正方形练习题(含答案)

正方形

知识点一：正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

知识点二：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。 知识点三：正方形的判定方法：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.有一组邻边相等的矩形是正方形；

3.有一个角是直角的菱形是正方形.

练习题：

1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ C ）

A ．对角线相等且互相平分

B ．对角线相等且互相垂直平分

C ．对角线互相平分

D ．四条边相等，四个角相等

2.如图, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④AOB DEOF S S ?=四边形中，错误的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

3.如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，那么∠DCE= 15 度．

4.如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE=AC ，AE 交CD 于点F ，则∠E= 22.5 度．

5.如图，若P 是边长1的正方形ABCD 内一点且S △ABP =0.4，则S △DCP = 0.1 ．

分析：过P 作EF ，使EF ∥BC ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴S △ABP =错误！未找到引用源。AB?EP ，S △CDP =错误！未找到引用源。CD?PF ，根据S △ABP +S △CDP =错误！未找到引用源。

6.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 的度数= 60 度．

7.如图，在边长为2

的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE

为边作正方形

DEFG

，点

G

在边CD 上，则DG 的长为 5－1

8.如图，E F G H ，，，分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且13

AE BF CG DH AB ====

，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为 2/5 9.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 周长为 33

10.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 22.5度 ．

11.已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则

DE ＝ 2－

1 .

11.如图，点E 是正方形

ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点

F ．求证：

D E D =．

证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900又∵DF ⊥DE ，

∴∠1+∠3=∠2+∠3∴∠1=∠2在Rt △DAE 和Rt △DCE 中，∠1=∠2，AD=CD ，∠A=∠DCF

∴Rt △DAE ?Rt △DCE (ASA) ∴DE=DF ．

第2题 第3题 第4题 第5题 第6题

12.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．

证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=．

又ACE △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即D B A C ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形；

（2）ACE △是等边三角形，60

AEC ∴∠=． EO AC ⊥，1302AEO AEC ∴∠=∠

=． 2AED EAD

∠=∠，15EAD ∴∠=．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠=．

四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠=，∴四边形ABCD 是正方形． 13.如图，ABCD 是正方形，AE ∥DB ，BE ＝BD ，BE 交AD 于F ，试说明：ΔDEF 是腰三角形。 证明：过点A 作BD 的垂线,过点E 作BD 的垂线.垂足分别为G ,H.

显然有AG=EH.又AG=1/2 BD,所以EH=1/2 BD,又BD=BE,所以EH=1/2 BE,可知∠DBE=30度.

所以∠

FBA=15度,所以∠AFB=∠EFD=90-15=75度, 所以∠AFB=∠EFD=∠FED. 所以DE=DF.

14.如图，在正方形ABCD 中，△PAQ 是正三角形，设AB=10,求PB 的长。

解：?ABP ??ADQ ，∠QAP=60度， 所以∠PAB=30度, 设PB=x,则AP=2CP=2（10-X ）,

所以31020,)10(210222-=-=+x x x

15.如图，E 、F 、M 、N 分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE=BF=CM=DN ，求证，四边形EFMN 是正方形 。 结论：EFMN 是正方形

证明：∵ABCD 是正方形,AE=BF=CM=DN ∴AN=BE=CF=DM ，在△AEN 、△BFE 、△CMF 、△DNM

中,AE=BF=CM=DN ，∠A=∠B=∠C=∠D ，AN=BE=CF=DM

∴△AEN ≌△BFE ≌△CMF ≌△DNM ∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF

∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF ）=180°-（∠AEN+∠ANE ）=180°-90°=90°，∵EN=FE=MF=NM,

∵EFMN 是菱形 又∵∠NEF=90° ∴EFMN 是正方形

16.如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，AE 、BF 相交于点G ，BE=CF ，猜想AE 与BF 的关系并证明。 证明：在正方形ABCD 中，AB=BC,∠ABC=∠C=90°，∵BE=CF ∴⊿ABE ≌⊿BCF ﹙SAS ﹚

∴AE=BF ，∠BAE=∠CBF ，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，即∠BGE=90°

∴AE ⊥BG

17.如图，正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE ，且交AG 于点F 。求证：AF=BF+EF 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD,∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°

∵DE ⊥AG ,则∠AED=∠DEG=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2

∵BF//DE ，∴∠AFB=∠DEG=90°，∵∠1=∠2,∠AFB=∠AED=90°,AB=AD

∴△ABF ≌△DAE （AAS ）

∴BF=AE ，∴AF=AE+EF=BF+EF

18.如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、

DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4,若∠AGB =30°，求EF 的长. 解：在正方形ABCD 中， AD ∥BC ， ∴∠1=∠AGB=300，在Rt △ADF 中，∠AFD=900 ， AD=2 E C

D B A O B C D

E

F A A B

D

C P Q A C B

D E

F G

142

3

3 ∴AF=3， DF =1，由△ABE≌△ADF，∴AE=DF=1，∴EF=AF-AE=1