反比例函数压轴题精选(含答案)

2009-2013年中考反比例函数

经典结论：

如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1

2

AOB AOC S S k ??==

； (II ) OBAC S k =矩形。 下面两个结论是上述结论的拓展.

(1) 如图①，

OPA OCD S S ??=，OPC PADC S S ?=梯形。

(2)如图②，

O A P B

O B C

S S =梯形梯形，BPE ACE S S ??=。

经典例题

例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k

y x x

=

>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；

(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行

线交双曲线1(0)y x x

=>于C D 、两点，若2BD AC =，则22

4OC OD -

例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6

=),(

),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .

解析：因为A

，B 在反比例函数x

y 6

=

上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此

),(),,(2211y x

B

y x A 中有

1

212,y y x x -=-=，所以

24644))(())((1111111212=?==----=--y x y y x x y y x x

例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x

m

y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．

(1) 求反比例函数x

m

y =

和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 解：(1)∵ 反比例函数x

m

y =

的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10．

∴ 反比例函数的表达式为x

y 10

=． ∵ 点C ﹙5，n

∴ 25

10

==

n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ?

??+=+-=-.5225b k b k ，

解得???-==.31b k ，

∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．

(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，

∴ S △AOC = S △AOB + S △BOC =()221

52215212-21=+??=??+??OB OB OB ．

例4．（2007福建福州）如图，已知直线12y x =

与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．

（1）求k 的值；

（2）若双曲线(0)k

y k x

=

>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q

，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 解：（1）

点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．

∴点A 的坐标为(42)，．

点A 是直线12y x =与双曲线(0)k

y k x

=>的交点，

428k ∴=?=．

（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =

∴点C 的坐标为(18)，．

过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．

32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．

3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形

解法二：如图2，

过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，

点C 在双曲线8

y x =上，当8y =时，1

x =．

∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8

y x

=

上， 4COE AOF S S ∴

==△△ C O E

C O A

C

E F A S S S S ∴+=+△△

△梯形．

COA CEFA S S ∴=△梯形．

1

(28)3152

CEFA S =?+?=梯形，15COA S ∴=△．

（3）

反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，

OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．

11

24644

POA APBQ S S ∴=

=?=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8

()P m m

，．

过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，

POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，

6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ??

+-= ???

∴·．

解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图4，

AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，

6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ??

∴+-= ???

，

解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．

图2

图3

图4

例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；

（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线

1

y x b

2

=-+过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐

标；

（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

【答案】解：（1）设反比例函数的解析式

k

y

x =，

∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴

k

4

3

=，即k=12。∴反比例函

数的解析式

12

y

x =。

（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。

∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。

∵点D在直线

1

y x b

2

=-+上，∴

1

34b

2

=-?，解得b=5。∴直线DF为

1

y x5

2

=-+。

将y4

=代入

1

y x5

2

=-+，得

1

4x5

2

=-+，解得x2

=。∴点F的坐标为（2，4）。

（3）∠AOF＝1

2

∠EOC。证明如下：

在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交ｘ轴于点H。

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，

∴△OAF≌△OCG（SAS）。∴∠AOF=∠COG。

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，

∴△EGB≌△HGC（AAS）。∴EG=HG。

设直线EG：y mx n

=+，

∵E（3，4），G（4，2），∴

43m n

24m n

=+

?

?

=+

?

，解得，

m2

n=10

=

?

?

?

－

。

∴直线EG：y2x10

=-+。

令y2x10=0

=-+，得x5

=。∴H（5，0），OH=5。在Rｔ△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。∴OH=OE。

∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。

∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝1

2

∠EOC。

例6.(2009山东威海) 一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k

y x

=

的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k

y x

=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．

（2）若点A B ，分别在反比例函数k

y x

=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．

解：（1）①

AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．

BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形BDOF 为矩形．

AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形．

1111OC x AC y x y k ===，，， ∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形

2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形． ∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．

A E D K A E O C D O S S S

=-矩形矩形

矩形

，

C F B K B

D O F D O S S S

=-矩形矩形

矩形

，

∴A E D K

C F B

S S =矩形矩形 ②由（1）知AEDK CFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =．∴

AK BK

CK DK

=

90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．

∴AB CD

∥AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．

∴AN CD =．同理BM CD =．AN BM ∴=．

（2）AN 与BM 仍然相等．

AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形，

BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又

AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，

)

2

∴

AEDK BKCF

S S

=

矩形矩形

∴A K D K B K C K

=．

∴

CK DK

AK BK

=．K K

∠=∠，

∴CDK ABK

△∽△．∴CDK ABK

∠=∠．∴AB CD

∥．

AC y

∥轴，∴四边形ANDC是平行四边形．∴AN CD

=．

同理BM CD

=．∴AN BM

=．

第一部分练习

一、选择题

1.(2009年鄂州)如图，直线y=mx与双曲线y=

x

k

交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若ABM

S

?

=2，则k的值是

A.2

B.m－2

C.m

D.4

2.(2009兰州) 如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数

1

y

x

=（0

x>）的图象上，则点E的坐标是（，）.

3.(2009泰安）如图，双曲线)0

(＞

k

x

k

y=经过矩形OABC的边BC的中点E，

交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为

A．

x

y

1

=B．

x

y

2

=

C．

x

y

3

=D．

x

y

6

=

4.（2009仙桃）如图，已知双曲线)0

k(

x

k

y＞

=经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．

5.(2009年牡丹江市)如图，点A、B是双曲线

3

y

x

=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1

S=

阴影

，则

12

S S

+=．

6.（2009年莆田）如图，在x轴的正半轴上依次截取112233445

OA A A A A A A A A

====，过点12345

A A A A A

、、、、分别作x轴的垂线与反比例函数()

2

y x

x

=≠的图象相交于点

12345

P P P P P

、、、、，得直

角三角形

1112233344455

OP A A P A A P A A P A A P A

2

、、、、，并设其面积分别为

12345

S S S S S

、、、、，则

5

S的值

为

．．

第4题图 第5题图 第6题图 7.（2009年包头）已知一次函数1y x =+与反比例函数k

y x

=

的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为

8.（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x

y 2

-

=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为 A .－5 B .－10 C .5 D .10 【答案】B

9.（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x

= 交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值 A ．等于2 B ．等于

34

D ．无法确定 【答案】B

第7题图

第8题图

第9题图

10.（2010江苏盐城）如图，A 、B 是双曲线 y = k

x (k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= ．【答案】4 11.（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=

x x

k

y 的图像上。正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x x

k

y 的图像又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为__________。

12.（2010四川内江）如图，反比例函数y ＝k

x

(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相

交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B

图 6

图5—2

图5—1

P

Q

M

第10题图 第11题图 第12题图 13.（2011山东东营）如图,直线l 和双曲线(0)k

y k x

=

>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ,设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则

A . S 1＜S 2＜S 3

B . S 1>S 2>S 3

C . S 1=S 2>S 3

D . S 1=S 2

14.（2011河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ,Q ，连接OP ,OQ .则以下结论 ①x ＜0时，x

2

y =

， ②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ =2PM ⑤∠POQ 可以等于90°

其中正确的结论是 A ．①②④ B ②④⑤ C ．③④⑤ D ．②③⑤

【答案】B

15.（2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原

点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数

221k k y x

++=的图象上。若点A 的坐标为（－2，－2），则k

的值为

A ．1

B ．－3

C ．4

D ．1或－3

【答案】D

16.（2011四川乐山）如图，直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4

(0)y x x

=

>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，

交AB 于点F 。则AF BE ?=

A ．8

B ．6

C ．4 D

．【答案】A

17.（2012?德州）如图，两个反比例函数

和

的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足

为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形P AB 的面积为 A ． 3 B ． 4

C ．

D ．

5 解

解：∵点P 在y =上， ∴设P 的坐标是（a ，）， ∵P A ⊥x 轴， ∴A 的横坐标是a ，

∵A 在y =﹣上， ∴A 的坐标是（a ，﹣）， ∵PB ⊥y 轴， ∴B 的纵坐标是， ∵B 在y =﹣上， ∴代入得：﹣， 解得：x =﹣2a ，∴B 的坐标是（﹣2a ，）， ∴P A =﹣（﹣）=，PB =a ﹣（﹣2a ）=3a ，

∵P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴， ∴P A ⊥PB ， ∴△P AB 的面积是：P A ×PB =××3a =． 故选C ．

18.（2012福州）如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、 B 两点，若反比例函数y ＝k

x (x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是

A ．2≤k ≤9

B ．2≤k ≤8

C ．2≤k ≤5

D ．5≤k ≤8

解答：解：∵ 点C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，

∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，

当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4， ∴ 点A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)，

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9， ∵ 1≤x ≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)，

因此，k 的取值范围是2≤k ≤9．故选A ．

19.（2012临沂）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =

>和2(0)k

y x x

=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是

A ．∠POQ 不可能等于90°

B ．

1

2

k PM QM k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称； D ．△POQ 的面积是()121

2

k k + 故选：D ．

20.（2012湖北黄石）如图所示，已知11

(,)2

A y ，2(2,)

B y 为反比

例函数1

y x

=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段

AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 D

A . 1(,0)2

B . (1,0)

C . 3(,0)2

D . 5(,0)2

【解答】解：∵把A （1/2 ，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y =1/ x 得：y 1=2，y 2=1/2 ，

∴A （1/2 ，2），B （2，1/2 ），

∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP |＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，P A －PB =AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y =kx +b ，

把A 、B 的坐标代入得： 2=1/2k +b ,1/2 =2k +b ， 解得：k =－1，b =5/2 ，

∴直线AB 的解析式是y =－x +5/2 ，

当y =0时，x =5/2 ， 即P （5/2 ，0）， 故选D ．

21.(2012湖北随州) 如图，直线l 与反比例函数

x y 2

=

的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于

C 点,若AB ：BC =(m 一l )：1(m >l )则△OAB 的面积(用m 表示)为

A .m m 212-

B .m m 12-

C . m m )1(32-

D .m

m 2)1(32-

答案：B

22.（2013江苏苏州）如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝

k

x

(x ＞0)的图象经过顶点

B ，则k 的值为

A ．12

B ．20

C ．24

D ．32

【答案】

D ．

解：过C 点作CD ⊥x 轴，垂足为D ． ∵点C 的坐标为（3，4），∴OD =3，CD =4．

∴OC = OD 2+CD 2=32+42=5．∴OC =BC =5．∴点B 坐标为（8，4）， ∵反比例函数y =

k

x

（x ＞0）的图象经过顶点B ，∴k =32． 23.（2013山东临沂）如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线y 限内的

图象经过OB 边的中点C ，则点B 的坐标是 A ．（1

B ．1）

C ．（2，

D ．（2）

【答案】：C ．

24.(2013湖北孝感）如图，函数y =﹣x 与函数

的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，

垂足分别为点C ，D ．则四边形ACBD 的面积为

的图象上

25.（2013四川内江）如图，反比例函数

（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC

交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为

=

26.(2013四川乐山)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y = 2

x的图象上，第二象限内的点B在反比例函

数y = k

x的图象上，且OA⊥0B，cotA=

3

3，则k的值为

A．－3 B.－6 C.－ 3 D.－2 3

27.（2013贵州省黔东南州）如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为

A .()1,0

B . ()1,0或()1,0-

C . ()2,0或()0,2-

D . ()2,1-或()2,1- 解答：

解：联立直线与反比例解析式得：

28. （2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，反比例函数的图象经过点A ，

反比例函数的图象经过点B ，则下列关于m ，n 的关系正确的是（ ）

﹣

n

），OB ，），，∴

=

，即

=，解得：，

O x

A

B C 二、填空题

1.（2010湖北武汉）如图，直线y ＝3

x b -+与

y 轴交于点A ，与双曲线y ＝

k

x

在第一象限交于点B ，C 两点，且AB ?AC ＝4，则k ＝ ．

答案：

2.（2010 福建德化）如图，直线43y x =

与双曲线k

y x

=（0x >）交于点A 直

线43y x =向下平移个6单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x

轴交于点C ，则C 点的坐标为___________；若2AO BC =，则k = ．

【答案】

（)0,2

9

，12 3.（2010湖南衡阳）如图，已知双曲线)0k (x

k

y ＞=

经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3， 则k ＝____________． 【答案】2

4.（2011宁波市）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2

x （x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分

别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2

x （x ＞0）的图象上，顶

点A 3在x

轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 【答案】（3＋1，3－1）

5.（2011安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，

反比例函数k

y x

=

经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（4-）的圆内切于△ABC ，

则k 的值为 ． 【答案】4

6.（2011湖北武汉市）如图，

ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，

0），B （0，－2），顶点C ，D 在双曲线y =

x

k

上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE

的面积是△ABE 面积的5倍，则k =___ __．

第16题图

【答案】12

7.（2011湖北孝感） 如图，点A 在双曲线1

y x =

上，点B 在双曲线3y x

=上，

且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 的面积为矩形，则它的面积

为 . 【答案】2

8.（2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线2

(0)y x x

=

>经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积

是 . 【答案】2

9.（2012浙江温州）如图，已知动点A 在函数4

=

y x

(x >o )的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点Ｅ，使

AE =AC .直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P ,Q .当QE ：DP =4:9时，图中的阴影

部分的面积等于____________.

如图，作EF ⊥y 轴，DH ⊥x 轴，由题意得：

△QEF ∽△DHP ，∵QE ：DP =4:9设AC = a ,则AB =4

a

，

49

EF HP ,HP =9

4a ，∵△AED ∽△DHP ，

∴424

648==,==49934EA AD a a a a a DH HP a 得到：得：得：

S 阴影=2218+2a a =413

+3=3

3）

10.（2012?聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y =（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．

解答： 解答：

解：∵反比例函数的图象关于原点对称，

∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b ，则b 2=9，解得b =6， ∵正方形的中心在原点O ， ∴直线AB 的解析式为：x =3， ∵点P （3a ，a ）在直线AB 上， ∴3a =3，解得a =1， ∴P （3，1）， ∵点P 在反比例函数y =（k ＞0）的图象上， ∴k =3， ∴此反比例函数的解析式为：y =． 故答案为：y =

11.（2012?衢州）如图，已知函数y =2x 和函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是 P 1（0，﹣4）P 2

（﹣4，﹣4）P 3（4，4）

解答： 解：如图∵△AOE 的面积为4，函数

的图象过一、三象限，

∴k =8，

∵函数y =2x 和函数

的图象交于A 、B 两点，

∴A 、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4）， ∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个， ∴满足条件的P 点有3个，分别为： P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）．

故答案为：P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）． 12.(2012甘肃兰州)如图，M 为双曲线y ＝

3

x

上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD ?BC 的值为 ． 解答： 解：作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，如图，

对于y ＝－x ＋m ，

令x ＝0，则y ＝m ；令y ＝0，－x ＋m ＝0，解得x ＝m ， ∴A (0，m )，B (m ，0)， ∴△OAB 等腰直角三角形，

∴△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，

设M 的坐标为(a ，b )，则ab ＝，

CE ＝b ，DF ＝a ， ∴AD ＝

DF ＝

a ，BC ＝CE ＝

b ，

∴AD ?BC ＝a ?

b ＝2ab ＝2

． 故答案为2

．

13.（2012.深圳）如图，双曲线k

y (k 0)x

=

>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4。

【分析】∵⊙O 在第一象限关于y =x 对称，k

y (k 0)x

=

>也关于y =x 对称，P 点坐

标是（1，3）， ∴Q 点的坐标是（3，1）， ∴S 阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。 14.(2012?扬州)如图，双曲线y ＝经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交

于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12 ． 解答： 过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，如图，

则AC ∥NM ， ∴△OAC ∽△ONM ，∴OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON ，

而OA ＝2AN ，即OA ：ON ＝2：3，设A 点坐标为(a ，b )，则OC ＝a ，AC ＝b ， ∴OM ＝a ，NM ＝b ， ∴N 点坐标为(a ，b )， ∴点B 的横坐标为a ，设B 点的纵坐标为y ， ∵点A 与点B 都在y ＝图象上， ∴k ＝ab ＝a ?y ， ∴y ＝b ，即B 点坐标为(a ，b )，

∵OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，∴△NAB 的面积为， ∴△ONB 的面积＝5＋

＝

， ∴NB ?OM ＝

，即×(b －b )×a ＝

，

∴ab ＝12， ∴k ＝12． 故答案为12．

15.（2012武汉）如图，点A 在双曲线y =的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC =2AB ，点E 在线段AC 上，且AE =3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为 ．

C

解答：解：连DC ，如图，

∵AE =3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1， ∴△ADC 的面积为4，

设A 点坐标为（a ，b ），则AB =a ，OC =2AB =2a ，而点D 为OB 的中点， ∴BD =OD =b ，

∵S 梯形OBAC =S △ABO +S △ADC +S △ODC ，

∴（a +2a ）×b =a ×b +4+×2a ×b ， ∴ab =，

把A （a ，b ）代入双曲线y =， ∴k =ab =

．

16.(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，

与反比例函数k

y x

=

(k 为常数，且0k >)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥ y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若

BE 1

BF m

=(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则

1

2

S S =________． (用含m 的代数式表示) 答案：

1

1

m m -+（k 的几何意义，线段比的转化，面积的几种求法） 17.（2013湖北黄冈）已知反比例函数y ＝

6

x

在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ，且AO ＝AB ，

则S △AOB ＝ ．

【答案】6．

【解析】如下图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AO ＝AB ，∴OC ＝BC ．而AC ＝AC ，AO

＝

AB

，

∴△AOC ≌△ABC ．∴S △AOC ＝S △ABC ．设点A 的坐标为(x ，

＝y ，OC ＝x ，∴S △AOB ＝2S △AOC ＝2×1

2

×OC ·AC ＝xy ＝6．

y )(x ＞0，y ＞0)，则xy ＝6，AC

18.（2013四川宜宾）如图，直线x y 34=

与双曲线)0(>=x x k y 交于点A ，将直线x y 3

4

=向右平移29个单位

后，与双曲线)0(>=x x k y 交于点B ，与x 轴交于点C ，若

2=BC

AO

，则k = ．

【答案】12．

【解析】首先求出平移后直线的解析式，然后直线x y

4=

与双曲线)0(>=x k

y 两解析式联立方程组求出点A 的纵坐标，平移后的直线解析式y

B 的纵坐

19.（2013四川泸州）如图，

(111

P ,x y

11P OA ?，212P A A ?，323P A A ?，……1P A n n -?1A n -都在x 轴

上（n 是大于或等于2的正整数），的式子表示）．

【答案】

；

【解析】过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律得出点P n 的坐标． 21.（2013山东日照）如右图，直线AB 交双曲线x

k

y =

于Ａ、B ，交x 轴于点C ,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA .若OM =2MC ,S ⊿OAC =12.则k 的值为___________.

【答案】8

【解析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,则△ADO 的面积为

2

1k , ∵BM ⊥x 轴,∴AD ∥BM , ∵B 为线段AC 的中点，∴BM 为△ADC 的中位线，∴DM =MC , ∵OM =2MC , ∴OD =DM =MC . ∴S ⊿OAC =3S ⊿OAD ,=12=

k 2

3

，∴k =8.

22.（2013?宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x ＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为．

【答案】．（，）．

【解析】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分

别与AB，BC交于点D，E，

∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），

∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），

∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．

又∵△BDE∽△BCA，

∴∠BDE=∠BCA=90°，

∴直线y=x与直线DE垂直，

∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．

又∵点D在直线AB上，

∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，

解得，a=，

∴点E的坐标是（，）．

23.（2013?自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1= 4 ，

S n= ．（用含n的代数式表示）

的纵坐标为

的纵坐标为：，

=4=2[﹣