反比例函数与一次函数的综合压轴题专题汇总

反比例函数与一次函数的综合压轴题专题汇总

教材P157目标与评定第13题)

如图1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A 的纵坐标为80，另一端点B 的坐标为B (80，10)，求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．

图1

解：略．

【思想方法】 (1)要解决反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，把交点的坐标分别代入两函数表达式计算即可，注意两函数图象的交点可以利用联立两函数表达式，利用解方程组的方法求解；(2)反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件，这些问题常常与某些点的坐标相关．

[·大庆]如图2，反比例函数y ＝的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象交于k

x

A ，

B 两点，点A 和点B 的横坐标分别为1和－2，这两点的纵坐标之和为1.

(1)求反比例函数的表达式与一次函数的表达式；

(2)当点C 的坐标为(0，－1)时，求△ABC 的面积．

图2

变形1答图

解：设A (1，m )，B (－2，n )，

∵m ＋n ＝1，∴B (－2，1－m )，

∵A ，B 两点都在反比例函数上，

∴1×m ＝－2×(1－m )，解得m ＝2，

∴A (1，2)，B (－2，－1)．将A 坐标分别代入反比例函数y ＝和一次函数y ＝x ＋k x

b ，得k ＝1×2＝2，b ＝1，

∴反比例函数表达式为y ＝，一次函数表达式为y ＝x ＋1；2x

(2)如答图，连结BC 和AC ，

∵B 和C 的纵坐标相等，

∴BC ∥x 轴，

∴S △ABC ＝BC ·(y A －y C )12

＝×2×(1＋2)＝3.12

[2016·南充]如图3，直线y ＝x ＋2与反比例函数的图象相交于点A (m ，1

2

3)，与x 轴交于点C .

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点P 在x 轴上，如果△ACP 的面积为3，求点P 的坐标．

图3

解：(1)把点A (m ，3)的坐标代入y ＝x ＋2，得3＝m ＋2，解得m ＝2，1212

∴点A 的坐标为(2，3)，

把点A (2，3)的坐标代入

y ＝，得3＝，解得k ＝6，k x k 2

∴反比例函数的表达式为y ＝；6x

(2)对于直线y ＝x ＋2，令y ＝0，得到x ＝－4，即C (－4，0)，12

设P (x ，0)，可得PC ＝|x ＋4|，

∵S △ACP ＝3，

∴|x ＋4|×3＝3，即|x ＋4|＝2，12

解得x 1＝－2，x 2＝－6，

∴点P 的坐标为(－2，0)或(－6，0)．

[·巴中]如图4，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝(x >0)的图象交于4

x

A (m ，4)，

B (2，n )两点，与坐标轴分别交于M ，N 两点．

图4

(1)求一次函数的表达式；

(2)根据图象直接写出kx ＋b －>0中x 的取值范围；4x

(3)求△AOB 的面积．

解：(1)点A 在反比例函数

y ＝上，4x

∴＝4，解得m ＝1，∴点A 的坐标为(1，4)．4m

又∵点B 也在反比例函数y ＝上，4x

∴＝n ，解得n ＝2，点B 的坐标为(2，2)．42

又∵点A ，B 在y ＝kx ＋b 的图象上，

∴解得{k ＋b ＝4，2k ＋b ＝2，){k ＝－2，b ＝6，)

∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋6；

(2)x 的取值范围为1

(3)∵直线y ＝－2x ＋6与x 轴的交点为N ，