合肥一中自主招生考试
合肥一中2013年自主招生考试
本卷满分150分考试时间120分钟
一、选择题(每小题6分,共30分。每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填均得0分)
1、下列图中阴影部分面积与算式
2
1
31
2
42
-
??
-++
?
??
的结果相同的是………………【】
2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【】
①实数不是有理数就是无理数;② a<a+a;③121的平方根是±11;④在实数范围内,
非负数一定是正数;⑤两个无理数之和一定是无理数
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4
3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知:父母买全票,女儿按
半价优惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同,那么……………………………………………………………………【】
A、甲比乙更优惠
B、乙比甲更优惠
C、甲与乙相同
D、与原标价有关
4、如图,∠ACB=60○,半径为2的⊙O切BC于点C,若将⊙O在CB上向右
滚动,则当滚动到⊙O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为【】
A、2π
B、π
C、3
2D、4
5、平面内的9条直线任两条都相交,交点数最多有m个,最少有n个,则m n
+
等于……………………………………………………………………………【】
A、36
B、37
C、38
D、39
二、填空题(每小题6分,共48分)
1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为千米/时,则经过小时,两人相遇。
2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ,则x 的取值范围是 。
3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%和30%的比例计入学期总评成绩,90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩(单位:分)如下表,学期总评成绩优秀的学生是 。
4、已知点A 是一次函数x y =的图像与反比例函数x
y =
的图像在第一象限内的交点,点B 在x 轴的负半轴上,且OB OA =(O 为坐标原点),则AOB ?的面积为 。
5、如果多项式2
12x px ++可以分解成两个一次因式的积,那么整数p 的值是 。 6、如右图所示,P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点,从P 向AB 作垂线PQ ,Q 为垂足。延长
QP 与AC 的延长线交于R ,设BP =x (01x ≤≤),△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ,把y 表示为x 的函数
是 。
7、已知12x x ,为方程2
420x x ++=的两实根,
则3
121455x x ++= 。
8、小明、小林和小颖共解出100道数学题,每人都解出了其中的60道,如果将其中只有1人解出的题叫做难题,2人解出的题叫做中档题,3人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多 道。
三、解答题(本大题6小题,共72分)
1、(10分)在ABC ?中,AC AB =,ο45=∠A 。AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点,连结CD ,如果1=AD ,求:BCD ∠tan 的值。
2、(12分)某公司为了扩大经营,决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算,本次购买机器所需的资金不能超过34万元。
⑴ 按该公司的要求,可以有几种购买方案?
⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个,为了节约资金,应选择哪种购买方案?
3、(12分)如图所示,已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀,其中2=AF ,1=BF 。为了合理利用这块钢板.将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ,使点P 在AB 上,且要求面积最大,求钢板的最大利用率。
4、(12分)如图所示等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD CB =,对角线AC 与BD 交于
O ,60ACD ∠=o , 点S P Q 、、分别是OD OA BC 、、的中点。
求证:△PQS 是等边三角形。
5、(12分)如右图,直线OB 是一次函数2y x =的图像,点A 的坐标是(0,2),点C 在直线OB 上且△ACO 为等腰三角形,求C 点坐标。
6、(14分)已知关于x 的方程018)13(3)1(2
2
=+---x m x m 有两个正整数根(m 是整数)。
△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ,0822=-+a m a m ,082
2=-+b m b m 。
求:⑴ m 的值;⑵ △ABC 的面积。
数学试题参考答案
一、1、B ,2、B ,3、B ,4、C ,5、B
二、1、2 2、41≤≤x 3、甲、乙 4、2 5、7,8,13±±±6、
242)8
x x -+ 7、7 8、20 三1、有已知可得CDE ADE ??和均为等腰直角三角形,计算得12-=BD ,在直角三角形BCD 中,
12tan -==
∠CD
BD
BCD 。 2、(1)设购买x 台甲机器,则34)6(57≤-+x x ,所以2≤x 。即x 取0、1、2三个值,有三种购买方案:①不购买甲机器,购6台乙机器;②购买1台甲机器,5台乙机器;③购买2台甲机器,购4台乙机器。
(2)按方案①,所需资金3056=?(万元),日产量为360606=?(个);按方案②,所需资金325571=?+?(万元)
,日产量为4006051001=?+?(个);按方案③,所需资金为344572=?+?(万元),日产量为4406041002=?+?(个)。所以,选择方案②。
3、如图所示,为了表达矩形MDNP 的面积,设 DN =x ,PN =y ,则面积 S =xy , ① 因为点P 在AB 上,由△APQ ∽△ABF 得
2
1
)4(24=---x y ,即y x 210-=.
代入①,得y y y y S 102)210(2
+-=-=,
即225)2
5(22
+
--=y S . 因为3≤y ≤4,而y =25不在自变量的取值范围内,所以y =2
5
不是最值点,
当y =3时,S =12;当 y =4时,S =8.故面积的最大值是S =12. 此时,钢板的最大利用率是80%。 4、连CS 。
∵ABCD 是等腰梯形,且AC 与BD 相交于O ,
∴AO=BO,CO=DO.
∵∠ACD=60°,∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是OD 的中点,∴CS ⊥DO.
在Rt △BSC 中,Q 为BC 中点,SQ 是斜边BC 的中线,∴SQ=12
BC. 同理BP ⊥AC.
在Rt △BPC 中,PQ=12
BC.
又SP 是△OAD 的中位线,∴SP=1
2
AD=12
BC. ∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ 为等边三角形.
5、若此等腰三角形以OA 为一腰,且以A 为顶点,则AO=AC 1=2. 设C 1(,2x x ),则得222(22)2x x +-=,解得85x =,得C 1(816
,55
)
若此等腰三角形以OA 为一腰,且以O 为顶点,则OC 2=OC 3=OA=2.
设C 2('',2x x ),则得'2'22(2)2x x +=,解得'x =得C 2
又由点C 3与点C 2关于原点对称,得C 3( 若此等腰三角形以OA 为底边,则C 4的纵坐标为1,从而其横坐标为1
2
,得C 4(1,12
). 所以,满足题意的点C 有4个,坐标分别为:
(816,55
),,(,C 4(1,12) 6、(1)方程有两个实数根,则012
≠-m ,解方程得
161+=
m x ,13
2-=m x .由题意,得11,2,3,6,11,3,m m +=??-=? 即?
??==.4,2,5,2,1,0m m 故2=m .
(2)把2=m 代入两等式,化简得0242
=+-a a ,0242
=+-b b , 当b a =时,22±
==b a .
当b a ≠时,a 、b 是方程0242
=+-x x 的两根,而△>0,由韦达定理得,
4=+b a >0,2=ab >0,则a >0、b >0.
①b a ≠,32=c 时,由于2
222124162)(c ab b a b a ==-=-+=+
故△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,S △ABC =12
1
=ab . ②22-==b a ,32=c 时,因)22(2-<32,故不能构成三角形,不合题意,舍去.
③22+
==b a ,32=c 时,因)22(2+>32,故能构成三角形.
S △ABC =12
?综上,△ABC 的面积为1或2129+. 2