换元法在因式分解中的应用
换元法在因式分解中的应用
换元法是中学数学中一种重要的解题方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性及创造性．用换元法解题，不蹈常规，见解独特，是培养学生创造性思维能力的重要手段。
因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。
一、整体换元
例1因式分解
解：设，原式
例2若是方程的两根。因式分解
解：因为是方程的两根，所以
设，原式
但
同理
所以原式
二、局部换元
例3因式分解
解：设
原式
例4因式分解
解：设，原式
三、局部分解后，重组再换元
例5因式分解
解：原式
原式
例6因式分解
解：原式
设，原式
注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。
四、多元换元
例7因式分解
解：设
原式
例8因式分解
解：设
原式
例9因式分解
解：设注意到
所以原式
注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。
由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。
因式分解之换元法、待定系数法、因式定理及其它.题库教师版
换元法、待定系数法、因式定理及其它 板块一：换元法 【例1】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【考点】因式分解 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】换元法 【解析】将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘得 原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++2(2)(4)(58)x x x x =++++，其实也可用十字相乘的思想解答 【答案】2(2)(4)(58)x x x x ++++ 【例2】 分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【考点】因式分解 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】希望杯培训试题，换元法 【解析】方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则 原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x ++-=+-=-+=+++- 方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则 原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x +-=+-=-+=+++- 方法3：将253x x ++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直 接把25x x +看作一个整体，将原式展开，分组分解即可， 则原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x =+++-=+-++=++2(51)x x +-. 【答案】2(2)(3)(51)x x x x +++- 【例3】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【考点】因式分解 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】换元法 【解析】2(2)(6)(810)x x x x ++++ 【答案】2(2)(6)(810)x x x x ++++ 【例4】 分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- 【考点】因式分解 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】换元法
初中数学因式分解中的换元法学法指导
初中数学因式分解中的换元法学法指导 徐卫东 刘建英 因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。 一、整体换元 例1 因式分解.2)1x x ()1x x (2424--++-+ 解：设A 1x x 24=-+，原式)1x x )(2x x ()2A )(1A (2A A 24242++-+=+-=-+= ). 1x x )(1x x ()2x )(1x )(1x (]x )1x )[(2x )(1x ()x 1x 2x )(2x x (2222222222424+-+++-+=-++-=-++-+= 例2 若βα、是方程0c bx x 2=++的两根。因式分解.c ]c x )1b (x [b ]c x )1b (x [222++++++++ 解：因为βα、是方程0c bx x 2=++的两根，所以.c ),(b αβ=β+α-= 设A c x )1b (x 2=+++，原式).A )(A (A )(A c bA A 22β-α-=αβ+β+α-=++= 但-αβ+β-α-+=α-αβ+β-α-+=α-+++=α-x x x x x )1(x c x )1b (x A 222 ),x )(1()1x ()1x (x )x ()x x x (2α-+β-α=+β-α-+β-=α+αβ-α-+β-=α 同理),x )(1x (A β-+α-=β- 所以原式).1x )(1x )(x )(x (+β-+α-β-α-= 二、局部换元 例3 因式分解.14)8x 5x )(5x 5x (22-++-+ 解：设,A x 5x 2=+ 原式14)8A )(5A (-+-= ). 9x 5x )(6x )(1x () 9x 5x )(6x 5x () 9A )(6A (54 A 3A 2222+++-=++-+=+-=-+= 例4 因式分解.x )6x 5x )(6x 7x (222+++++ 解：设A 6x 5x 2=++，原式.)6x 6x ()x A (x Ax 2A x )x 2A (A 222222++=+=++=++= 三、局部分解后，重组再换元 例5 因式分解.91)9x )(35x 4x 4(22---- 解：原式91)]3x )(5x 2[()]3x )(7x 2[(91)3x )(3x )(5x 2)(7x 2(--+?+-=--++-= ,A 21x x 291)15x x 2)(21x x 2(222=-------=设原式91A 6A 91)6A (A 2-+=-+= )8x x 2)(7x 2)(4x ()8x x 2)(28x x 2()13A )(7A (222--+-=----=+-=
用换元法分解因式
用换元法分解因式 我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法.一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”. 李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换元法.李老师把换元法分解因式分成了三种情况： 一、换单项式 例1分解因式x6+14x3y+49y2. 分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为 m2+14my+49y2 =(m+7y)2 =(x3+7y)2. 二、换多项式 例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2. 分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为 (m+4x)(m+6x)+x2 =m2+10mx+24x2+x2 =m2+10mx+25x2 =(m+5x)2 =(x2+6+5x)2 =[(x+2)(x+3)]2 =(x+2)2(x+3)2.
以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为 m(m+2x)+x2 =m2+2mx+x2 =(m+x)2 =(x2+4x+6+x)2 =(x2+5x+6)2 =[(x+2)(x+3)]2 =(x+2)2(x+3)2. 另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m= [(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x， (m+x)(m-x)+x2 =m2-x2+x2 =m2 =(x2+5x+6)2 =[(x+2)(x+3)]2 =(x+2)2(x+3)2. 例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24. 分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决. 我们采用“均值换元法”，设m=[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为 (m+5)(m-5)+24 =m2-25+24 =m2-1
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳知识体系梳理 ◆ 添项拆项法 有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行合适的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。 大凡来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。 ◆ 待定系数法 有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。 用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆ 换元法 所谓换元，即对结构比较繁复的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使繁复 的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决繁复问题的方法，就叫 。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构繁复程度等方面都有着独到的作用。 （1）、使用换元法时，一定要有
意识，即把某些相同或相似的部分看成一个 。 （2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、分外值换元和几何换元。 （3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。 ★★ 典型例题、方法导航 ◆ 方法一：添项拆项法 【例1】分解因式： 分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即 ，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或,但的中间项是,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看： 解： 其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。 方法二： 方法三： 方法四： 方法五：
因式分解综合应用(换元法与添项拆项)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：目前我们学习的因式分解的方法有哪些？ 答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法． 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化 为． 答：四种基本方法． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分时，我们会将其替换，从而简化式子的形式． 答：重复出现；设元． 因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（人教 版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 2.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 3.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法
4.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 5.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
八年级数学因式分解综合应用(换元法与添项拆项)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：因式分解的基本方法有哪几种？ 问题2：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为____________． 问题3：换元是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，当多项式中的某一部分_______时，我们会________将其替换，从而简化式子的形式． 因式分解综合应用（换元法与添项拆项）（北师 版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 2.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 3.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 4.把因式分解，正确结果为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——换元法 5.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法 6.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法 7.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法 8.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法 9.把因式分解，正确结果是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,
板块二：选主元 【例1】 分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++ 【例2】 分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++-- 【例3】 分解因式：2222a b ab bc ac --++ 【例4】 分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ 【例5】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 【例6】 分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++ 【例7】 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++- 板块三：双十字相乘 双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式 22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。 由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法. 【例8】 分解因式：222332x xy y x y +-+++ 【例9】 分解因式：22344883x xy y x y +-+--
【例10】 分解因式：2265622320x xy y x y --++- 【例11】 分解因式：22276212x xy y x y -++-- 【例12】 分解因式：22121021152x xy y x y -++-+ 【例13】 分解因式：22243x y x y ---- 【例14】 分解因式：22534x y x y -+++ 【例15】 分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++-+- 【例16】 分解因式：22265622320x xy y xz yz z ----- 【例17】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证： 2b a c =+ 【例18】 分解因式：2262288x xy y x y +-+-- 【例19】 分解因式：223224x xy y x y ++++ 【例20】 分解因式：222695156x xy y xz yz z -+-++
因式分解的常用方法(最全版)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1 ）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2 ）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法. ：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： ( 1 ) (a+b)(a - b) = a 2 - b 2 ----------- a 2 - b 2 =(a+b)(a - b) ； (2) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab+b 2 --------- a 2 ± 2ab+b 2 =(a ± b) 2 ； (3) (a+b)(a 2 - ab+b 2 ) = a 3 +b 3 --------- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 - ab+b 2 ) ； (4) (a - b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 - b 3 -------- a 3 - b 3 =(a - b)(a 2 +ab+b 2 ) ． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ； (6)a 3 +b 3 +c 3 - 3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ca) ； 例. 已知是的三边，且， 则的形状是（） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： 三、分组分解法.
(完整word版)八年级培优因式分解之换元法与主元法
因式分解——换元法与主元法 因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法。 一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法． 所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 换元法 例1、分解因式： （1）10)3)(4(2 424+++-+x x x x （2）2 (1)(2)(3)(6)x x x x x +++++ 练习： (1)22212)16)(1(a a a a a ++-++ (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (3) ()()()2221x y xy x y xy +-+-+- (4) 2222 (48)3(48)2x x x x x x ++++++ (5) 2 2 2 (231)22331x x x x -+-+- 例2、把下列各式分解因式：))((2233b ab a b a b a +±=±μ 333(23)(32)125()x y x y x y -+--- 练习：分解因式： （1）333)()2()2(y x y x ----- （2）3 3 3 (23)(25)(34)a b c a b c a b c -+++-+-++ 例3：( ) 2 2 1999199911999x x --- 练习：4 2200120002001x x x +++
主元法 所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构． 例1、()()()222a b c b c a c a b -+-+- 例2、 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )． A ．()()()y z x y x z -+- B ．()()()y z x y x z --+ C ．()()()y z x y x z +-+ D ．()()()y z x y x z ++- 练习 把下列各式分解因式： (1)x 2+xy －2y 2－x+7y －6． (2)bc ac ab c b a 54332222+++++； (3) 613622-++-+y x y xy x (4)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． 说明(1)式子字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解． 练习题 1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12 3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． 4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ． 5．若51-=+b a ，13=+b a ，则5 3 912322+++b ab a 的值 为( )． A ． 92 B ．32 C ．5 4 D ．0 6．613223+-+x x x 的因式是( ) A ．12-x B ．2+x C ．3-x D ．12+x E ．12+x 7．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结 第一部分：方法介绍 初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb=m(a+b) 二、运用公式法. （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2
因式分解之配方法与主元法
第6讲因式分解 ——配方法与主元法、换元法 知识要点】 配方法：配方法是一种特殊的添项法，如何拆项或添项，依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。 主元法：当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去 解决问题。 换元法：换元法是根据代数式中的特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的文字（新元）代 替之，从而使这个代数式的结构简化，便于解题。 【经典例题】 例 1、分解因式：（1） x 2 6x 16 （2） x y 4 x 4 y 4 是多少? 有一个大于0例 2、已知 a 1990 x 1989,b 1990x 1990,c 1990x 1991,那么 a 2 b 2 c 2 ab bc ca 的值 例3、若a 、b 、c 是不全相等的实数，且 2 2 2 x a bc, y b ca, z c ab ，求证：x 、y 、 z 中至少
例4、分解因式：x2 3xy 10y2 x 9y 2 例5、分解因式：x2(y z) y2(z x) z2(x y) 例6、分解因式：2005x2(200521)x 2005 2 例7、(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x 例8、分解因式：2x4 x3 6x2 x 2
【经典练习】 1分解因式: / 2 2、2 2 2、(x xy y ) 4xy(x y ) 2、分解因式: (x2 3x 2)(4x2 8x 3) 90 3、分解因式: (a21)2 (a25)24(a23)2 4、分解因式: x2 y2 4x 6y 5 5、分解因式: xy 2y2 x 7y 6 6、分解因式: x2 xy 6y2 x 13y 6
因式分解之配方法与主元法
第6讲 因式分解 -----配方法与主元法、换元法 知识要点】 配方法：配方法是一种特殊的添项法，如何拆项或添项，依赖于对题目所给代数式特点的观察和分析。 主元法：当题目中的字母较多、问题较复杂时，我们可以把某一字母作为主元，而将其他字母作为常数去解决问题。 换元法：换元法是根据代数式中的特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的文字（新元）代替之，从而使这个代数式的结构简化，便于解题。 【经典例题】 例1、分解因式:（1）2616x x +- （2）()444y x y x +++ 例2、已知,19911990,19901990,19891990+=+=+=x c x b x a 那么ca bc ab c b a ---++2 22的值是多少？ 例3、若c b 、、a 是不全相等的实数，且ab c z ca b y bc a x -=-=-=222,,，求证：z y 、、x 中至少有一个大于0
例4、分解因式：291032 2-++--y x y xy x 例5、分解因式：)()()(222y x z x z y z y x -+-+- 例6、分解因式：2005)12005(200522---x x 例7、2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 例8、分解因式：262234+---x x x x
【经典练习】 1、分解因式：)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 2、分解因式：90)384)(23(22+++++x x x x 3、分解因式：2 22222)3(4)5()1(+-+++a a a 4、分解因式：56422-++-y x y x 5、分解因式：67222-+--+y x y xy x 6、分解因式：613622-++-+y x y xy x
因式分解之换元法和主元法
分解方法的延拓 一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法． 所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用． 所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构． 【例1】 分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ． 【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )． A ．(y －z)(x+y)(x －z) B ．(y －z)(x －y)(x ＋z) C ． (y+z)(x 一y)(x+z) D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) 【例3】把下列各式分解因式： (1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2 ； (2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． 配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法． 【例2】分解因式：344422-+--y y x x = ． 【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．
【例3】把下列各式分解因式： (1)1724+-x x ； （2）22412a ax x x -+++； (3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (4)1232234++++x x x x 【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积? 【例5】 如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少? 训练 1．(1)完成下列配方问题：[])()()()(212222++=+++=++x px x px x （2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是 ． 2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝ ． 3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ． 4．已知多项式6823222-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么11 23-+n m 的值是 ． 5．已知052422=+-++b a b a ，则 b a b a -+的值为( ) A ．3 B ．3 1 C ．3- D ．31- 6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( ) A ．－2 B ．－l C ．0 D ．2
换元法分解因式
换元法分解因式巧用 吴健 用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化。本文谈谈应用换元法分解因式的技巧和方法。 一、整体换元 例1 分解因式：.16)4a 3a )(2a 3a (22-++-+ 解：设m 2a 3a 2=-+，则 原式 )4a 3a )(6a 3a ()2m )(8m (16m 6m 16)6m (m 222-+++=-+=-+=-+=).1a )(4a )(6a 3a (2-+++= 评注：此题还可以设m a 3a 2=+，或m 4a 3a 2=++，或m 1a 3a 2=++。 二、均值换元 例2 分解因式：.15)7a )(5a )(3a )(1a (+++++ 解：原式.15)15a 8a )(7a 8a (15)]5a )(3a )][(7a )(1a [(22+++++=+++++= 取“均值”，设.11a 8a )]15a 8a ()7a 8a [(21m 222++=+++++= 原式)1m )(1m (1m 1516m 15)4m )(4m (22-+=-=+-=++-= ).10a 8a )(6a )(2a ()10a 8a )(12a 8a (222++++=++++= 三、双换元 例3 分解因式：).b a )(a c (4)c b (2 ---- 解：设q b a ,p a c =-=-，两式相加，则).q p (c b +-=- 原式.)a 2c b ()]b a ()a c [()q p (pq 4)]q p ([2222-+=---=-=-+-= 四、倒数换元 例4 分解因式.1a 7a 14a 7a 234++++ 解：原式 ??? ??++++=222a 1a 714a 7a a ??? ??=+++-=?? ????+??? ??++??? ??+=m a 1a ]14m 7)2m [(a 14a 1a 7a 1a a 22222设 )12m 7m (a 22++= ).1a 4a )(1a 3a (4a 1a 3a 1a a ) 4m )(3m (a 2222++++=?? ? ??++??? ??++=++=
-因式分解之换元法与主元法
-因式分解之换元法与主元法 一些复杂的因式分解问题、常用到换元法和主元法、所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用、换元法例 1、分解因式：（1）（2）练习： (1)(2)；(3) (4) (5) 例 2、把下列各式分解因式：练习：分解因式：（1）（2）例3：练习：主元法所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构、例 1、例 2、多项式因式分解后的结果是( )、 A、 B、 C、
D、练习把下列各式分解因式：(1)x2+xy－2y2－x+7y－ 6、(2)；(3) (4)、说明(1)式子字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解、练习题 1、分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－ 82、分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－1 23、分解因式：x2－xy－2y2－x－y= 、 4、已知二次三项式在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为、 5、若，，则的值为( )、A、 B、 C、 D、0 6、的因式是( ) A、 B、 C、 D、 E、7、已知，M=，N=，则M与N的大小关系是( ) A、M
D、不能确定 8、已知在ΔABC中，(a、b、c是三角形三边的长)、求证：
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【关键字】精品 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -----------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ---------a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 --------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（） A.直角三角形B等腰三角形 C 等边三角形D等腰直角三角形解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公