最全最新初中数学竞赛——待定系数法
初中数学竞赛专题讲解待定系数法
1.根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.例如：
已知：恒等式ax 2+bx+c=2(x+1)(x －2).
求：①a+b+c ； ②a －b+c.
解：①以x=1，代入等式的左右两边，得a+b+c ＝－4.
②以x=－1，代入等式的左右两边，得a －b+c ＝0.
2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
即 如果 a 0x n +a 1x n －1+……+a n －1x+a n =b 0x n +b 1x n －1+……+b n －1x+b n
那么 a 0=b 0 ， a 1=b 1， …… ， a n －1=b n －1 ， a n =b n .
上例中又解： ∵ax 2+bx+c=2x 2－2x －4.
∴a=2, b=－2, c=－4.
∴a+b+c ＝－4， a －b+c ＝0.
3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.
一、基础过关
1.已知
求：,,A B C 的值.
2.因式分解：22
35294x xy y x y +-++-
3.k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？
23)2)(3(22++-+=+-+-x C x B x A x x x x x
4.若328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +的值为多少？
5.分母有理化
6.设a 为常数，多项式321x ax ++除以21x -所得的余式为3x +，则a 的值为多少？
7.当,a b 为何值时，3221x ax bx -++能被21x -整除?
二、例题讲解
例1.已知222321(1)(2)12
x x A Bx C x x x x +++=+++++，其中A ，B ，C 为常数，求B 的值
练习1：已知34222610111
x x Ax B Cx D x x x x x x +++=+++++-+，其中A ，B ，C ，D 为常数， 求A B C D +++的值
练习2：解方程：
222211114325671221
x x x x x x x x +++=+++++++
例2：分解因式：43223x x x x ++-+
练习1：分解因式
（1）432x x -- （2）432266x x x x -+-+
（3）432615x x x x -+-+ （4）()()()123678x x x +++-??
练习2：因式分解42199619951996x x x +++
例3：若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，
求m 的值并将多项式分解因式.
练习1：确定k 的值，使下列各式分解成关于x 、y 的两个一次式的积.
（1）2256x y kx y -++-.
（2）22754324x xy ky x y ++-+-.
练习2：多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-，试确定a b +的值
练习3：如果()(4)1x a x ---能够分解成两个二项式x b +,x c +的乘积（,b c 为整数）
，则a 应是多少？
例4.已知,,a b c 为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被2
34x x +-整除．
（1）求4a c +的值．
（2）求22a b c --的值．
（3）若,,a b c 为整数，且1c a ≥>，试确定,,a b c 的大小
练习1：当,,a b c 为何值时，多项式329ax x bx c -++满足下列条件：被22x +整除，且被21x +和2x -除时所得的余数相等？
:练习2：当,p m 为何值时，多项式32x px +-能被21x mx +-整除？
练习3：已知多项式32ax bx cx d +++能被2x p +整除，求证：ad bc =。
例5：设)(x f 为x 的多项式，当1+=a x 时，)(x f 的值是 152)1(2+-=+a a a f ，试求出多项式)(x f
练习1:设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值
练习2：已知：()2f x x b x c =++是()42625g x x x =++的因式，也是
()4234285q x x x x =+++的因式.
求：()1f 的值.
练习3：已知37 3.15
410 4.2x y z x y z ++=??++=?
，求x y z ++的值
例6：已知：4324131x ax x bx ++++是完全平方式.
求：a 和b 的值.
练习1：已知,,a b c 是实数，
关于x 的多项式()()()()()()x b x c x c x a x a x b ++++++++为完全平方式，
求证:a b c ==。
练习2：已知关于x 的多项式32x bx cx d +++为一完全立方式，
求证:32227,27b d c d ==
例7
练习1：化简:
练习2：若12
x =
，则4221x x x ++-的值为多少？
三、巩固提高
1.把多项式3222x x x -++表示为关于1x -的降幂排列形式.
2.推导一元三次方程根与系数的关系.
已知123,,x x x 是关于x 的一元三次方程320ax bx cx d +++=的三个根 求证：123b x x x a ++=-，123d x x x a ??=-，122313c x x x x x x a
?+?+?=
3.分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++
4.若321311x mx x n +++能被21365x x -+整除，求整数m ，n 的值.
5.已知整数
c b a 、、使等式)11()10())((-=-+++x x c b x a x )1(+x ， 对任意的x 均成立，求c 的值
6.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是（ ）
(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;
7.已知x
B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） （A ）－2 （B ）2 （
C ）－4 （
D ） 4 8.已知()443214641a a a a a +=++++, 若()()()4321416143s x x x x =-+-+-+-
则s 等于( )
(A)()42x -. (B)()41x - (C)()4
1x + . (D)4x . 9.已知三次方程3261160x x x -+-=，有一根是另一根的2倍，解该方程．
初中数学面积法
F G E 图 2 A C B D 面积法 1、常见规则图形的面积公式； 2、等积定理； 3、面积比定理。 A 卷 1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、1 2、13，?=∠90ABC ，则四边形ABCD 的面积为 . 答案：36 考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。 分析：连接AC ，在ABC Rt ?中，已知AB 、BC 根据勾股定理可以求得5=AC ，在ACD ?中，222AD CD AC =+，根据勾股定理的逆定理确定ACD ?为直角三角形，四边形ABCD 的面积为 ACD ?和ABC Rt ?面积之和。 解答：连接AC ，在ABC Rt ?中，3=AB ，4=BC ，则 522=+=BC AB AC 又∵222AD CD AC =+ ∴ACD ?为直角三角形 ∴ABC Rt ?的面积为64321=??，ACD Rt ?的面积为3012521 =?? ∴四边形ABCD 的面积为ACD ?和ABC Rt ?面积之和，36630=+=S 故答案为 36． 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定ACD ?为直角三角形是解题的关键。 2、如图2，已知ABC ?中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 2 1 = =， DE EF 3=，若1=?ABC S ，则图中所有三角形的面积之和为 . 答案：7 考点：三角形面积与底的正比关系。 分析：如图所示的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题。 解答：因为所有线段长之和是BC 的n 倍 ∴图中所有三角形面积之和就是ABC S ?的n 倍 设1==GF DE ，则2==CG BD ，3=EF ，9=BC ∴图中共有1554321=++++个三角形 则它们在线段BC 上的底边之和为： 图 1 A C B D
初中数学因式分解中的换元法学法指导
初中数学因式分解中的换元法学法指导 徐卫东 刘建英 因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。 一、整体换元 例1 因式分解.2)1x x ()1x x (2424--++-+ 解：设A 1x x 24=-+，原式)1x x )(2x x ()2A )(1A (2A A 24242++-+=+-=-+= ). 1x x )(1x x ()2x )(1x )(1x (]x )1x )[(2x )(1x ()x 1x 2x )(2x x (2222222222424+-+++-+=-++-=-++-+= 例2 若βα、是方程0c bx x 2=++的两根。因式分解.c ]c x )1b (x [b ]c x )1b (x [222++++++++ 解：因为βα、是方程0c bx x 2=++的两根，所以.c ),(b αβ=β+α-= 设A c x )1b (x 2=+++，原式).A )(A (A )(A c bA A 22β-α-=αβ+β+α-=++= 但-αβ+β-α-+=α-αβ+β-α-+=α-+++=α-x x x x x )1(x c x )1b (x A 222 ),x )(1()1x ()1x (x )x ()x x x (2α-+β-α=+β-α-+β-=α+αβ-α-+β-=α 同理),x )(1x (A β-+α-=β- 所以原式).1x )(1x )(x )(x (+β-+α-β-α-= 二、局部换元 例3 因式分解.14)8x 5x )(5x 5x (22-++-+ 解：设,A x 5x 2=+ 原式14)8A )(5A (-+-= ). 9x 5x )(6x )(1x () 9x 5x )(6x 5x () 9A )(6A (54 A 3A 2222+++-=++-+=+-=-+= 例4 因式分解.x )6x 5x )(6x 7x (222+++++ 解：设A 6x 5x 2=++，原式.)6x 6x ()x A (x Ax 2A x )x 2A (A 222222++=+=++=++= 三、局部分解后，重组再换元 例5 因式分解.91)9x )(35x 4x 4(22---- 解：原式91)]3x )(5x 2[()]3x )(7x 2[(91)3x )(3x )(5x 2)(7x 2(--+?+-=--++-= ,A 21x x 291)15x x 2)(21x x 2(222=-------=设原式91A 6A 91)6A (A 2-+=-+= )8x x 2)(7x 2)(4x ()8x x 2)(28x x 2()13A )(7A (222--+-=----=+-=
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用 所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法： 一、构造方程 构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。 1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。 例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b ∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15 2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。 例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求 的值。 分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。 二、构造几何图形 1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例4：已知，则x 的取值范围是（）
初二数学面积法几何专题
初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。 分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等
③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可 由S△CFE＝S△CFB 故可得出S△AEF＝S△ABC 证明：∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB＝S△ADE 同理可证：S△ADC＝S△ADF ∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF＝S△CBF ∴S△ABC＝S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC ∴S△DEF＝2S△ABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点 分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h 证明：过M作MN//AB ∵M为腰BC的中点 ∴MN是梯形的中位线 设梯形的高为h （二）用面积法解几何问题 有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等 性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比
初中数学竞赛：换元法
初中数学竞赛：换元法 【内容提要】 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2 +bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+2 1x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 【例题】 例1. 解方程1112---++x x x =x.
初中数学方法大全之构造法
初中数学方法大全之构造法 构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。 一、以概念为框架构造 【例1】已知方程 20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为1S ,两根平方和为2S ，两根立方和为 2)x + 90 ,. ac bd B D Rt ABC Rt CDA AC CA Rt ABC Rt CDA a d b c =? ?∠=∠=???????=? ????==∽≌
三、从公式特征构造 【例3】已知x 、y 、z 、r 都为正数，且满足2222,x y z z x +==。 求证：xy=rz 。 【思路分析】此题中，题设222x y z +=与勾股定理的结论非常相似，故可以从构造勾股定理入手进行本题的研究。 证明：如图，构造Rt △ABC ，使AC =x ，BC =y ，斜边AB =z 。作CD ⊥AB 于D 。 由射影定理可知：2AC AD AB =?，则有： 性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。换一个思路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思想来解决本题，会有意料之外的效果。 解：以AB 、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直 角坐标系xOy 。 根据题意有：(24,0),(0,12)P Q ，易得PQ 所在的直线解 析式为：1122 y x =-+。
设1(,12)(024)2M m m m - +≤≤，则136,602 MF m ME m =-=-。 ∴周长12()2(3660)1922 MF ME m m m =+=++-=-+ 面积211(36)(60)(6)217822MF ME m m m =?=+-=-++ ∴当m =0时，周长最大等于192m ； 当m =0时，面积最大等于2160m 2。 六、其它构造 【例6】在锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 都落在BC 边上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上。 【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困 难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个 顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以 马上作出一个这样的正方形1111D E FG 。 这个正方形可以成为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形，可以利用位似去作出需要的正方形DEFG 。 解：（略） 在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”，这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造性思维也有很大的帮助。
初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法
初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法 计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。介绍几种常用的方法。 1.转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。 例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图 中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。 2.和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。 3.重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。 例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
4.补形法 将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。 例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。 5.拼接法 例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。 6.特殊位置法 例6. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________。 7.代数法 将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过 建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 例7. 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。 需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。 跟踪练习： 1.如图11，正方形的边长为1，以CD为直径在正方形内画半圆，再以点C 为圆心、1为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为___________。
数学人教版九年级上册旋转法构造全等三角形
典型例题： 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线，∠EMF 的顶点在线段AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合）. (1)当∠EMF=90°时，试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由. 变式1： (2)当点M 在直线AC 上运动，∠EMF 绕点M 旋转，当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变，结论是否成立？ 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系，并说明理由.. A A A 变式3： (4)当点M 在直线AC 上，当∠FME=∠ABC,其他条件不变，结论是否成立？并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标： 题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一： 变式2： (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形，当∠FME=120°结论是否成立？并说明理由.
分层练习： （A 层） 1. 把含15°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），则sin ∠ADE=_______。 （第1题） （第2题） （第3题） 2. 点p 是等边△ABC 内一点，若PA=13，PB=5，PC=12，∠BPA=_________. 3. 如图所示，把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗？证明你的猜想.(2)若旋转角为30，HG 的长. （B 层） 1.如图，若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. （第1题） （第2题） （第3题） 2.已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转，与△DAF 重合，那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置，点B ’恰好落在边BC 的中点处，则旋转角_____度.
初中数学十大思想方法-换元法
初中数学思想与方法——换元法 一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+ 21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 二、例题 例1. 解方程1112---+ +x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y － 21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.
初中数学之求阴影面积方法总结完整版
初中数学之求阴影面积 方法总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
初中数学之求阴影面积方法总结一、公式法 这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。简单举出2个例子: 二、和差法 攻略一直接和差法 这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。 攻略二构造和差法 从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。 三、割补法 割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。 攻略一全等法 攻略二对称法 攻略三平移法 攻略四旋转法 小结：（一）解决面积问题常用的理论依据 1、三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3、平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5、基本几何图形面积公式：三角形、平行四边形、、菱形、矩形、梯形、圆、扇形。 6、相似三角形面积之比等于相似比的平方 7、反比例函数中k的几何含义 8、在直角坐标系中函数图像构成的图形面积常常利用图形顶点的坐标构造高去求面积 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1、分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2、补全法：通过平移、旋转、翻折变换把分散的图形拼成一个规则的几何基本图形 3、作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
初中数学—换元法
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 38文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 知识点拨 【知识提要】 1. 方程中变量的换元； 2. 三角换元； 3. 特殊换元。 【基本题型】 1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程； 2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围； 3. 求某些难以直接求出来表达式的值。 【解题技巧】 1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元； 2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元； 3. 有时候甚至可以联想三角函数。 快乐热身 【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。求abc 的值。 【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？ 解 因为23y x =+，所以32y x -=。 所以，22239232424y y y x x y -??++=+=-+ ??? 。 因此，119942432 abc ??=?-?=- ???。 热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲 【例 1】 求1 1111 11 1...++ ++（无穷多个）的值。 【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？ 解 设原式x =，则11x x =+，也就是说210x x --=。 第五讲 换元法
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 39文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 解得12x += （负根舍去）。 说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。 【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。 【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。 解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。 显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。 设1y x x =- ，则有220y ay b +++=。 248a b ?=--。 ⑴若0?> ，则方程的解为1y = 2y =。 代回1y x x =- 得到1,2x = ，3,4 x =。 ⑵若0?=，则方程的解为 1,22a y =-，于是有1,3x = 2,4 x =。 ⑶若0?<，则方程无解。 【例 3】 1 =。 【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。 解 a =b =，则有 将第一个式子立方后得到33 3()1a b ab a b +++=，再根据第二个式子，有 3()3ab a b +=，所以1ab =。 这样，a 和b 是关于y 的方程2 10y y -+=的两个根。但是，因为方程2 10y y -+=没有实根，所以这样的a 和b 不存在，也就是说原方程没有实根。 说明 如果不用换元法，而是直接立方，会出现这样的情况： 1=，(1)(3)1x x --=， 2440x x -+=，1,22x =。 代回去后发现是增根，但是涉及三次根式的题目为何会产生增根呢？以后到了高中学了更多知识的时候就会知道了。 【拓展】设x 【解析】 分析 同样地，可以用换元法将根式变为整式，再降次，求判别式。 解 a = b =t =。则有 331 a b t a b +=??+=?，将第一个式子立方后得到3333()a b ab a b t +++ =，再根据第二个式子，有 33 ()1ab a b t +=-，所以313t ab t -=。（注意，0t =>） 这样，a 和b 是关于y 的方程32103t y t t --+ =的两个根。其判别式321403t t t -?=-?≥，所以340t -≤，解得t 0t <，原方程就有解。
(完整版)人教版初中数学知识结构
【人教版初中数学知识结构图】 1、有理数（正数与负数） 2、数轴 6、有理数的概念3、相反数 4、绝对值 5、有理数从大到小的比较 7、有理数的加法、加法运算律 17、有理数8、有理数的减法 9、有理数的加减混合运算 10、有理数的乘法、乘法运算律 16、有理数的运算11、有理数的除法、倒数 12、有理数的乘方 13、有理数的混合运算 21、代数式14、科学记数法、近似数与有效数字 22、列代数式15、用计算器进行简单的数的运算 23、代数式的值18、单项式 27、整式的加减20、整式的概念19、多项式 24、合并同类项 25、去括号与添括号 26、整式的加减法 28、等式及其基本性质 29、方程和方程的解、解方程 198 32、一元一次方程30、一元一次方程及其解法 初31、一元一次方程的应用33、代入（消元）法 中35、二元一次方程组的解法34、加减（消元）法 数193 36、相关概念及性质 学数39、二元一次方程组37、三元一次方程组及其解法举例 与38、一元方程组的应用40、一元一次不等式及其解法 代45、一元一次不等式43、一元一次不等式41、不等式的解集 数和一元一次不等式组44、一元一次不等式组42、不等式和它的基本性质 46、同底数幂的乘法、单项式的乘法 47、幂的乘方、积的乘方 51、整式的乘法48、单项式与多项式相乘 49、多项式的乘法 56、整式的乘除50、平方差与完全平方公式 52、多项式除以单项式 55、整式的除法53、单项式除以单项式 54、同底数幂的除法 57、提取公因式法 61、方法58、运用公式法 63、因式分解59、分组分解法 62、意义60、其他分解法66、含字母系数的一元 65、分式的乘除法——64、分式的乘除运算一次方程 72、分式69、可化为一元一次方程的分式方程及其应用67、分式方程解法、 70、分式的意义和性质增根 71、分式的加减法68、分式方程的应用 75、数的开方73、平方根与立方根 74、实数 86、二次根式的意义76、最简二次根式 79、二次根式的乘除法77、二次根式的除法
初中数学知识点及结构图
七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正 分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远 比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是 a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， 无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似
初中数学竞赛专题《换元法》
初中数学竞赛专题选讲 换元法 一、内容提要 1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换. 3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0. 两边都除以x 2,得a(x 2+ 21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0. 对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1. 原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x )－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x =y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0. 二、例题 例1. 解方程1112---+ +x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －2 1y 2=0 . 解得 y=0；或y=2. 当y=0时， 11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2， 解得，x=4 5. 检验（略）.
求几何图形的面积法
求几何图形的面积法 （1）直接用三角形，特殊四边形，圆，扇形的面积公式来求。 （2）间接割补法，把不规则图形面积通过割补、运动、变形转化为规则易求图形面积的和或差。 （3）特殊求法，即利用相似图形的面积比等于相似比的平方，等底（等高）的三角形面积比等于高（底）比的性质来解。 其次有些乘法公式、勾股定理、三角形的一边平行四边形的比例式等性质，也可用面积法来推导。 面积法是什么？ 运用面积关系解决平面几何体的方法，称为面积法。 它是几何中常用的一种方法。特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系会变成数量之间的关系。这个时候，问题就化繁为简了，只需要计算，有事甚至可以不添置补助线就迎刃而解了！ 此外，用面积法还可以用来求线段长，证明线段相等（不等），角相等，比例式或等积式，求线段比等。虽然这些几乎都可以用其他方法来解决，但是面积法无疑是一种更直接、简易、有效的方法。 面积法的常用理论口诀
1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/4 7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/4 8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。面积法的常用解题思路 1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4.还可以利用面积解决其它问题
初中数学—换元法
知识点拨 【知识提要】 1. 方程中变量的换元； 2. 三角换元； 3. 特殊换元。 【基本题型】 1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程； 2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围； 3. 求某些难以直接求出来表达式的值。 【解题技巧】 1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元； 2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元； 3. 有时候甚至可以联想三角函数。 快乐热身 【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2 2 23x x ay by c ++=++成立。求abc 的值。 【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。有没有简单一些的方法呢？ 解 因为23y x =+，所以3 2 y x -= 。 所以，2 22 39232424y y y x x y -??++=+= -+ ??? 。 因此，119942432 abc ??= ?-?=- ???。 第五讲 换元法
热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲 【例 1】 求1111111 1... + ++ +（无穷多个）的值。 【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？ 解 设原式x =，则11x x =+ ，也就是说2 10x x --=。 解得15 x += （负根舍去）。 说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。关于极限的概念，以后会学到。 【例 2】 解关于x 的一元四次方程：432 10x ax bx ax ++-+=。 【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。 解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。 显然0x =不是原方程的解，所以除以2 x 后得到：2 2 1 0a x ax b x x ++- +=。 设1y x x =- ，则有220y ay b +++=。 2 48a b ?=--。 ⑴若0?>，则方程的解为21482a a b y ---=，2248 2 a a b y ----=。 代回1 y x x =-得到2111,24y y x ±+=，2223,44y y x ±+=。 ⑵若0?=，则方程的解为1,22 a y =-，于是有21,316a a x -++=22,416a a x --+=。 ⑶若0?<，则方程无解。 【例 3】 33 131x x --=。 【解析】 分析 方程中含有三次根式，直接解出现困难，可以考虑换元。 解 31x a -=33x b -=，则有
初中数学—构造法
知识点拨 【知识提要】 1.代数构造； 2.几何构造； 3.其他一些构造。 【基本题型】 1.证明存在符合题目条件的某个“事物”； 2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）； 3.其他一些杂题。 【解题技巧】 1.构造一一对应方法； 2.用组合数学的方法； 3.极端的思想。 快乐热身 【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。 【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。 解令函数 π ()tanπ(01) 2 f x x x ?? =-<< ? ?? ，则易知() f x是从(0,1)到上的一一映射。所 第二讲 构造法
以，这两个集合里面的数一样多。 说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。 热身完了，我们开始今天的课程吧！ 例题精讲 【例 1】 用构造法求 147464712 (47) ...52515250515256 (52) ????++++??????的值。 【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。 解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。 第一个数是1的概率为1 52 ； 考虑第二项， 47 52 是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，47 5152 ?便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。 继续考虑第三项，4647 505152 ???是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。 …… 最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。 综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15 。 说明 本题当然也可以用裂项法。 【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字 和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。求证：22n n A B =。 【解析】 分析 证明数目相等，可以设法构造一一对应。 解 观察发现，m A 可以看做将一段长度为n 的链拆分成长度为1，3，4的节，而m B 可以看做将一段长度为n 的链拆分成长度为1，2的节。现在，在2n A 中，分别观察其奇数节和偶数节，则分别都被拆成了长度为1和2的部分，也就是说对应两个m B 中的数；反之，对于两个m B 中的数，将它们咬合，所有长度为2的部分都和另一个数中的相应部分合成一组，即可。 不难发现这是一一对应，所以，结论得证。