。 6、简易起重设备的计算简图如图所示.一直斜杆AB应用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组 [σ=170MPa。试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度成,钢的许用应力] 条件? 7、一结构受力如图所示,杆件AB,AD均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ=170MPa，试选择杆AB,AD的角钢型号。 ] E 材料力学解题指导—晋芳伟 1、图示为某构件内危险点的应力状态（图中应力单位为MPa ），试分别求其第二、第四强度理论的相当应力2r σ、4r σ(3.0=μ）。 解：由图可见，60z Mpa σ=为主应力 之一。因此,可简化为二向应力状态，且有： 40,20,30x y xy Mpa Mpa Mpa σστ==-=。 于是有： 所以： 601=σMPa ， 4.522=σ MPa , 4.323-=σ MPa 2、求如图所示悬臂梁的内力方程,并作剪力图和弯距图，已知P=10KN ，M=10KN ·m 。 解：分段考虑： 1、AC 段： （1）剪力方程为：()10(01)Q x KN m x m =⋅<< (2)弯矩方程为：()10(2)()(01)M x x KN m x m =--⋅≤≤ 2、CB 段： （1）剪力方程为：()0(12)Q x m x m =<< （2）弯矩方程为：()10(12)M x KN m x m =-⋅≤≤ 3、内力图如下: 2max 252.432.4min 4020402030{2 2 MPa σσ⎫-+⎛⎫=±+=⎬ ⎪⎝ ⎭ ⎭ ()()()21232224122331()54188.82r r Mpa Mpa σσμσσσσσσσσσ=-+=⎡⎤=-+-+-=⎣⎦()Q x 10KN ⊕ x ()M x 10KN.m x 3、三根圆截面压杆，直径均为d=160mm ，材料为A3钢(E=206Gpa, 240s Mpa σ=， 200p Mpa σ=,304, 1.12a Mpa b Mpa ==），三杆两端均为铰支，长度分别为123,,l l l ,且123245l l l m ===. 试求各杆的临界压力. 解：1μ=，三根杆的柔度分别为： 可见：1杆适用欧拉公式，2杆适用经验公式，3杆适用强度公式。 4、已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：e1=240´10-6， e2=–160´10—6，弹性模量E=210GPa ，泊松比为 m=0。3, 试求该点处的主应力及另一主应变。 所以，该点处为平面应力状态. 1125 l i μλ'==262.5l i μλ''==3 31.25 l i μλ'''= =1100 λ==257s a b σλ-==()22 112 25364cr cr E d F A KN ππσλ==='2 22()47104 cr cr d F A a b KN πσλ''==-=2 3348234 cr cr s d F A KN πσσ===[]1 1 229 62 121010 (2400.3160)1044.3MPa 10.3 E σεμεμ -'∴=+-⨯=-⨯⨯=-[]2212 96 2 121010 (1600.3240)1020.3MPa 10.3 E σεμεμ-'∴=+-⨯=-+⨯⨯=--12344.3MPa;0;20.3MPa; σσσ∴===- 材料力学试卷1 一、绘制该梁的剪力、弯矩图。 （15分） 二、梁的受力如图,截面为T 字型，材料的许用拉应力[σ+]=40MPa ，许用压应力[σ-]=100MPa 。试按正应力强度条件校核梁的强度。（20分） m 8 m 2m 230 170 30 200 2m 3m 1m M 三、求图示单元体的主应力及其方位，画出主单元体和应力圆。（15分） 30 四、图示偏心受压柱，已知截面为矩形，荷载的作用位置在A点，试计算截面上的最大压应 力并标出其在截面上的位置，画出截面核心的形状。(15分) 五、结构用低碳钢A 3制成，A 端固定，B 、C 为球型铰支，求：允许荷载[P]。已知：E=205GPa ，σs =275MPa ，σcr =338-1.12λ,，λp =90，λs =50，强度安全系数n=2，稳定安全系数n st =3，AB 梁为N 016工字钢，I z ＝1130cm 4，W z ＝141cm 3，BC 杆为圆形截面，直径d=60mm 。 （20分） 六、结构如图所示。已知各杆的EI 相同，不考虑剪力和轴力的影响，试求：D 截面的线位移和角位移。 （15分） 材料力学2 一、回答下列各题（共4题，每题4分，共16分） 1、已知低碳钢拉伸试件，标距mm l 1000 =，直径mm d 10=，拉断后标距的长度变为mm l 1251=， 断口处的直径为mm d 0.61 =，试计算其延伸率和断面收缩率。 2、试画出图示截面弯曲中心的位置。 3、梁弯曲剪应力的计算公式z z QS = τ，若要计算图示矩形截面A 点的剪应力，试计算z S 。 a a 4/h 材料力学作业习题讲解 第二章轴向拉伸与压缩 1、试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力,并做轴力图。（1）（2） 2、图示拉杆承受轴向拉力F =10kN ，杆的横截面面积A =100mm 2 。如以α表示斜截面与横 截面的夹角，试求当α=10°,30°,45°,60°,90°时各斜截面上的正应力和切应力,并用图表示其方向。 3、一木桩受力如图所示。柱的横截面为边长200mm 的正方形,材料可认为符合胡克定律,其弹性模量E =10GPa 。如不计柱的自重，试求： (1)作轴力图； (2)各段柱横截面上的应力； (3)各段柱的纵向线应变； (4)柱的总变形。 4、(1)试证明受轴向拉伸(压缩)的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变d ε,等于直径方向的 线应变d ε。 (2)一根直径为d =10mm 的圆截面杆,在轴向拉力F 作用下,直径减小0.0025mm 。如材料的弹性摸量E =210GPa ，泊松比ν=0.3,试求轴向拉力F 。 (3)空心圆截面钢杆,外直径D =120mm,内直径d =60mm,材料的泊松比ν=0.3。当其受轴向拉伸时, 已知纵向线应变ε=0.001,试求其变形后的壁厚δ。 5、图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝,在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε=0.0035,其材料的弹性模量E=210GPa，钢丝的自重不计。试求： (1) 钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律)； (2) 钢丝在C点下降的距离?； (3) 荷载F的值。 6、简易起重设备的计算简图如图所示.一直斜杆AB应用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组 [σ=170MPa。试问在提起重量为P=15kN的重物时,斜杆AB是否满足强度成,钢的许用应力] 条件? 7、一结构受力如图所示,杆件AB,AD均由两根等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ=170MPa，试选择杆AB,AD的角钢型号。 ] H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 材料力学上机作业 课程名称：材料力学 设计题目：绘制梁的剪力弯矩图 院系：机电工程学院 班级： 分析者： 学号： 指导教师：张桂莲 设计时刻： 2021.6.3 哈尔滨工业大学 一、设计题目 题目4 绘制梁的剪力弯矩图 输入： 1.梁的总长度l 2.支撑条件及量的各区段长度输入（左、右固定端悬臂梁；简支梁；左、 右、双外伸梁） 3.各载荷大小、作用位置及方向（qi、ai、bi；pj、cj、mk、dk） 输出： 1.结构构型图（图示） 2.剪力、弯矩（图示） 3.输出剪力、弯矩的最大值及截面位置。 二、程序介绍 一、简介 本程序编译平台为MATLAB，能够对六种梁（左固定端悬臂梁、右固定端悬臂梁、简支梁、左外伸梁、右外伸梁、双外伸梁）在集中载荷、均布载荷及弯矩作用下的剪力、弯矩进行求解并绘制剪力、弯矩图。本程序基于MATLAB的图形用户界面（GUI）功能，操作简单、运算稳固、界面简约美观，有良好的交互性。 二、程序利用方式 此程序运行环境为安装有MATLAB R2020a或以上版本的运算机。要运行此程序，第一打开MATLAB，在其中打开“KaiShiJieMian.m”文件，在函数编辑窗口里点击运行按钮（或按F5键），程序便开始启动。启动画面如下： 图1 启动界面 点击“进入”即可进入选择梁的类型界面，在此界面中，利用者依如实际情形选择要研究的梁的类型，点击即可进入相应梁的计算界面。例如想要计算双外伸梁，那么点击“6、双外伸梁”即可进入计算界面，假假想返回开始界面，那么点击“返回开始界面”即可。 材料力学例题及解题指导 （第二章至第六章） 第二章拉伸、压缩与剪切 例2-1试画出图a直杆的轴力图 解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内任一截面1-1处将杆件截开，考察左段（图2-5b）。在截面上设出正轴力2。 由此段的平衡方程ZX = 0得 N L 6= 0, N i =+ 6kN 图2-5 理得CD段内任一截面的轴力都是一4kN。 画内力图，以水平轴x表示杆的截面位置, 的比例尺画出轴力图，如图 N i得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就表明轴力是正的。AB段内任一截面的轴力都等于+6kN。 再求BC段轴力，在BC段任一截面2-2处将杆件截开，仍考察左段（图2-5C）,在截面上仍设正的轴力N 2,由ZX= 0得 —6 + 18+ N2 = 0 N2=- 12kN N2得负号说明原先假设拉力是不对的 （应为压力），同时又表明轴力N2是负的。 2-5 （d）所示。由此图可知数值最大的轴力发生在 BC段内任一截面的轴力都等于—12kN。同以垂直x的坐标轴表示截面的轴力，按选定 BC段内。 解题指导：利用截面法求轴力时，在切开的截面上总是设出正轴力N，然后由3X= 0求出轴力N ,如N得正说明是正轴力（拉力），如得负则说明是负轴力（压力）。 例2-3图2-7所示两根圆截面杆材料相同，试计 算两杆的应变能，并比较其大小。 解：a 杆: U a P 2 丨=P 2 l _ 2 2EA 2E 「：d 4 二 2 P l E d 例2-2试求自由悬挂的直杆（图2-6a ） 由 纵向均匀分布荷载 q （力/长度）引起 的应力和纵向变形。设杆长 I 、截面积A 及弹性模量E 均已知。 解：在杆上距下端为 x 处取一任意横 截面m-m ,则该截面轴力为 N （x ）= qx , 根据此式可作出轴力图如图 2-6b 所示。 m-m 截面的应力为 （x ） = N （x ）/A = qx/A 。 显然，悬挂端有最大轴力 N max = ql 及最 大正应力■- 'max =ql / A 。 段出发。在x 处取微段dx ,其纵向伸长可写为 杆件的总伸长 研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此 时单位杆长的分布力 q =A1 ,此处 是材料单位体积的重量即容重。将 q 代入上式得到 Al 2 Al I Gl -2EA - 2EA - 2EA 此处G = Al 是整个杆的重量。上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于 下端时伸长的一半。 解题指导：对于轴力为变数的杆，利用虎克定律计算杆件轴向变 形时，应分段计算变形，然后代数相加得全杆变形，当轴力是连续函 数时则需利用积分求杆变形。 (b) 图2-6 求杆纵向变形, 由于各横截面上轴力不等, 不能直接应用公式（2-4）,而应从长为dx 的微 .：dx 二 N xdx EA i °xdx 二 ql 2EA (a) 杆 7/ (a) 图2-7 材料力学-学习指导及习题答案 第一章绪论 1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。 解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。 1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。 解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故 σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPa τ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa 1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。 解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力 F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN 其力偶即为弯矩 M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m 1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。 解： 第二章轴向拉压应力 2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。 解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F (b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F (c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN (d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN 2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。 解：因BC与AB段的正应力相同，故材料力学第二章详细讲解
材料力学教案 第5章 弯曲内力
材料力学 静定外伸梁的剪力图和弯矩图 解题过程
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