专题04 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题(解析版)

专题04 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题

1、如图，二次函数y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（2，0），它的对称轴是直线x ＝﹣1． （1）直接写出点B ，点C 的坐标. （2）求这个二次函数的解析式．

（3）若点P 在x 轴上，且△PBC 为等腰三角形，请求出线段BC 的长并直接写出符合条件的所有点P 的坐标．

【答案】(1) B （-4,0）,C （0,4）;(2) y ＝﹣1

2x 2

﹣x+4；(3)BC=4√2 ，P （0，0）或（﹣4+4√2，0）或（﹣4﹣4√2，0）或（4，0）.

【解析】(1)解：由对称轴是直线x=-1,点A 坐标为(2,0)，以及二次函数y =ax 2+bx +4，易得B （-4,0）C （0,4） (2)根据题意得， {

4a+2b+4=0

-b

2a

=-1

， 解得，{

a=-1

2

b=-1

，

∴二次函数的解析式y ＝﹣1

2x 2

﹣x+4； （2）由（1）得B （﹣4，0），C （0，4），

∴BC＝√（-4）2

+42＝4√2；

设P（m，0），

∵B（﹣4，0），C（0，4），

∴BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16，

∵△PBC是等腰三角形，

∴①当BP＝CP时，

∴（m+4）2＝m2+16，

∴m＝0，

∴P（0，0）

②当BP＝BC时，

∴（m+4）2＝32，

∴m＝﹣4±4√2，

∴P（﹣4+4√2，0）或（﹣4﹣4√2，0）③当CP＝BC时，m2+16＝32，

∴m＝4或m＝﹣4（舍去），

∴P （4，0），

即：符合条件的所有点P 的坐标为P （0，0）或（﹣4+4√2，0）或（﹣4﹣4√2，0）或（4，0）. 2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F ，使≌，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，是等腰三角形．

【答案】（1）；B （8,0）；E （3，-4）； （2）（）或（）；

（3）或. 【解析】

解：（1）抛物线经过点A （－2，0），D （6，－8），

2

8y ax bx =+

-FOE ?FCE ?OPQ ?2

1382

y x x =

-

-34

-34+-8

3-323

-

2

8y ax bx =+-

解得 抛物线的函数表达式为 ，抛物线的对称轴为直线． 又抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（－2，0）． 点B 的坐标为（8，0）

设直线l 的函数表达式为．

点D （6，－8）在直线l 上，6k=－8，解得．

直线l 的函数表达式为 点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．点E 的横坐标为3，纵坐标为， 即点E 的坐标为（3，－4）

（2）抛物线上存在点F ，使≌．点F 的坐标为（）或（） （3）分两种情况：

①当时，是等腰三角形．

点E 的坐标为（3，－4），

，

过点E 作直线ME//PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则，

428036688a b a b --=?∴?+-=-?123

a b ?

=???=-?2

1382

y x x =

--221125

38(3)222

y x x x =

--=--3x =y kx =4

3

k =-43

y x =-

4

343

-

?=-FOE ?FCE

?34

-34-OP OQ =OPQ

?5OE ∴==OM OE

OP OQ

=5OM OE ∴==

点M 的坐标为（0，－5）．

设直线ME 的表达式为，

，解得， ME 的函数表达式为， 令y=0，得

，解得x=15， 点H 的坐标为（15，0）

又MH//PB ，，即， ②当时，是等腰三角形．

当x=0时，，点C 的坐标为（0，－8）， ，

OE=CE ，，

又因为，，， CE//PB

设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为，

，解得， CE 的函数表达式为，令y=0，得， ，点N 的坐标为（6，0）

CN//PB ，

15y k x =-1354k -=-11

3

k =

1

53

y x =

-1

503

x -=OP OB

OM OH

=8515m -=83m =-QO QP =OPQ ?2

13882

y x x =

--=

-5CE ==12∠=∠QO QP =13∠=∠23∠∠=28y k x =-2384k -=-243

k =

483y x =

-4

803

x -=6x =

， ，解得 综上所述，当m 的值为或时，是等腰三角形．

3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2

+bx-8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；

（2）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．

【答案】(1)y ＝1

2x 2

－3x －8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m 的值为－83或－32

3. 【解析】（1）∵抛物线y ＝ax 2

＋bx －8经过点A(－2，0)，D(6，－8)， ∴将A 、D 两点的坐标代入得{4a ?2b ?8=036a +6b ?8=?8

，

OP OB

OC ON

=886m -=32

3

m =-8

3-32

3

-

OPQ

?

解得{

a=1

2

b=?3

，

∴抛物线的函数表达式为y＝1

2

x2－3x－8；

（2）需分两种情况进行讨论：

①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，

图1

∵点E的坐标为(3，－4)，

∴OE＝√32+42＝5，

过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，

则OM

OP ＝OE

OQ

，

∴OM＝OE＝5，

∴点M的坐标为(0，－5)，

设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上，

∴3k1－5＝－4，解得k1＝1

3

，

∴直线ME的函数表达式为y＝1

3

x－5，

令y＝0，解得x＝15，

∴点H的坐标为(15，0)．又∵MH∥PB，

∴OP

OM ＝OB

OH

，即m

5

=8

15

，

∴m＝－8

3

；

②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如图，

∵当x＝0时，y＝1

2

x2－3x－8＝－8，

∴点C的坐标为(0，－8)，

∴CE＝√32+(8-4)2＝5，

∴OE＝CE，

∴∠1＝∠2，

又∵QO＝QP，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴CE∥PB.

设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为y＝k2x－8，E（3，-4）在直线CE上，

∴3k 2－8＝－4，解得k 2＝4

3

，

∴直线CE 的函数表达式为y ＝4

3

x －8，

令y ＝0，得4

3x －8＝0， ∴x ＝6，

∴点N 的坐标为(6，0)． ∵CN ∥PB.

∴OP OC

＝

OB

ON

，

∴m 8＝86，解得m ＝－32

3.

综上所述，当m 的值为－8

3

或－32

3

时，△OPQ 是等腰三角形．

4、如图，已知抛物线2143

y x bx =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为()2,0A -．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段BC 所在直线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP ?为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若

不存在，请说明理由． 【答案】（1）214433y x x =-

++；（2）243y x =-+；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，1

2

) 【解析】

（1）将点()20A -，

代入21

43

y x bx =-++中， 得：()()2

122403

b -

-+-+=， 解得：43

b =

， ∴抛物线的解析式为214

433

y x x =-

++； （2）当0x =时，4y =， ∴点C 的坐标为(0，4) ， 当0y =时，214

4033

x x -

++=， 解得：1226x x =-=， ， ∴点B 的坐标为(6，0) ， 设直线BC 的解析式为y kx n =+， 将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：

064k n n =+??

=?

， ∴234

k n ?=-???=?， ∴直线BC 的解析式为2

43

y x =-

+，

（3）抛物线的对称轴为()6222

x +-=

=，

假设存在点P ，设(2,)P t ，

则AC ==

AP =

=

CP ==

∵△ACP 为等腰三角形，

①当AC AP == 解之得：2t =±，

∴点P 的坐标为(2，2)或(2，-2)；

②当AC CP ==， 解之得：0t =或8t =(舍去)， ∴点P 的坐标为(2，0)或(2，8)， 设直线AC 的解析式为y kx b =+，

将点A(-2，0)、C (0，4)代入得20

4

k b b -+=??

=?，

解得：24k b =??=?

，

∴直线AC 的解析式为24y x =+， 当2x =时，2248y =?+=，

∴点(2，8)在直线AC上，

∴A、C、P在同一直线上，点(2，8)应舍去；

③当AP CP

==

解之得：

1

2

t=，

∴点P的坐标为(2，1

2 )；

综上，符合条件的点P存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，1

2 )．

5、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．

【方法引导】

（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．

（2）由图知：A 、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC ，那么BC 与直线l 的交点即为符合条件的P 点．

（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA ＝AC 、②MA ＝MC 、②AC ＝MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解 【解析】

（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c ， ∴可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）．

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=－1． ∴抛物线的解析式为y ＝－（x ＋1）（x －3），即y ＝－x 2

＋2x ＋3．

（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ． 则此时的点P ，使△PAC 的周长最小．

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

303k b b +=??=?，解得：1

3

k b =-??

=?． ∴直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．

当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．

（3）存在．点M的坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．

∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)．

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10．

①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1．

②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m．

③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，

当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．

综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．

【方法总结】

该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解

6、如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其

最大值；

（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=x 2-4x+3.（2）当m=

时，四边形AOPE 面积最大，最大值为.（3）P 点的坐标为 ：P 1

，），P 2（

，，P 3（

，P 4（

）. 【解析】

解：（1）如图

1，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，

由对称性得：D （3，0），

设抛物线的解析式为：y=a （x-1）（x-3）， 把A （0，3）代入得：3=3a ，

a=1，

∴抛物线的解析式；y=x 2-4x+3； （2）如图2，设P （m ，m 2-4m+3），

52

75

812352252-12-

∵OE 平分∠AOB ，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°，

∴△AOE 是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E （3，3），

易得OE 的解析式为：y=x ， 过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ， ∴G （m ，m ），

∴PG=m-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-3， ∴S 四边形AOPE =S △AOE +S △POE ，

=

×3×3+PG ?AE ， =

+×3×（-m 2

+5m-3）， =-

m 2+m ， =

（m-）2+，

∵-＜0，

121

2

9212

32152

3252

7583

2

∴当m=

时，S 有最大值是；

（3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，

∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ， 易得△OMP ≌△PNF ， ∴OM=PN ，

∵P （m ，m 2

-4m+3）， 则-m 2+4m-3=2-m ，

解得：

∴P

）；

如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，

52

758

同理得△ONP ≌△PMF ， ∴PN=FM ， 则-m 2+4m-3=m-2，

解得：

； P

，）或（

，）； 综上所述，点P 的坐标是：

）或

）或

）或，

）． 7

、如图，已知：二次函数y ＝x 2

+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为（﹣3，0），与y 轴交于点C ，点D （﹣2，﹣3）在抛物线上． （1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA+PD 的最小值；

（3）若抛物线上有一动点M ，使△ABM 的面积等于△ABC 的面积，求M 点坐标．

35152-3521+5352

（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）3√2；（3）点M的坐标为（﹣1﹣√7，3），（﹣1+√7，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；点Q的坐标为（﹣1，√6），（﹣1，﹣√6），（﹣1，0），（﹣1，﹣6），（﹣1，﹣1）．

【解析】解：（1）将A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：

{

9?3b+c＝0

4?2b+c＝?3

，解得：{

b=2

c=?3，

∴抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3．

（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴点B的坐标为（1，0）．

连接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示．

∵PA＝PB，

∴此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度．

∵点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣2，﹣3），

∴BD＝√(?2?1)2+(?3?0)2＝3√2，

∴PA+PD的最小值为3√2．

（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

设点M的坐标为（x，x2+2x﹣3）．

∵S△ABM＝S△ABC，

∴|x2+2x﹣3|＝3，即x2+2x﹣6＝0或x2+2x＝0，

解得：x1＝﹣1﹣√7，x2＝﹣1+√7，x3＝﹣2，x4＝0（舍去），

∴点M的坐标为（﹣1﹣√7，3），（﹣1+√7，3），（﹣2，﹣3）．

（4）设点Q的坐标为（﹣1，m）．

∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），

∴CQ2＝（﹣1﹣0）2+[m﹣（﹣3）]2＝m2+6m+10，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，BC2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10．

分三种情况考虑（如图2所示）：