提高题专题复习平行四边形练习题及解析

提高题专题复习平行四边形练习题及解析

一、解答题

1．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；

（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．

2．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．

3．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．（1）操作发现：

①在矩形ABCD中，任意折叠所得的△BEF是一个三角形；

②当折痕经过点A时，BE与AE的数量关系为．

（2）深入探究：

在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝23．

①当△BEF是等边三角形时，求出BF的长；

②△BEF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．

4．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.

；

（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM

（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.

5．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E 处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP 为菱形；

（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动． ①当点Q 与点C 重合时， （如图2），求菱形BFEP 的边长；

②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围． 6．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．

（1）求证：BP ＝CQ ； （2）若BP ＝

1

3

PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．

7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由； （2）求证：CP AE =；

（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．

8．如图，在四边形OABC 是边长为4的正方形点P 为OA 边上任意一点（与点O A 、不重合），连接CP ，过点P 作PM CP ⊥，且PM CP =，过点M 作MN AO ∥，交BO 于点,N 联结BM CN 、，设OP x =.

（1）当1x =时，点M 的坐标为（ ， ）

（2）设CNMB S y =四形边，求出y 与x 的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围. （3）在x 轴正半轴上存在点Q ，使得QMN 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q 的坐标（用x 的式子表示）

9．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处. (I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长； (II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长； (III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.

10．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．

（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝

1

4

S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝1

4

S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；

（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝1

4

S?ABCD，若AB＝

3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1．（1）DE2CF；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF＋CF＝

2DF或|AF－CF|2

【分析】

（1）易证△BCD是等腰直角三角形，得出2CB，即可得出结果；

（2）情况1：过点C作CG⊥CF，交DF于G，设BC交DF于P，由ASA证得

△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，2CF，连接BE，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，

∠BEA=∠ABE=1

2

（180°-∠EAB）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF是等腰

直角三角形，则EF=BF，推出EF=DG，DE=FG，得出2CF；

情况2：过点C作CG⊥CF交DF延长线于G，连接BE，设CD交BF于P，由ASA证得

△CDG≌△CBF，得出DG=FB，CG=CF，则△GCF是等腰直角三角形，得2CF，设

∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF，推出DE=FG，得出2CF；

（3）①当F在BC的右侧时，作HD⊥DF交FA延长线于H，由（2）得△BEF是等腰直角三

角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得出∠EFA=∠BFA=1

2

∠BFE=45°，则△HDF是等腰

直角三角形，得2DF，DH=DF，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS证得△HDA≌△FDC，得CF=HA，即可得出2；

②当F在AB的下方时，作DH⊥DE，交FC延长线于H，在DF上取点N，使CN=CD，连接BN，证明△BFN是等腰直角三角形，得BF=NF，由SSS证得△CNF≌△CBF，得

∠NFC=∠BFC=1

2

∠BFD=45°，则△DFH是等腰直角三角形，得2，DF=DH，由SAS

证得△ADF≌△CDH，得出CH=AF，即可得出AF+CF=2DF；

③当F在DC的上方时，连接BE，作HD⊥DF，交AF于H，由（2）得△BEF是等腰直角三

角形，EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得∠EFA=∠BFA=1

2

∠BFE=45°，则△HDF是等腰直

角三角形，得出HF=2DF，DH=DF，由SAS证得△ADC≌△HDF，得出AH=CF，即可得出AF-CF=2DF；

④当F在AD左侧时，作HD⊥DF交AF的延长线于H，连接BE，设AD交BF于P，证明△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF，由SSS证得△ABF≌△AEF，得

∠EFA=∠BFA=1

2

∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，

HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠BCD=90°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴DB=2CB，

当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，

故答案为：DE=2CF；

（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：

情况1：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，

过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：

则∠BCD=∠GCF=90°，

∴∠DCG=∠BCF，

设BC交DF于P，

∵BF⊥DE，

∴∠BFD=∠BCD=90°，

∵∠DPC=∠FPB，

∴∠CDP=∠FBP，

在△CDG和△CBF中，

DCG BCF CD CB

CDG CBF ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ）， ∴DG=FB ，CG=CF ， ∴△GCF 是等腰直角三角形， ∴FG=2CF

， 连接BE ，

设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α， ∵AD=AE ，

∴∠DEA=∠ADE=90°-α， ∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α， ∴∠EAB=90°-2α， ∵AB=AE ， ∴∠BEA=∠ABE=

12（180°-∠EAB ）=1

2

（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α， ∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°， ∵BF ⊥DE ，

∴△BEF 是等腰直角三角形， ∴EF=BF ， ∴EF=DG ，

∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ， ∴DE=2CF ；

情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：

∵∠GCF=∠BCD=90°， ∴∠DCG=∠BCF ， ∵∠FPD=∠BPC ， ∴∠FDP=∠PBC ，

在△CDG 和△CBF 中，

DCG BCF CD CB

CDG CBF ∠∠??

??∠∠?

＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ）， ∴DG=FB ，CG=CF ， ∴△GCF 是等腰直角三角形， ∴FG=

2CF ，

设∠CDG=α，则∠CBF=α，

同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α， ∴∠EAB=90°+2α， ∵AB=AE ，

∴∠BEA=∠ABE=45°-α，

∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°， ∵BF ⊥DE ，

∴△BEF 是等腰直角三角形， ∴EF=BF ， ∴EF=DG ， ∴DE=FG ， ∴DE=2CF ；

（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：

由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ， 在△ABF 和△AEF 中，

AB AE AF AF BF EF ??

???

＝＝＝， ∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=

1

2

∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，

∴HF=2

DF ，DH=DF ， ∵∠HDF=∠ADC=90°， ∴∠HDA=∠FDC ， 在△HDA 和△FDC 中，

DH DF HDA FDC DA DC ??

∠∠???

＝＝＝， ∴△HDA ≌△FDC （SAS ）， ∴CF=HA ，

∴2DF=HF=HA+AF=CF+AF ，即AF+CF=2DF ；

②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：

设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α， ∴∠DCN=2α， ∴∠NCB=90°-2α， ∵CN=CD=CB ， ∴∠CNB=∠CBN=

12（180°-∠NCB ）=1

2

（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α， ∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°， ∴△BFN 是等腰直角三角形， ∴BF=NF ， 在△CNF 和△CBF 中，

CN CB

CF CF NF BF ??

???

＝＝＝， ∴△CNF ≌△CBF （SSS ），

∴∠NFC=∠BFC=

1

2

∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形， ∴FH=2DF ，DF=DH ， ∵∠ADC=∠HDE=90°， ∴∠ADF=∠CDH ， 在△ADF 和△CDH 中，

AD CD ADF CDH DF DH ??

∠∠???

＝＝＝， ∴△ADF ≌△CDH （SAS ）， ∴CH=AF ， ∴FH=CH+CF=AF+CF ， ∴AF+CF=2DF ；

③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：

由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ， 在△ABF 和△AEF 中，

AB AE AF AF BF EF ??

???

＝＝＝， ∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=

1

2

∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形， ∴2，DH=DF ， ∵∠ADC=∠HDF=90°， ∴∠ADH=∠CDF ， 在△ADC 和△HDF 中，

AD CD ADH CDF DH DF ??

∠∠???

＝＝＝， ∴△ADC ≌△HDF （SAS ）， ∴AH=CF ， ∴HF=AF-AH=AF-CF ， ∴

AF-CF=2DF ；

④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：

∵AB=AE=AD ， ∴∠AED=∠ADE ，

∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ， ∴∠ABP=∠FDP ， ∴∠FEA=∠FBA ， ∵AB=AE ， ∴∠AEB=∠ABE ， ∴∠FEB=∠FBE ，

∴△BFE 是等腰直角三角形， ∴EF=BF ，

在△ABF 和△AEF 中，

AB AE AF AF BF EF ??

???

＝＝＝， ∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=

1

2

∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，

∴DH=DF ，

DF ， ∵∠HDF=∠CDA=90°， ∴∠HDA=∠FDC ， 在△HDA 和△FDC 中，

DH DF HDA FDC AD CD ??

∠∠???

＝＝＝， ∴△HDA ≌△FDC （SAS ）， ∴AF=CF ， ∴AH-AF=CF-AF=HF ， ∴

DF ，

综上所述，线段AF 、CF 、DF 三者之间的数量关系：

DF 或

DF ， 故答案为：

DF 或

DF ． 【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2

）6

【分析】

（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；

（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，

，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（

x ）2，解得

x=

4，推出

BN=4

，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】

解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2． 理由：连接CG ． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴A 、C 关于对角线BD 对称， ∵点G 在BD 上， ∴GA=GC ，

∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形EGFC 是矩形， ∴CF=GE ，

在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2， ∴AG 2=GF 2+GE 2．

（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ． ∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°， ∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°， ∴∠AMN=30°，

∴AM=BM=2x ，MN=3x ， 在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2， ∴1=x 2+（2x+3x ）2， 解得x=62

4-， ∴BN=

62

+， ∴BG=BN÷cos30°=

326

+．

【点睛】

本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质． 3．（1）①等腰；②2BE =；（2）①2；②存在，351【分析】

（1）①由折叠的性质得EF ＝BF ，即可得出结论；

②当折痕经过点A 时，由折叠的性质得AF 垂直平分BE ，由线段垂直平分线的性质得AE ＝BE ，证出ABE 是等腰直角三角形，即可得出BE 2AE ；

（2）①由等边三角形的性质得BF ＝BE ，∠EBF ＝60°，则∠ABE ＝30°，由直角三角形的性质得BE ＝2AE ，AB 33，则AE ＝1，BE ＝2，得BF ＝2即可； ②当点F 在边BC 上时，得S △BEF ≤

1

2

S 矩形ABCD ，即当点F 与点C 重合时S △BEF 最大，由折叠的性质得CE ＝CB ＝3EF ＝3

当点F 在边CD 上时，过点F 作FH ∥BC 交AB 于点H ，交BE 于点K ，则S △EKF ＝

12KF ?AH ≤12HF ?AH ＝12S 矩形AHFD ，S △BKF ＝12KF ?BH ≤12HF ?BH ＝12S 矩形BCFH ，得S △BEF ≤12

S

矩形ABCD ＝3，即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，此时，DF＝

1

2

CD＝

3

，点E

与点A重合，由勾股定理求出EF即可．

【详解】

解：（1）①由折叠的性质得：EF＝BF，

∴BEF是等腰三角形；

故答案为：等腰；

②当折痕经过点A时，

由折叠的性质得：AF垂直平分BE，

∴AE＝BE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠A＝90°，

∴ABE是等腰直角三角形，

∴BE＝2AE；

故答案为：BE＝2AE；

（2）①当BEF是等边三角形时，BF＝BE，∠EBF＝60°，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，

∵∠A＝90°，

∴BE＝2AE，AB＝3AE＝3，

∴AE＝1，BE＝2，

∴BF＝2；

②存在，理由如下：

∵矩形ABCD中，CD＝AB＝3，BC＝23，

∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝3×23＝6，

第一种情况：当点F在边BC上时，如图1所示：

此时可得：S△BEF≤1

2

S矩形ABCD，

即当点F与点C重合时S△BEF最大，此时S△BEF＝3，由折叠的性质得：CE＝CB＝3，

即EF＝3

第二种情况：当点F在边CD上时，

过点F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K，如图2所示：

∵S△EKF＝1

2

KF?AH≤

1

2

HF?AH＝

1

2

S矩形AHFD，S△BKF＝

1

2

KF?BH≤

1

2

HF?BH＝

1

2

S矩形BCFH，

∴S△BEF＝S△EKF+S△BKF≤1

2

S矩形ABCD＝3，

即当点F为CD的中点时，BEF的面积最大，

此时，DF＝1

2

CD＝

3

2

，点E与点A重合，BEF的面积为3，

∴EF＝22

AD DF

＝51

2

；

综上所述，BEF的面积存在最大值，此时EF的长为23或51

2

．

【点睛】

此题考查的是矩形与折叠问题，此题难度较大，掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和勾股定理是解决此题的关键．

4．（1）见解析；（2）见解析.

【分析】

（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；

（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得

CQ∥AM．

【详解】

解：（1）如图（1），

连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．

理由：在△AOD与△COD中，

∵

AD CD

ADO CDO OD OD

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠OAD=∠OCD，

∴∠BAM=∠BCN．

在△ABM与△CBN中，

∵

BAM BCN AB CB

ABM CBN ∠∠

?

?

?

?∠∠

?

＝

＝

＝

，

∴△ABM≌△CBN（ASA），

∴CN=AM．

（2）如图2连接AC、BD交与O点，连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ为所求的线段.

在正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD，AD∥BC，

∴QO=MO

∴四边形AQCM为平行四边形，

∴QC∥AM

【点睛】

本题考查了作图-基本作图，解决此题的关键是利用正方形的性质求解．

5．（1）证明过程见解析；（2）①边长为5

3

cm，②22

5

cm S9cm

3

≤≤．

【分析】

（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；

（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD-DE＝

1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝5

3

cm即可；

②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．

【详解】

解：（1）证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ， ∴点B 与点E 关于PQ 对称， ∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ， 又∵EF ∥AB ， ∴∠BPF ＝∠EFP ， ∴∠EPF ＝∠EFP ， ∴EP ＝EF ， ∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ， ∴四边形BFEP 为菱形； （2）①∵四边形ABCD 是矩形，

∴BC ＝AD ＝5cm ，CD ＝AB ＝3cm ，∠A ＝∠D ＝90°， ∵点B 与点E 关于PQ 对称， ∴CE ＝BC ＝5cm ，

在Rt △CDE 中，DE ＝22CE -CD ＝4cm ， ∴AE ＝AD ﹣DE ＝5cm -4cm ＝1cm ； 在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3-PB ＝3﹣PE ，

∴222

EP =1(3-EP)+，解得：EP ＝

5

3

cm ， ∴菱形BFEP 的边长为

5

3

cm ； ②当点Q 与点C 重合时，点E 离点A 最近，由①知，此时AE ＝1cm ，BP=

5

3

cm ， 2BFEP 5

S =BP AE=cm 3

?四边形，

当点P 与点A 重合时，点E 离点A 最远，此时四边形ABQE 为正方形，AE ＝AB ＝3cm ，

2ABQE BFEP S =S =9cm 正方形四边形，

∴菱形的面积范围：22

5cm S 9cm 3

≤≤．

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE 是本题的关键． 6．（1）见解析；（2）4.8；（3

）128

2x x

- 【分析】

（1）证明△ABP ≌△BCQ 即可得到结论；

（2）证明Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN 求出DQ ，设AN ＝NC '＝a ，则DN ＝8﹣a ，利用勾股定理即可求出a ；

（3）过Q 点作QG ⊥BM 于G ，设MQ ＝BM ＝y ，则MG ＝y ﹣x ，利用勾股定理求出MQ ，再根据面积相减得到答案. 【详解】

解：（1）证明：∵∠ABC ＝90° ∴∠BAP +∠APB ＝90° ∵BQ ⊥AP

∴∠APB +∠QBC ＝90°， ∴∠QBC ＝∠BAP ， 在△ABP 于△BCQ 中，

ABP BCQ AB BC

BAP QBC ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△ABP ≌△BCQ （ASA ）， ∴BP ＝CQ ，

（2）由翻折可知，AB ＝BC '，

连接BN ，在Rt △ABN 和Rt △C 'BN 中，AB ＝BC '，BN ＝BN ，

∴Rt △ABN ≌△Rt △C 'BN （HL ），

∴AN＝NC'，

∵BP＝1

3

PC，AB＝8，

∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，

设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，

∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2

解得：a＝4．8，

即AN＝4．8．

（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．

设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，

∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，

∴

32

2

x

y

x

=+．

∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝11

22

BM QG BC QC

''

?-?,

＝1321

()88 222

x

x

x

+?-?，

＝128

2x x

-．

【点睛】

此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正确理解题意画出图形辅助做题是解题的关键.

7．（1）四边形PBCE为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE 为矩形，证明过程见解析.

【分析】

（1）证明四边形ABCD为平行四边形，从而得BP//CE，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC，得四边形PBCE为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE即可证明CP=AE；（3）证明四边形APCE为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE为矩形.

【详解】

解：（1）四边形PBCE 为平行四边形. 证明：∵AD BC =，AD BC ∥， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴PB//EC, ∵DAE AEP ∠=∠, ∴AD//PE, ∴PE//BC,

∴四边形PBCE 为平行四边形. （2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B=∠D，AB//CD, ∴BAC ACE =∠∠ 又∵D ∠=BAC ∠， ∴∠B=BAC ∠， ∴BC=AC ，B ACE ∠=∠ ∵四边形PBCE 为平行四边形， ∴PB=CE， 在△CBP 和△ACE 中

BP CE B ACE BC AC =??

∠=∠??=?

∴△CBP≌△ACE. ∴CP AE =.

（3）四边形APCE 为矩形， 证明：∵P 为AB 的中点 ∴BP=AP ,

∵四边形PBCE 为平行四边形， ∴BP=CE, ∴AP=CE, 又∵AB//CD

∴四边形APCE 为平行四边形， ∵CB=CA ，AP=BP ， ∴CP ⊥AB ， ∴∠APC=90°， ∴ABCD 为矩形. 【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.