1 交流电的产生及变化规律

第十四章 交变电流

第一单元 交流电的产生及变化规律

基础知识

一．交流电

大小和方向都随时间作周期性变化的电流，叫做交变电流。 其中按正弦规律变化的交变电流叫正弦式电流，正弦式电流产生于在匀强电场中，绕垂直于磁场方向的轴匀速转动的线圈里，线圈每转动一周，感应电流的方向改变两次。

二．正弦交流电的变化规律

线框在匀强磁场中匀速转动．

1．当从图12—2即中性面．．．

位置开始在匀强磁场中匀速转动时，线圈中产生的感应电动势随时间而变的函数是正弦函数：

即 e=εm sin ωt ， i ＝I m sin ωt

ωt 是从该位置经t 时间线框转过的角度；ωt 也是线速度V 与磁感应强度B 的夹角；。是线框面与中性面的夹角

2．当从图位置开始计时：

则：e=εm cos ωt ， i ＝I m cos ωt

ωt 是线框在时间t 转过的角度；是线框与磁感

应强度B 的夹角；此时V 、B 间夹角为（π/2一ωt ）．

3．对于单匝矩形线圈来说E m =2Blv =BS ω； 对于n

匝面积为S 的线圈来说E m =nBS ω。对于总电阻为R

的闭合电路来说I m =m E R 三．几个物理量

1．中性面：如图所示的位置为中性面，对它进行以下说明：

（1）此位置过线框的磁通量最多．

（2）此位置磁通量的变化率为零．所以 e=εm sin ωt=0， i ＝I m sin ωt=0

（3）此位置是电流方向发生变化的位置，具体对应图中的t 2，

t 4时刻，因而交流电完成一次全变化中线框两次过中性面，电流的

方向改变两次，频率为50Hz 的交流电每秒方向改变100次．

2．交流电的最大值：

εm ＝B ωS 当为N 匝时εm ＝NB ωS

（1）ω是匀速转动的角速度，其单位一定为弧度／秒，nad/s

（注意rad 是radian 的缩写，round/s 为每秒转数，单词round 是圆，

回合）．

（2）最大值对应的位置与中性面垂直，即线框面与磁感应强度B 在同一直线上．

（3）最大值对应图中的t 1、t 2时刻，每周中出现两次．

3．瞬时值e=εm sin ωt ， i ＝I m sin ωt 代入时间即可求出．不过写瞬时值时，不要忘记写单位，如εm =2202V ，ω=100π，则e=2202sin100πtV ，不可忘记写伏，电流同样如此．

4．有效值：为了度量交流电做功情况人们引入有效值，它是根据电流的热效应而定的．就是分别用交流电，直流电通过相同阻值的电阻，在相同时间内产生的热量相同，则直流电的

值为交流电的有效值．

（1）有效值跟最大值的关系εm =2U 有效，I m =2I 有效

（2）伏特表与安培表读数为有效值．

（3）用电器铭牌上标明的电压、电流值是指有效值．

5．周期与频率：

交流电完成一次全变化的时间为周期；每秒钟完成全变化的次数叫交流电的频率．单位1/秒为赫兹（Hz ）．

规律方法

一、关于交流电的变化规律

【例1】如图所示，匀强磁场的磁感应强度B=0．5T ，边长L=10cm 的正方形线圈abcd 共100匝，线圈电阻r ＝1Ω，线圈绕垂直与磁感线的对称轴OO /匀速转动，角速度为ω＝2πrad ／s ，外电路电阻R ＝4Ω，求：

（1）转动过程中感应电动势的最大值．

（2）由图示位置（线圈平面与磁感线平行）转过600时的即时感应电动

势．

（3）由图示位置转过600角时的过程中产生的平均感应电动势．

（4）交流电电表的示数．

（5）转动一周外力做的功．

（6）6

1周期内通过R 的电量为多少？ 解析：（1）感应电动势的最大值，εm ＝NB ωS ＝100×0．5×0．12×2πV=3．14V

（2）转过600时的瞬时感应电动势：e ＝εm cos600=3．14×0．5 V ＝1．57 V

（3）通过600角过程中产生的平均感应电动势：ε=N ΔΦ/Δt=2．6V

（4）电压表示数为外电路电压的有效值： U=r R +ε·R ＝2

143?×54=1．78 V （5）转动一周所做的功等于电流产生的热量 W ＝Q ＝（

2m ε）2（R

十r ）·T ＝0．99J

（6）61周期内通过电阻R 的电量Q ＝I ·61T ＝R ε61T ＝()6/60sin 0r R T NBS +＝0．0866 C

【例2】磁铁在电器中有广泛的应用，如发电机，如图所示。 已知一台单

相发电机转子导线框共有N 匝，线框长为l 1，宽为l 2，转子的转动角速度

为ω, 磁极间的磁感应强度为B 。 导出发电机的瞬时电动势E 的表达式。

现在知道有一种强永磁材料铵铁硼，用它制成发电机的磁极时，磁感应

强度可以增大到原来的K 倍，如果保持发电机的结构和尺寸，

转子转动角速度，需产生的电动势都不变，那么这时转子上

的导线框需要多少匝? (2002年，安徽)

解：如图所示，有V=ωl 2/2

二、表征交流电的物理量

【例3】. 交流发电机的转子由B ∥S 的位置开始匀速转动，与它并联的电压表的示数为14.1V ，那么当线圈转过30°时交流电压的即时值为＿＿V 。

分析：电压表的示数为交流电压的有效值，由此可知最大值为U m =2U =20V 。而转过30°时刻的即时值为

u =U m cos30°=17.3V 。

【例4】 通过某电阻的周期性交变电流的图象如右。求该交流电 的有效值I 。 分析：该交流周期为T =0.3s ，前t 1=0.2s 为恒定电流I 1=3A ，后 t 2=0.1s 为恒定电流I 2=-6A ，因此这一个周期内电流做的功可以求出

来，根据有效值的定义，设有效值为I ，根据定义有：

2221212Rt I Rt I RT I += ∵I=32A

【例5】如图所示，（甲）和（乙）所示的电

流最大值相等的方波交流电流和正弦交流电

流，则这两个电热器的电功率之比P a ∶P b =

解析：交流电流通过纯电阻R 时，电功率

P ＝I 2R ，I 是交流电流的有效值．交流电流的

有效值I 是交流电流的最大值I m 的1/2，这

一结论是针对正弦交流电而言，至于方波交流电通过纯电阻R 时，每时每刻都有大小是I m 的电流通过，只是方向在作周期性的变化，而对于稳恒电流通过电阻时的热功率来说是跟电流的方向无关的，所以最大值为I m 的方波交流电通过纯电阻的电功率等于电流强度是I m 的稳恒电流通过纯电阻的电功率．由于

P a ＝I m 2R ．P b ＝I 2R ＝I m 2R/2．

所以，P a ∶P b =2∶1．

答案：2∶1

【例6】如图表示一交变电流随时间变化的图象，此交变电流的

有效值是（ ）

A ．52A ；

B ．5A ；

C ．3．52A ；

D ．3．5A

解析：严格按照有效值的定义，交变电流的有效值的大小等

于在热效应方面与之等效（在相同时间内通过相同的电阻所产生的热量相等）的直流的电流值．可选择一个周期（0．02 s ）时间，根据焦耳定律，有： I 2R ×0．02＝（42）2R

i /A

3

O t /s -6 0.2 0.3 0.5 0.6

×0．01+（32）2R ×0．01

解之可得： I ＝5 A ． 答案：B

三、最大值、平均值和有效值的应用

1、正弦交变电流的电动势、电压和电流都有最大值、有效值、即时值和平均值

的区别。以电动势为例：最大值用E m 表示，有效值用E 表示，即时值用e 表示，平均值用E 表示。它们的关系为：E =E m /2，e =E m sin ωt 。平均值不常用，必要时要用法拉第电磁感应定律直接求：t

n E ??Φ=。切记122E E

E +≠。特别要注意，有效值和平均值是不同的两个物理量．．．．．．．．．．．．．．．．，有效值是对能的平均结果，平均值是对时间的平均值。在一个周期内的前半个周期内感应电动势的平均值为最大值的2/π倍，而一个周期内的平均感应电动势为零。

2、 我们求交流电做功时，用有效值，求通过某一电阻电量时一定要用电流的平均值交流电，在不同时间内平均感应电动势，平均电流不同．考虑电容器的耐压值时则要用最大值。

3、 交变电流的有效值是根据电流的热效应规定的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

：让交流和直流通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫做这一交流的有效值。 ⑴只有正弦交变电流．．．．．．的有效值才一定是最大值的2/2倍。 ⑵通常所说的交变电流的电流、电压；交流电表的读数；交流电器的额定电压、额定电流；保险丝的熔断电流等都指有效值。

（3）生活中用的市电电压为．．．．．．．．．．220V ．．．．，其最大值为．．．．．．220．．．2V=311V ．．．．．．（有时写为．．．．．310V ．．．．），频率．．．．为．50H ．．．Z ．，所以其电压即时值的表达式为．．．．．．．．．．．．．．u ．=311sin314．．．．．．．．．．t ．V ．

。 【例7】.交流发电机转子有n 匝线圈，每匝线圈所围面积为S ，匀强磁场的磁感应强度为B ，匀速转动的角速度为ω，线圈内电阻为r ，外电路电阻为R 。当线圈由图中实线位置匀速转动90°到达虚线位置过程中，求：⑴通过R 的电荷量q 为多少？⑵R 上产生电热Q R 为多少？⑶外力做的功W 为多少？

分析：⑴由电流的定义，计算电荷量应该用平均值：即()()r

R nBS q r R t nBS r R t n r R E I t I q +=∴+=+?Φ=+==,,而，这里电流和电动势都必须要用平均值，不能．．．．．．用有效值、最大值或瞬时值．．．．．．．．．．．．

。 ⑵求电热应该用有效值．．．

，先求总电热Q ，再按照内外电阻之比求R 上产生的电热Q R 。()()()()22222222

22

4,4222)(r R R S B n Q r R R Q r R S B n r R nBS r R E t r R I Q R +=+=+=+=?+=+=πωπωωπωωπ。这里的电流必须要用有效值，不能用平均值、最大值或瞬时值。

⑶根据能量守恒，外力做功的过程是机械能向电能转化的过程，电流通过电阻，又将电．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

能转化为内能，即放出电热．．．．．．．．．．．．。因此W =Q ()

r R S B n +=4222πω。一定要学会用能量转化和守恒定律来分析功和能。

试题展示

1.如图a 所示，一矩形线圈abcd 放置在匀 强磁

场 中，并绕过ab 、cd 中点的轴OO ′以角速度ω逆时

针匀速转动。若以线圈平面与磁场夹角45θ?＝时（如

图b ）为计时起点，并规定当电流自a 流向b 时电流方

向为正。则下列四幅图中正确的是

答案：D

【解析】本题考查正弦交流电的产生过程、楞次定律等知识和规律。从a 图可看出线圈从垂直于中性面开始旋转，由楞次定律可判断，初始时刻电流方向为b 到a ，故瞬时电流的

表达式为i =－i m cos （π4+ωt ），则图像为D 图像所描述。平时注意线圈绕垂直于磁场的轴旋转时的瞬时电动势表达式的理解。

2．小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动。

产生的感应电动势与时间呈正弦函数关系，如图所示，此线圈与一个

R ＝10Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确

的是

A ．交变电流的周期为0.125

B ．交变电流的频率为8Hz

C ．交变电流的有效值为2A

D ．交变电流的最大值为4A

【答案】C

【解析】由e －t 图像可知，交变电流电流的周期为0.25s ，故频率为4Hz ，选项A 、B 错误。根据欧姆定律可知交变电流的最大值为2A ，故有效值为2A ，选项C 正确。

3.（12分）一小型发电机内的矩形线圈在匀强磁场中以恒定的角速度ω绕垂直于磁场方向的固定轴转动，线圈匝数100=n ，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间按正弦规律变化，

如图所示，发电机内阻Ω=0.5r ，外电路电阻Ω=95R ，已知感应电动势的最大值Φ=ωn E m ，其中m Φ为穿过每匝线圈磁通量的最大值，求串联在外电路中的交流电流表（内阻不计）的读数。18．参考解答：

已知感应电动势的最大值

m m na E Φ= ○1

设线圈在磁场中转动的周其为T ，则有 T πω2= ○2 根据欧姆定律，电路中电流的最大值为 r R E I m m +=

○4 设交流电流表的读数I ，它是电流的有效值，根据有效值与最大值的关系，有

m I I 21

= ○4

由题给的1-Φ图线可读得

Wb m -2100.1?=Φ ○5

B T 21014.3-?= ○6

解以上各式，并代入数据，得

A I 4.1= ○

7 4．如图所示，矩形线圈边长为ab=20cm ，ab=10cm ，匝数N=100匝，磁场的磁感强度B =0.01T 。当线圈以50r/s 的转速从图示位置开始逆时针匀速转动，求：

（1）线圈中交变电动势瞬时值表达式；

（2）从线圈开始转起动，经0.01s 时感应电动势的瞬时值。

分析：只要搞清交变电的三个要素ω、m ε、0?，进而写出交变电

的瞬时值表达式，这样就把握到交变电的变化规律了

解答：（1）欲写出交变电动势的瞬时值，先求出ω、m ε、0?三个要素。线圈旋转角速度为s rad f /1002ππω==，感应电动势的最大值为V B NS m 28.6==ωε，刚开始转动时线圈平面与中性夹角rad 60π

?=。于是线圈中交变电动势的瞬时值表达式为

V t e ??? ?

?+=6100sin 28.6ππ。 （2）把t=0.01s 代入上式，可量，此时感应电动势的瞬时值

V V e 14.36sin 28.6'-=??? ??+=ππ。 5．通过某电阻的周期性交变电流的图象如右。求该交流电的有效值I 。

解：该交流周期为T =0.3s ，每个周期的前t 1=0.2s 为恒定电流I 1=3A ，

后t 2=0.1s 为恒定电流I 2= -6A ，因此一个周期内电流做的功可以求出来，

根据有效值的定义，设有效值为I ，根据定义有：

I 2RT =I 12Rt 1+ I 22Rt 2 带入数据计算得：I =32A

6．一根电阻丝接入100v 的直流电，1min 产生的热量为Q ，同样的电阻丝接入正弦交变电压，2min 产生的热量为0.5Q ，

那么该交变电压的最大值为 （ C ）

A 、50v

B 、100v

C 、502v

D 、503v

7．交流发电机转子有n 匝线圈，每匝线圈所围面积为S ，匀强磁场的磁感应强度为B ，匀速转动的角速度为ω，线圈内电阻为r ，外电路电阻为R 。当线圈由图中实线位置匀速转动90o到达虚线位置过程中，求：⑴通过R 的电荷量q 为多少？⑵R 上产生电热Q R 为多少？⑶外力做的功W 为多少？

解：⑴按照电流的定义I =q /t ，计算电荷量q 应该用电流的平均值：即()()r

R nBS q r R t nBS r R t n r R E I t I q +=∴+=+?Φ=+==,,而，这里电流和电动势都必须要用平均值，不能用有效值、最大值或瞬时值。

⑵求电热应该用有效值，先求总电热Q ，再按照内外电阻之比求R 上产生的电热Q R 。

()()()()22222222

22

4,4222)(r R R S B n Q r R R Q r R S B n r R nBS r R E t r R I Q R +=+=+=+=?+=+=πωπωωπωωπ。这里的电流必须要用有效值，不能用平均值、最大值或瞬时值。

⑶根据能量守恒，外力做功的过程是机械能向电能转化的过程，电流通过电阻，又将电能转化为内能，即放出电热。因此W =Q ()r R S B n +=

4222πω。要善于用能量转化和守恒定律来分析功和能。

7.内阻不计的交流发电机产生电动势E=10sin50πt (V)，接有负载电阻R=10Ω,现把发电机的转速提高一倍，则

A ． 负载两端电压的有效值将变为28.2V

B ． 交流电的频率将变为100Hz

C ． 负载消耗的功率将变为20w

D ． 负载消耗的功率将变为40w

解析 电动势最大值为10V ，有效值为7. 07V 。当发电机的转速提高一倍,角速度增加一倍，频率也增加一倍。电动势最大值和有效值均增加一倍。表达式可以写为E=20sin100πt (V)，由此可以看出提高转速后频率变为50Hz 。负载消耗的功率将变为20w 。故答案选择C 点评 抓住角速度和各物理量的关系，计算热功率必须使用有效值