人教版高一数学必修1教案(完整资料)

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人教版高中数学必修1精品教案

课题：集合的含义与表示(1)

课型：新授课

教学目标：

（1）了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；

（2）理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；

（3）掌握常用数集及其记法；

教学重点：掌握集合的基本概念；

教学难点：元素与集合的关系；

教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P

2-P

3

内容

二、新课教学

（一）集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合

（set），也简称集。

3.思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；

（2）我国的小河流；

（3）非负奇数；

（4）方程210

x+=的解；

（5）某校2007级新生；

（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点

（9）全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），

因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系；

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作：a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作：a ?A 例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4?A ，等等。

6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A ，B ，C …表示，集合的元素用

小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 ７．常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ；

（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ；

（3）-3 Z ； （4；

（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，

英国 A 。

例2．已知集合P 的元素为2

1,,33m m m --, 若3∈P 且-1?P ，求实数m 的值。

（三）课堂练习：

课本P 5练习1；

归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了常用集合及其记法。 作业布置：

1．习题1.1，第1- 2题； 2．预习集合的表示方法。 课后

课题：集合的含义与表示(2)

课型：新授课

教学目标：

（1）了解集合的表示方法；

（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：掌握集合的表示方法；

教学难点：选择恰当的表示方法；

教学过程：

一、复习回顾：

１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集及表示。

２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系

二、新课教学

（一）．集合的表示方法

我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，

除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合

的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考

虑元素的顺序。

2．各个元素之间要用逗号隔开；

3．元素不能重复；

4．集合中的元素可以数，点，代数式等；

5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示

清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}

1,2,3,4,5,......

例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；

（4）方程组

20;

20.

x y

x y

+=

?

?

-=

?

的解组成的集合。

思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{}内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{}

()

x A p x

∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；

说明：

1．课本P5最后一段话；

2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。

例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；

（3）方程组

3;

1.

x y

x y

+=

?

?

-=-

?

的解。

思考3：（课本P6思考）

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（二）．课堂练习：

１．课本P6练习2；

２．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

３．集合A＝{x|

4

3

x-

∈Z，x∈N}，则它的元素是。

４．已知集合A＝{x|-3

列举法表示是

归纳小结：

本节课从实例入手，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

作业布置：

1．习题1.1，第３．4题；

2．课后预习集合间的基本关系.

课后记:

课题：集合间的基本关系

课型：新授课

教学目标：

（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用Venn图表达集合间的关系；

（4）了解空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清楚属于与包含的关系。

教学过程：

一、复习回顾：

1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？ （1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数

2.用适当的符号填空： 0 N ； Q ； -1.5 R 。

思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？ 二、新课教学

（一）. 子集、空集等概念的教学：

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；

（2）{}C =汝城一中高一 班全体女生，{}D =汝城一中高一 班全体学生； （3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形

由学生通过观察得结论。 1． 子集的定义：

对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：

()A B B A ??或

读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ? 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：

如：（1）中A B ? 2． 集合相等定义：

如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。 如（3）中的两集合E F =。 3． 真子集定义： 若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。记作：

A B （或B A ）

读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

如：（1）和（2）中A B ，C D ； 4． 空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?。 用适当的符号填空：

? {}0； 0 ?； ? {}?； {}0 {}? 思考2：课本P 7 的思考题 5． 几个重要的结论：

（1） 空集是任何集合的子集；

（2） 空集是任何非空集合的真子集； （3） 任何一个集合是它本身的子集；

（4） 对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。

B

A

说明：

1． 注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含

于”的关系；

2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。 （二）例题讲解： 例1．填空： （1）． 2 N ； {2} N ； ? A; （2）．已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则

A B ； A C ； {2} C ； 2 C

例2．（课本例3）写出集合{,}a b 的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

例3．若集合{}

{}260,10,A x x x B x mx =+-==+= B

A ，求m 的值。

（m=0或11

32

或-）

例4．已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ?，

求实数m 的取值范围。 （3m ≥）

（三）课堂练习：

课本P 7练习1，2，3 归纳小结：

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号；并用Venn 图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。 作业布置：

1． 习题1.1，第5题； 2． 预习集合的运算。 课后记:

课题：集合的基本运算㈠

课 型：新授课 教学目标：

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握交集与并集的区别与联系；

（3）会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题。 教学重点：交集与并集的概念，数形结合的思想。

教学难点：理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。 教学过程： 一、复习回顾：

1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则A S ；{x|x ∈S 且x ?A}= 。 2．用适当符号填空：

0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x 2＋1＝0,x ∈R}

{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2}

二、新课教学

（一）. 交集、并集概念及性质的教学：

思考1．考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：

（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},

1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A

x x =是有理数，{}{},

B x x

C x x ==是无理数是实数；

由学生通过观察得结论。

6． 并集的定义：

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集（union set ）。记作：A ∪B （读作：“A 并B ”），即 {},A B x x A ?=∈∈或x B 用Venn 图表示：

这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即 A B ?= C

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪

B B ∪A

A ∪

B ＝A ? , A ∪B ＝B ? . 巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。 7． 交集的定义：

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B （读“A 交B ”）即：

A ∩

B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}

用Venn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）

常见的五种交集的情况：

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩Ф＝ A ∩

B B ∩A

A B

A(B)

A

B

B

A B A

A ∩

B ＝A ? A ∩B ＝B ? 巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ; ③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。 （二）例题讲解： 例1．（课本例5）设集合{}{}12,13A x x B x x =-<<=<<，求A ∪B ．

变式：A ＝{x|-5≤x ≤8} 例2．（课本例7）设平面内直线1l 上点的集合为L 1，直线2l 上点的集合为L 2，试用集合的运算表示1l ，2l 的位置关系。

例3．已知集合{}

{}

222190,

560A x x mx m B y y y =-+-==-+=

{}

2280C z z z =+-=是否存在实数m ，同时满足,A B A C ?≠??=?？

（m=-2）

（三）课堂练习：

课本P 11练习1，2，3 归纳小结：

本节课从实例入手，引出交集、并集的概念及符号；并用Venn 图直观地把两个集合之间的关系表示出来，要注意数轴在求交集和并集中的运用。 作业布置：

3． 习题1.1，第6，7； 4． 预习补

课题：集合的基本运算㈡

课 型：新授课 教学目标：

（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义，

（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“U C A ”的涵义；

（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。 教学重点：补集的有关运算及数轴的应用。 教学难点：补集的概念。 教学过程： 一、复习回顾：

1． 提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？ 2． 提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？ 3． 交集和补集的有关运算结论有哪些？

4． 讨论：已知A ＝{x|x ＋3>0}，B ＝{x|x ≤－3}，则A 、B 与R 有何关系？ 二、新课教学

思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？

由学生通过讨论得出结论：

集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。 （一）. 全集、补集概念及性质的教学： 8． 全集的定义：

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set ）,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

9． 补集的定义：

对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，

读作：“A 在U 中的补集”，即

{},U C A x x U x A =∈?且

用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）

讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析

,

,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??== ,U U C U C U =??=

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；

②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。

（二）例题讲解：

例1．（课本例8）设集{}{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，，求U C A ，U C B ． 例2．设全集{}{}{}4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ， A B ?，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ?????。

（结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?） 例3．设全集U 为R ，{}

{}

22120,

50A x x px B x x x q =++==-+=，若

{}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=，求A B ?。 （答案：{}2,3,4）

（三）课堂练习：

课本P 11练习4 归纳小结：

补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn 图）。 作业布置：

习题1.1A 组，第9，10；B 组第4题。 课后记

课题：集合复习课

课 型：新授课

教学目标：

（1）掌握集合、交集、并集、补集的概念及有关性质；

（2）掌握集合的有关术语和符号；

（3）运用性质解决一些简单的问题。

教学重点：集合的相关运算。

教学难点：集合知识的综合运用。

教学过程：

一、复习回顾：

1．提问：什么叫集合？元素？集合的表示方法有哪些？

2．提问：什么叫交集？并集？补集？符号语言如何表示？图形语言如何表示？3．提问：什么叫子集？真子集？空集？相等集合？有何性质？

3．交集、并集、补集的有关运算结论有哪些？

4．集合问题的解决方法：Venn图示法、数轴分析法。

二、讲授新课：

（一）集合的基本运算：

例1：设U=R，A={x|-5

U A 、C

U

B、

(C

U A)∩(C

U

B)、(C

U

A)∪(C

U

B)、C

U

(A∪B)、C

U

(A∩B)。

（学生画图→在草稿上写出答案→订正）

说明：不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点。

例2：全集U={x|x<10，x∈N

+}，A?U，B?U，且（C

U

B）∩A={1,9}，A∩B={3}，（C

U

A)∩

(C

U

B)={4,6,7}，求A、B

说明：列举法表示的数集问题用Venn图示法、观察法。

（二）集合性质的运用：

例3：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x＋a2－1=0}, 若A∪B=A，求实数a的值。

说明：注意B为空集可能性；一元二次方程已知根时，用代入法、韦达定理，要注意判别式。

例4：已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a

1．已知A={x|-21}，A∪B={x|x＋2>0}，A∩B={x|1

2．P={0,1}，M={x|x?P}，则P与M的关系是。

3．已知50名同学参加跳远和铅球两项测验，分别及格人数为40、31人，两项均不及格的为4人，那么两项都及格的为人。

4．满足关系{1,2}?A?{1,2,3,4,5}的集合A共有个。

5．已知集合A∪B＝{x|x<8,x∈N}，A＝{1,3,5,6}，A∩B={1,5,6}，则B的子集的集合一共有多少个元素？

6．已知A＝{1,2,a}，B＝{1,a2}，A∪B＝{1,2,a}，求所有可能的a值。

7．设A＝{x|x2－ax＋6＝0}，B＝{x|x2－x＋c＝0}，A∩B＝{2}，求A∪B。

8．集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A Y B={-2，0，1}，求p、q。

9．A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A I B ={3，7}，求B。

10．已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围。

归纳小结：

本节课是集合问题的复习课，系统地归纳了集合的有关概念，表示方法及其有关运算，并进一步巩固了Venn图法和数轴分析法。

作业布置：

5．课本P14习题1.1 B组题；

6．阅读P14～15材料。

课后记:

课题：函数的概念（一）

课型：新授课

教学目标：

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、讲授新课：

（一）函数的概念：

思考1：（课本P15）给出三个实例：

A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是2

=-。

h t t

1305

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）

C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对

应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：

:f A B →

函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：

(),y f x x A =∈

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

244ac b B y y a ??-??=≥??????；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-?

?=≤??????。 （3）反比例函数(0)k

y k x

=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。

（二）区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；

（3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为

[)(],,,a b a b ；

这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P 17表格） 符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞

(](),,,b b -∞-∞。

巩固练习：

用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （学生做，教师订正） （三）例题讲解：

例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域

例2．已知函数1

()2

f x x =+，

（1） 求()()2

(3),(),33

f f f f --的值；

（2） 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。 （四）课堂练习：

1． 用区间表示下列集合：

{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或 2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3． 课本P 19练习2。

归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示 作业布置：

习题1.2A 组，第4，5，6； 课后记

课题：函数的概念（二）

课 型：新授课 教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示； （2）掌握复合函数定义域的求法；

（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。 教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。 教学难点：复合函数定义域的求法。 教学过程： 一、复习准备：

1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y ＝x

x 2

3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什

么？

2. 用区间表示函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）、y ＝x

k (k ≠0)的定义域与值域。

二、讲授新课：

（一）函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 例1：求下列函数的定义域（用区间表示） ⑴ f(x)=

2

32--x x ； ⑵

⑶ f(x)=1+x －

x

x -2；

学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式） 说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

求法：由a

1．求下列函数定义域： （1

）()f x （2）1()11f x x

=

+

2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。（二）函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。

例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）2

y=；（2）y=；

（3）y=（4）

2

x y

x =

三）课堂练习：

1．课本P19练习1，3；

2．求函数y＝－x2＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。

归纳小结：

本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。

作业布置：

习题1.2A组，第1，2；

课后记:

课题：函数的表示法（一）

课型：新授课

教学目标：

（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1．提问：函数的概念？函数的三要素？

2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

（一）函数的三种表示方法：

结合课本P15给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。

例1．（课本P19例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

例2：（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

甲

98 87 91 92 88 95 乙

90 76 88 75 86 80 丙

68 65 73 72 75 82 班平均

分

88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6

请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． （二）分段函数的教学： 分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。 说明： （1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出； （2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。 例3：（课本P 21 例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 例4．已知f(x)＝??

?+∞∈+-∞∈+)

,0[,12)0,(,322

x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值

（三）课堂练习：

1．课本P 23 练习1，2；

2．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。试用三种方法表示此实例中的函数。 3．某水果批发店，100kg 内单价1元／kg ，500kg 内、100kg 及以上0.8元／kg ，500kg 及以上0.6元／kg 。试用三种方法表示批发x 千克与应付的钱数y （元）之间的函数y=f(x)。 归纳小结：

本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。 作业布置：

课本P 24习题1.2 A 组第8，9题； 课后记:

课题：函数的表示法（二）

课 型：新授课 教学目标：

（1）了解映射的概念及表示方法；

（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。

教学重点：求函数的解析式。

教学难点：对函数解析式方法的掌握。 教学过程：

一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例： 对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点P 和它对应；

对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对(x ,y )和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping ）。 二、讲授新课：

（一） 映射的概念教学： 定义：

一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。记作：

:f A B →

讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？ 例1．（课本P 22例7）以下给出的对应是不是从A 到集合B 的映射？

（1） 集合A ={P | P 是数轴上的点}，集合B =R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实

数对应；

（2） 集合A ={P | P 是平面直角坐标系中的点}，B = {}(,),x y x R y R ∈∈，对应关系f ： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3） 集合A ={x | x 是三角形}，集合B ={x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它

的内切圆；

（4） 集合A ={x | x 是新华中学的班级}，集合B ={x | x 是新华中学的学生}，对应关系：每

一个班级都对应班里的学生。

例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分别表示

出来。

（二）求函数的解析式：

常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。

例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。 （待定系数法）

例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）

例5．已知函数f(x)满足1

()2()f x f x x

-=，求函数f(x)的解析式。（消去法

例6．已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。

（三）课堂练习：

1．课本P 23练习4；

2．已知 2

2

11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。

3．已知2211

()f x x x x

+=+，求函数f(x)的解析式。

4．已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 归纳小结：

本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。 作业布置：

7． 课本P 24习题1.2B 组题3，4； 8． 阅读P 26 材料。 课后记:

课题：函数的表示法（三）

课 型：新授课 教学目标：

（1）进一步了解分段函数的求法； （2）掌握函数图象的画法。 教学重点：函数图象的画法。 教学难点：掌握函数图象的画法。。 教学过程： 一、复习准备：

1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。 2. 讨论：函数图象有什么特点？ 二、讲授新课：

例1．画出下列各函数的图象： （1）()22(22)f x x x =--<≤

（2）2()243(03)f x x x x =--≤<

； 例2．（课本P 21例5）画出函数()f x x =的图象。

例3．设(),x ∈-∞+∞，求函数()213f x x x =--的解析式，并画出它的图象。 变式1：求函数()213f x x x =--的最大值。 变式2：解不等式2131x x -->-。

例4．当m 为何值时，方程245x x m -+=有4个互不相等的实数根 变式：不等式245x x m -+>对x R ∈恒成立，求m 的取值范围。 （三）课堂练习：

1．课本P 23练习3；

2．画出函数1

(01)()(1)x f x x x x ?<

，　

的图象。

归纳小结：

函数图象的画法。 作业布置：

课本P 24习题1.2A 组题7，B 组题2； 课后记:

课题：函数及其表示复习课

课 型：复习课 教学目标：

（1）会求一些简单函数的定义域和值域；

（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法； （3）会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。 教学难点：对函数记号的理解。 教学过程：

一、基础习题练习：（口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法） 1．说出下列函数的定义域与值域： 835y x =+； 243y x x =-+； 21

43

y x x =-+； 2．已知1

()1

f x x =

-

，求f ， ((3))f f ， (())f f x ； 3．已知0(0)()(0)1(0)x f x x x x π

==??+>?

，

（１）作出()f x 的图象；

（２）求(1),(1),(0),{[(1)]}f f f f f f -- 的值 二、讲授典型例题：

例１．已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]． 例2．求下列函数的定义域：

（１）0

y =

（２）y =；

例３．若函

数y =的定义域为Ｒ，求实数a 的取值范围． （[]1,9a ∈）

例４． 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x 分钟，两种通讯方式的费用分别为12,y y （元）． （１）．写出12,y y 与x 之间的函数关系式？ （２）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？ （３）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？ 三．巩固练习：

1．已知)(x f =x 2-x+3 ，求：f(x+1)， f(x

1

)的值；

2

．若1f x =+）求函数(x f ）的解析式；

3．设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式．

４．已知函数2()3

f x ax ax =

+-的定义域为Ｒ，求实数a 的取值范围．

归纳小结：

本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．

作业布置：

9．课本P２４习题1.２B组题１，３；

10．预习函数的基本性质。

课后记:

课题：单调性与最大（小）值（一）

课型：新授课

教学目标：

理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。

教学难点：理解概念。

教学过程：

一、复习准备：

1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

③函数图象是否具有某种对称性？

3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x2的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）

二、讲授新课：

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x＋2、f(x)＝x2(x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？当x

1>x

2

时，f(x

1

)与f(x

2

)的大小关系怎样？

②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？

所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性

2.教学增函数、减函数的证明：

例1．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

1、例题讲解

例1（P29例1）如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律k

p V

=

（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强p 如何变化？试用单调性定义证明.

例3．判断函数2

1

y x =-在区间[2，6] 上的单调性

三、巩固练习：

1.求证f(x)＝x ＋x

1

的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。

2.判断f(x)=|x|、y=x 3的单调性并证明。

3.讨论f(x)=x 2－2x 的单调性。 推广：二次函数的单调性

4.课堂作业：书P32、 2、3、4、5题。 四、小结：

比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1

课后记：

课题： 单调性与最大（小）值 （二）

课 型：新授课 教学目标：

更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.

教学重点：熟练求函数的最大（小）值。

教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。 教学过程：

一、复习准备：

1.指出函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的最小值的情况是怎样的？

3.知识回顾：增函数、减函数的定义。 二、讲授新课：

1.教学函数最大（小）值的概念：

① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？

()23f x x =-+，()23f x x =-+ [1,2]

x ∈-；2()21f x x x =++，2()21f x x x =++ [2,2]x ∈-