中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习含详细答案

中考数学—反比例函数的综合压轴题专题复习含详细答案

一、反比例函数

1．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数

（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于

D．

（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；

（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；

（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，

所以一次函数解析式为y= x+ ，

把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；

（3）解：如下图所示：

设P点坐标为（t，t+ ），

∵△PCA和△PDB面积相等，

∴? ?（t+4）= ?1?（2﹣t﹣），即得t=﹣，

∴P点坐标为（﹣，）．

【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到? ?（t+4）= ?1?（2﹣ t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．

2．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣

2），与y轴交于点C．

（1）m=________，k1=________；

（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；

（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．

【答案】（1）4；

（2）﹣8＜x＜0或x＞4

（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．

∴CO=2，AD=OD=4．

∴S梯形ODAC= ?OD= ×4=12，

∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，

∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，

即OD?D E=4，

∴DE=2．

∴点E的坐标为（4，2）．

又点E在直线OP上，

∴直线OP的解析式是y= x，

∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．

【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，

即反比例函数解析式为y2= ，

将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），

将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，

得：，

解得：，

∴一次函数解析式为y1= x+2，

故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），

∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，

故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；

【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．

3．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标

是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；

（3）求△PAB的面积．

【答案】（1）解：把x=4代入y2= x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y1= ，得k=4．

反比例函数的表达式为y1=

（2）解：∵点A与点B关于原点对称，∴A的坐标为（﹣4，﹣1），

观察图象得，当x＜﹣4或0＜x＜4时，y1＞y2

（3）解：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图，

∵点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP．

y1= 中，当x=1时，y=4，

∴P（1，4）．

设直线AP的函数关系式为y=mx+n，

把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

则，

解得．

故直线AP的函数关系式为y=x+3，

则点C的坐标（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

= OC?AR+ OC?PS

= ×3×4+ ×3×1

= ，

∴S△PAB=2S△AOP=15．

【解析】【分析】（1）把x=4代入y2= x，得到点B的坐标，再把点B的坐标代入y1=

，求出k的值，即可得到反比例函数的表达式；（2）观察图象可知，反比例函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解集；（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，那么S△AOP=S△BOP，S△PAB=2S△AOP．求出P点坐标，利用待定系数法求出直线AP的函数关系式，得到点C的坐标，根据S△AOP=S△AOC+S△POC求出

S△AOP= ，则S△PAB=2S△AOP=15．

4．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；

（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；

∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函数解析式为y= x+ ．

联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：，或，

∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．

∵点A′与点A关于y轴对称，

∴点A′的坐标为（1，2），

设直线A′B的解析式为y=mx+n，

则有，解得：，

∴直线A′B的解析式为y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，则y= ，

∴点C的坐标为（0，）

（2）解：观察函数图象，发现：

当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0

【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．

5．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，

y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．

（1）求反比例函数y= 的解析式；

（2）求点P2和点P3的坐标；

（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出：△P n B n O的面积为 ________ ，点P n的坐标为________ （用含n的式子表示）．

【答案】（1）解：在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，

则B1与P1关于y轴对称，

∵B1（﹣1，1），

∴P1（1，1）．

则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=

（2）解：连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，

又点P1的坐标为（1，1），

∴OA1=2，

设点P2的坐标为（a，a+2），

代入y=得a=-1，

故点P2的坐标为（-1，+1），

则A1E=A2E=2-2，OA2=OA1+A1A2=2，

设点P3的坐标为（b，b+2），

代入y=（>0）可得b=-，

故点P3的坐标为（-，+）

（3）1；（-，+）

【解析】【解答】解：（3）∵=2=2×=1，=2=2×=1，…

∴△P n B n O的面积为1，

由P1（1，1）、P2（﹣1， +1）、P3（﹣，+ ）知点P n的坐标为（﹣，+ ），

故答案为：1、（﹣， +）．

【分析】（1）由四边形OP1A1B1为正方形且OA1是对角线知B1与P1关于y轴对称，得出点P1（1，1），然后利用待定系数法求解即可；

（2）连接P2B2、P3B3，分别交y轴于点E、F，由点P1坐标及正方形的性质知OA1=2，设P2的坐标为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P3的坐标；

（3）先分别求得S△P1B1O、S△P2B2O的值，然后找出其中的规律，最后依据规律进行计算即可.

6．已知：O是坐标原点，P（m，n）（m＞0）是函数y= （k＞0）上的点，过点P作直

线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）（a＞m）．设△OPA的面积为s，且s=1+ ．

（1）当n=1时，求点A的坐标；

（2）若OP=AP，求k的值；

（3）设n是小于20的整数，且k≠ ，求OP2的最小值．

【答案】（1）解：过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ=n，OQ=m，

当n=1时，s= ，

∴a= = ．

（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n= ．

∴1+ = ?an．

即n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

解法二：∵OP=AP，PA⊥OP，

∴△OPA是等腰直角三角形．

∴m=n．

设△OPQ的面积为s1

则：s1= ∴?mn= （1+ ），

即：n4﹣4n2+4=0，

∴k2﹣4k+4=0，

∴k=2．

（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA，

∴△OPQ∽△OAP．

设：△OPQ的面积为s1，则 =

即： = 化简得：

化简得：

2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0

（k﹣2）（2k﹣n4）=0，

∴k=2或k= （舍去），

∴当n是小于20的整数时，k=2．

∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2，

∴n是大于0且小于20的整数．

当n=1时，OP2=5，

当n=2时，OP2=5，

当n=3时，OP2=32+ =9+ = ，

当n是大于3且小于20的整数时，

即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是：

42+ 、52+ 、62+ …192+ ，

∵192+ ＞182+ ＞32+ ＞5，

∴OP2的最小值是5．

【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形，由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，

最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.

7．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为 .

（1）求k的值；

（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；

（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.

【答案】（1）解：把x= 代入，得y= ，

∴A（，1），

把点代入，解得：；

（2）解：∵把y=3代入函数，得x= ，

∴C ，

设过，两点的直线方程为：，

把点，，代入得：

，

解得：，

∴，

设与轴交点为，

则点坐标为，

∴；

（3）解：设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，

∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，∴点只能在轴上，

∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，

根据，即得：，

解得： .

故点坐标为：或 .

【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C 点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根

据求解即可；（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.

8．如图，过原点O的直线与双曲线交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线于点P.

（1）当m＝2时，求n的值；