状态空间表达式的解

第2章 状态空间表达式的解

第1节 线性定常齐次状态方程的解

线性定常齐次状态方程

0(0)x Ax x x ==& 的解为

0()At

x t e x = (0)t >

式中，2

2

()

2!!k

At k t At e I At A k ∞

?

==+++=∑

L 证明：

用拉普拉斯变换法。 对 x A x =& 作拉氏变换，得

0()()sX s x AX s -=

1

0()()X s sI A x -=-

11

0()[()]x t L sI A x --=-

因为 2

23111()()sI A I A A I s s s -+++=L

故 1

223111()sI A I A A s s s --=+++L

12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2!

I At A t x =+++L 0At

e x =

顺便可知

])[(1

1---=A sI L e

At

第2节 矩阵指数函数At

e

1、At

e 的定义和性质

（1）定义

2

2

()

2!!k

At

k t At e I At A k ∞

==+++=∑

L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ?阶；

At

e —矩阵指数函数，n n ?阶时变矩阵。

若A 中各元素均小于某定值，At

e 必收敛；若A 为实矩阵，At

e 绝

对收敛。 （2）基本性质：

◆组合性质：

)

(2121t t A At At e

e e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。

推论1：I e

e

e

e A t t A t A At ===--0

)

()

(

推论2：)

(1

][t A At e

e --=

◆微分性质：

A e Ae e t

At At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则

t

B A Bt

At e

e e )(+=

◆若1

-P 存在，则

P e P e

A

AP

P 11-=-

2、At

e 的计算 （1）级数计算法

()

!k

At

k At e k ∞

==∑ （2）拉氏变换法

])[(1

1---=A sI L e

At

当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。

（3）多项式表示法

∑-==

10

)(n k k k At

A t e

α 若A 的特征根1λ，2λ，…, n λ两两互异，则 12210111211212

2

211()1()1()1

n n t

n t n t n n n n t e t e t e -----???????

??????

?

????=??

??????????????

??

L L M M M M M M M L λλλαλλλαλλ

λ

αλλλ （4）非奇异变换法

1）设A 的特征根1λ，2λ，…, n λ两两互异，则

1

]diag[21-=P e e

e

P e

t

t

t

At

n λλλΛ

其中P 满足 ]diag[211

n AP P λλλΛ=-

推论：若]diag[21n A λλλΛ=，则

]diag[21t

t

t

At

n e e

e

e

λλλΛ=

2）设A 为具有共轭复特征根ωσλj 2,1±=的二阶阵，则

1

cos sin sin cos At

t

t

t e e P P t

t σωωωω-??=?

?-??

其中P 满足 ??

?

?

??-=-σω

ωσAP P 1

（模态规范型）。 证明：

因 ????

?

?σσ

与??????

-ωω可交换，故

t t t t

e

e e e ??????

-?????

???

????

-+?????

??????

?-==ωωσσ

ωωσσσωωσ)( t t

e I e

ωωσ?

???-??

=?

而

2435

()()()()12!4!

3!5!3524()()()()13!5!2!4!

cos sin sin cos t t t t t t t t t t t t t e t t ωωωωωωωωωωωωωωωω????-++-+--??

-+-+-++?????

?==??-????

?

?

L

L

K L

L

故

cos sin sin cos t t

t t e e t t σωωσσωωωω????-??

??=??

-??

再由

1

-?

?

????-=P P A σωωσ 即得所证。

第3节 状态空间表达式的解

1、线性定常系统状态空间表达式的解

设线性定常系统

x Ax Bu =+&，00()x t x =

可以证明，状态方程的解为

00

()

()

0'"

()()()))d ((t

A t t A t t x t e

x t e

x Bu t t x τττ--=+=+?

其中 0()

0'

)()(A t t x t e

x t -=——自由响应，只与)(0t x 和A 有关。

()

"

()d )(t

A t t e

B x u t τττ-=?——强迫响应，与)(t u 和A, B 有关。

系统的输出

00

()

()

0()()()()d t

A t t A t t y t C x t Ce

x t Ce

Bu τττ--==+?

2、阶跃输入下状态方程的的解

设00=t ，)(1)(t k t u =，k 为与)(t u 同维的常数向量，则

k B I e

A x e t x At

At

][)0()(1

-+=-

3、状态转移矩阵

0()

A t t e

-又称作状态转移矩阵，常记为

0()

0()A t t t t e

-Φ-=。

使用该符号，线性定常系统状态方程的解可表为

00()()()()()d t

t x t t t x t t Bu τττ=Φ-+Φ-?

若00t =，则()At

t e Φ=，且

()()(0)()()d t

x t t x t Bu τττ=Φ+Φ-?

采用符号0()t t Φ-，主要是便于时变系统状态转移矩阵的表述。

第5节 线性时变连续系统运动分析

线性时变连续系统

()()x A t x B t u =+&，00()x t x =，0[,]f t t t ∈

设在域0[,]f t t 内，()A t 和()B t 的元素是t 的分段连续函数，以保证

上述状态方程解的存在性和唯一性。 1、线性时变连续系统状态方程的解

回顾：线性定常连续系统状态方程解

000()()()()()d t

t x t t t x t t Bu τττ=Φ-+Φ-?

式中，0()

0()A t t t t e

-Φ-=——状态转移矩阵。其满足如下两式

比照定常系统，可写出线性时变连续系统状态方程的解为

00()(,)()(,)()()d t

t x t t t x t t B u ττττ=Φ+Φ?

式中，0(,)t t Φ——线性时变连续系统的状态转移矩阵，具有性质： 00(,)

()(,)t t A t t t t ?Φ=Φ? 00(,)t t I Φ=

211020(,)(,)(,)t t t t t t ΦΦ=Φ