简单的线性规划典型例题课件资料
简单的线性规划典型例题
例1画出不等式组
?
?
?
?
?
≤
+
-
≤
-
+
≤
-
+
-
.0
3
3
4
2
y
x
y
x
y
x
，
，
表示的平面区域．分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．
解：把0
=
x，0
=
y代入2
-
+
-y
x中得0
2
0<
-
+
-
∴不等式0
2≤
-
+
-y
x表示直线0
2=
-
+
-y
x下方的区域（包括边界），
即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．
说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．
例2 画出3
3
2≤
<
-y
x表示的区域，并求所有的正整数解),(y x．
分析：原不等式等价于
?
?
?
≤
-
>
.3
,3
2
y
x
y
而求正整数解则意味着x，y
有限制条件，即求
?
?
?
?
?
?
?
≤
-
>
∈
∈
>
>
.3
,3
2
,
,
,0
,0
y
x
y
z
y
z
x
y
x
．
解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知3
3
2≤
<
-y
x表示的
区域如下图：
对于3
3
2≤
<
-y
x的正整数解，先画出不等式组．
?
?
?
?
?
?
?
≤
-
>
∈
∈
>
>
.3
,3
2
,
,
,0
,0
y
x
y
z
y
z
x
y
x
所表示的平面区域，如图所示．
容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．
例3求不等式组
??
?
?
?
+
-
≤
-
+
≥
1
1
1
x
y
x
y
所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够
对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值
加以讨论．
解：不等式1
1-
+
≥x
y可化为)1
(-
≥
≥x
x
y或)1
(2-
<
-
-
≥x
x
y；
不等式1+
-
≤x
y可化为)0
(1≥
+
-
≤x
x
y或)0
(1<
+
≤x
x
y．在平面直角坐标系内作出四条射线
)1
(-
≥
=x
x
y
AB：，)1
(2-
<
-
-
=x
x
y
AC：
)0
(1≥
+
-
=x
x
y
DE：，)0
(1<
+
=x
x
y
DF：
则不等式组所表示的平面区域如图
由于AB与AC、DE与DF互相垂直，
所以平面区域是一个矩形．
根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为2
2和
2
2
3．
所以其面积为
2
3．
例4若x、y满足条件
?
?
?
?
?
≤
+
-
≥
+
-
≤
-
+
.0
10
4
10
2
3
12
2
y
x
y
x
y
x
，
，
求y
x
z2
+
=的最大值和最小值．
分析：画出可行域，平移直线找最优解．
解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示． 作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为2
1-，纵截距为2z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =?+=z ∴ 2222min =?+-=z
说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．
例5 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．
分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解：直线AB 的斜率为：1)
3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ． ABC ?的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）．
所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组
?
?
?
?
?
<
+
-
>
+
+
>
+
-
2
2
,0
6
2
,0
3
y
x
y
x
y
x
表示．
说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．
例6已知0
5≥
-
+y
x，0
10≤
-
+y
x．求2
2y
x+的最大、最小值．分析：令2
2y
x
z+
=，目标函数是非线性的．而()22
2
2
2y
x
y
x
z+
=
+
=
可看做区域内的点到原点距离的平方．问题转化为点到直线的距离问题．
解：由
?
?
?
≤
-
+
≥
-
+
,0
10
,0
5
y
x
y
x
得可行域(如图所示)为()22
2
2
2y
x
y
x
z+
=
+
=，而)0,0(到0
5=
-
+y
x，0
10=
-
+y
x的距离分别为
2
5和
2
10．
所以z的最大、最小值分别是50和
2
25．
说明：题目中的目标函数是非线性的．解决的方法类似于线性规
划问题．可做出图，利用图进行直观的分析．
例7设y
x
z5
7+
=式中的变量x、y满足下列条件
?
?
?
?
?
∈
∈
≤
-
-
≤
-
+
.*
*,
,0
2
3
,0
20
3
4
N
y
N
x
y
x
y
x
求z 的最大值．
分析：先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的*
N
y
x∈
、，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线0
5
7=
+y
x平等的直线再进行观察．
解：作出直线0
20
3
4
1
=
-
+y
x
l：和直线0
2
3
2
=
-
-y
x
l：，得可行域如图所示．
解方程组
?
?
?
=
-
-
=
-
+
2
3
20
3
4
y
x
y
x
得交点)
5
4
,
5
22
(A．
又作直线0
5
7=
+y
x
l：，平等移动过点A时，y
x5
7+取最大值，然而点A不是整数点，故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为5
4
34
5
7=
+y
x，应考虑可行域中距离直线
5
4
34
5
7=
+y
x最近的整点，即)4,2(B，有34
4
5
2
7
)
(
=
?
+
?
=
B
z，应注意不是找距点A最近的整点，如点)1,4(C为可行域中距A最近的整点，但33
1
5
4
7
)
(
=
?
+
?
=
C
z，它小于)
(B
z，故z的最大值为34．
说明：解决这类题的关键是在可行域内找准整点．若将线性目标函数改为非线性目标函数呢？
例8 设2
2y
x
z+
=，式中的变量x、y满足
?
?
?
?
?
≥
≤
+
-
≤
-
.1
,
25
5
3
,3
4
x
y
x
y
x
试求z的最大值、最小值．
分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数2
2y
x
z+
=应理解为可行域中的点与坐标原点的距离的平方．解：作出直线0
3
4
1
=
+
-y
x
l：，0
25
5
3
2
=
-
+y
x
l：，1
3
=
x
l：得到如图所示的可行域．
由
?
?
?
=
-
+
=
+
-
25
5
3
3
4
y
x
y
x
得)2,5(A
由
?
?
?
=
=
+
-
1
3
4
x
y
x
得)1,1(C
由
?
?
?
=
=
-
+
1
25
5
3
x
y
x
得)
5
22
,1(B．
由图可知：当)
,
(y
x为点)1,1(C时，z取最小值为2；当)
,
(y
x为点)2,5(A时，z取最大值29．
说明：若将该题中的目标函数改为
y
x
z=，如何来求z的最大值、最小值呢？请自己探求．（将目标函数理解为点)
,
(y
x与点)0,0(边线的斜率）
例9设0≥x，0≥y，0≥z；z
y
x
p2
3+
+
-
=，z
y
x
q4
2+
-
=，1
=
+
+z
y
x，用图表示出点)
,
(q
p的范围．
分析：题目中的
p ，q 与x ，y ，z 是线性关系．可借助于x ，y ，z 的范围确定),(q p 的范围．
解：由?????=++=+--=--,1,42,23z y x q z y x p z y x 得????
?????++=+-=-+=),345(271),3514(271),68(271q p z p q y p q x 由0≥x ，0≥y ，0≥z 得??
???≥++≥+-≤--,0543,01453,086q p q p q p 做出不等式所示平面区域如图所示．
说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x ，y ，z 的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出x ，y ，z ，从而求出p ，q 所满足的不等式组找出),(q p 的范围．
例10 某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）
混合 烹调 包装 A
1 5 3 B
2 4 1
每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机
器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润． 分析：找约束条件，建立目标函数．
解：设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则此
问题的数学模式在约束条件?????????≥≥≤+≤+≤+0
090031800457202y x y x y x y x 下，求目标函数y
x z 5040+=的最大值，作出可行域，其边界
0:=y OA 09003:=-+y x AB 0180045:=-+y x BC
07202:=-+y x CD 0:=x DO
由y x z 5040+=得50
5
4z x y +-=，它表示斜率为54-，截距为50z 的平行直线系，50z 越大，z 越大，从而可知过C 点时截距最大，z 取得了最大值．
解方程组()3001201800457202，C y x y x ??
??=+=+ ∴ 198003005012040max =?+?=z 即生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，可得最大利润19800元．
说明：由于生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究．
例11
甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表： 甲
乙 丙 维生素A （单位/千
克） 600
700 400 维生素B （单位/千
克）
800
400 500
成本（元/千克） 11 9 4 某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A 和63000单位维生素B ．（1）用x 、y 表示混合物成本C ．（2）确定x 、y 、z 的值，使成本最低．
分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解． 解：（1）依题意：x 、y 、z 满足y x z z y x --=?=++100100 ∴ 成本400574911++=++=y x z y x C （元）
（2）依题意???≥++≥++63000
50040080056000400700600z y x z y x ∵ y x z --=100 ∴??
???≥≥≥-≥+00130316032y x y x y x ，
作出不等式组所对应的可行域，如图
所
示．
联立()????=+=-2050160321303，交点A y x y x 作直线C y x =++40057则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直
线过()2050，
A 时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元
∴ 50=x 千克，30=z 千克时成本最低．
例12 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15t ，已知生产甲产品1t 需煤9t ，电力4kW ，劳力3个（按工作日计算）；生产乙产品1t 需煤4t ，电力5kW ，劳力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤最不得超过300吨，电力不得超过200kW ，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少t ，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富．
分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为xt 和yt ，建立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题．
解：设每天生产甲产品xt ，乙产品yt ，总产值St ，依题意约束条件为：
?????????≤+≤+≤+≥≥.
300103,20054,30049,15,15y x y x y x y x
目标函数为y x S 127+=．
约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴影部分)．
现在就要在可行域上找出使y x S 127+=取最大值的点),(y x ．作直线y x S 127+=，随着S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为12
S ，可以看出，当直线的纵截距越大，S 值也越大．
从图中可以看出，当直线y x S 127+=经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．
解方程组???=-+=-+,0300103,020054y x y x 得)24,20(A ．故当20=x ，24=y 时，
4282412207=?+?=最大值S (万元)．
答：第天生产甲产品20t ，乙产品24t ，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富428万元．
说明：解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用S 的几何意义，求出最优解．如本例中，12
S 是目标函数y x S 127+=的纵截距． 例13 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于3
1配套，怎样截最合理？
分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．
解：设截500mm 的x 根，600mm 的y 根，根据题意，得
?
?
?
?
?
?
?
>
>
<
≤
+
.0
,0
,
3
,
40
6
5
y
x
x
y
y
x
且z
y
x∈
,．
作出可行域，如下图中阴影部分．
目标函数为y
x
z+
=，作一组平行直线t
y
x=
+，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过)8,0(B的直线，这时8
=
+y
x．由x，y为正整数，知)8,0(不是最优解．
在可行域内找整点，使7
=
+y
x
可知点)5,2(，)4,3(，)3,4(，)2,5(，)1,6(均为最优解．
答：每根钢管截500mm的2根，600mm的5根，或截500mm的3根，600mm的4根或截500mm的4根，600mm的3根或截500mm的5根，600mm的2根或截500mm的6根，600mm的1根最合理．说明：本题易出现如下错解：设截500mm的x根，600mm的y根，则
?
?
?
?
??
?
?
?
>
>
>
≤
+
.0
,0
,
3
1
,
4000
600
500
y
x
y
x
y
x
即
?
?
?
?
?
?
?
>
>
<
≤
+
.0
,0
,
3
,
40
6
5
y
x
x
y
y
x
其中x、y均为整数．作出可行域，如下图所示中阴影部分．目标函数为y
x
z+
=，作一组平行直线t
y
x=
+，经过可行域内的点且和
原点相距最远的直线为过A 点的直线．先求A 点的坐标，
解???=+=40653y x x y 得???
????==231202340y x ， 故??
????23120,2340A ，即7=+y x ，调整为2=x ，5=y ． 经检验满足条件，所以每根截500mm 的2根，600mm 的5根最合理．
本题解法错误主要是在作一组平行直线t y x =+时没能准确作出，而得到经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过A 点的直线．
此错误可检验如下：
如果直线t y x =+通过A 点，它是经过可行域内的点且到原点距离最远的直线，那么
t =+231202340，即7=+y x ．由于x ，y 为整数，所以点)23
55,23171(A 不是最优解但在可行域内除A 点外，不可能再有其他点满足7=+y x ，只能在可行域内找满足6=+y x 的点．如果还没有整数点，则只能在可行域内找满足5=+y x 的整数点．但我们知道2=x ，5=y 满足题意，这样，就出现了矛盾，从而判断解法错误，即t y x =+通过A 点的直线并不是通过可行域内的点且和原点距离最远的直线．
例14 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 产品1kg 要用煤9t ，电力4kW ，3个工作日；生产B 产品1kg 要用煤4t ，电力5kW ，10个工作日．又知生产出A 产品1kg 可获利7万元，生产出B 产品1kg 可获利12万元，现在工厂只有煤360t ，电力200kW ，300个工作日，在这种情况下生产A ，B 产品各多少千克能获得最大经济效益．
分析：在题目条件比较复杂时，可将题目中的条件列表．
产品 工作日
煤/ t 电力/k W 利润/万元 A 产品 3
9 4 7 B 产品
10 4 5 12
解：设这个工厂应分别生产A ，B 产品xkg ，ykg ，可获利z 万元．根
据上表中的条件，列出线性约束条件为???????≥≥≤+≤+≤+,
0,0,
20054,36049,300103y x y x y x y x 目标函数为
y x z 127+=(万元)．
画出如图所示的可行域，做直线0127'=+y x l ：
，做一组直线t y x =+127与'l 平行，当l 过点A 时t 最大．由???=+=+,
20054,300103y x y x 得A 点坐标为)24,20(．把A 点坐标代入l 的方程，得428=t (万元)．
答：应生产A 产品20t ，B 产品24t ，能获最大利润428万元． 说明：把实际问题转化为线性规划问题的难点在于找出题目中的
所有线性约束条件．同时本题的可行域形状较复杂，要注意分析目标函数的斜率和各边界斜率的关系：从而确定在何处取得最优解．解应用题时还应注意设出未知量和做答这两个必要步骤．
例15 某公司每天至少要运送180t 货物．公司有8辆载重为6t 的A 型卡车和4辆载重为10t 的B 型卡车，A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车可往返3次，A 型卡车每天花费320元，B 型卡车每天花费504元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少．
分析：设A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆．问题转化为线性规划问题．同时应注意到题中的x ，y 只能取整数．
解：设A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，则???????≥+≤+≤≤≤≤,
1803024,10,40,80y x y x y x 即???????≥+≤+≤≤≤≤,
3054,10,40,80y x y x y x 目标函数y x z 504320+=．做如图所示的可行域，
做直线0504320'=+y x l ：
．在可行域中打上网格，找出)0,8(，)1,8(，)2,8(，)1,7(，)2,7(，)3,7(，…等整数点．做t y x l =+504320：与'l 平行，可见当l 过)0,8(时t 最小，即25603208min =?=z (元)．
说明：整数解的线性规划问题．如果取最小值时不是整数点，则考虑此点附近的整数点．
例16 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：
现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？
分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A、B、C又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解．解：设该厂使用燃料甲x吨，燃料乙y吨，甲每吨t2元，
则成本为)
3
2(
3
2y
x
t
ty
tx
z+
=
+
=．因此只须求y
x3
2+的最小值即可．
又由题意可得x、y满足条件
?
?
?
?
?
≥
+
≥
+
≥
+
.
65
13
5
,
63
9
7
,
50
5
10
y
x
y
x
y
x
作出不等式组所表示的平面区域（如图）
由??
?=+=+.6397,50510y x y x 得)1156,1127(A 由???=+=+.
65135,6397y x y x 得)2370,23117(B 作直线032=+y x l ：，把直线l 向右上方平移至可行域中的点B 时，
23
4442370323117232=?+?
=+=y x z ． ∴最小成本为t 23
444． 答：应用燃料甲23117吨，燃料乙2370吨，才能使成本最低． 说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？
例17 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克．如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？
分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组．只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案．
解：设每天配制甲各饮料x 杯、乙种饮料y 杯可获得最大利润，利润总额为z 元．
由条件知：y x z 2.17.0==．变量x 、y 满足
?
?
?
?
?
?
?
≥
≥
≤
+
≤
+
≤
+
.0
,0
,
3000
10
3
,
2000
5
4
,
3600
4
9
y
x
y
x
y
x
y
x
作出不等式组所表示的可行域（如图）
作直线0
2.1
7.0=
+y
x
l：，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，
y
x
z2.1
7.0+
=取最大值．
由方程组：
?
?
?
=
-
+
=
-
+
.0
2000
5
4
,0
3000
10
3
y
x
y
x
得A点坐标)
240
,
200
(A．
答：应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
中学物理受力分析经典例题物理受力分析
中学物理受力分析经典例题 1.分析满足下列条件的各个物体所受的力，并指出各个力的施力物体. 2.对下列各种情况下的物体A 进行受力分析 3. 对下列各种情况下的物体A 进行受力分析，在下列情况下接触面均不光滑. （1）沿水平草地滚动的足球 （3）在光滑水平面上向右运动的物体球 （2）在力F 作用下静止水平面上的物体球 （4）在力F 作用下行使在 路面上小车 V （5） 沿传送带匀速运动的物体 （6）沿粗糙的天花板向右运动的物体 F>G V （2）沿斜面上滑的物体A （接触面光滑） （1）沿斜面下滚的小球， 接触面不光滑. （3）静止在斜面上的物体 （4）在力F 作用下静止在斜面上的物体A. （5）各接触面均光滑 A 物块A （1）A 静止在竖直墙面上 v （2）A 沿竖直墙面下滑 （6）在拉力F 作用下静止在斜面上的物体A
4.对下列各种情况下的A 进行受力分析（各接触面均不光滑） 5．如图所示，水平传送带上的物体。 （1）随传送带一起匀速运动 （2）随传送带一起由静止向右起动 6．如图所示，匀速运动的倾斜传送带上的物体。 （1）向上运输 （2）向下运输 7.分析下列物体A 的受力：（均静止） （1）A 、B 同时同速向右行使向 B A F F B A （2）A 、 B 同时同速向右行使向 （4）静止的杆，竖直墙面光滑 A （5）小球静止时的结点A A （6）小球静止时的结点A A α B A B A （光滑小球A ） A α
8.如图1—13甲所示，竖直墙壁光滑，分析静止的木杆受哪几个力作用。 乙 图1—13 9.如图1—14甲所示，Ａ、Ｂ、Ｃ叠放于水平地面上，加一水平力Ｆ，三物体仍静止，分析Ａ、Ｂ、Ｃ的受力情况。 甲乙 图1—14 10.如图1—15甲所示，物体Ａ、Ｂ静止，画出Ａ、Ｂ的受力图。 图1—15甲图1—15乙 11.如图1—18所示，放置在水平地面上的直角劈M上有一个质量为m的物体，若m在其上匀速下滑，Ｍ仍保持静止，那么正确的说法是（） A.Ｍ对地面的压力等于（M+m）g B.Ｍ对地面的压力大于（M+m）g C.地面对Ｍ没有摩擦力 D.地面对Ｍ有向左的摩擦力 图1—18
受力分析专题练习含答案详解汇总
受力分析试题精炼 1、如图所示，物体A、B、C叠放在水平桌面上，水平力F作 用于C物体，使A、B、C以共同速度向右匀速运动，那么关于 物体受几个力的说法正确的是（） A．A 受6个，B受2个，C受4个 B．A 受5个，B受3个，C受3个C．A 受5个，B受2个，C受4个 D．A 受6个，B受3个，C受4个 2．如图所示，两个等大、反向的水平力F分别作用在物体A和B上，A、B两物体均处于静止状态。若各接触面与水平地面平行，则A、B两物体各受几个力?（）A．3个、4个B．4个、4个 C．4个、5个D．4个、6个 3．如图所示，倾角为 的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上， 通过细绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与 斜面平行，A、B、C都处于静止状态．则（） A．B受到C的摩擦力一定不为零 B．C受到水平面的摩擦力一定为零 C．不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左 D．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等 4．如图3所示，一质量为M的斜面体放在水平面上，在其斜面上放一质 量为m的物体A，用一沿斜面向上的力F作用于A上，使其沿斜面匀速 下滑，在A下滑的过程中，斜面体静止不动，则地面对斜面体的摩擦力 f及支持力N是（） A．f=0，N=Mg+mg B．f向左，N 线性规划教案 1.若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 2.不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为 （） A、4 B、1 C、5 D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面 积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 3.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥ ? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 4.已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值 为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函 数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 5.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产 物体的受力（动态平衡）分析及典型例题 受力分析就是分析物体的受力，受力分析是研究力学问题的基础，是研究力学问题的关键。 受力分析的依据是各种力的产生条件及方向特点。 一.几种常见力的产生条件及方向特点。 1.重力。 重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，只要物体在地球上，物体就会受到重力。 重力不是地球对物体的引力。重力与万有引力的关系是高中物理的一个小难点。 重力的方向：竖直向下。 2.弹力。 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。 判断弹力有无的方法：假设法和运动状态分析法。 弹力的方向与施力物体形变的方向相反，与施力物体恢复形变的方向相同。 弹力的方向的判断：面面接触垂直于面，点面接触垂直于面，点线接触垂直于线。 【例1】如图1—1所示，判断接触面对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。图a 中接触面对球 无 弹力；图b 中斜面对小球 有 支持力。 【例2】如图1—2所示，判断接触面MO 、ON 对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。水平面ON 对球 有 支持力，斜面MO 对球 无 弹力。 【例3】如图1—4所示，画出物体A 所受的弹力。 a 图中物体A 静止在斜面上。 b 图中杆A 静止在光滑的半圆形的碗中。 c 图中A 球光滑，O 为圆心，O ＇为重心。 【例4】如图1—6所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质 量为m 的球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：（1）小车静止；（2）小车以加速度a 水平向右加速运动；（3）小车以加速度a 水平向左加速运动；（4）加速度满足什么条件时，杆对小球的弹力沿着杆的方向。 3.摩擦力。 摩擦力的产生条件为：（1）两物体相互接触，且接触面粗糙；（2）接触面间有挤压；（3）有相对运动或相对运动趋势。 摩擦力的方向为与接触面相切，与相对运动方向或相对运动趋势方向相反。 判断摩擦力有无和方向的方法：假设法、运动状态分析法、牛顿第三定律分析法。 【例5】如图1—8所示，判断下列几种情况下物体A 与接触面间有、无摩擦力。 图a 中物体A 静止。图b 中物体A 沿竖直面下滑，接触面粗糙。图c 中物体A 沿光滑斜面下滑。图d 中物体A 静止。 图a 中 无 摩擦力产生，图b 中 无 摩擦力产生，图c 中 无 摩擦力产生,图d 中 有 摩擦力产生。 【例6】如图1—9所示为皮带传送装置，甲为主动轮，传动过程中皮带不打滑，P 、Q 分别为两轮边缘上的两点，下列说法正确的是：（ B ） A ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同 【例7】如图1—10所示，物体A 叠放在物体B 上，水平地面光滑，外力F 作用于物体B 上使它们一起运动，试分析两物体受到的静摩擦力的方向。 简单的线性规划练习 附答案详解 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1) 2.若2m ＋2n <4，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 3．不等式组???? ? x ≥0x ＋3y ≥4 3x ＋y ≤4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3 4 4.不等式组???? ? x ＋y ≥22x －y ≤4 x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2 B ．6 2 C ．6 D ．3 5.设变量x ，y 满足约束条件???? ? y ≤x x ＋y ≥2 y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6.已知A (2,4)，B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1 D ．3,1 7.在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A ．95 B ．91 C ．88 D ．75 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元 D ．27万元 9.已知实数x ，y 满足???? ? x －y ＋6≥0x ＋y ≥0 x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥1 B ．a ≤－1 C ．－1≤a ≤1 D ．a ≥1或a ≤－1 10.已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0 x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数 z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 11.当点M (x ，y )在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,1) 12.已知x 、y 满足不等式组???? ? y ≥x x ＋y ≤2 x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( ) 初中受力分析24个题 1、一个放在水平桌面上的物体,受到分别为5牛和3牛的两个力F １ 、 F 2 的作用后仍处于静止状态,如图8所示,则该物体受到的合力 为，桌面对此物体的摩擦力大小为，方向 为。 ２、一物体做匀速直线运动,在所受的多个力中,有一对大小为1５Ｎ的平衡力，当这对力突然消失后，该物体的运动状态将＿_＿__＿________＿（填“改变”或“不变”). ３、一个小球重3牛顿,当它以０.5米/秒的速度在光滑的平面上作匀速直线运动时，加在小球上的水平推力是( ） A、０牛顿 B、1.５牛顿 C、3牛顿 D、无法判断。 4、如图９甲所示,完全相同的木块A和B叠放在水平桌面上，在12N的水平拉力F 1作用下，A、B一起做匀速直线运动,此时木块Ｂ所受的摩擦力为N;若 将A、B紧靠着放在水平桌面上,用水平力F 2 推Ａ使它们一起匀速运动（如图９乙所 示），则推力F ２ = Ｎ。 5、墙对木块的摩擦力的变化情况是： Ａ、增大; Ｂ、减小; C、不变； D、无法判断。 6、竖直悬挂的磁性黑板上吸附着一磁性黑板擦,黑板擦静止不动。 在竖直方向上黑板擦保持平衡的原因是受到摩擦力和力的作用。 7、体育课上,小明匀速爬杆，小刚匀速爬绳。有关他们受到的摩擦力,下面说法正确的是（ ) A.因为爬杆时手握杆的压力大,所以小明受到的摩擦力一定大 Ｂ.因为绳子粗糙,所以小刚受到的摩擦力一定大 C.小明和小刚受到的摩擦力一定相等 D.若小明的体重大，则他受到的摩擦力一定大。 8、起重机吊着一重为Ｇ的物体（1）匀速上升拉力为Ｆ 1，(２)匀速下降拉力为F 2 , （3)静止在空中拉力为F 3，(４)在空中水平匀速运动拉力为F ４ ，（5）以3m/s的速 度匀速上升,拉力为F 5，(6）以2ｍ/s的速度匀速下降拉力为Ｆ 6 ,这几种状态都是 状态。比较F 1、F 2 ,F 3 ,F 4 ，Ｆ ５ ，F 6, 有F 1 F 2 ___ Ｆ 3 Ｆ ４ F ５ F ６ 。 9、重5N的茶杯静止在水平桌面上,受到的摩擦力大小为N。 简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来， 可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． 精选受力分析练习题15道（含答案及详解） 1．如右图1所示，物体M 在竖直向上的拉力F 作用下静止在斜面上，关于M 受力的个数，下列说法中正确的是（D ） A ．M 一定是受两个力作用 B ．M 一定是受四个力作用 C ．M 可能受三个力作用 D ．M 不是受两个力作用就是受四个力作用 2、如图2所示,物体A 靠在竖直墙面上,在力F 作用下,A 、B 保持静止.物体B 的受力个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C 解析 B 物体受四个力的作用,即重力、推力F 、物体A 对B 的支持力和物体A 对B 的摩擦力. 3、如图3所示，物体A 、B 、C 叠放在水平桌面上，水平力F 作用于C 物体，使A 、 B 、 C 以共同速度向右匀速运动，那么关于物体受几个力的说法正确的是 （ A ） A ．A 受6个， B 受2个， C 受4个 B ．A 受5个，B 受3个，C 受3个 C ．A 受5个，B 受2个，C 受4个 D ．A 受6个，B 受3个，C 受4个 4、如图4所示，在水平力F 作用下，A 、B 保持静止.若A 与B 的接触面是水平的，且F≠0.则关于B 的受力个数可能为( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析：对于B 物体，一定受到的力有重力、斜面支持力、A 的压力和A 对B 的摩擦力，若以整体 为研究对象，当F 较大或较小时，斜面对B 有摩擦力，当F 大小适当时，斜面对B 的摩擦力为零，故B 可能受4个力，也可能受5个力.答案：BC 5、如右图5所示，斜面小车M 静止在光滑水平面上，一边紧贴墙壁．若再在斜面上加一物体m ，且M 、m 相对静止，小车后来受力个数为( B ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析： 对M 和m 整体，它们必受到重力和地面支持力．对小车因小车静止，由平衡条件知墙面对小车必无作用力，以小车为研究对象．如右图所示，它受四个力；重力M g ，地面的支持力F N1，m 对它的压力F N2和静摩擦力Ff ，由于m 静止，可知F f 和F N2的合力必竖直向下，故B 项正确． 6、如图6所示，固定斜面上有一光滑小球，有一竖直轻弹簧P 与一平行斜面的轻弹簧Q 连接着， 小球处于静止状态，则关于小球所受力的个数不可能的是 （ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7、如图7所示，在竖直向上的恒力F 作用下，物体A 、B 一起向上做匀加速运动。在运动过程 中，物体A 保持和墙面接触，物体B 紧贴在A 的下表面，A 和B 相对静止，则下列说法正确的是（ CD ） A.竖直墙面对物体A 有摩擦力的作用 B.如果物体运动的加速度较小，则物体A 、B 间可以没有摩擦力作用 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 图 6 图7 受力分析中几种典型问题及处理方法 一整体法与隔离法的应用 1．如图所示，两相互接触的物块放在光滑的水平面上，质量分别为m 1和m 2，且m 1＜m 2。现对两物块同时施加相同的水平恒力F 。设在运动过程中两物块之间的相互作用力大小为F N ，则( ) A ．N 0F = B ．N 0F F << C ．N 2F F F << D ．N 2F F > 2.如图所示，质量为M 的三角形木块A 静止在水平面上。一质量为m 的物 体B 正沿A 的斜面下滑，三角形木块A 仍然保持静止。则下列说法中正确 的是 ( ) A ．A 对地面的压力大小一定等于g m M )(+ B ．水平面对A 的静摩擦力可能为零 C ．水平面对A 静摩擦力方向不可能水平向左 D ．若B 沿A 的斜面下滑时突然受到一沿斜面向上的力F 的作用，如果力 F 的大小满足一定条件，三角形木块A 可能会立刻开始滑动 3．如图所示，一质量为M 的直角劈B 放在水平面上，在劈的斜面上放一质量为m 的物体A ，用一沿斜面向上的力F 作用于A 上，使其沿斜面匀速上滑，在A 上滑的过程中直角劈B 相对地面始终静止，则关于地面对劈的摩擦力f 及支持力N 正确的是 （ ） A ．f = 0 ，N = Mg +mg B ．f 向左，N 受力分析练习题 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 受力分析 例1：画出静止在斜面上的A物体的受力示意图。（F垂直于斜面） 例2: 画出下图中光滑斜面上被一挡板挡住的静止钢球的受力示意图。例3: 在竖直双线悬吊着的斜木梁M上，放着物体m，分析斜梁受哪几个力的作用？ 例4: 质量相同的两块砖A、B被两木板夹住，试分析 A、B的受力情况。 例5：物体A放在水平传送带上，且A与传送带保持相对静止，如图所示，若传送带向右匀速运动，试分析A的受力。 例6．如图所示，倾斜传送带上的物体。 v v 1．分别画出图中A、B两物体的受力示意图（A和B 均静止） 2．如图所示，用力F将一个木块压在倾斜板上静止不动，则木块（） A．有可能只受两个力作用 B．有可能只受三个力作用 C．必定受四个力作用 D．以上说法都不对 3.如图所示，A、B、C三木块叠放在水平桌面上，对B木块施加一个水平向右恒力F，三木块共同向右匀速运动，三木块的重力都是G，分别画出三木块受力示意图。 4.下图中的三个物体正在匀速直线向左运动，那么各接触面的摩擦力大小和方向如何？ 5.如图所示，质量都是m的4块砖被夹在两木板之间静止。求中间两块砖之间的摩擦力。 6：对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是：（） A．A轮带动B轮沿逆时针方向旋转 B．B轮带动A轮沿逆时针方向旋转 C．C轮带动D轮沿顺时针方向旋转 D．D轮带动C轮沿顺时针方向旋转 7．如图所示，A、B两物体排放在水平面上，在水平力F的作用下处于静止状态．在以下情况中对B进行受力分析。 （1）B与水平面间无摩擦。 （2）B与水平面间及B．A之间都存在摩擦。 8．如图所示，人重600N，木板重400N，人与木板，木板与地面间动摩擦系数均为0．2，现在，人用一水平恒力拉绳子，使他与木块一起向右匀速运动，则人拉绳子的力及人与木块间的摩擦力分别是多少？ §3.3.1二元一次不等式（组）与 平面区域（1） 1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力. 一、课前准备 复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习2：解下列不等式： （1）210x -+>； （2）22320 41590 x x x x ?+-≥??-+>?? . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，30 40x x +>??- 并思考： 当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式6x y -<有什么关系？______________ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？ 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线x-y=6的_____；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<. 因此，在平面直角坐标系中，不等式6x y -<表示直线x-y=6左上 方的平面区域；如图: 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图: 直线叫做这两个区域的边界 结论： 1. 二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2. 不等式中仅>或<不包括 ；但含“≤”“≥”包括 ； 同侧同号，异侧异号. ※ 典型例题 例1画出不等式44x y +<表示的平面区域. 分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出． 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点. 变式：画出不等式240x y -+-≤表示的平面区域. 例2用平面区域表示不等式组312 2y x x y <-+?? 受力分析专题 二、典型例题 1.分析满足下列条件的各个物体所受的力，并指出各个力的施力物体. 2.对下列各种情况下的物体 A 进行受力分析 1. 对下列各种情况下的物体A 、B 进行受力分析，在下列情况下接触面均不光滑. 2.对下列各种情况下的A 、B 进行受力分析（各接触面均不光滑） 5、分析下列物体所受的力(竖直面光滑，水平面粗糙) 五、课后作业： 1、分析各物体的受力情况 （1）沿水平草地滚动的（2）在力F 作用下静止水 平面上的物体球 F V （3）在光滑水平面上向右运动的物体球 （4）在力F 作用下行使在 路面上小车 F V （6）沿粗糙的天花板 向右运动的物体 F>G F A V （2）沿斜面上滑的物体A （接触面光滑） A V （1）沿斜面下滚的小球， 接触面不光滑. A V （3）静止在斜面上的物体 A （4）在力F 作用下静 止在斜面上的物 A F （5）各接触面 A （6）沿传送带匀速 上滑的物块A A F （1）A 静止在竖直A v （2）A 沿竖直墙面下滑 A （5）静止在竖直墙面 轻上的物体A F A （1）A 、 B 同时同速向右行使向 B A F F B A （2）A 、 B 同时同速向右行使向 （11）小球静止时的结点 A （10）小球静止时的结 A （4）静止在竖直墙面 轻上的物体A F A （ 7）光滑小球 （3）A 、B 静止 F A B A （8）静止 α B A （4）均静止 B A (5)均静止 （6）均静止 （7）均静止 (8)静止 A B （9）静止 A B C B A （1）随传送带一起匀速运动的物体 （2）随传送带一起由静止向右起动物体 （3）向上运输的物体 （4）向下运输的物体 （5）空中飞行的足球 (6) A 静止且各接触面光滑 (7) 放在斜面上相对斜面静止和向上运动、向下运动的物块 (8)静止的球 （9）人用水平力拉绳，使他与木块一起向右做匀速运动 分析 人和木块的受力 2、如图所示，分析电梯上的人受力。 受力 分析 共点力的平衡 1.如图1所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P 连接，P 的斜面与固定挡板MN 接触且处于静止状态，则斜面体P 此刻所受的外力个数有可能为 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析：若斜面体P 受到的弹簧弹力F 等于其重力mg ，则MN 对P 没有力的作用，如图(a )所示，P 受到2个力，A 对；若弹簧弹力大于P 的重力，则MN 对P 有压力F N ，只有压力F N 则P 不能平衡，一定存在向右的力，只能是MN 对P 的摩擦力F f ，因此P 此时受到4个力，如图(b )所示，C 对.答案：AC 2.(2008·山东高考)用轻弹簧竖直悬挂质量为m 的物体，静止时弹簧伸长量为L.现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m 的物体，系统v （2）刚踏上电梯的 瞬间的人 V V A v （1）随电梯匀速 上升上升的人 A v A A v A ∟ 一、选择题 1、粗糙的水平面上叠放着A和B两个物体，A和B间的接触面也是粗糙的，如果用水平力F拉B，而B仍保持静止，则此时( ) A．B和地面间的静摩擦力等于F，B和A间的静摩擦力也等于F． B．B和地面间的静摩擦力等于F，B和A间的静摩擦力等于零． C．B和地面间的静摩擦力等于零，B和A间的静摩擦力也等于零． D．B和地面间的静摩擦力等于零，B和A间的静摩擦力等于F． 2、如图所示,重力G=20N的物体，在动摩擦因数为0.1的水平面上向左运动， 同时受到大小为10N的，方向向右的水平力F的作用，则物体所受摩擦力大 小和方向是( ) A．2N，水平向左B．2N，水平向右C．10N，水平向左D．12N，水平向右 3、水平地面上的物体在水平方向受到一个拉力F和地面对它的摩擦力f的作用。在 物体处于静止状态的条件下，下面说法中正确的是：( ) A．当F增大时，f也随之增大B．当F增大时，f保持不变 C．F与f是一对作用力与反作用力D．F与f合力为零 4、木块A、B分别重50 N和60 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25；夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2cm,弹簧的劲度系数为400N/m.系统置于水平地面上静止不动。现用F=1 N的水平拉力作用在木块B上.如图所示.力F作用后( ) A.木块A所受摩擦力大小是12.5 N B.木块A所受摩擦力大小是11.5 N C.木块B所受摩擦力大小是9 N D.木块B所受摩擦力大小是7 N 5、如图所示，质量为m的木箱在与水平面成θ的推力F作用下,在水平地面上滑行，已知 木箱与地面间的动摩擦因数为μ，那物体受到的滑动摩擦力大小为( ) A．μmg B．μ(mg+F sinθ) C．F cosθD．μ(mg+F cosθ) 6、如图所示，质量为m的物体置于水平地面上，受到一个与水平面方向成α角的拉力F 作用，恰好做匀速直线运动，则物体与水平面间的动摩擦因数为( ) A．F cosα/（mg－F sinα）B．F sinα/（mg－F sinα） C．（mg－F sinα）/F cosαD．F cosα/mg 7、如图所示，物体Ａ、Ｂ的质量均为ｍ，A、B之间以及Ｂ与水平地面之间的动摩擦系数均为μ水平拉力F 拉着B物体水平向左匀速运动（A未脱离物体Ｂ的上表面）F的大小应为( ) A．2μmg B．3μmg C．4μmg D．5μmg 8、如图所示物体在水平力F作用下静止在斜面上，若稍许增大水平力F, 而物体仍能保持静止时( ) A..斜面对物体的静摩擦力及支持力一定增大 B.斜面对物体的静摩擦力及支持力都不一定增大 C.斜面对物体的静摩擦力一定增大，支持力不一定增大 D.斜面对物体的静摩擦力不一定增大，支持力一定增大 9、重为10N的木块放在倾角为θ=300的斜面上受到一个F=2N的水平恒力的作用做匀速直线运动，（F 的方向与斜面平行）则木块与斜面的滑动摩擦系数为（） A．2/10 B．0.6 C．3/3 D．无法确定 10、用大小相等、方向相反，并在同一水平面上的力F挤压相同的木板，木板中间夹着两块相同的砖，砖和木板均保持静止，则( ) A．两砖间摩擦力为零B．F越大，板与砖之间的摩擦力就越大 C．板砖之间的摩擦力大于砖的重力D．两砖之间没有相互挤压的力 ?高中物理受力分析精选习题 1．下列各图的A物体处于静止状态，试分析A物体的受力情况 2．应用隔离法在每个图的右边画出下列各图中的A物体的受力图，各图的具体条件如下： ⑴⑵图中的A物体的质量均为m，都处于静止状态．⑶图中的A处于静止，质量为m，分析A的受力并求出它受到的摩擦力的大小，并指出A受几个摩擦力。⑷图中各个砖块质量均为m，分析A所受的全部力，并求出A受的摩擦力的大小。 3．物体m沿粗糙水平面运动，⑴图：作出①F sinθ ＜mg时的受力图；②F sinθ ＝mg时的受力图．⑵图中的物块沿斜面匀速上滑，物块与斜面间的动摩擦因数为μ．分析物块的受力情况．⑶图中的m1和m2与倾角θ满足条件m2 g＜m1 g sinθ且m1和m2均静止．作出m1的受力图．⑷图中的A，B均静止，竖直墙壁光滑，试用隔离法画出A和B两个物体的受力图． 4．⑴图中的A，B之间，B与地面之间的动摩擦因数均为μ，在A,B都向右运动的同时，B相对于A向左滑动，试分析A，Ｂ各自的受力情况；⑵图中的地面光滑，B物体以初速度v0滑上长木板A，B与A之间的动摩擦因数为μ,试分析A，B各自的受力情况．⑶图中的轻绳延长线过球心，竖直墙壁是粗糙的，球静止，画出球的受力图；⑷图中竖直墙壁粗糙，球静止，画出球的受力图．⑸图中的球静止，试画出球的受力图. ． 5．下列图⑴中的A,B,C均保持静止，试画出三个物体的 受力图；图⑵为两根轻绳吊一木板，木板 处于倾斜状态，另一个物块放在木板上， 系统处于平衡状态，试分析木板的受力情 况．图⑶中的A,B保持静止，试分析A 帮B的受力情况． 6．以下三个图中的物体全部处于静止状 态，⑴图和⑵图画出C点的受力图，⑶图画出均匀棒的受力图．球面光滑． 7．分析图⑴中定滑轮的受力情况，已知悬挂重物质量为m，并求出杆对滑轮的作用力．图⑵中的绳长L=2.5m，重物质量为m=4kg，不计绳子和滑轮质量，不计滑轮的摩擦．OA =1.5m.,取g =10m/s2．分析滑轮的受力情部并求出绳子对滑轮的拉力大小．图⑶：光滑球在水平推力F作用下处于静止状态，分析小球受力并求出斜面对小球的弹力大小．如图⑷，水平压力F =100Ｎ,Ａ, B之间，A与墙壁之间的动摩擦因数均为μ=0.3，A、B受的重力均为10N．分析A物体的受力情况并求了它所受摩擦力的合力．如图⑸⑹，光滑球A、B放在水平面上，画出A，B的受力图 8．画出下列各图中的光滑球的受力图，各图中的球均处于静止状态． 9．如图所示，A,B两滑块叠放在水平面上，已知A与滑块B所受重力分别为G A= 10N，G B=20N，A与B间动摩擦因数μA=0.2,，B与水平面间的动摩擦因数μB=0.3．水平力F刚好 能拉动滑块B，试分析两图中B滑块所受的力．并求出拉动滑块B所需 的最小水平拉力分别是多大？ 10．如图⑴所示，三角形支架ABC的边长AB=20cm，BC= 15cm，在A 点通过细绳悬挂一个重20N的物体，求AB杆受拉力的大小及AC杆受压力的大小？ 11．如图⑵所示，已知悬挂光滑球的绳子长度与球的半径相等，球的质量为m，求绳子的拉力和墙对球的弹力大小． 受力分析 例1：画出静止在斜面上的A 物体的受力示意图。（F 垂直于斜面） 例2: 画出下图中光滑斜面上被一挡板挡住的静止钢球的受力示意图。 例3: 在竖直双线悬吊着的斜木梁M 上，放着物体m ，分析斜梁受哪几个力的作用？ 例4: 质量相同的两块砖A 、B 被两木板夹住，试分析 A 、B 的受力情况。 例5：物体A 放在水平传送带上，且A 与传送带保持相对静止，如图所示，若传送带向右匀速运动，试分析A 的受力。 例6．如图所示，倾斜传送带上的物体。 1．分别画出图中A 、B 两物体的受力示意图（A 和B 均静止） 2．如图所示，用力F 将一个木块压在倾斜板 上静止 不动，则木块（ ） A ．有可能只受两个力作用 B ．有可能只受三个力作用 C ．必定受四个力作用 D ．以上说法都不对 3.如图所示，A 、B 、C 三木块叠放在水平桌面上，对B 木块施加一个水平向右恒力F ，三木块共同向右匀速运动，三木块的重力都是G ，分别画出三木块受力示意图。 v v 4.下图中的三个物体正在匀速直线向左运动，那么各接触面的摩擦力大小和方向如何？ 5.如图所示，质量都是m的4块砖被夹在两木板之间静止。求中间两块砖之间的摩擦力。 6：对如图所示的皮带传动装置，下列说法中正确的是：（） A．A轮带动B轮沿逆时针方向旋转 B．B轮带动A轮沿逆时针方向旋转 C．C轮带动D轮沿顺时针方向旋转 D．D轮带动C轮沿顺时针方向旋转 7．如图所示，A、B两物体排放在水平面上，在水平力F的作用下处于静止状态．在以下情况中对B进行受力分析。 （1）B与水平面间无摩擦。 （2）B与水平面间及B．A之间都存在摩擦。 8．如图所示，人重600N，木板重400N，人与木板，木板与地面间动摩擦系数均为0．2，现在，人用一水平恒力拉绳子，使他与木块一起向右匀速运动，则人拉绳子的力及人与木块间的摩擦力分别是多少？ 简单的线性规划 一、本章节的地位及作用 1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性． 2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力． 二、教学目标 1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答． 2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力． 3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新． 三、教学重点与难点 1．教学重点：建立线性规划模型 2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答． 解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化． 四、教学方法与手段 1．教学方法 为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质． 2．教学手段 新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况． 3．学生课前准备 坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔 五、教学过程设计 教学流程图简单的线性规划 习题含答案
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