(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧
中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b
a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b
a b
a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧
三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')
()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')
0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得
b a b a +='+')
()(η?ξ? 成立。
证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对
)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a =')
(ξ?。再令)()(,)()()(21x x g bx x b a x g ??=-+=，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得a b b a b b a =--+='-'+)
0()1()()()()(??η?η?。因此有)()()()()(η?η?η?ξ?'-+='-'+='b b a b b a a ，移项得：b a b a +='+')
()(η?ξ?。 分析：解1和解2都是应用了柯西中值定理。鉴于所要证明的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位于分式中，因此考虑须用两次柯西中值定理。证法1和解2的不同之处是解1分别从
,)(ξ?'a )(η?'b 出发构造相应的函数。而证法2是先将b a b a +='+')()(η?ξ?移项得：)
()()()()(η?η?η?ξ?'-'+='-+='b b a b b a a ，然后从两边出发构造相应的函数。
例二．设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且)()(b f a f ≠，试证明：存在),(,b a ∈ηξ，使得a
b f f +'=')(2)(ηξξ。 证法1：根据条件，由拉格朗日中值定理，存在),(b a ∈η，使得
))(()()(a b f a f b f -'=-η
令2)(x x g =，在[a,b]上对)(),(x g x f 应用柯西中值定理，得存在),(b a ∈ξ，使得 a
b f a b a f b f f +'=--=')()()(2)(22ηξξ。 证法2：令2)(x x g =，在[a,b]上对)(),(x g x f 应用柯西中值定理，得存在),(b a ∈ξ，使得 22)()(2)(a
b a f b f f --='ξξ。 再令x a b x g )()(+=，在[a,b]上对)(),(x g x f 应用柯西中值定理，得存在),(b a ∈η，使得 2
2)()()()()()()(a b a f b f a a b b a b a f b f a b f --=+-+-=+'η。 综合两式得到存在),(,b a ∈ηξ，使得
a b f f +'=')(2)(ηξξ。 分析：鉴于所要证明的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位于分式中中，因此可考虑用两次柯西中值定理，即证法2。也可用一次柯西中值定理后，
分式中函数值差的部分改用拉格朗日中值定理进行进一步化简，即为证法1的基本思想方法。
例三．设)(),(x g x f 在[a,b]上二阶可导，并且0)(≠''x g ，0)()(==b f a f ，0)()(==b g a g ，试证：
（1）在(a,b)内，0)(≠x g ，
（2）在(a,b)内至少存在一点ξ，使)
()()()(ξξξξg f g f ''''=。 证明：（1）用反证法。假设存在点),(b a c ∈，使0)(=c g 。分别在],[],,[b c c a 上对)(x g 运用罗尔定理，可得存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ，使得0)()(21='='ξξg g 再在],[21ξξ上应用罗尔定理，又可得存在],[213ξξξ∈，使得0)(3=''ξg ，这与题设矛盾。故在(a,b)内，0)(≠x g 。
（2）即证0)()()()(=''-''ξξξξf g g f 。为此作辅助函数：
)()()()()(x f x g x g x f x H '-'=
由于0)()()()(====b g a g b f a f ，故0)()(==b H a H 。在[a,b]上对)(x H 应用罗尔定理得：在(a,b)内至少存在一点ξ，使0)()()()()(=''-''='ξξξξξf g g f H ，从而有)
()()()(ξξξξg f g f ''''=。 分析：该题的证明主要运用了罗尔定理。由于题设中出现了0)()(==b f a f ，0)()(==b g a g ，因此在（1）的证明中可考虑用反证法，通过反复运用罗尔定理导出0)(3=''ξg ，从而推出矛盾，证得结论。而（2）的证明关键在于首先要将欲证的等式变形成某一函数在中值处的导数为零。从中选定一函数对其应用罗尔定理导出结论。
例四.设)(x f 在[-a,a]上连续，在0=x 处可导，且0)0(≠'f 。
（1）求证：)1,0(),,0(∈∈?θa x ，)]()([)()(00x f x f x dt t f dt t f x x θθ--=+??-
（2）求θ+→0
lim x 证明：（1）令??-+=x x dt t f dt t f x F 00)()()(，则)()()(x f x f x F --='。
根据拉格朗日中值定理，),0(a x ∈?，)1,0(∈?θ，使得
)]()([)0)(()0()()(x f x f x x x F F x F x F θθθ--=-'=-=
即)]()([)()(00x f x f x dt t f dt t f x x θθ--=+??-
（2）由于θθθ
θθ+++→→-→'=--=+??002
00
0lim )0(2)()(lim 2)()(lim x x x x x f x x f x f x dt t f dt t f 而运用洛必达法则，)0(2
122)()(lim 2)()(lim 0200
0f x x f x f x dt t f dt t f x x x x '=?--=+++→-→??。因此2
1lim 0=+→θx 。 分析：此题运用的知识点和方法较为综合。既用到了积分上限的函数特性，又用到了拉格朗日中值定理另一种表达方式，以及洛必达法则、函数极限运算法则、导数概念等等。因此要求解题者需具备较扎实的微积分知识基础和一定的函数构造技巧。
例五.证明下列不等式：
（1）b a b a -≤-arctan arctan
（2）当1>x 时，ex e x >
证明：（1）令],[,arctan )(b a x x x f ∈=，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，因此根据拉格朗日中值定理，有))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，b a <<ξ。即
)(11arctan arctan 2
a b a b -+=-ξ，b a <<ξ，故b a b a -≤-arctan arctan （2）设ex e x f x -=)(，由于)(x f 在],1[x 上连续，在),1(x 内可导，因此根据拉格朗日中值定理，有),1(),1)(()1()(x x f f x f ∈-'=-ξξ。即
)1)((--=-x e e ex e x ξ。由于),1(x ∈ξ，所以0)1)((>--x e e ξ，从而当1>x 时，ex e x >。
分析：本例是运用拉格朗日中值定理证明不等式的典型实例。利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤为：（1）从所欲证的不等式中找到含函数值差的表达式，从中选定)(x f 及一闭区间（2）运用拉格朗日中值定理得到一等式（3）利用此等式及b a <<ξ导出欲证的不等式。
例六.设)(x f 在[0,1]上三阶可导，且0)0(,0)1(,1)0(='=-=f f f ，试证：至
少存在一点)1,0(∈ξ，使得
)(!3)1(1)(22
ξf x x x x f '''-++-=， )1,0(∈x 证明：即证至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)(!3)1(1)(22
ξf x x x x f '''-=-+。 令21)()(x x f x -+=Φ，则01)0()0(=+=Φf ，0)0()0(='=Φ'f ，0)1(=Φ。 所以可令：)()1()(2x K x x x -=Φ，下证：!
3)()(ξf x K '''=
。 令)()1(1)()(22x K t t t t f t H ---+=，则
0)(,0)1(,0)0(,0)0(==='=x H H H H 。 根据罗尔定理，在)(t H 的两个零点之间存在)(t H '的一个零点，因此)(t H '在
)1,0(内至少有三个零点。
同理，)(t H ''在)1,0(内至少有两个零点，而)(t H '''在)1,0(内至少有一个零点，记为,ξ即0)(!3)()(=-'''='''x K f H ξξ，从而!
3)()(ξf x K '''=。所以至少存在一点)1,0(∈ξ，使得
)(!3)1(1)(22ξf x x x x f '''-++-=， )1,0(∈x 分析：该题粗看貌似泰勒展开式的证明，但进一步分析发现并非泰勒展开式。其难点在于形式)(!
3)1(2ξf x x '''-的导出。注意到此式中含有中值处的高阶导数，因此可考虑反复用罗尔定理。证明的难点化解是通过将展开式移项、寻求函数零点，引进辅助函数等手段实现。
例七.设)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且0)(≠x f 。试证存在
),(,b a ∈ηξ，使得ηηξ---=''e a
b e e f f a b )()(。 证明：由于x e x f ),(在[a,b]上满足柯西中值定理，故必有),(b a ∈η，使ηηe
f e e a f b f a b )()()('=--。因为)(x f 在[a,b]上满足拉格朗日中值定理，所以存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξf a
b a f b f '=--。于是有 a
b e e e f a b e e e e a f b f f a
b a b a b --?'=--?--='ηηξ)()()()(。
所以存在),(,b a ∈ηξ，使得ηηξ---=''e a
b e e f f a b )()(。 分析：该题的解题思路为先将欲证等式中的两处中值处导数拆开，得
a b e e e f f a b --?'='ηηξ)()(，在对其中ηηe
f )('，可套用柯西中值定理得出a b e e a f b f e f --=')()()(ηη，因此只须再证a
b a f b f f --=')()()(ξ，此式可由拉格朗日中值定理导出。
例八.设抛物线C Bx x y ++-=2与x 轴有两个交点b a b x a x <==,,。另有一函数)(x f 在[a,b]上有二阶导数，且0)()(==b f a f ,如果曲线)(x f y =与C Bx x y ++-=2在(a,b)内有一个交点，求证：在(a,b)内存在一点ξ,使得2)(-=''ξf 。
证明：设曲线)(x f y =与C Bx x y ++-=2在(a,b)内的交点为c 。作辅助函数：)()()(2C Bx x x f x ++--=?。由题设条件可知)(x ?在[a,b]上有二阶导数，且)()()(b c a ???==。在[a,c],[c,b]上对)(x ?应用罗尔定理，存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ，使0)()(21='='ξ?ξ?。在],[21ξξ上再对)(x ?应用罗尔定理，存在),(),(21b a ?∈ξξξ，使得0)(=''ξ?，即02)(=+''ξf 。所以2)(-=''ξf
分析：此题证明的关键在于先将欲证等式化为02)(=+''ξf 。即证相应的函数)()()(2C Bx x x f x ++--=?二阶导数有一个零点。根据题设条件，)(x f y =与C Bx x y ++-=2在三个点处有相等的函数值，因此两者的差)(x ?有三个零点。在其中两个零点构成的区间上分别应用罗尔定理，可得到)(x ?其导数有两个零点，在这两个零点构成的区间上再应用罗尔定理，可得到)(x ?其二阶导数有一个零点。而)(x ?其二阶导数恰好为2)(+''x f 。证明函数的高阶导数有零点，可采用如下常用方法：首先寻找函数的零点，然后在零点之间通过运用罗尔定理求得函数的高一阶导数的零点，在此基础上重复前一过程，最终可得到高阶导数的零点。
例九.设)(x f 在),(+∞a 内可导，且)(lim x f x +∞→存在，证明：0)(lim ='+∞
→x f x 。
证明：在),(+∞a 内任取一点,x 由题设条件知)(x f 在]1,[+x x 上连续、可导。因此在]1,[+x x 上对)(x f 应用拉格朗日中值定理得到：存在)1,(+∈x x ξ，使得)()1(1)()1()(x f x f x
x x f x f f -+=-+-+='ξ。因为当+∞→ξ时，+∞→+1x ，从而+∞→x ，又已知)(lim x f x +∞→存在，所以
0)(lim )1(lim )]()1([lim )(lim =-+=-+='+∞
→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ 所以0)(lim ='+∞
→x f x 。 分析：此题乍看与中值定理联系不大，但通过对题设条件的分析，可以发现条件中含有与导数及函数值有关的信息，因此可以尝试用中值定理证明。而结论中出现了)(lim x f x '+∞
→，可在]1,[+x x 上对)(x f 应用拉格朗日中值定理，并使+∞→x 。由此可导出结论。
例十．设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，证明：202
1)(Ma dx x f a ≤? 其中，)(max 0x f M a
x '=≤≤。 证法1：dx x f dx x f a
a ??≤00)()(，而0)0(=f ，所以应用拉格朗日中值定理得： a x x f x f f x f <<<'==-ξξ0,
)()()0()( 所以Mx x f x f ≤'=)()(ξ。于是有200021)()(Ma xdx M dx x f dx x f a a a
=
≤≤???。 证法2：因为0)0(=f ，所以?'=-=x
dt t f f x f x f 0)()0()()(，a x ≤≤0。而
Mx dt t f dt t f x f x x
≤'≤'=??00)()()(，所以.2
1)()(2000Ma xdx M dx x f dx x f a a a =≤≤??? 分析：该题首先可利用dx x f dx x f a
a ??≤00)()(，将结论化成定积分问题。由于结论中含有导数，因此可考虑对被积函数应用中值定理。再利用定积分性质导出积分值上界。
二、 积分中值定理的应用方法与技巧
例十一.设)(x f 在[0,1]上连续且递减，证明；当10<<λ时，有
??≥λ
λ01
0)()(dx x f dx x f 证明：已知)(x f 在[0,1]上连续且递减，利用积分第一中值定理，有
)]
()()[1()()1()()1()()()1()()()()()(212101100010ξξλλξλλξλλλλλλλλλλ
λλ
λf f f f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f --=---=--=--=-???????
其中1021≤≤≤≤ξλξ。由于)(x f 在[0,1]上连续且递减，所以0)()(21≥-ξξf f ，而当10<<λ时，0)1(>-λλ。所以0)()(010≥-??λλdx x f dx x f ，从而??≥λλ01
0)()(dx x f dx x f 。 分析：定积分的比较若积分区间相同，可考虑借助于定积分关于被积函数满足单调性来证明。若积分区间不相同，则可借助于积分第一中值定理将定积分化成函数值与区间长度乘积，再作比较。
例十二.设)(x f ''在],[b a 上连续，证明存在一点],[b a ∈η，满足
)(12
)()]()([2)(3ηf a b b f a f a b dx x f b
a ''--=+--? 证明：记点))(,()),(,(
b f b B a f a A ，容易发现)]()([2
b f a f a b +-即为线段AB ，直线b x a x ==,及x 轴围成的梯形面积。由于线段AB 的代数方程为：)()()()(a x a
b a f b f a f y ---=-，所以 dx a x a
b a f b f a f b f a f a b b a )()()()()]()([2---+=+-? 从而dx a x a
b a f b f a f x f b f a f a b dx x f b a b
a )()()()()()]()([2)(-----=+--??。 令 )()()()()()(a x a
b a f b f a f x f x R -----= 由于0)()(==b R a R ，故可设)())(()(x K b x a x x R --=。作辅助函数： )())(()()(x K b t a t t R t H ---=，则)(t H 有三个零点x b a ,,。因此应用罗尔定理得)(t H '有两个零点，再一次应用罗尔定理，)(t H ''在],[b a 内有一个零点，记为ξ，ξ与x 有关。即0)(!2)()(!2)()(=-''=-''=''x K f x K R H ξξξ，所以!2)()(ξf x K ''=，从而))((!
2)()(b x a x f x R --''=ξ。于是有
dx b x a x f dx x R b f a f a b dx x f b a b a b
a ))((!
2)()()]()([2)(--''==+--???ξ 由于))((b x a x --在],[b a 上不变号，而已知)(x f ''在],[b a 上连续，根据积分第二中值定理，存在一点],[b a ∈η，使得
)(12
)())((2)())((!2)(3ηηξf a b dx b x a x f dx b x a x f b a b
a ''--=--''=--''??， 从而结论得证。
分析：该题首先将欲证等式右端化为一个定积分，并导出被积函数的简明表达式，再利用积分第二中值定理得到左端表达式。证明技巧要求较高之处为被积函数的简明表达式的推导，这一过程亦有常规可寻，可先找出函数的零点，从而导出函数表达式中的一次因式。其余部分可通过构造辅助函数推得，参见例六。
三、微分、积分中值定理的综合应用方法与技巧
例十三.设)(x f 在[0,1]上可导，且?=-2
/100)(2)1(dx x xf f ，试证明：存在
)1,0(∈ξ，使得ξξξ)
()(f f -='。
证明：令 )()(x xf x F =，则有
)()(2)()(2)1()1(2/102
/10ηηηηηF f dx f dx x xf f F ==?===??，)2
1,0(∈η（积分第一中值定理）。在]1,[η上应用罗尔定理，存在)1,0()1,(?∈ηξ，使得0)(='ξF 。即0)()(=+'ξξξf f ，从而有ξξξ)
()(f f -='。
分析：以上证法是从结论出发，将结论化成,0)()(=+'ξξξf f 即
0|])([='=ξx x xf 。符合罗尔定理的结论特征。结合条件，考虑对函数)(x xf 应用罗尔定理，但通过对端点处函数值的计算，结合积分第一中值定理，发现应用罗尔定理时相应的闭区间并不是[0,1],而是位于其内部的一个闭区间。 例十四.设)(x f 在),(+∞-∞上有连续导数，求
?-→--++a a a dt a t f a t f a
)]()([41lim 20 解：在[-a,a]上应用积分第一中值定理
)
()()()(lim )]()([241lim )]()([41lim 02020a a a f a f a f a f a a dt a t f a t f a a a a
a a --+--+=--+?=--++++→→-→?ξξξξξξ， a a <<-ξ
在],[a a +-ξξ上应用拉格朗日中值定理，
上式)(lim 0
ηf a '=+→，a a a a 22≤+<<-≤-ξηξ )0(f '=
分析：注意到该题的难点之一是所求极限含有形式较为复杂的积分，而被积函数恰为函数值之差，因此可先对结论中形式较为复杂的积分应用积分第一中值定理，将其化为函数值之差，再对其应用拉格朗日中值定理，进一步简化形式，从中易求得所求极限。
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
(整理)中值定理的应用方法与技巧.
中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。 1、所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 ②原函数法 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 ②柯西定理 ③k值法 ④泰勒公式法 老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。 3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理 ②柯西定理（与之前所举例类似） 有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。 一、高数解题的四种思维定势 1、在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 2、在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分 中值定理对该积分式处理一下再说。 3、在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 4、对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 二、线性代数解题的八种思维定势 1、题设条件与代数余子式A ij 或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。 2、若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3、若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4、若要证明一组向量a 1,a 2 ,…,a s 线性无关，先考虑用定义再说。 5、若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6、若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7、若已知A的特征向量ζ 0，则先用定义Aζ =λ ζ 处理一下再说。 8、若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b 则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广 2016考研数学中值定理证明思路总结中值定理这块一直都是很多考生的“灾难区”，一直没有弄清楚看到一个题目到底怎么思考处理，因此也是考研得分比较低的一块内容，如果考生能把中值定理的证明题拿下，那么我们就会比其他没做上的同学要高一个台阶，也可以说这是一套“拉仇恨”的题目。下面小编就和大家来一起分析一下这块内容。 1.具体考点分析 首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢? 第一：闭区间连续函数的性质。 最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。 推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。 介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。 零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。 第二：微分中值定理(一个引理，三个定理) 费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。 罗尔定理：如果函数f(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 柯西中值定理：如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续 (2)在开区间(a,b)内可导 (3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立。 第三：积分中值定理： 如果函数f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立 分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日 摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application 七大中值定理的理解与运用 在高等数学内容中，七大中值定理（零点定理、介值定理、三大微分中值定理、泰勒定理与积分中值定理）是学生在学习过程中认为最难的部分。七大定理的难主要在于难理解、难应用。在历次考试，包括研究生入学考试中，与中值有关的问题一直是考试中得分最少的题，因此如何让学生更好的理解与掌握定理，灵活有效的使用定理，一直是我在授课过程中觉得比较难把握的。在授课和答疑过程中也曾经积累了一些想法，但是这些想法都比较零碎。乐老师在培训过程中对中值定理证明问题中辅助函数构造的讲解，对我帮助最大。借这次机会将我对七大定理教学过程中的体会总结如下。 第一，七大定理的归属。 零点定理与介值定理属于闭区间上连续函数的性质。三大中值定理与泰勒定理同属于微分中值定理，并且所包含的内容递进。积分中值定理属于积分范畴，但其实也是微分中值定理的推广。 第二，对使用每个定理的体会。 学生在看到题目时，往往会知道使用某个中值定理，因为这些问题有个很明显的特征—含有某个中值。关键在于是对哪个函数在哪个区间上使用哪个中值定理。 1．使用零点定理问题的基本格式是“证明方程f(x)=0在a,b 之间有一个（或者只有一个）根”。从题目中我们一目了然，应当是对函数f(x)在区间[a,b]内使用零点定理。应当注意的是零点定理只能说明零点在某个开区间内，当要求说明根在某个闭区间或者半开半闭区间内时，需要对这些端点做例外说明。 2．介值定理问题可以化为零点定理问题，也可以直接说明，如“证明在(a,b)内存在ξ，使得f(ξ)=c”，仅需要说明函数 f(x)在[a,b]内连续，以及c位于f(x)在区间[a,b]的值域内。 3．用微分中值定理说明的问题中，有两个主要特征：含有某个函数的导数（甚至是高阶导数）、含有中值（也可能有多个中值）。正如乐老师在培训过程中所说，应用微分中值定理主要难点在于构造适当的函数。曾经在以往授课过程中总结了一点构造函数的方法，这次经过培训，我对构造函数的方法有了进一步的掌握，感觉乐老师讲述的方法便于记忆，更便于学生理解。在微分中值定理证明问题时，我的体会有下面几点：（1）当问题的结论中出现一个函数的一阶导数与一个中值时，肯定是对某个函数在某个区间内使用罗尔定理或者拉格朗日中值定理；（2）当出现多个函数的一阶导数与一个中值时，使用柯西中值定理，此时找到函数是最主要的；（3）当出现高阶导数时，通常归结为两种方法，对低一阶的导函数使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理说明；（4）当出现多个中值点时，应当使用多次中值定理，在更多情况下，由于要求中值点不一样，需要注意区间的选择，两 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 第三章 中值定理与导数的应用 例4 设n a a a a 321,,为满足 01 2)1(3121=-=-++- -n a a a n n 的实数，试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2/,0(π内至少存在一个实根. 证 作辅助函数 ,)12sin(1 213sin 31sin )(21x n a n x a x a x f n --+++= 显然,0)2/()0(==πf f )(x f 在]2/,0[π上连续,在)2/,0(π内可导,故由罗尔定理知, 至少存在一点),2/,0(πξ∈使 ,0)(='ξf 即 0)12c o s (3c o s c o s )(21=-+++='ξξξ ξn a a a f n 从而题设方程在)2/,0(π内至少有一个实根. 例5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导, 且 .0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ,使)()(ξξf f ='成立. 证 从结论倒退分析知, 可引进辅助函数 ,)()(x e x f x -=? 由于,0)()(==b a ?? 易知)(x ?在],[b a 上满足罗尔定理条件,且 ,)()()(x x e x f e x f x ---'='? 因此, 在),(b a 内至少存在一点),,(b a ∈ξ使 ,0)(='ξ? 即 ,0)()(=-'--ξξξξe f e f 因,0≠-ξe 所以 ).()(ξξf f =' 例9(E04) 证明当0>x 时,.)1ln(1x x x x <+<+ 证 设),1ln()(x x f +=则)(x f 在],0[x 上满足拉格朗日定理的条件. 故 )0)(()0()(-'=-x f f x f ξ ),0(x <<ξ ,0)0(=f ,11)(x x f += ' 从而ξ +=+1)1ln(x x ),0(x <<ξ 1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法 1 ()[0,1](0)(1)(0)0 2() (,)()1 ()()2()0 (1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ '''''ζ--='''''''=例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口 因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0 ()(1)()() f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=?--='=--，那么把式变一下： 这时要构造的函数就看出来了 ②原函数法 ?-?-? ===?=?+=?='ζζζ=ζ'∈ζ?==?dx x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()()( ) ()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了 ，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法 造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续 在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00 ③一阶线性齐次方程解法的变形法 0 ()()()[,](,)()0 ()() (,)()()()()0 [()()]pdx pdx f pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b a f f a f b a f f a '+=??==?'∈=ξ-'ξ∈ξ= -ξ-'ξ-=-'?ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数） 可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()] ()() ()0()() x x dx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-?==--'==?=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日 总结拉格朗日中值定 理的应用 总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分 作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。 柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用 1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证. 专题五 关于中值定理的应用 中值定理的形式很多，其应用也很广泛。众所周知，积分中值定理和微分中值定理是研究函数性质的重要工具。这里就中值定理在积分和微分两方面的应用进行答疑，并将其加以推广，意在扩大中值定理的应用范围，增强其实际应用价值。使中值定理发挥更大作用。 问题1：中值定理都包括哪些内容？它们的关系如何？ 答：中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理及泰勒中值定理等。以拉格朗日中 值定理（也称微分学中值定理）为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广。下面分别介绍： 介值定理：设函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，且A a F =)(，B b F =)(，B ≠A ，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()C F =ξ()b a <<ξ. 罗尔定理：如果函数)(x F 在区间[]b a ,上连续，在区间()b a ,内可导，且)()(b F a F =，那么至少有一点ξ()b a <<ξ，使得0)(='ξF . 拉格朗日中值定理：如果函数)(x F 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，那么至少有一点 ξ()b a <<ξ，使))(()()(a b F a F b F -'=-ξ成立. 柯西中值定理：如果函数)(x F 及)(x G 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且0)(≠x G 。那么至少有一点ξ()b a <<ξ使等式 ()()()()a G b G a F b F --=()() ξξG F ''成立. 问题2：积分中值定理都包括哪些内容？ 答：积分中值定理主要包括： 1、（积分第一中值定理）：若函数()x f 与()x g 在区间[]b a ,上连续，且()x g 在[]b a ,上不变号，则在 []b a ,上至少存在一点ξ，使()()()()b b a a f x g x dx f g x dx ξ=??. 注: 该定理中()g x 在[],a b 是可积,且不变号,结论仍成立 2、（积分第二中值定理）：若函数()f x 在区间[],a b 非负单调递增,()g x 为可积函数,则存在 [],a b ξ∈，()()()()b a a f x g x dx f a g x dx ξ =?? 3、（定理3）: 若在[],a b 上()0f x ≥且单调递增,()g x 为可积函数,则存在[],a b ξ∈使得 构造辅助函数法在微积分证明中的运用 石琼芳 【摘要】《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用构造函数法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论，这往往对命题的证明能起到事半功倍的结果。构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，本文通过构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。 【关键词】构造函数法微积分等式微分中值定理极值 微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。 构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。在本文，将在不等式证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。再探讨这些方法时，首先，对一些经典的定理以及公式的证明进行分析，找到这些证明的思路，进而将这些思路运用到一些具体的实例当中，进行探讨验证，最后在总结出完成这些思路的一类方法。 “构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法。许多文献中，lagrange中值定理，罗尔定理和Cauchy定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了。 关于高等数学常见中值定理证明及应用 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 微积分中值定理及其应用 前言: 关于微分中值定理的证明问题是数学分析中的难点，本文将从微分中值定理的证明入手，对其进行证明，讨论了微分中值定理的内在联系及推广，并给出其在解题中的应用，如：微分中值定理在一些定理中的证明，利用几何意义思考解题，讨论导函数零点的存在性，研究函数性态，证明不等式和求极限等。 主题： 有关定理： 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 Cauchy 中值定理统一了微积分中值定理各种形式,从而建立了微分中值定理和积分中值定理之间的 内在联系. 以Rolle 中值定理为基础,借助不同形式辅助函数可对其它几个中值定理作出多种形式的统一证 明;利用Taylor 公式可以进一步导出微积分中值定理的推广形式. 作为微积分知识体系中十分重要的三个中值定理之一,拉格朗日中值定理中中值的存在性问题, 对理解和应用定理有着十分重要的意义。一般意义上说, 同数学中许多存在性问题一样, 只需关注是否存 在即可。但是, 认真分析拉格朗日中值定理的结构, 就会产生这样的问题其中值〔的存在是否具有函数属性, 在什么条件下能够具有函数的属性。 总结： 在解关于微分中值的题目时，大多数题是有一定技巧的。在习题解题答中可以看到这方面的应用，虽然有些实例，但却凌乱无序，不成系统，本文针对这个问题，通过总结归纳，以建立初具规模的体系框架。 微积分概念和基本定理已成为大众化的知识，但是由于种种原因，例如，对相关数学知识的研究不够透彻，使得微积分中值定理应用存在某些问题，通过对例题的分析和总结，对微积分的应用作了更为清晰和简便的解法，对提高微积分课程，尤其是微分中值定理的教学质量和效果发挥了良好的作用。 拉格朗日中值定理的 应用 总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分 作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。 本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学 论文题目微分中值定理及其应用 学生姓名贾孙鹏 指导教师黄宽娜（副教授） 班级11级数应1班 学号 11290056 完成日期：2015年4月 微分中值定理及其应用 贾孙鹏 数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056 【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。 【关键词】微分中值定理应用辅助函数 1引言 微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。 2柯西与微分中值定理 2.1柯西的证明 首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将() g x的导数定义 为 ()() g x h g h h +- 当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在 错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于： 拉格朗日中值定理的证明与应用 屈俊1，张锦花2 摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法，面积法证明了拉格朗日中值定理。然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。 关键字:拉格朗日中值定理 证明 应用 三大微分中值定理（其中包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值）是《数学分析》中的一个重要章节。微分中值定理建立了函数与导数之间的联系，他们使微积分建立在严密而坚实的基础上，构成了微积分优美的基本理论，而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。由于罗尔中值定理条件的限制，他的用途没有拉格朗日中值定理广泛，在证明拉格朗日中值定理时方法多样，下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。 (一)拉格朗日中值定理的证明 拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数(x)f 满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 '()() ()f b f a f b a ξ-= - 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()y f x = 在区间[,]a b 上的图形是连续光滑曲线弧 AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB. 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()f x 在闭区间[]a,b ,两端点的函数值相等，即()()f a f b = ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()f x 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 证明： 1.1：辅助函数法 目前教材的常见证明方法如下： 作辅助函数 ()() ()(x)()(),[,],f b f a x f f a b a x a b b a ?-=-- -∈- 由于函数()f x 在闭区间[]a,b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，并且有 ()()0,a b ??== 于是由Rolle 定理，至少存在一点(,)a b ξ∈ ，使得' ()0.?ξ= 对()x ? 的表达式求导并令' ()0.?ξ=整理后便得到考研数学中值定理总结
微分中值定理及其应用
2016考研数学中值定理证明思路总结
拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用
七大中值定理的理解与运用
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第三章 中值定理与导数的应用经典例题
中值定理总结
总结拉格朗日中值定理的应用
柯西中值定理的证明及应用
zt5专题五关于中值定理的应用
中值定理构造函数
关于高等数学常见中值定理证明及应用
微积分中值定理及其应用
拉格朗日中值定理的应用
微分中值定理及其应用
拉格朗日中值定理的证明与应用