(50)奇数和偶数(上下)9.24

（五十）奇数和偶数（上）

《奥赛天天练》第三十八、三十九讲《奇数和偶数》，学习运用奇数、偶数的性质解答一些稍复杂的判断计算结果奇偶性的问题（第38讲），及日常生活中的一些趣题，如翻牌问题、参观路线问题、握手问题、开灯问题等（第39讲）。

有关奇数、偶数性质，及较简单的奇偶数问题，请查阅：

三年级奥数解析（四十三）奇与偶

四年级奥数解析（四十二）奇、偶分析

《奥赛天天练》第38讲，模仿训练，练习1

【题目】：

1＋2＋3＋…＋1999＋2000＋2001的和是奇数还是偶数？

【解析】：

判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数，主要看算式中奇数的个数，算式中有奇数个奇数结果为奇数，算式中有偶数个奇数，计算结果为偶数。

从1到2000这2000个连续自然数中，有（2000÷2﹦）1000个奇数，再加上2001是奇数，算式中共有1001个奇数，所以这道算式的计算结果为奇数。

《奥赛天天练》第38讲，模仿训练，练习2

【题目】：

41名同学参加智力竞赛，竞赛共20道题，评分方法是：基础分15分，答对一题加5分，不答加1分，答错1题倒扣1分。请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数？【解析】：

每名同学的得分可以用基础分依次加上每一道答对或不答题的得分，再依次减去每一道答错题的失分。因为每一道题无论是答对、不答得分数，或答错失分数都是奇数，共20道题，20个（即偶数个）奇数相加减计算结果是偶数，再加上基础分15分是奇数，所以每名同学最后得分都是奇数。

全班41名同学得分总和，就是41（即奇数个）个奇数相加，一定是奇数。

《奥赛天天练》第38讲，巩固训练，习题1

【题目】：

有100个自然数，它们的和是偶数，在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多，问这些自然数中至多有多少个偶数？

【解析】：

100个自然数连加，和是自然数，则这100个自然数中必然有偶数个奇数。

又因为100个自然数中奇数的个数比偶数多，而任意一个自然数不是奇数，就是偶数，则奇数的个数一定超过（100÷2﹦）50个。

50＋2﹦52（个）

综上所述，这100个自然数中至少有52个奇数。

所以这些自然数中至多有偶数：

100－52﹦48（个）。

《奥赛天天练》第38讲，巩固训练，习题2

【题

目】：

已知a，b，c中有一个是2001，一个是2002，另一个是2003，判断：（a－1）×

（b－2）×（c－3）的结果是奇数还是偶数？

【解析】：

若干个整数相乘，其中若有一个乘数是偶数，积就是偶数。

根据题意，a可能是2001、2002或2003：

假设a是2001，a－1﹦2001－1﹦2000，2000是偶数，则所求的结果是偶数；

同理可得，a是2003时，所求结果也是偶数；

假设a是2002，c只能是2001或2003，一定是奇数，（c－3）的差就是偶数，则所

求结果一定是偶数。

综上所述，（a－1）×（b－2）×（c－3）的结果一定是偶数。

《奥赛天天练》第38讲，拓展提高，习题1

【题目】：

有一类小于200的自然数，每一个数的各位数字之和都是奇数，并且每个数都是两个两位数的乘积（如144﹦12×12），把这一类自然数从大到小排列，第三个数是多少？

【解析】：

所求自然数小于200，且能分解成两个两位数因数的乘积。因为200﹤152，如果两个

因数都大于或等于15，这个数就大于200了，所以这两个两位数因数，至少有一个因数

小于15。

根据因数特征，按从大到小的顺序，尝试计算，寻找符合条件的此类自然数：

13×15﹦195

13×14﹦182

12×15﹦180

这一类自然数从大到小排列，第三个数是180。

《奥赛天天练》第38讲，拓展提高，习题2

【题目】：

能否在下面的“□”填入加号或减号，使等式成立？为什么？

1□2□3□4□5□6□7□8□9﹦10

【解析】：

判断一道只含加减运算算式结果是奇数还是偶数，主要看算式中奇数的个数。

算式1□2□3□4□5□6□7□8□9中，共有5个奇数：1、3、5、7、9，所以这道算式，无论在“□”填入的是加号还是减号，计算结果一定是奇数，不可能是偶数10。

所以无论在“□”填入的是加号还是减号，这个等式都不能成立。

（五十一）奇数和偶数（下）

《奥赛天天练》第39讲，模仿训练，练习1

【题目】：

一副扑克牌54，除去大、小王后还有52，则取同一花色的13牌正面朝上放好，按牌上的数的约数个数作为翻动次数（这里把J，Q，K看作11，12，13），问这些牌经过翻

动后，都有那些牌背面朝上？

【解析】：

一、每牌正面朝上放好，翻动偶数次后仍然正面朝上，翻动奇数次后变化为背面朝上。

二，任意一个整数的约数都是成对出现的。

如果一个整数是完全平方数，即可以写成另一个整数的平方，则这个数有奇数个因数。如果一个整数不是完全平方数，则这个数有偶数个因数。

三、1到13中，完全平方数有3个：1，4，9。

综上所述，1，4，9这三牌经过翻动后背面朝上。

《奥赛天天练》第39讲，模仿训练，练习2

【题目】：

某展览馆共有36个列室，相邻两室之间都有门通行，有人希望每个展览室都去一次，并且只去一次，你能替他设计参观路线吗？

【解析】：

如上图，把6×6的方格黑、白相间染色。从图中可以看出，从黑格走出后，只能进

入白格，从白格走出后只能进入黑格。

从入口黑格进入展览馆，参观路线只能是：

黑﹥白﹥黑﹥白……

走到黑格时共参观了奇数个列室，走到白格时共参观了偶数个列室。要参观36个列室，最后到达的是白格列室，而出口在黑格列室。

所以无法设计出符合题目要求的参观路线。

《奥赛天天练》第39讲，巩固训练，习题1

【题目】：

由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？

为什么？

【解析】：

把这些小正方形黑白相间染色，与任意黑格相邻的必是白格，而与白格相邻的必是白格，如下图，用1×2的长方形去覆盖，每次盖住两个相邻小正方形一个是黑格，一个是

白格：

7个长方形只能盖住7个黑格和7个白格，而上图中有6个白格、8个黑格，所以，7个1×2的长方形不能把原图形都盖住。

《奥赛天天练》第39讲，巩固训练，习题2

【题

目】：

一次宴会上，客人们相互握手，问握手次数是奇数的那些人总数是奇数还是偶数？【解析】：

两人握手，给每人各计数一次，共2次，则无论多少人相互握手，握手总次数为偶数。

把宴会上握手的人分为两类：第一类是握手次数为偶数的人，第二类是握手次数为奇数的人。

N个偶数相加的和仍为偶数，第一类人握手总次数为偶数，所有人握手总次数也是偶数，偶数减偶数还是偶数，所以第二类人握手总次数也是偶数。

第二类人，每人握手次数为奇数，奇数个奇数相加和为奇数，偶数个奇数相加和才为偶数。第二类人握手总次数为偶数，所以第二类人总数也是偶数。

即宴会上握手次数是奇数的那些人总数是偶数。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题1

【题目】：

能否用3个“田”字形纸片（如下面左图）和13个“丁”字形纸片（如下面右图）

完全盖住一个8×8的正方形棋盘？

【解析】：

如下图，把棋盘黑白相间染色，共有32个黑格、32个白格。用“田”字形纸片覆盖，每纸片能盖住2个黑格、2个白格，用“丁”字形纸片覆盖，能盖住3个黑格、1个白格

或3个白格、1个黑格：

3个“田”字形纸片覆盖了6个黑格和6个白格，剩下26个黑格、26个白格共52格，黑格数和白格数都是偶数。

每个“丁”字形纸片覆盖的黑格数和白格数都是奇数（1格或3格），共有13个“丁”字形纸片，正好覆盖52格。但13个奇数的和还是奇数，因此覆盖的白格数和黑格数都是奇数，不可能都盖住26格。

因此，用所给的纸片不能盖住整个棋盘。

《奥赛天天练》第39讲，拓展提高，习题2

【题目】：

有n盏有拉线开关的灯都亮着，规定每次拉动（n－1）个开关，能不能将所有灯都关上？

【解析】：

n盏灯开始都是亮着的。每盏灯拉动开关奇数次后会关上，拉动开关偶数次后又会点亮。分两种情况讨论：

一、当n是奇数时，（n－1）是偶数。

要使所有灯都关上，每盏灯都要拉动奇数次，奇数个奇数的和是奇数，n盏灯拉动开

关的总次数必须是奇数；

每次拉动（n－1）个开关，（n－1）是偶数，无论拉动多少次，任意多个偶数的和是偶数，拉动开关的总次数只能是偶数。

所以当n是奇数时，按规定，不能将所有灯都关上。

二、当n是偶数时。

如下图，白点表示亮灯，黑点表示关灯，每次拉动（n－1）盏灯，黑白交界处有一盏没有拉动的灯：

开始时：○○○○○○○○○……

第一次：○●●●●●●●●……

第二次：●●○○○○○○○……