任意性与存在性问题探究

函数中任意性和存在性问题探究

2011-12-22 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究

一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】

【例题1】：已知两个函数2

3

2

()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈;

(1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围；

解：（1）设3

2

()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：

[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。

'2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+；

当x 变化时，'

(),()h x h x 的变化情况列表如下：

x -3

(-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x)

+ 0 － 0 + h(x)

k-45

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

k-9

因为(1)7,(2)20h k h k -=+=-,所以，由上表可知min [()]45h x k =-，故k-45≥0，得k ≥45,即k ∈[45,+∞).

小结：①对于闭区间I ，不等式f(x)k 对x ∈I 时恒成立?[f(x)]min >k, x ∈I.

②此题常见的错误解法：由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.

（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0.

由（1）可知[h(x)]max = k+7，因此k+7≥0，即k ∈[7,+∞).

小结：①对于闭区间I ，不等式f(x)k 对x ∈I 时有解?[f(x)]max >k, x ∈I.

②此题常见的错误解法：由[f(x)]min ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]min ≤[g(x)]min ”既不是是原题的充分要条件，也不是必要条件.

(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max ≤[g(x)]min ，x ∈[-3,3]. 由二次函数的图像和性质可得, x ∈[-3,3]时, [f(x)]max =120－k. 仿照（1），利用导数的方法可求得x ∈[-3,3]时, [g(x)]min =－21. 由120－k ≥－21得k ≥141,即k ∈[141,+∞). 说明：这里的x 1,x 2是两个互不影响的独立变量.

从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?x ”恒成立，还是“?x ”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..

【例题2】：(2010年山东理科22) 已知函数1()ln 1()a

f x x ax a R x

-=-+-∈; (1)

当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性； （2）设2

()24g x x bx =-+，当14

a =时，若对1(0,2)x ?∈，2[1,2]x ?∈,使

12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围；

解：（1）（解答过程略去，只给出结论）

当a ≤0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

当a=

21

时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； 当0

(1,)

a

-+∞上单调递减；

（2）函数的定义域为（0，+∞），

f '（x ）=x 1－a+21x

a -=－2

21x a x ax -+-，a=41时，由f '（x ）=0可得x 1=1,x 2=3. 因为a=

41∈（0,2

1

），x 2=3?（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，

在（1,2）上单调递增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)= －

2

1. 由于“对?x 1∈（0,2），?x 2∈[1,2],使f(x 1) ≥g(x 2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= －

2

1

”. （※） 又g(x)=(x －b)2

+4－b 2

, x ∈[1,2],所以

① 当b<1时，因为[g(x)]min =g(1)=5－2b>0,此时与（※）矛盾；

② 当b ∈[1,2]时, 因为[g(x)]min =4－b 2

≥0，同样与（※）矛盾； ③ 当b ∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min =g(2)=8－4b.

解不等式8－4b ≤－21，可得b ≥817. 综上，b 的取值范围是[8

17

,+∞).

二、相关类型题： 〈一〉、"()"a f x ≥型；

形如"()","()"a f x a f x ≥≤型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“()a f x ≥在x D ?∈上恒成立，则max ()();a f x x D ≥∈()a f x ≤在x ∈D 上恒成立，则min ()();a f x x D ≤∈”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.

例1 ：已知二次函数2

()f x ax x =+，若?[0,1]x ∈时，恒有|()|1f x ≤，求实数a 的取值范围. 解：

|()|1f x ≤，∴211ax x -≤+≤；即211x ax x --≤≤-；

当0x =时，不等式显然成立， ∴a ∈R. 当01x <≤时，由2

11x ax x --≤≤-得：221111a x x x x --≤≤-，而min 2

11

()0x x

-= . ∴0a ≤. 又∵max 211

()2x x

--=-，∴2,20a a ≥-∴-≤≤，综上得a 的范围是[2,0]a ∈-。

〈二〉、12"()()()"f x f x f x ≤≤型

例

2 已知函数()2sin(

)25

x f x ππ

=+，若对?x R ∈，都有

12"()()()"f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值为____.

解 ∵对任意x ∈R ，不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立， ∴12(),()f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值.

对于函数sin y x =，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.

又函数()2sin(

)25x f x ππ

=+的周期为4，∴12||x x -的最小值为2.

〈三〉、.1212()()

"()"22

x x f x f x f ++>型

例3： (2005湖北)在2

22,log 2,,cos y x y x y x y x ====这四个函数中，当

1201x x <<<时，使1212()()

"(

)"22

x x f x f x f ++>恒成立的函数的个数是( ) 解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件1212()()

"(

)"22

x x f x f x f ++>的函数，应是凸函数的性质，画草图即知2log 2y x =符合题意； 〈四〉、.1212

()()

"

0"f x f x x x ->-型

例4 已知函数()f x 定义域为[1,1]-，(1)1f =，若,[1,1]m n ∈-，0m n +≠时，都有()()

"

0"f m f n m n

->-，若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求

实数t 取值范围.

解：任取1211x x -≤<≤，则12121212

()()

()()()f x f x f x f x x x x x --=

--，由已知

1212

()()

0f x f x x x ->-，又120x x -<，∴12()()0f x f x -

∵(1)1f =，∴[1,1]x ∈-，恒有()1f x ≤；

∴要使2

()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，即要2

211t at -+≥恒

成立，

故2

20t at -≥恒成立，令2

()2g a at t =-+，只须(1)0g -≥且(1)0g ≥， 解得2t ≤-或0t =或2t ≥。

评注： 形如不等式1212()()"

0"f x f x x x ->-或1212

()()

"0"f x f x x x -<-恒成立，实际上

是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息. 〈五〉、."()()"f x g x <型：

例5： 已知1

()lg(1)2

f x x =

+，

()lg(2)g x x t =+，若当[0,1]x ∈时，()()f x g x ≤)恒成立，求实数t 的取值范围.

解：()()f x g x ≤在[0,1]x ∈恒成立，即

20x t -≤在[0,1]x ∈恒成立

2x t ?-在[0,1]上的最大值小于或等于零.

令()2F x x t =

-，'()F x =

，∵[0,1]x ∈

∴'

()0F x <，即()F x 在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值. ∴()(0)10f x F t ≤=-≤，即1t ≥。 〈六〉、12"()()"f x g x <型 例6：已知函数32149()3,()332

x c

f x x x x

g x +=

--+=-

，若对任意12,[2,2]x x ∈-，都有12()()f x g x <，求c 的范围.

解：因为对任意的12,[2,2]x x ∈-，都有12()()f x g x <成立，

∴max min [()][()]f x g x <，∵'

2

()23f x x x =--，令'

()0f x >得3,1x x ><-x ＞3或x ＜-1；'

()0f x <得13x -<<；∴()f x 在[2,1]--为增函数，在[1,2]-为减函数. ∵(1)3,(2)6f f -==-，∴max [()]3,f x =.∴1832

c

+<-，∴24c <-。 〈七〉、12"|()()|"f x f x t <<（t 为常数）型；

例7 ：已知函数4

3

()2f x x x =-+，则对任意121,[,2]2

t t ∈-（12t t <）都有

12|()()|____f x f x -≤恒成立，当且仅当1t =____，2t =____时取等号.

解：因为12max min |()()||[()][()]|f x f x f x f x -≤-恒成立，

由

431()2,[,2]2f x x x x =-+∈-，易求得max 327

[()]()216

f x f ==，

min

15

[()]()216

f x f =-=-，∴12|()()|2f x f x -≤。

例8 ：已知函数()y f x =满足：(1)定义域为[1,1]-；(2)方程()0f x =至少有两个实根1-和1；(3)过()f x 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.

(1)证明|(0)|1f ≤|；

(2)证明：对任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x -≤. 证明 (1)略；

(2)由条件(2)知(1)(1)0f f -==，

不妨设1211x x -≤≤≤，由(3)知121221|()()|||f x f x x x x x -≤-=-，

又∵121212|()()||()||()||()(1)||()(1)|f x f x f x f x f x f f x f -≤+=--+-

122112112()2|()()|x x x x f x f x ≤++-=--≤--；∴12|()()|1f x f x -≤

〈八〉、1212"|()()|||"f x f x x x -≤-型

例9： 已知函数3

()f x x ax b =++，对

于1212,(0,

)3

x x x x ∈≠时总有1212|()()|||f x f x x x -<-成立，求实数a 的范围.

解 由3

()f x x ax b =++，得'

2

()3f x x a =+，

当x ∈时，'()1a f x a <<+，∵1212|()()|||f x f x x x -<-， ∴1212()()

||1f x f x x x -<-， ∴11011a a a ≥-??-≤≤?+≤?

评注 由导数的几何意义知道，函数

()y f x =图像上任意两点1122(,),(,)P x y Q x y 连线的斜率21

1221

()y y k x x x x -=

≠-的取值范

围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如

1212|()()|||f x f x m x x -≤-|或1212|()()|||f x f x m x x -≥-(m ＞0)型的不等式恒成立问

题.