2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()

A. {x|x>?1

2} B. {x|x>1

2

} C. {x|x>0} D. R

2.若复数z=1+i

3?4i

，则|z?|=()

A. 2

5B. √2

5

C. √10

5

D. 2

25

3.下列函数中，既是偶函数，又在[0,+∞)上单调递减的函数是()

A. y=1

x2

B. y=?x2

C. y=?x

D. y=?x2?2x+3

4.过双曲线x2?y2

3

=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=()

A. 4√3

3

B. 2√3

C. 6

D. 4√3

5.某几何体的三视图如图所示，则关于该几何体的形状，下列叙述正确的是()

A. 该几何体是由一个长方体与半个圆柱组成

B. 该几何体是由一个长方体与半个球组成

C. 该几何体是由一个圆柱截去了一半后所得的几何体正(主)视图侧(左)视图

D. 该几何体是一个圆柱截去了1

4

所得的几何体

6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形A 1A 2…A 6的中心，

若A 1(√154,1

4

)，则点A 3的纵坐标为( )

A. ?√15+√38

B. √15?√38

C. 3√5?18

D. 3√5+18

7. 如图，ABCD ?A 1B 1C 1D 1是正方体，在底面A 1B 1C 1D 1上任取一点

M ，则∠MAA 1≤π

6的概率P =( )

A. π

15 B. π

12 C. π9 D. π6

8. 执行如图所示的程序框图，输入的n 值为4，则S =( )

A. 2

B. 6

C. 14

D. 30

9. 已知实数x ，y 满足条件{x ?y +1≥0

y +1≥0x +y +1≤0

，那么2x ?y 的最大值为( )

A. ?3

B. ?2

C. 1

D. 2

10. 设tan(α?β)=3,tan(β+π

4)=?2,则tan(α+π

4)等于( )

A. 1

7

B. ?1

7

C. ?3

5

D. 3

5

11. 设椭圆

x 2a

2+

y 23

=1(a >√3)的右焦点为F ，右顶点为A.已知1|OF |+1|OA |=3e

|FA |，其中O 为原点，e

为椭圆的离心率．则e =( )

A. √32

B. 1

2

C. √22

D. √3?1

12. 若函数f(x)=e x ?ax 的极值为1，则实数a 的值为( )

A. e

B. 2

C. √2

D. 1

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在(2x ?1)5的展开式中，含x 2的项的系数是__________(用数字填写答案)．

14. 甲、乙、丙、丁4名同学参加了百米比赛的预赛．甲说：“我没进决赛”；乙说：“丙进了决

赛”；丙说：“丁进了决赛’’；丁说：“我没进决赛”.若这四人中只有一人进了决赛，且只有一人说了真话，则进入到决赛的人是________．

15. 在△ABC 中，∠A =π

3，AB =2，AC =4，AD ?????? =12

AC ????? ，则BD ?????? ?BA ????? =______ 16. △ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，则a+b

b+c = ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在数列{a n }中，a 1=1

5，a n +a n+1=6

5n+1(n ∈N +)

(1)证明：{5n a n ?1}是常数列；

(2)设x n =(2n ?1)?10n a n ，求{x n }的前n 项和T n ．

18. 如图，在四棱锥P ?ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB//CD ，∠BAD =60°，

PD =AD =AB =2，CD =4，E 为PC 的中点．

(Ⅰ)证明：BE//平面PAD；

(Ⅱ)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值．

19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，

当k≥85时，产品为一等品；当75≤k<85时，产品为二等品；当70≤k<75时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.(以下均视频率为概率)

甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：

指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020

乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：

指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数1015253020

(1)若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；

(2)若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：y ={t,k ≥85

5t 2,75≤k <85t 2,70≤k <75，其中0

5，从长

期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由．

20. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =x ?2与抛物线C 交于A ，B 两点．

(1)求AB 弦长； (2)求△FAB 的面积．

21. 设函数f(x)=(1?x 2)e x ．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围．

22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+

√32t y =1

2t

(t 为参数)，在以坐标原点

O 为极

点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ． (Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的直角坐标； (Ⅱ)设点M 是曲线C 上任意一点，求△MAB 面积的最大值．

23. 已知函数f(x)=|x ?a|+1

2a (a ≠0)．

(1)若不等式f(x)?f(x +m)≤1恒成立，求实数m 的最大值； (2)当a <1

2，函数g(x)=f(x)+|2x ?1|有零点，求实数a 的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：A ={x|x

2,或x >0},B ={x|x >?1

2}； ∴A ∩B ={x|x >0}． 故选：C ．

可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．

考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．

2.答案：B

解析：解：z =1+i

3?4i =(1+i)(3+4i)

(3?4i)(3+4i)=?1+7i 25

=?

125

+

725

i ，

|z|=√(?1

25)2+(7

25)2=√2

25=√2

5

， 故选：B ．

根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．

3.答案：B

解析：

本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题． 根据函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．

解：对于A ，令f(x)=1

x 2，则f(?x)=f(x)，定义域是{x|x ≠0}，所以函数为偶函数，但x ≠0，故A 不符合题意；

对于B ，令f(x)=?x 2，则f(?x)=f(x)，定义域是R ，所以函数是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，B 符合题意；

对于C ，令f(x)=?x ，且f(?x)=?f(x)，定义域是R ，所以函数是奇函数，C 不符合题意； 对于D ，令f(x)=?x 2?2x +3，f(x)为非奇非偶函数，D 不符合题意， 故选B ．

解析：

本题考查双曲线的性质及几何意义。

解：由双曲线方程知，右焦点为(2,0)，直线x =2与渐近线y =±√3x 的交点A(2,2√3)，B(2,?2√3)，所以|AB |=4√3． 故选D ．

5.答案：A

解析：

本题考查由三视图还原几何体，属于基础题． 根据三视图的特征即可求解．

解：根据三视图可得该几何体是由一个长方体与半个圆柱组成，如下图：

，

故选A ．

6.答案：C

解析：解：在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形A 1A 2…A 6的中心，若A 1(√154

,1

4

)，

可知：|OA 1|=1，所以sinθ=1

4，cosθ=√15

4

，

点A 3的纵坐标：sin(2π3

+θ)=

√3

2

cosθ?1

2sinθ=

√32

×

√154

?12×1

4=

3√5?1

8

． 故选：C ．

通过三角函数的定义，以及两角和与差的三角函数转化求解点A 3的纵坐标即可． 本题考查三角函数的定义，两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想以及计算能力．

解析：解：设棱长为3，则∠MAA1=π

6

时，MA1=√3，

∴∠MAA1≤π

6表示以A1为圆心，√3为半径的1

4

圆面，其面积为3π

4

，

∵正方形A1B1C1D1的面积为9，

∴∠MAA1≤π

6的概率P=

3π

4

9

=π

12

．

故选：B．

本题是几何概型问题，设棱长为3，∠MAA1≤π

6表示以A1为圆心，√3为半径的1

4

圆面，其面积为3π

4

，

求出正方形A1B1C1D1的面积为9，即可求出∠MAA1≤π

6

的概率

本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．

8.答案：C

解析：

本题考查循环结构的运行，基础题．

模拟执行框图的程序，直到k=4时，不满足循环条件，输出此时S的值．

解：S=0，k=1，满足k

S=2，k=2，满足k

S=6，k=3，满足k

S=14，k=4，

不满足k

故选C．

9.答案：C

解析：解：由约束条件作出图形：

易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,?1)时，

z取得最大值z=2×0?(?1)=1，

故选：C．

先根据约束条件画出可行域，z=2x?y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．

本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．10.答案：A

解析：tan(α+π

4)=tan[(α?β)+(β+π

4

)]=tan(α?β)+tan(β+

π

4

)

1?tan(α?β)tan(β+π

4

)

=3?2

1+3?2

=1

7

.

11.答案：B

解析：

本题考查了椭圆的性质，考查了椭圆的离心率的求法，是基础题．

把|OF|、|OA|、|FA|代入1

|OF|+1

|OA|

=3e

|FA|

，转化为关于a，c关系式，进而求得c值，进一步求出a

值，则椭圆的离心率e可求．

解：设F(c,0)，由1

|OF|+1

|OA|

=3e

|FA|

，

即1

c

+1

a

=3c

a(a?c)

，可得a2?c2=3c2，

又a2?c2=b2=3，∴c2=1，因此a2=4．

∴e2=c2

a2=1

4

，则e=1

2

．

故选：B．

12.答案：D

解析：

本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题目．

由f′(x)=0得出f(x)的极值点，得出f(x)的极值，由f(x)的极值为1，得出关系式求出a的值即可．解：由已知可得f′(x)=e x?a，

令f′(x)=e x?a=0，

则a>0时方程才有解，

解得x=lna，此时f(x)的极值为f(lna)=e lna?alna=a?alna=1，

解得a=1．

故选D．

13.答案：?40

解析：由二项展开式的同项T r+1=C5r(2x)5?r(?1)r(r=0,1,?,5)知，当r=3时，T4=

C53(2x)5?3(?1)3=?40x2，所以含x2的项的系数是?40．

14.答案：甲

解析：

本题考查了合情推理(归纳、类比推理)．

由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾，若丁说了真话，则甲说的是假话，所以甲就是进入到决赛的那个人．

解：由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话，

若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾，

若丁说了真话，则甲说的是假话，

所以甲就是进入到决赛的那个人．

故答案为甲．

15.答案：2

解析：

本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的定义的简单应用，属于中档题．

由已知可得，D 为AC 中点，从而有BD

?????? =BA ?????? +BC ?????

2

=12

(2BA ????? +AC ????? )，代入BD ?????? ?BA ????? ，结合向量的数量积的定义可求． 解：∵AD ?????? =1

2

AC ????? ， ∴D 为AC 中点，BD ?????? =BA ?????? +BC ?????

2

=12

(2BA ????? +AC

????? )， ∵∠A =π

3

，AB =2，AC =4，

则BD ?

????? ?BA ????? =1

2(BA ????? +BC ????? )?BA ????? =12(2BA ????? +AC ????? )?BA ????? =BA ????? 2?1

2

AB ????? ?AC

????? =4?1

2×2×4×cos 1

3π=2， 故答案为：2．

16.答案：5

7

解析：

利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题． 解：∵sinA ：sin B ：sinC =2：3：4， 由正弦定理可得：a ：b ：c =2：3：4， ∴

a+b b+c

=

2+3

3+4=5

7

， 故答案为5

7．

17.答案：(1)证明：由a n +a n+1=6

5n+1(n ∈N +)得，

5n+1a n+1+5n+1a n =6，即5n+1a n+1+5?5n a n =6， ∴5n+1a n+1?1=?5?5n a n +5=?5(5n a n ?1)， 又a 1=1

5，∴5a 1?1=0， ∴{5n a n ?1}是常数列；

(2)解：由(1)得5n a n ?1=0，即a n =1

5n ，

∴x n =(2n ?1)?10n a n =x n =(2n ?1)?10n ?1

5n =(2n ?1)?2n ， ∴T n =1×2+3×22+5×23+?+(2n ?1)?2n 2T n =1×22+3×23+5×24+?+(2n ?1)?2n+1，

两式相减得，?T n =2+(22+23+24+?2n )?(2n ?1)?2n+1 =

2(1?2n )1?2

?(2n ?1)?2n+1=?(2n ?2)?2n+1?2

∴T n =(n ?1)?2n+2+2．

解析：本题考查了数列递推公式的变形及化简，错位相减法求数列的和，考查了化简能力，属于中档题．

(1)根据结论对递推公式进行化简，结合a 1的值进行证明；

(2)由(1)求出通项a n ，代入x n =(2n ?1)?10n a n 化简后，利用错位相减法求数列的和T n ．

18.答案：证明：(Ⅰ)设F 为PD 的中点，连接EF ，FA ．

因为EF 为△PDC 的中位线，所以EF//CD ，且EF =1

2CD =2． 又AB//CD ，AB =2，所以AB =EF ，且AB//EF ， 故四边形ABEF 为平行四边形，所以BE//AF ． 又AF ?平面PAD ，BE ?平面PAD ， 所以BE//平面PAD ．

解：(Ⅱ)设G 为AB 的中点，因为AD =AB ，∠BAD =60°， 所以△ABD 为等边三角形，故DG ⊥AB ； 因为AB//CD ，所以DG ⊥DC ；

又PD ⊥平面ABCD ，所以PD ，DG ，CD 两两垂直 ，

以D 为坐标原点，DG ?????? 为x 轴、DC ????? 为y 轴、DP ????? 为z 轴建立空间直角坐标系D ?xyz ，

则P(0,0，2)，B(√3,1,0)，E(0,2，1)，DE ?????? =(0,2,1)，DB ?????? =(√3,1,0)， 设n

? =(x,y ，z)为平面DBE 的一个法向量， 则{n ? ?DE ?????? =0n ? ?DB

?????? =0，即 {

2y +z =0√3x +y =0, 令y =1，则n ? =(?√

3

3,1,?2)，

又PB ????? =(√3,1,?2)，

所以cos =n ?? ?PB ??????

|n ?? |?|PB ?????? |=√64

， 即直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值为√6

4

．

解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

(Ⅰ)设F 为PD 的中点，连接EF ，FA ，推导出四边形ABEF 为平行四边形，BE//AF.由此能证明BE//平面PAD ．

(Ⅱ)设G 为AB 的中点，以D 为坐标原点，DG ?????? 为x 轴、DC ????? 为y 轴、DP ????? 为z 轴，建立空间直角坐标系D ?xyz ，利用向量法能求出直线PB 与平面BDE 所成角的正弦值．

19.答案：(1)7

250(2)甲

解析：

(1)先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；(2)分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论． 【详解】

解：(1)由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为1

10，

所以P =C 3

2

×(1

10)2×9

10+(1

10)3=7

250． (2)甲生产线生产的产品的利润分布列为

所以E(y 甲)=0.6t +2t 2

，

乙生产线生产的产品的利润分布列为

所以E(y 乙)=0.5t +2.1t 2

，

因为0

?0.1t =0.1t (t ?1)<0

所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法．

20.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).

联立{y =x ?2y 2=4x

，得x 2?8x +4=0，

△=64?4×4>0，x 1+x 2=8，x 1?x 2=4． ∴|x 1?x 2|=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=4√3， ∴|AB|=√1+k 2?|x 1?x 2|=√2×4√3=4√6； (2)点F(1,0)，点F 到直线AB 的距离d =√2

=

√2

2

， ∴S △ABF =1

2?|AB|?d =1

2

×4√6×

√2

2

=2√3．

解析：(1)联立直线方程与抛物线方程，化为关于x 的一元二次方程，再由根与系数的关系及弦长公式求解；

(2)求出焦点到直线AB 的距离，代入三角形面积公式得答案．

本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查弦长公式、点到直线距离公式的应用，考查计算能

力，是中档题．

21.答案：解：(1)f′(x)=(1?2x?x2)e x，

令f′(x)=0，得x=?1?√2或x=?1+√2，

当x∈(?∞,?1?√2)时，f′(x)<0；

当x∈(?1?√2,?1+√2)时，f′(x)>0；

当x∈(?1+√2,+∞)时，f′(x)<0．

所以f(x)在(?∞,?1?√2)，(?1+√2,+∞)单调递减，在(?1?√2,?1+√2)单调递增．

(2)f(x)=(1+x)(1?x)e x．

当a≥1时，设函数?(x)=(1?x)e x，?′(x)=?xe x<0(x>0)，因此?(x)在[0,+∞)上单调递减，而?(0)=1，故?(x)≤1，所以f(x)=(x+1)?(x)≤x+1≤ax+1；

当00(x>0)，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，而g(0)=0，故e x≥x+1．

当0(1?x)(1+x)2，(1?x)(1+x)2?ax?1=x(1?a?x?x2)，

取x0=√5?4a?1

，则x0∈(0,1)，(1?x0)(1+x0)2?ax0?1=0，故f(x0)>ax0+1；

2

，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1?x0)(1+x0)2=1≥ax0+1，

当a≤0时，取x0=√5?1

2

综上，a的取值范围是[1,+∞)．

解析：

本题主要考查了函数的单调性，属于中档题．

(1)求导，解f′(x)<0，f′(x)>0；判断单调性；

(2)讨论a的取值，判断单调性，求出a的取值范围．

22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为(x ?2)2+y 2=4，将直线l 的参数方程{x =3+

√32

t y =1

2t

代入曲线C 的直角坐标方程得：(3+√3

2

t ?2)2+(1

2

t)2=4，化简得t 2+√3t ?3=0，

设A ，B 的参数分别为t 1，t 2，由韦达定理得：t 1+t 2=?√3， 于是t P =

t 1+t 22

=?

√3

2.设P(x 0,y 0)， 则{x 0=3+√3

2×(?√3

2)=9

4

y 0=12

×(?√32

)=?

√3

4

故，点P 的直角坐标为P(94,?√3

4

)．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：t 1+t 2=?√3，t 1?t 2=?3 所以，|AB|=|t 1?t 2|=√(t 1+t 2)2?4t 1t 2=√15

又直线l 的普通方程为x ?√3y ?3=0，圆心C(2,0)到直线l 的距离为d =√12+(√3)2=1

2，

圆半径r =2.所以，点M 到直线l 的距离的最大值为?max =d +r =5

2．

因此，△MAB 面积的最大值为：S =12|AB|??max =12√15×52=5√15

4

．

解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23.答案：解：(1)f(x +m)=|x +m ?a|+1

2a ，

f(x)?f(x +m)=|x ?a|?|x +m ?a|≤｜m ｜， ∴f(x)?f(x +m)≤1恒成立当且仅当|m|≤1， ∴?1≤m ≤1，即实数m 的最大值为1．

(2)当a <1

2时，g(x)=f(x)+|2x ?1|=|x ?a|+|2x ?1|+1

2a

={

?3x +a +1

2a +1,x

23x ?a +12a ?1,x >12

,

∴g(x)min =g(12

)=12

?a +

12a

=

?2a 2+a+1

2a

?0，

∴{

0

2

,

?2a 2+a +1?0,

或{a <0,?2a 2+a +1?0,， ∴?12

?a <0，∴实数a 的取值范围是[?12

,0)．

解析：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和绝对值不等式的性质，考查函数零点问题解法，注意转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

(1)由条件得f(x)?f(x +m)≤1恒成立，结合绝对值不等式的性质，求得最值，即可得到m 的最大值；

(2)求得g(x)的解析式，讨论g(x)的单调性可得最小值，由题意可得最小值小于等于0，解不等式即可得到所求范围．