线性空间与子空间

第一讲线性空间

一、线性空间的定义及性质

[知识预备]

★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体

集合的表示：枚举、表达式

集合的运算：并（），交（）

另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。

★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。

1．线性空间的定义：

设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]

∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V

+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质

x y V

（1）结合律()()

++=++；

x y z x y z

（2）交换律x y y x

+=+；

（3）零元律存在零元素o，使x+o x

=；

（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）

。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =；

（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。

注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，

如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质

数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。

（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭

性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。

当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。

例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为

x y=xy , k k x x =o

证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性 ①唯一性和封闭性

唯一性显然

若x>0,y>0, k R ∈，则有

x y=xy R +∈ k k x x =o R +∈ 封闭性得证。 ②八条性质

（1）x （y z ）=x(yz)=(xy)z=(x y)z

（2） x y=xy ＝yx= y x

（3） 1是零元素 x 1＝1=x x ? [x o=x ——>xo=x －>o=1]

（4） 1x 是x 的负元素 x 1x

＝1

x 1x ?= [x+y=o ]

（5） k o （x y ）()k

k k xy x y ===k o x k o y [数因子分配律]

（6） ()k l k l k l x x x x ++===o （k o x ）（l o x ） [分配律] （7） ()()

()k

l kl k l x x

x kl x ===o o o [结合律]

（8） 11x x x ==o [恒等律] 由此可证，R +是实数域R 上的线性空间。 2．

定理：线性空间具有如下性质

（1） 零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。 （2） 如下恒等式成立： 0x =o ， ()()1x x -=-。 [证明]（1）采用反证法：

①零元素是唯一的。 设存在两个零元素o 1和o 2，则由于o 1

和o 2 均为零元素， 按零元律有

[交换律]

o 1＋o 2＝o 1 ＝ o 2＋o 1＝o 2

所以 o 1＝o 2

即 o 1和o 2 相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 ②任一元素的负元素也是唯一的。假设x V ?∈，存在两个负

元素y 和z ，则根据负元律有

x y +=o ＝x z +

()()y y o y x z y x z o z z =+=++=++=+= [零元律] [结合律] [零元律] 即y 和z 相同，故负元素唯一。

（2） ①：设w=0x ，则 x+w=1x+0x=(1+0)x=x ，故 w=o 。 [恒等律]

②：设w=(－1)x ，则x+w=1x+(－1)x=[1+(－1)]x=0x=o ，

故w=－x 。

3．

线性相关性

线性空间中相关性概念与线性代数中向量组线性相关性概念类似。

?线性组合： 12m 12m x ,x x V,c ,c c K ?∈∈L L

m

1122m m i i i 1c x c x c x c x =+++∑L @

称为元素组12m x ,x x L 的一个线性组合。

?线性表示：V 中某个元素x 可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x 可由该元素组线性表示。

?线性相关性：如果存在一组不全为零的数12m c ,c c K ∈L ，使得对于元素12m x ,x x V ∈L 有

m

i i i 1c x 0==∑

则称元素组12m x ,x x L 线性相关，否则称其线性无关。线性相关性概念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。 4．

线性空间的维数

定义：线性空间V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为V 的维数，记为dimV 。

本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及 。

例2. 全体m ×n 阶实矩阵的集合构成一个实线性空间（对于矩阵加

法和数对矩阵的数乘运算），求其维数。

[解] 一个直接的方法就是找一个最大线性无关组，其元素尽可能简单。

令E ij 为这样的一个m ×n 阶矩阵，其（i, j ）元素为1，其余元素为零。

显然，这样的矩阵共有mn 个，构成一个具有mn 个元素的线性无关元素组{}11121n 21222n m1m2mn E ,E ,E ;E ,E ,E ;;E ,E ,E L L L L 。另一方

面，还需说明元素个数最大。对于任意的()ij m n A a ?=，都可由以上元素组线性表示，

ij ij i,j

A a E =∑ ——> ij ij i,j

a E A 0+=∑

即{}ij E |i 1m,j 1n ==::构成了最大线性无关元素组，所以该空间的维数为mn 。

二、 线性空间的基与坐标 1．

基的定义：设V 是数域K 上的线性空间，()

12r x ,x x r 1≥L 是属于V 的r 个任意元素，如果它满足 （1）12r x ,x x L 线性无关；

（2）V 中任一向量x 均可由12r x ,x x L 线性表示。

则称12r x ,x x L 为V 的一个基，并称12r x ,x x L 为该基的基元素。 ?基正是V 中最大线性无关元素组；V 的维数正是基中所含元素的个数。

?基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等。

例3 考虑全体复数所形成的集合C 。如果K ＝C （复数域），则该集

合对复数加法和复数复数的乘法构成线性空间，其基可取为1，空间维数为1；如果取K ＝R （实数域），则该集合对复数加法及实数对复数的数乘构成线性空间，其基可取为{1,i}，空间维数为2。

2．

坐标的定义：称线性空间n V 的一个基12n x ,x x L 为n V 的一

个坐标系，n x V ?∈，它在该基下的线性表示为： n

i i i 1x =ξ∑ ()i i K,x V,i 1,2,n ξ∈∈=L

则称12n ,ξξξL 为x 在该坐标系中的坐标或分量，记为

()T

12n ,ξξξL

讨论：（1）一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同空间的

元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新向量仅由数域中的数表示出来。

（2）更进一步，原本抽象的“加法”及 “数乘”经过坐标表示就演化为向量加法及数对向量的数乘。

1 1122n n 1122n n x y (x x x )(x x x )+=ξ+ξ++ξ+η+η++ηL L

111222n n n ()x ()x ()x =ξ+η+ξ+η++ξ+ηL 正对应

()12n 1122n n 12n x (,,,)x y ,,,y (,,,)

=ξξξ?→+=ξ+ηξ+ηξ+η?

=ηηη?L L L

2 ()()()()1122n n 1122n n kx k x x x k x k x k x =ξ+ξ++ξ=ξ+ξ++ξL L

()12n k ,k ,,k →ξξξL

正对应 12n x (,,,)=ξξξL ()12n kx k ,k ,,k →=ξξξL

（3）显然，同一元素在不同坐标系中的坐标是不同的。后面我们还要研究这一变换关系。

三、 基变换与坐标变换

基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。 设12n x ,x x L 是n V 的旧基，12n y ,y y L 是n V 的新基，由于两者都是基，所以可以相互线性表示

n

j ij i i 1y c x ==∑ (i 1,2,n =L )

即

[][][]11121n 21222n 12n 12n 12n n1n2

nn c c c c c c y ,y y x ,x x x ,x x C c c c ????

??==???

???

L L L L L M M O M L

其中C 称为过渡矩阵，上式就给出了基变换关系，可以证明，C 是可逆的。

设n x V ∈，它在旧基下的线性表示为 []1n

2i i 12n i 1

n x x x ,x ,x =ξ????ξ??=ξ=????ξ??

∑L M

它在新基下的线性表示为

[]12i n ''n

'

i 12n i 1

'x y y ,y ,y =??ξ??

ξ??=ξ=??????ξ??∑L M

则 [][]12n '1'212n 12n 'n y ,y ,y x ,x ,x ??ξξ??????ξξ??

??=????

????ξ??ξ????

L L M M

由于基元素的线性无关性，得到坐标变换关系

12n '1'2'n C ??ξξ??????ξξ????=????????ξ??ξ????M M → 12n '1'21'n C -??ξξ??

????ξξ????=????????ξ??ξ????

M M

补充：证明对于线性空间的零元素o ，k K ?∈，均有k o ＝o 。

线性子空间

一、线性子空间的定义及其性质

1. 定义：设V 1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V

已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y ∈V 1，则x ＋y ∈V 1； （2） 如果x ∈V 1，k ∈K ，则kx ∈V 1， 则称V 1是V 的一个线性子空间或子空间。

2. 性质：（1）线性子空间V 1与线性空间V 享有共同的零元素； （2）V 1中元素的负元素仍在V 1中。 [证明]（1）0x =0

1x V V ∈?Q

∴ V 中的零元素也在V 1中，V 1与V 享有共同的零元素。

（2）1x V ?∈

（－1）x=(－x)1V ∈ 封闭性

∴ V 1中元素的负元素仍在V 1中

3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间

平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间

4. 生成子空间：设x 1、x 2、···、x m 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合

m i i i i 1k x |k K,i 1,2m =??

∈=????

∑L 也是V 的线性子空间，称为由x 1、x 2、···、x m 生（张）成

的子空间，记为L(x 1、x 2、···、x m )或者Span(x 1、x 2、···、x m )。

若x 1、x 2、···、x m 线性无关，则

dim{L(x 1、x 2、···、x m )}=m

5. 基扩定理：设V 1是数域K 上的线性空间V n 的一个m 维子空间，x 1、

x 2、···、x m 是V 1的一个基，则这m 个基向量必可扩充为V n 的一个基；换言之，在V n 中必可找到n-m 个元素x m+1、x m+2、···、x n ，使得x 1、x 2、···、x n 成为V n 的一个基。这n-m 个元素必不在V 1中。

二、子空间的交与和

1.定义：设V 1、V 2是线性空间V 的两个子空间，则 {}1212

V V x |V ,x V ?=∈∈

{}1212

V V x y |x V ,y V +=+∈∈

分别称为V 1和V 2的交与和。

2.定理：若V 1和V 2是线性空间V 的两个子空间，则12V V ?，V 1＋V 2

均为V 的子空间

[证明]（1）12x,y V V ?∈I

1

x y V +

∈ 2

x y V +

∈ 12x y V V ∴+∈I

12x V V ?∈I k K ∈

1

k

x V ∈ 2

k

x V ∈ 12kx V V ∴∈I

12V V ∴I 是V 的一个线性子空间。 （2）121

x,x V ?∈ 122

y,y V ?∈

11(x y )+12V V ∈+ 22(x y )+12V V ∈+ 12(x x )+1V ∈ 12(y y )+2V ∈

1122121212(x y )(x y )(x x )(y y )V V +++=+++∈+

k K ?∈ 11kx V ∈ 12ky V ∈

111112k(x y )kx ky V V +=+∈+

12V V ∴+是V 的子空间。

4. 维数公式：若V 1、V 2是线性空间V 的子空间，则有

dim(V 1+V 2)+ dim(12V V ?)= dimV 1+ dimV 2

[证明] 设dimV 1=n 1, dimV 2=n 2, dim(12V V ?)=m

需要证明dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m

设x 1、x 2、···、x m 是12V V ?的一个基，根据基扩定理 存在1）y 1、y 2、···、y n1－m ∈V 1，使x 1、x 2、···、x m 、y 1、y 2、···、y n1

－m

成为V 1的一个基；

2）z 1、z 2、···、z n2－m ∈V 2，使x 1、x 2、···、x m 、z 1、z 2、···、z n2－m

成为V 2的一个基；

考察x 1、x 2、···、x m 、y 1、y 2、···、y n1－m 、z 1、z 2、···、z n2－m ， 若能证明它为V 1+V 2的一个基，则有dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m 。 成为基的两个条件：

1） 它可以线性表示V 1+V 2中的任意元素 2）

线性无关

显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。 假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k 1、k 2、···、k m 、p 1、p 2、···、p n1－m 、q 1、q 2、···、q n2－m 使

i i

i i

i i

k x p y q z

0++=∑∑∑

令i i 2z q z V =∈∑，则

i i i i 2k x p y z V +=-∈∑∑但12V V ?I 根据基扩定理 i i k x ∑12V V ∈? i y 12V V ?I ， x 1、x 2、···、x m 、y 1、y 2、···、y n1－m 成为V 1的一个基

i p 0∴=

同理：i q 0= i k 0=

这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V 1+V 2的一个基。

∴ dim(V 1+V 2)＝n 1＋n 2－m

三、子空间的直和

1. 定义：设V 1、V 2是线性空间V 的子空间，若其和空间V 1+V 2中的任

一元素只能唯一的表示为V 1的一个元素与V 2的一个元素之

和，即12x V V ?∈+，存在唯一的1y V ∈、2z V ∈，使x y z =+，

则称12V V +为V 1与V 2的直和，记为12V V ⊕ 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是 {}1212V V x y |x V ,y V +=+∈∈，

反映的是两个子空间的关系特殊。 2. 定理：如下四种表述等价

（1）12V V +成为直和12V V ⊕ （2）{}12V V 0?=

（3）dim(V 1+V 2)=dimV 1+ dimV 2

（4）x 1、x 2、···、x s 为V 1的基，y 1、y 2、···、y t 为V 2的基，

则x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 为12V V +的基

[证明]（2）和（3）的等价性显然

采用循环证法：（1）→（2）→（4）→（1） （1）→（2）：已知12V V +＝12V V ⊕ 假定x 0≠且12x V V ∈?，则

000x (x)=+=+-

120V V ∈+，10V ∈，20V ∈，1x V ∈，2x V -∈

说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在12V V ?中只能存在0元素，即{}12V V 0?=

（2）→（4）：已知{}V V 012?=

成为基的两个条件： 1）

可以线性表示V 1+V 2中的任意元素

2）线性无关

1x V ?∈、2y V ∈，存在如下坐标表示式

s i i i 1

x x ==ξ∑ t

i i i 1

y y ==η∑

x y + 可表示V 1+V 2中的任一元素，

∴x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 可表示V 1+V 2中的任意元素。

假设x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 线性相关，即存在不全为0的12s 12t ,,,,,,,ξξξηηηL L 使

s i i

i 1

x =ξ∑t

i i

i 1

y =+η∑＝0

而 s i i i 1x x ==ξ∑1V ∈ t

i i i 1

y y ==η∑2V ∈

∴ s

i i i 1

x =ξ∑＝－y 2V ∈

∴

s

i i

i 1x

=ξ∑12V V ∈I

∴

s

i i

i 1

x

=ξ∑＝0

∴12s 0ξ=ξ==ξ=L

同理12t 0η=η==η=L

这与其线性相关性矛盾，x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 线性无关

∴ x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 可作为12V V +的基

（4）→（1）：已知（4）成立

在x 1、x 2、···、x s 、y 1、y 2、···、y t 这组基下

12x V V ?∈+存在唯一的坐标12s 12t ,,,,,,,ξξξηηηL L 使

x ＝s i i i 1

x =ξ∑1t

i i i y η=+∑

s

i i

i 1

x

=ξ∑1V ∈ t

i i 2i 1

y V =η∈∑

∴ 12V V +成为直和 作业：P25－26 7，9，12