平面静定桁架的内力计算

第二节平面静定桁架的内力计算

桁架是工程中常见的一种杆系结构，它是由若干直杆在其两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架中各杆件的连接处称为节点。由于桁架结构受力合理，使用材料比较经济，因而在工程实际中被广泛采用。房屋的屋架（见图3－10）、桥梁的拱架、高压输电塔、电视塔、修建高层建筑用的塔吊等便是例子。

图3－10房屋屋架

杆件轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架（如一些屋架、桥梁桁架等），否则称为空间桁架（如输电铁塔、电视发射塔等）。本节只讨论平面桁架的基本概念和初步计算，有关桁架的详细理论可参考“结构力学”课本。在平面桁架计算中，通常引用如下假定：

１）组成桁架的各杆均为直杆；

２）所有外力（载荷和支座反力）都作用在桁架所处的平面内，且都作用于节点处；

３）组成桁架的各杆件彼此都用光滑铰链连接，杆件自重不计，桁架的每根杆件都是二力杆。

满足上述假定的桁架称为理想桁架，实际的桁架与上述假定是有差别的，如钢桁架结构的节点为铆接（见图3－11）或焊接，钢筋混凝土桁架结构的节点是有一定刚性的整体节点，

图3－11 钢桁架结构的节点

它们都有一定的弹性变形，杆件的中心线也不可能是绝对直的，但上述三点假定已反映了实际桁架的主要受力特征，其计算结果可满足工程实际的需要。

分析静定平面桁架内力的基本方法有节点法和截面法，下面分别予以介绍。

一、节点法

因为桁架中各杆都是二力杆，所以每个节点都受到平面汇交力系的作用，为计算各杆内力，可以逐个地取节点为研究对象，分别列出平衡方程，即可由已知力求出全部杆件的内力，这就是节点法。由于平面汇交力系只能列出两个独立平衡方程，所以应用节点法往往从只含两个未知力的节点开始计算。

例3－8 平面桁架的受力及尺寸如图3－12ａ所示，试求桁架各杆的内力。

图3－12 例3－8图

解：（1）求桁架的支座反力

以整体桁架为研究对象，桁架受主动力2F 以及约束反力Y

A F 、

x

B F 、

Y

B F 作用，列

平衡方程并求解：

1=∑=n

i ix

F

，

x

B F ＝０

)(1

=∑=n

i i B

m

F ， ２F ×2l

－Y A F l ＝０， Y A F ＝F

1

=∑=n

i iy

F

，

Y

A F ＋

Y

B F －２F ＝０，

Y

B F ＝2F －

Y A F =F

（2）求各杆件的内力

设各杆均承受拉力，若计算结果为负，表示杆实际受压力。设想将杆件截断，取出各节点为研究对象，作A 、D 、C 节点受力图（图3－12ｂ），其中

'1

S F ＝

1

S F ，

'2S F =

2S F ，

'3S F =

3

S F 。

平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知力，故首先从只含两个未知力的节点A

开始，逐次列出各节点的平衡方程，求出各杆内力。

节点Ａ：

1

=∑=n

i iy

F

，

Y

A F ＋

1

S F sin300＝０,

1

S F ＝－2

Y

A F =－２F （压）

1

=∑=n

i ix

F

，

2

S F ＋

1

S F cos300＝０,

2

S F ＝－0.866

1

S F =1.73F （拉）

节点Ｄ：

1

=∑=n

i ix

F

， －

'2

S F ＋

5

S F ＝０,

5

S F ＝

'2S F =

2

S F =1.73F （拉）

1

=∑=n

i iy

F

，

3

S F －２F ＝０,

3

S F ＝２F （拉）

节点Ｃ：

1

=∑=n

i ix

F

， －

'1

S F sin600

＋

4

S F sin600

＝０，

4

S F ＝

'1

S F ＝－２F （压）

至此已经求出各杆内力，节点Ｃ的另一个平衡方程可用来校核计算结果：

1

=∑=n

i iy

F

， －

'1

S F cos600

－

4

S F cos600

－

'3

S F ＝０

将各杆内力计算结果列于表3-2：

表3－2 例3－8计算结果

例3－9 试求图3－13a 所示的平面桁架中各杆件的内力，已知0

30=α，G=20kN 。

(a)

(b)

图3－13 例3－9图

解 （1）画出各节点受力图，如图3－13b 所示，其中i F '

＝F i (i=1,2,…,6)。各点未知

力个数、平衡方程数如表3－3。由于A 点的平衡方程数与未知力个数相等，所以首先讨论A 点。

表3－

3 未知力个数、平衡方程数

（2）逐个取节点，列平衡方程并求解 节点Ａ：

1

=∑=n

i iy

F

， F 1sin300－G=０,

kN 4030sin 0

1==

G

F （拉）

1

=∑=n

i ix

F

， －F 1cos300－F 2=０, F 2=－F 1cos300=－34.6kN （压）

节点B ：

1

=∑=n

i ix

F

， 062=-'F F , =6F 2F '

＝－34.6kN （压）

1

=∑=n

i iy

F

， F ３－G ＝０, F ３=G ＝20kN （拉）

节点C ：

1

=∑=n

i iy

F

， －F 5cos300－F 3cos300=０, F 5=－F 3=－20kN （压）

1

=∑=n

i ix

F

， 341F F F '

+-'cos600－F 5cos600=０,

F 4=31F F '

+'cos600－F 5cos600=40+20cos600－(－20)cos600 kN =60kN （拉）

将各杆内力计算结果列于表3-4：

表3－4 各杆内力计算结果

二、截面法

节点法适用于求桁架全部杆件内力的场合。如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，则可用截面法。这种方法是适当地选择一截面，在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。

例3－10 如图3－14ａ所示的平面桁架，各杆件的长度都等于1.0ｍ，在节点Ｅ上作用

荷载F １＝21k Ｎ，在节点Ｇ上作用荷载F ２＝15k Ｎ，试计算杆１、２和３的内力。

图3－14 例3－10图

解：（1）求支座反力

以整体桁架为研究对象，受力图如图3－14ａ所示，列平衡方程：

1

=∑=n

i ix

F

，

x

A F ＝０

)(1

=∑=n

i i A

m

F ，

Y

B F ×3.0－F 1×1.0－F 2×2.0＝0

1

=∑=n

i iy

F

，

y

A F ＋

Y

B F －F １－F ２＝０

解得：

Y B F ＝0.30.22

1F F +=17k Ｎ， Y A F ＝1921=-+y B F F F k Ｎ

（2）求杆１、２和３的内力

作截面ｍｎ假想将此三杆截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉

力，这部分桁架的受力图如图3－14ｂ所示。列平衡方程：

)(1=∑=n

i i E

m

F , －

1

S F ×1.0×sin600－

y

A F ×1.0=0

)(1

=∑=n

i i D

m

F , F 1×0.5＋

3

S F ×1.0×sin600－

y

A F ×1.5＝０

1

=∑=n

i iy

F

，

y

A F ＋

2

S F ×sin600－F 1＝０

解得：

1S F 0

60sin y

A F -==－21.9k Ｎ（压）

3

S F ＝

866.021

5.0195.160sin 5.05.10

1

?-?=

-F F y A k Ｎ=20.8k Ｎ（拉）

2

S F ＝866.019

2160

sin 0

1-=

-y

A F F k Ｎ=2.3k Ｎ（拉）

如果选取桁架的右半部分为研究对象，可得到相同的计算结果。

例3－11 平面桁架结构尺寸如图3－15ａ所示，试计算杆１、２和３的内力。

图3－15 例3－11图

解：（1）求支座反力

以整体桁架为研究对象，受力图如图3－15b 所示，列平衡方程：

1

=∑=n

i ix

F

，

=x A F

)(1

=∑=n

i i A

m

F ， F B ×8a －F 1×a －F 1×2a －F 1×3a －F 1×4a －F 2×5a －F 2×6a －F 2×7a ＝0

1

=∑=n

i iy

F

，

y

A F ＋F

B －4 F 1－3 F 2＝０

解得：

495818102121F F F F F B +=+=

， y A F =－F B +4 F 1+3 F 2=43112

1F F +

（2）求杆１、２和３的内力

作截面I －I 假想将杆1、2、3截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆

都受拉力，这部分桁架的受力图如图3－15c 所示。列平衡方程：

0)(1

=∑=n

i i F

m

F ,

3241

111=?+?++?--a F a F a F a F b F y A S

0)(1

=∑=n

i i C

m

F ,

0231

13=?++?-a F a F a F b F y A S

1

=∑=n

i iy F ，

32

2

12

=+--b

a b F F F S A y

解得：

)35(211F F b a F S +-=（压），)

921(4213F F b a

F S +=(拉)，

)3(4122

22F F b b a F S -+=(拉)

由上面的二个例子可见，采用截面法求内力时，如果矩心取得恰当，力矩平衡方程中

往往仅含一个未知力，求解方便。另外，由于平面任意力系只有三个独立平衡方程，因此作假想截面时，一般每次最多只能截断三根杆件，如果截断的杆件多于３根时，它们的内力一般不能全部求出。

习 题

3—1 图3－16所示的6种情形中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？

图3－16 题3—1 图

3—2 试求图3－17所示静定梁在支座A和C处的全部约束反力。其中尺寸d、载荷集度q、力偶M已知。

图3－17 题3—2图

3－3 静定多跨梁的荷载及尺寸如图3－18所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处的压力。

图3－18 题3—3图

3－4 静定刚架所受荷载及尺寸如图3－19所示，长度单位为ｍ，求支座反力和中间铰处压力。

图3－19 题3—4图

3－5 如图3－20所示，杆AB重G、长度为l2，A端置于水平面上，B端置于斜面上并系一绳子，绳子绕过滑轮C吊起重物F Q。各处摩擦均不计，求AB杆平衡时的G值及A、B 两处的约束力。（α、β均为已知）

图3－20 题3—5图

3－6 如图3－21所示，在曲柄压力机中，已知曲柄OA=R=0.23m，设计要求：当α＝200,β=3.20时达到最大冲力F=315kN。求在最大冲压力F作用时，导轨对滑块的侧压力和曲柄上所加的转矩Ｍ，并求此时轴承Ｏ的约束反力。

图3－21题3—6图

3－7 在图3－22所示架构中，A、C、D、E处为铰链连接，BD杆上的销钉B置于AC杆的光滑槽内，力F=200N，力偶矩M=100N·m，不计各杆件重量，求A、B、C处的约束反力。

图3－22 题3—7图

3－8 如图3－23所示，折梯由两个相同的部分ＡＣ和ＢＣ构成，这两部分各重0.１kＮ，在Ｃ点用铰链连接，并用绳子在Ｄ、Ｅ点互相联结，梯子放在光滑的水平地板上，今在销钉Ｃ上悬挂G＝0.５kＮ的重物，已知ＡＣ＝ＢＣ＝４ｍ，ＤＣ＝ＥＣ＝３ｍ，∠ＣＡＢ＝６０°，求绳子的拉力和ＡＣ作用于销钉Ｃ的力。

图3－23题3—8图

3－9 三脚架如图3－24所示，F P=4.0kN，试求支座A、B的约束反力。

图3－24题3—9图

3－10如图3－25所示，起重机停在水平组合梁板上，载有重G=10kN的重物，起重机自身重５０kＮ，其重心位于垂线ＤＣ上，如不计梁板自重。求Ａ、Ｂ两处的约束反力。

图3－25 题3—10图

3－11 平面桁架的结构尺寸如图3－26所示，荷载F已知，求各杆的内力。

图3－26 题3—11图

3－12 平面桁架的荷载及结构尺寸如图3－27所示，求各杆的内力。

a) b)

图3－27 题3—12图

3－13 如需求图3－28所示桁架中3、5、7各杆的内力，利用截面法，作截面I—I截断此三杆，问能否求出三杆内力？

图3－28 题3—13图

3－14 求图3－29所示桁架中１、２、３各杆的内力，F为已知，各杆长度相等。

图3－29 题3—14图

3－15 桁架尺寸如图3－30所示，主动力F为已知，求桁架中１、２、３各杆的内力。

图3－30 题3—15图

3－16 桁架尺寸如图3－31所示，主动力F为已知，求桁架中1、2、3、4各杆的内力。

图3－31 题3—16图