1.6子集与推出关系 学案
第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系
【知识讲解】
集合与命题
集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。 集合 元素的性质（命题）
}5|{>=x x A 5>x
{}3>=x x B
3>x
（2）子集与推出关系
因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ?。 反之，如果B A ?，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。 因此，“B A ?”与“35>?>x x ”等价。 集合 元素的性质（命题）
}5|{>=x x A 5>x
{}3>=x x B
3>x B A ?
35>?>x x
把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}
β具有性质b b B =，则“B A ?”与“βα?”等价。 集合 元素的性质（命题） {}
α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =
β B A ?
βα? B A ? βα?
B A = βα?
[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，
再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。
例题分析
例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。
例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。
例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值
范围。
巩固练习
1.下列说法不正确的是 。 ① 2 2.试用子集与推出关系判断命题A 是B 的什么条件？ （1）A:该平面图形是四边形 B:该平面图形为梯形 （2）A: 3x =,B: (3)(4)0x x --= （3）A: 1x ≠-，B: 1x ≠ 3.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C ．充要条件 D 、既不充分也不必要条件 4.已知条件y x p 、:不都为1-，2:-≠+y x q ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C ．充要条件 D 、既不充分也不必要条件 四、课堂小结 课后作业： 1.用子集与推出关系来说明α 是β什么条件 （1）αβ：a+b=3,:a=1且b=2,则α 是β的 条件； （2）0,x y x y x y αβ+：=+,:则α 是β的 条件； ； （3）41x x αβ：是奇数,:被除余，则α 是β的 条件；； （4）x y x y αβ+：1，1,:2,则α 是β的 条件； （5）ABC ABC αβ：三角形是等腰三角形,:三角形是直角三角形， 则α 是β的 条件条件； 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1.2 集合之间的关系 【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合，若A B ?且B C ?，试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >； (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}； (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?; (2){,}C a b ; (3){1,2,3} {1,2,3,4,5}C ?. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. . 1.2 集合之间的关系 【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作________或________，读作 或者_________________； (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ； (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 叫做集合 2021-2022年高一数学子集、全集、补集 教学目标： 1．使学生进一步理解集合的含义，了解集合之间的包含关系，理解掌握子集的概念； 2．理解子集、真子集的概念和意义； 3．了解两个集合之间的相等关系，能准确地判定两个集合之间的包含关系．教学重点： 子集含义及表示方法； 教学难点： 子集关系的判定． 教学过程： 一、问题情境 1．情境． 将下列用描述法表示的集合改为用列举法表示： A＝{x|x2≤0}，B＝{ x|x＝(－1)n＋(－1)n+1，n?Z}； C＝{ x|x2－x－2＝0}，D＝{ x|－1≤x≤2，x?Z} 2．问题． 集合A 与B 有什么关系？ 集合C 与D 有什么关系？ 二、学生活动 1．列举出与C 与D 之间具有相类似关系的两个集合； 2．总结出子集的定义； 3．分析、概括两集合相等和真包含的关系的判定． 三、数学建构 1．子集的含义：一般地，如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素，（即 若a ∈A 则a ∈B ），则称集合A 为集合B 的子集，记为AB 或BA ．读作集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ． 用数学符号表示为：若a ∈A 都有a ∈B ，则有A B 或B A ． （1）注意子集的符号与元素与集合之间的关系符号的区别： 元素与集合的关系及符号表示：属于∈，不属于； 集合与集合的关系及符号表示：包含于． （2）注意关于子集的一个规定：规定空集 是任何集合的子集．理解规定 的合理性． （3）思考：AB 和BA 能否同时成立？ 元素与集合是个体与群体的关系，群体是 （4）集合A与A之间是否有子集关系？ 2．真子集的定义： （1）A B包含两层含义：即A＝B或A是B的真子集． （2）真子集的wenn图表示 （3）A＝B的判定 （4）A是B的真子集的判定 四、数学运用 例1 （1）写出集合{a，b}的所有子集； （2）写出集合{1，2，3}的所有子集； {1，3}{1，2，3}，{3}{1，2，3}， 小结：对于一个有限集而言，写出它的子集时，每一个元素都有且只有两种可能：取到或没取到．故当集合的元素为n个时，子集的个数为2n．例2 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用Venn图表示． 例3 设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，若B≠，B A，求a，b的值． 小结：集合中的分类讨论． 练习：1．用适当的符号填空． （1）a＿{a}；（2）d＿{a，b，c}； 1.6子集与推出关系 一、教学内容分析 这节内容是本教材新增内容，探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。在第一章中，继集合的有关内容、四种命题形式、充分条件与必要条件之后进行学习，将集合与命题加以沟通，融为一体，是对本章知识的一个完善，体现了数学知识的统一性，并有助于学生更深刻地领会有关概念，提高综合运用能力。 二、教学目标设计 了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系，学会运用。 三、教学重点及难点 集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用。 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、复习引入 1、复习： （1）集合的表示方法以及集合之间的关系。 （2）命题与推出关系。 2、思考： 集合与命题之间有什么联系。 [说明]复习相关知识，从本章的课题“集合与命题”引入新课。 二、学习新课 1．建立联系 （1）集合与命题 集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。 合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。 （2）子集与推出关系 因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ?。 反之，如果B A ?，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。 因此，“B A ?”与“35>?>x x ”等价。（填入上表） “B A ?”与“βα?”等价。（证明略） 再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。 2．例题分析 例1：判断命题1:=x α，1:2 =x β之间的推出关系。 解：设{} 1==x x A ，{} 12 ==x x B ，{}1=A ，{}1,1-=B ，A B ≠ ∴? 因此βα?。 集合间的基本关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. （四）教学过程 图表示为： =2}. }. 备选训练题 例1 能满足关系{a ，b }?{a ，b ，c ，d ，e }的集合的数目是（ A ） A ．8个 B ．6个 C ．4个 D ．3个 【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ，b ，且为{a ，b ，c ，d ，e }的子集，所以A 中元素就是在a ，b 元素基础上，把{c ，d ，e }的子集中元素加上即可，故A = {a ，b }，A = {a ， b ， c }，A = {a ，b ， d }，A = {a ，b ， e }，A = {a ，b ，c ，d }，A = {a ，b ，c ，e }，A = {a ，b ，d ，e }，A = {a ，b ，c ，d ，e }，共8个，故应选A. 例2 已知A = {0，1}且B = {x |x A ?}，求B . 【解析】集合A 的子集共有4个，它们分别是：?，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {?，{0}，{1}，{0，1}}. 例3 设集合A = {x – y ，x + y ，xy }，B = {x 2 + y 2，x 2 – y 2，0}，且A = B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B . 【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A . 若x + y = 0或x – y = 0，则x 2 – y 2 = 0，这样集合B = {x 2 + y 2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y ≠0，x – y ≠0. ∴22 220 xy x y x y x y x y =?? -=-??+=+? （I ） 或22 220xy x y x y x y x y =?? -=+??+=-? （II ） 由（I ）得：00x y =?? =?或01x y =??=?或1 0x y =??=? 由（II ）得：00x y =?? =?或01x y =??=-?或1 0x y =??=? ∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去. 当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴01x y =?? =?或0 1x y =??=-? ， ∴A = B = {0，1，–1}. 例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B A ?，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3，5}，∵B A ?，所以 子集、全集、补集 教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系. 教学重点：子集的概念，真子集的概念. 教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算. 课 型：新授课 教学手段：讲、议结合法 教学过程： 一、创设情境 在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系 二、活动尝试 1．回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图 2．用列举法表示下列集合： ①32{|220}x x x x --+= {-1，1，2} ②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50} 3．用描述法表示集合：1111{1,,,,}2345 *1{|,5}x x n N n n =∈≤且 4．用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”{||2|3}x Z x ∈-=={-1，5} 5．问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性） （1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2} （2）A=N ，B=R （3）A={x x 为北京人}，B= {x x 为中国人} (4)A ＝?，B ＝{0} （集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素） 三、师生探究 通过观察上述集合间具有如下特殊性 (1)集合A 的元素-1，1同时是集合B 的元素. (2)集合A 中所有元素，都是集合B 的元素. (3)集合A 中所有元素都是集合B 的元素. (4)A 中没有元素，而B 中含有一个元素0，自然A 中“元素”也是B 中元素. 由上述特殊性可得其一般性，即集合A 都是集合B 的一部分.从而有下述结论. 四、数学理论 1.子集 定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素 都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集 合A.记作A ?B （或B ?A ），这时我们也说集合A 是集合B 的子集. 请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义. 2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真 指定子集个数的集合划分 实验名称指定子集个数的集合划分系别信科院 姓名曾会蜜学号3090717116班级计本09-1 实验地点1409J日期2011年10月实验时数4 指导教师叶苗同组成员独立完成成绩 ?实验目的及要求 ?明确递归和递推的基本概念 ?用递归和递推解决指定子集个数的集合划分问题 ?通过本例掌握递归和递推的程序设计方法 ?实验环境及相关情况（包括使用的软件、实验设备） ?工具软件：Microsoft visual C++ 6.0 ?硬件：主板，鼠标，键盘，显示器，U盘 ?操作系统：Windows 7 ?实验内容及步骤（包括简要的实验步骤流程） 1.根据题目确定思路,划分集合,可以找出其中的逻辑关系. 2.根据逻辑关系,运用递归的算法来求,划分为两种情况对于一种情况，等价于把前n-1个元素分成m-1份，然后n号元素单独放。对于第二种情况，等价于把前n-1个元素分成m份，然后把n号元素放入这m个集合中的一个（也就是说有m种放法） 那麽总数就是 F(n,m) = F(n-1,m-1) + m * F(n-1,m) 3.根据分析建立递推方程 ?实验结果（拷贝屏幕，加上必要的文字说明） 四.源代码 1.#include 1.2 集合之间的关系 【知识解读】 1、集合与集合之间的关系： （1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中______元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集 合B 的子集，记作_______（或B A ?），读作“___________”或“B 包含A ”。 如：每个整数都是有理数，就是说：整数集中Z 的每个元素都属于有理数集Q ，即Z Q ?，同理Q R ?，即N _____Z ______Q ______R ； 注意: 任何集合都是它自身集合的子集，如A_____A 。 （2）相等的集合：对于集合A 和B ，如果______且_______，那么叫做集合A 与集合B 相等。 记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”。因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等。 注意: 当A=B 时，A 一定是B 的子集，B 一定是A 的子集，即A=B ,A B B A ???。 （3）真子集：对于两个集合A ，B ，如果________，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么 集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ___ B 或（B _____A ），读作“A 真包于B ”或是“B 真包含A ”。由真子集的定义可见，真子集是子集关系中的特殊关系。 如：对于数集N ，Z ，Q ，R 来说，有N _____ Z _______ Q _______ R ； 注意： 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 2、有关有限集的子集个数的结论： 若集合A 是含有n 个元素的有限集，则集合A 的子集共有____________个， 集合A 的非空子集有__________个，集合A 的非空真子集有_____________个； 【例题讲解】 例1、 确定实数,x y ，使{}{}2,7,4x x y +=。 例2、确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系； （1）{|A n n =为12的正约数 }与}{1,3,2,4,6,12B =； （2）}{ *|2,C m m k k N ==∈与{|D m m =为4的正整数倍数}。 第十三讲：充分、必要条件与子集推出关系 【复习要求】 1．理解命题的概念。 2．理解四种命题之间的内在联系； 3．掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定； 【复习重点】 1. 充分条件、必要条件的概念。 2. 子集与推出关系等价性的理解与应用； 3. 掌握判断命题推出关系的方法。 【复习难点】 1. 判断命题的充分条件、必要条件。 2. 子集与推出关系等价性的证明； 3. 确定参数范围和判断推出关系。 【知识梳理】 一、充分条件与必要条件 我们在上一节课学习了命题与推出的关系，命题的四种形式，等价命题，你能分别概括出它们的内容和性质吗？ 如：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？ （1）若2 2 x a b >+，则2x ab >, （2）若0ab =，则0a =. 易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题． 讨论：对于命题“若p ，则q ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？ 我们将由此推出关系，引入新的概念： 给出定义：命题“若p ，则q ” 为真命题，是指由p 经过推理能推出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立． 换句话说，只要有条件p 就能充分地保证结论q 的成立，这时我们称条件p 是q 成立的充分条件． 一般地，“若p ，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ．这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ?q ． 1、充分与必要条件的概念： （1）充分条件：若αβ?，则α是β的充分条件； （2）必要条件：若βα?，则α是β的必要条件； （3）充要条件：若既有αβ?，又有βα?，则α是β的充分必要条件，简称充要条件， β也是α的充要条件。 2、推出关系具有传递性：若αβ?，βγ?，则αγ?，若αβ?，βα?，则αβ?，称α与β等价。 3、充要条件的证明： 证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈＝ 分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空． 例2 列举集合{1，2，3}的所有子集． 分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个． 解含有个元素的子集有：； 0? 含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}； 含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个． 说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ? 例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________． 分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}． 答 共3个． 说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束． 例设为全集，集合、，且，则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形． 答 选C ． 说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便． 点击思维 例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B ．＝．．．≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1， y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ． 说明：要注意集合中谁是元素． M 与P 的关系是 [ ] A ．M ＝ U P B ．M ＝P C M P D M P ．．≠?? 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除 )的方法；二是利 用补集的性质：M ＝ U N ＝ U ( U P)＝P ；三是利用画图的方法． 集合X ={1,2,…n}的几种特殊子集个数浅探 陈晶晶1 高爱平 2Ξ (1、武汉科技学院外经贸学院,湖北 武汉 430079;2、阳江职业技术学院,广东 阳江 529566) 摘 要:设集合X ={1,2,…n},本文给出了下列定义:集合X 中距离大于m 的子集,距离小于m 的子集,距离等于m 的子集,文中把求集合X 的这些特殊的子集的个数转化为求相应方程的整数解的个数,并且讨论了这些特殊子集个数之间存在的联系,其中对方程整数解个数的求解主要借助于Ⅱ型分配中的普母函数. 关键词:集合;子集;一一对应;Ⅱ型分配;普母函数中图分类号:O144 文献标识码:A 文章编号:1672-0768(2003)05-0005-03集合X ={1,2,…n}的不含相邻整数的K 元子集的个数在[1]中有精确的求解,如果把X 的k 元子集中的元素按从小到大排列依次记为a 1,a 2,a k ,那么满足条件a i +1-a i >m 的k 元子集的个数在[2]的习题中也有结论,但是这个结论从何而来,并且如果满足条件a i +1-a i 集合的划分与子集族（即奥林匹克小丛书《集合》一册的第4、5讲） 一、集合的划分 例1、将集合{}1,2,,1989 分为117个互不相交的子集()1,2,,117i A i = 使得： （1）每个i A 都含有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和都相同。 例2、对一个由非负整数组成的集合S ，定义()s r n 是满足下述条件的有序对()12,s s 的对数：12,s s S ∈ 且1212,s s s s n ≠+=，问能否将非负整数集分划为两个集合A 和B ,使得对任意n 均有()()A B r n r n = 例3、设集合{}1,2,,A m = ，求最小的正整数m ，使得对A 的任意一个14-分划1214,,,A A A ， 一定存在某个集合()114i A i ≤≤，在i A 中由两个元素,a b ，满足43b a b <≤ 例4、证明：可以把自然数集分划为100个非空子集，使得对任何3个满足关系式99a b c +=的自然 数,,a b c ，都可以从中找出两个数属于同一子集 例5、设集合12,,,n A A A 和12,,,n B B B 是集合M 的两个n -分划，已知对任意两个交集为空集的集合(),1,i j A B i j n ≤≤，均有i j A B n ≥ ，求证：2 2 n M ≥ 例6、设自然数分划成r 个互不相交的子集：12r N A A A = ，求证其中必有某个子集A ，它具有如下性质P ：存在,m N ∈使对任何正整数k ，都能找到12,,,k a a a A ∈ ，满足 11,11j j a a m j k +≤-≤≤≤- 例7、将正整数集拆分成两个不相交的子集,A B ，满足条件：（1）1A ∈；（2）A 中没有两个不同的元素，使它们的和形如()220,1,2,k k += ；（3）B 中也没有两个不同的元素，其和具有上述形式。 证明：这种拆分可以以惟一的方式实现，并确定2007,2008,2009所属的子集 例8、平面上横纵坐标均为有理数的点叫有理点，求证：平面上的全部有理点可以分成3个两两互不相交的集合，满足条件：（1）在以每个有理点为圆心的任一圆内一定包含3个点分属这3个集合； （2）下任何一条直线上都不可能有3个点分属这3个集合 例9、设{}{}1,2,,2008,1004,2009,3014A M == ,对A 的任一非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果1212,,A A A A A ==? 且12,A A 均为M -自由集，那么称有序对为()12,A A 为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数 二、C 族 例10、试证：任一有限集的全部子集可以排定次序，使得任何相邻的两个子集都相差一个元素 1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0 xy >0等价于??? x <0 y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的 专题1.1 集合间的基本关系——子集与真子集、空集及集合个数 一．选择题（共10小题） 1．（2020春?宣城期末）从集合{a，b，c}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a}子集的概率是（） A．3 5 B． 2 5 C． 1 4 D． 1 8 2．（2020春?沙坪坝区校级期末）集合A＝{﹣2，1，2，3}的真子集个数为（）A．16B．15C．14D．13 3．（2020?沙坪坝区校级模拟）已知集合A＝{x|x2＜2，x∈Z}，则A的真子集共有（）个． A．3B．4C．6D．7 4．（2020?丰台区二模）集合A＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}的子集个数为（）A．4B．6C．7D．8 5．（2020春?新市区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则集合A各子集中元素之和为（） A．320B．240C．160D．8 6．（2020?茅箭区校级模拟）已知集合A＝{x∈N|x2﹣4x﹣21≤0}，则集合A中的元素个数为（） A．11B．8C．10D．7 7．（2019?辽宁一模）若集合A＝{x|1≤x＜2}是集合B＝{x|x＞b}的子集，则实数b的范围是（） A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤2D．b＜1 8．（2020春?河南期末）已知集合{|224}x A x =<<， {|B y y ==，}x A ∈，则下列 关系中正确的是( ) A ．A B ? B ．A B ? C ．A B = D ．A B =? 9．（2020春?沙坪坝区校级月考）已知非空集合A ?{x ∈N |x 2﹣x ﹣2＜0}，则满足条件的集合 A 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．（2020?湖北模拟）已知集合{|A x y ==，集合{|}B x x a =，若A B ?，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2]- C ．(2,)+∞ D ．[2，)+∞ 二．填空题（共5小题） 11．（2020春?九江期末）设集合A ＝{﹣1，1，m }，B ＝{m 2，1}，且B ?A ，则实数m ＝ ． 12．（2020?浦东新区三模）已知集合A ＝{﹣1，0，a }，B ＝{x |1＜2x ＜2}，若A ∩B ≠?，则 实数a 的取值范围是 ． 13．（2019秋?青州市校级月考）设集合A ＝{x |x 2+2x ﹣a ＝0，x ∈R }，若A 是空集，则实数a 的取值范围是 ． 14．（2020?徐汇区校级期末）已知复数a ，b 满足集合{﹣a ，b }＝{a 2，b +1}，则ab ＝ 15．（2020?溧阳市期中）设M ＝{m ，2}，N ＝{m +2，2m }，且M ＝N ，则实数m 的值是 ． 三．解答题（共4小题） 16．（2020?中山市期末）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}． （1）集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ?A ，求实数a 的取值范围； （2）对任意x ∈B ，都有函数f （x ）＝x 2﹣kx +3+k ＞0，求实数k 的取值范围． 1.1集合及子集的有关概念 一、 考纲解析与复习目标：理解集合、子集的概念，了解空集的意义，了解属于、包含、相等 关系的 意义，掌握有关术语和符号，并会用它们正确表示集合 二、 知识梳理： 1、集合的基本概念： （1） 一般地，我们把 _________ 统称为元素，-把 _________ 组成的 _______ 叫做集合?集合中的元素具 有 ___________ 性、___________ 性、 __________ 性等特性. （2） ____________________________________ _______________________ 叫空集，记作 . （3） 集合表示方法主要有 ________ 法、 ________ 法，也常用区间和文氏图表示集合 . （4）常见数集符号： N g ,N ,Z,Q,R,C （5）元素与集合之间的关系：“属于”、“不属于”，符号表示为 2、集合与集合的关系： （1） 子集的概念（AUB ）: ______________________________ . （2） 子集的性质：① ________ ，② ___________ ，③ ______________ . （3） 真子集、集合相等的概念及符号表示： _____________________ . （4） _______________________________________________________________ 含n 个元素的集合 A 的所有子集的个数是 _______________________________________________________ 3、几点注意：（1）考虑集合问题应有“空集优先”意识； （2）集合用描述法表示时，要分析代表 元素是什么，尤其分清“数集”与“点集” ，还要分析清楚元素的限制条件； （3）集合中的确定参 数值的问题，要注意集合中元素性质的检验； （4）解题时注意分类讨论、 数形结合等数学思想方法 三、典型例题： （2）下列命题中真命题的个数是 _______ 个 2、用列举法表示下列集合 1、（ 1）下列选项不能形成集合的的 是 A 、大于2的全体实数 （） B 、不等式3x 5 2的所有解 C 、直线y 3x 1上所有点 D 、x 轴附近的点 ①0 ② { }③0 {0}④ {a}⑤ {0} (3)设集合A {x, x 2 x ｝，则x 须满足的条件是 (1) A x Z (2) B {y y (3) C {(x,y) 6, x N,y N}， x 2 6,x N g , y N g }， (4) D {(x,y) x y 6,x N g , y N g } 第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系 【知识讲解】 集合与命题 集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。 集合 元素的性质（命题） }5|{>=x x A 5>x {}3>=x x B 3>x （2）子集与推出关系 因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ?。 反之，如果B A ?，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。 因此，“B A ?”与“35>?>x x ”等价。 集合 元素的性质（命题） }5|{>=x x A 5>x {}3>=x x B 3>x B A ? 35>?>x x 把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{} β具有性质b b B =，则“B A ?”与“βα?”等价。 集合 元素的性质（命题） {} α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B = β B A ? βα? B A ? βα? B A = βα? [说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系， 再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。 例题分析 例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。 例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。 例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值 范围。 巩固练习 1.下列说法不正确的是 。 ① 2 一集合A的子集个数 1 n个元素每个都有两种选择，即有或没有，那么n个元素就有2^n种 2 有n个元素，每个元素进行一次判断要不要把它选出来放进子集里，。。。这样子判断n次，产生了2^n种不同子集 二若集合A有n个元素，则集合A的子集个数为2^n（即2的n次方）真子集个数是什么非空真子集个数是什么并证明 最佳答案 2^n - 1, 2^n - 2 证：设元素编号为1, 2, ... n。每个子集对应一个长度为n的二进制数, 数的第i位为1表示元素i在集合中，0表示元素i不在集合中。 00...0(n个0) ~ 11...1(n个1) [二进制] 一共有2^n个数，因此对应2^n个子集，去掉11...1(即全1，表示原来的集合A)则有2^n-1个真子集，再去掉00...0(即全0，表示空集）则有2^n-2个非空真子集 比如说集合{a, b, c}元素编号为a--1, b--2, c--3 111 <--> {a, b, c} --> 即集合A 110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中 101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中 ... ... 001 <--> { , , c} 000 <--> { , , } --> 即空集 如果你学过排列组合，可以有更简单的证明。 三关于含有n个元素的集合的真子集个数问题 最近发现这么一类问题，让你求对于含有n个元素的集合，其含有m个元素真子集的个数是多少？（n>m） 这里有一道例题： 1个集合里有10个元素，那么他有3个元素的子集是多少个？ 首先，我们来逐步解决这个问题。 引入一：1个集合里有10个元素，那么他有1个元素的子集是多少个？ 答：这个貌似不用说都知道吧。。。10个。。。这个小学生都会做。。。即有n个 引入二：1个集合里有10个元素，那么他有2个元素的子集是多少个？ 答：这个就有一些难度了，但并不很难，这里有一个思路： 先定住一个元素，然后另一个元素逐渐往后移动，可能我说不清楚，请看图解： （◎定住元素★移动元素☆其他元素，下同） ◎★☆☆☆☆☆☆☆☆ 下一步是： 教学目标: １、理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用集合间的包含关系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题； ２、初步形成逻辑思维能力及等价转化思想，进一步树立辩证唯物主义的观点。 教学重点：集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。 教学难点：灵活运用集合间的包含关系进行推理，解决具体问题。 教学过程： 1、 情景引入 如果α?β，α叫做β的充要条件） ２．引例： 用“?”，“?”，“?”，“?”填空： （１）｛x x 是上海人｝________｛x x 是中国人｝； 我是上海人 ________ 我是中国人 (2) {x|x>５} ________ {x|x>３} ； x>５ ________ x>３ (3) {x|x ２=１}_______ {x|x=１} ； x ２=１ _______ x=１ （ （１） ?；?（２）?；?（３）?；? ） ３．讨论 从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？ （我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的 集合记为B ，若A B ?，则αβ?；反之，若αβ?，则A B ?。） 2、 概念形成 １．定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。 ２．设{}α具有性质a a A =，{} β具有性质b b B =，则“B A ?”与“βα?”等价。 （证明略） 集合 元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B = β B A ? βα? B A ? βα? B A = βα? 【题目】：试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件。 （１）1:=x α，1:2 =x β （２） :α正整数n 被５整除 , :β正整数n 的个位数是５ 【解答】：（１）充分非必要条件；（２）必要非充分条件 说明:体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系。 【属性】：高一（上），集合与命题，子集与推出关系，解答题，易，逻辑思维能力 【题目】：试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系。 （１）{} 12A x x =是的约数 ，{} 36B x x =是的约数 （２）{} 1A x x => ，{} 3B x x => （３）{} A x x =是矩形 ，{} B x x =是有一个角为直角的平行四边形 【解答】：（１）A B ≠ ? （２）A B ≠ ? （３）A B = 【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合，若A B ?且B C ?，试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >； (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}； (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?; (2){,}C a b ü; (3){1,2,3}{1,2,3,4,5}C ?ü. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. . 【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作________或________，读作 或者_________________； (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ； (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作____________或______________. 2.空集?是__________________的子集；空集?是__________________的真子集. 【基础训练】 1.(1)下列写法正确的是（ ） （A ）{0}?ü （B ）0?ü （C ）{0}?∈ （D ）0∈? (2)下列四个关于空集的命题中：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ??≠，则.A ≠? 其中正确的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2.用恰当的符号填空(,,=??) (1){1,3,5} {5,1,3}; (2){|(3)(2)0}x x x -+= 3{| 0}3 x x x -=+; (3){|2}x x > {|2}x x ≥; (4){|,}2n x x n Z =∈ 1{|,}2 x x n n Z =+∈. 3.(1)已知2{,}{2,2}x y x x =，则x = ，y = . (2)2{1,3,}{1,}x x ?，则实数x ∈ . 4.指出下列各集合之间的关系，并用文氏图表示： {|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是菱形}, {|C x x =是矩形},{|D x x =是正方形} 5.类比“?”、“?≠”的定义，请给出符号“?”的定义： 如果 ，则称集合A 不是集合B 的子集，用符号“A B ?”表示，读作“A 不包含于B ”. 6.已知集合M 满足{0,1,2,3,4}M ?且{0,2,4,8}M ?， 写出所有符合条件的集合M . 7.已知2 {1},{|30}A B x x x a ==-+=, ①若A B ü，求实数a 的值;②是否存在实数a 使得A B =？1.2 集合之间的关系(含答案)(优选.)
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高中数学上册 1.6《子集与推出关系》教案(1) 沪教版
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1.2 集合之间的关系(含答案)